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Matemática IITema 1: vectores, combinaciones linealesy producto punto2012–2013
Índice
Vectores y combinaciones lineales 1
Vectores en R2 y producto por un escalar 1
Combinaciones lineales de vectores 3
Vectores en R33
Longitud y producto punto 5
Producto punto 5
Longitud y vectores unitarios 6
Ángulo entre dos vectores 8
Trabajo práctico 11
Ejemplos con Sage 12
Operaciones con vectores de Rn12
Representación gráfica de vectores en R2 y R313
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalarVector columna de R2
v =
(v1v2
)v1 = primera componentev2 = segunda componente
¿Qué es un vector?
Tenemos dos números separados v1 y v2.
Este par produce un vector de dos dimensiones v.
Vector columna
v =
(v1
v2
)v1 = primera componentev2 = segunda componente
Escribimos v como una columna, no como una fila.
Decimos que v ∈ R2 (tiene dos números reales).
Lo importante es que necesitamos una sola letra v para indicareste par de números v1 y v2.
tema 1: vectores 2
Suma de vectores
Podemos sumar dos vectores v y w.
La primeras componentes de v y w no se mezclan nunca con lassegundas componentes.
Suma de vectores
v =
(v1
v2
)y w =
(w1
w2
)suman v + w =
(v1 + w1
v2 + w2
)
La resta de vectores sigue la misma idea, las componentes dev−w son v1 − w1 y v2 − w2.
Suma de vectores columna en R2
v + w =
(v1 + w1v2 + w2
)
Multiplicación de un vector columnade R2 por un escalar c ∈ R
cv =
(cv1cv2
)
Multiplicación por un escalar
La otra operación básica es la multiplicación escalar.
Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por −1, o por cual-quier otro número c ∈ R.
Hay dos maneras de duplicar un vector: sumar v + v o (másfácil) multiplicar cada componete por 2.
Multiplicación escalar
2v =
(2v1
2v2
)y − v =
(−v1
−v2
)
Las componentes de cv son cv1 y cv2.
El número c es llamado escalar.
Comentarios sobre la suma y la multiplicación escalar
Hay que notar que la suma de −v y v es el vector cero.
¡Esto es el vector 0 =
(00
), que es distinto del número 0!
Todas las ideas del álgebra lineal se basan en operaciones v + w ycv (suma de vectores y multiplicación por escalares).
El orden de la suma no altera el resultado: v + w es igual aw + v.
v + w =
(15
)+
(33
)=
(48
)w + v =
(33
)+
(15
)=
(48
)
tema 1: vectores 3
Combinaciones lineales de vectoresCombinación lineal de dos vectorescolumna en R2
cv + dw =
(cv1 + dw1cv2 + dw2
)¿Qué es una combinación lineal?
Combinando la suma vectorial y la multiplicación por un escalarse forman combinaciones lineales de v y w.
Esto se hace multiplicando v por c, multiplicando w por d, yluego sumando cv + dw.
Definición 1. La operación cv + dw es una combinación lineal dev y w.
Hay cuatro combinaciones lineales especiales: suma, resta, cero ymúltiplo escalar.
1v + 1w = suma de vectores
1v− 1w = resta de vectores
0v + 0w = vector cero
cv + 0w = vector cv múltiplo de v
Comentarios sobre las combinaciones lineales
El vector 0 (cero) siempre es un resultado posible de una combi-nación lineal de vectores.
Siempre que hablemos de un espacio (lleno) de vectores, el vectorcero estará incluido.
El álgebra lineal consiste en trabajar sobre todas las posiblescombinaciones lineales de v y w.
−1
1
2
3
4
y
−1 1 2 3 4
xv
3v
w
2wu=
3v+
2w
Figura 1: representación deuna combinación lineal de vec-tores columna de R2.
Representación de vectores en R2
v =
(− 1
323
)w =
(21
)
3v + 2w = 3
(− 1
323
)+ 2
(21
)
=
3 ·
(− 1
3
)+ 2 · 2
3 · 23 + 2 · 1
=
(34
)= u
Vector columna de R3
v =
v1v2v3
v1 = primera componentev2 = segunda componentev3 = tercera componente
Vector columna de Rn
v =
v1v2...
vn
v1 = primera componentev2 = segunda componente...vn = n-esima componente
Vectores en R3
Extensión de la idea de vector a más dimensiones
Podemos pensar también en vectores que tengan tres componen-tes v1, v2, y v3.
tema 1: vectores 4
El plano xy es reemplazado por el espacio xyz.
Una combinación lineal de dos vectores en R3 es
2
103
+ 4
121
=
2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1
=
6810
v = (4, 2) o w = (1, 2, 1) son vectores columna, de R2 y R3,representados como números separados por coma para simplificarla escritura. ¡No son vectores fila!
Vector fila de R3
a =(a1 a2 a3
) a1 = primera componentea2 = segunda componentea3 = tercera componente
¡Sin separar con comas!Vector fila de Rn
a =(a1 a2 · · · an
)
¡Sin separar con comas!Combinación lineal de dos vectores
columna en R3
cv + dw =
cv1 + dw1cv2 + dw2cv3 + dw3
Representación de vectores en R3
v =
1121
w =
1321
2v +12
w = 2
1121
+
12
1321
=
2 · 1 + 12 · 1
3
2 · 12 + 1
2 · 22 · 1 + 1
2 · 1
=
136
252
= u
Figura 2: representación deuna combinación lineal de vec-tores columna de R3.
Ejemplo 1. Las combinaciones lineales de estos vectores de R3
v =
110
y w =
011
llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector que nosea una combinación lineal de v y w.
Los vectores en el plano corresponden a todas las combinacioneslineales posibles de la forma
cv + dw = c
110
+ d
011
=
cc + d
d
para números cualesquiera c y d pertenecientes a R.
Los vectores del plano son entonces u = (c, c + d, d).
Cuatro vectores particulares de este plano son (0, 0, 0), (1, 2, 1),(−2,−1, 1) y (−1, 0, 1).
tema 1: vectores 5
La segunda componente c + d es siempre la suma de la primeray la tercera.
El vector (2, 0, 1) no es una combinación lineal de v y w, debido aque 0 6= 2 + 1.
Figura 3: vectores que pertene-cen al plano cv + dw (verdes),y un vector que no pertenece aeste plano (azul).
Ejemplo 2. Encontrar dos ecuaciones para las incógnitas c y d talesque la combinación lineal cv + dw sea igual al vector b
v =
(2−1
)w =
(−1
2
)b =
(10
)
La ecuación vectorial del problema es
c
(2−1
)+ d
(−1
2
)=
(10
)
El sistema de ecuaciones lineales para c y d es
2c− d = 1
−c + 2d = 0
Repaso de ideas clave
1. Un vector v en el espacio de vectores R2 tiene dos componentesv1 y v2.
2. v + w =
(v1 + w1
v2 + w2
)y cv =
(cv1
cv2
)
3. Un vector v en el espacio de vectores R3 tiene tres componentesv1, v2 y v3.
4. v + w =
v1 + w1
v2 + w2
v3 + w3
y cv =
cv1
cv2
cv3
5. Una combinación lineal de tres vectores u, v y w, en cualquierespacio de vectores, es cu + dv + ew.
Longitud y producto punto
Producto puntoEl producto punto de dos vectores deR2 es el número
v ·w = v1w1 + v2w2
El producto punto de dos vectores deR3 es el número
v ·w = v1w1 + v2w2 + v3w3
El producto punto de dos vectores deRn es el número
v ·w = v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn
=n
∑i=1
viwi
Una nueva operación con vectores
En la sección anterior no hablamos de multiplicación entre vecto-res.
Ahora definiremos un producto punto entre v y w.
Esta multiplicación implica calcular los productos v1w1 y v2w2,pero no solo eso.
Estos dos números deben sumarse para obtener un único núme-ro v ·w.
El producto punto nos brinda información geométrica (longitud yángulo entre vectores).
tema 1: vectores 6
Definición del producto punto
Definición 2. El producto punto de dos vectores columna de R2
v =
(v1
v2
)y w =
(w1
w2
)
es el número v ·wv ·w = v1w1 + v2w2
Ejemplo 3. Los vectores v = (−1, 2) y w = (4, 2) tienen productopunto cero
v ·w =
(−1
2
)·(
42
)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0
En matemáticas, el número cero suele tener un significado espe-cial.
Con el producto punto, significa que estos dos vectores son per-pendiculares (simbolizado con ⊥).
Osea que el ángulo entre ellos es de π2 radianes (= 90◦).
1
2
3
4
y
−1 1 2 3 4
xv w
Figura 4: el producto punto dedos vectores perpendiculareses v ·w = 0.
1
y
1
xi
j
Figura 5: i y j son los vectoresestándar o canónicos en R2.
Comentarios acerca del producto punto
El ejemplo más evidente de vectores ⊥ es i = (1, 0), a lo largo deleje x, y j = (0, 1), a lo largo del eje y
El producto i · j = 1 · 0 + 0 · 1 = 0. Estos vectores formanevidentemente un ángulo recto.
Longitud y vectores unitarios
Según el contexto, y según la biblio-grafía, los vectores estándar se escribende diversas formas (todas equivalen-tes)
i =~i = ex = e1 = ~ex = ~e1
j =~j = ey = e2 = ~ey = ~e2
Producto punto de un vector con sí mismo
Un caso importante es el producto punto de un vector con símismo. En este caso v y w son iguales.
Si tenemos v = (1, 3, 2), el producto con sí mismo es v · v =
|v|2 = 14.
Longitud al cuadrado
|v|2 =
132
·
132
= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14
En vez de 90◦, entre los vectores tenemos 0◦. El producto puntoes 14 6= 0, porque v no es ⊥ a sí mismo.
El producto punto v · v es la longitud al cuadrado de v.
tema 1: vectores 7
Longitud de un vector
Definición 3. La longitud (o norma) |v| de un vector v es la raízcuadrada de v · v
longitud de v = |v| = √v · v
En dos dimensiones la longitud es√
v21 + v2
2.
En tres dimensiones es√
v21 + v2
2 + v23.
En el ejemplo la longitud de v = (1, 3, 2) es |v| =√
14.
La |v| = √v · v es simplemente la longitud de la flecha querepresenta al vector.
La longitud de un vector v ∈ R2 es
|v| = √v · v =√
v21 + v2
2
La longitud de un vector v ∈ R3 es
|v| = √v · v =√
v21 + v2
2 + v23
La longitud de un vector v ∈ R4 es
|v| = √v · v =√
v21 + v2
2 + v23 + v2
4
La longitud de un vector v ∈ Rn es
|v| = √v · v =√
v21 + v2
2 + · · ·+ v2n
=
√n
∑i=1
v2i
Los vectores unitarios
Definición 4. Un vector unitario u es un vector cuya longitud esigual a 1. Entonces u · u = 1.
Un ejemplo en R4 es u =(
12 , 1
2 , 12 , 1
2
).
Tenemos que |u| = √u · u =√
14 + 1
4 + 14 + 1
4 =√
1 = 1.
Para obtener u podríamos haber dividido el vector v = (1, 1, 1, 1)por su longitud
|v| =√
12 + 12 + 12 + 12 =√
4 = 2
u =v|v| =
v2
−1
1
y
−1 1
xcos θ
sin
θ
θ
i
j
u|u| =
1
Figura 6: vectores unitarios enel plano R2.
Vectores unitarios en el plano R2
Ejemplo 4. Los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y se es-criben i y j. En el plano xy, aquel vector unitario u que forme unángulo θ con el eje x es u = (cos θ, sin θ).
i =
(10
)j =
(01
)u =
(cos θ
sin θ
)
Si θ = 0 el vector horizontal u es i.
Si θ = π2 radianes (= 90◦), el vector vertical u es j.
A cualquier ángulo, las componentes cos θ y sin θ hacen queu · u = 1, porque sin2 θ + cos2 θ = 1.
Los puntos que representan estos vectores unitarios forman uncírculo de radio unidad.
tema 1: vectores 8
Vectores unitarios en el plano R2
Vector unitariou = v
|v| es un vector unitario en la misma dirección que v.
Ángulo entre dos vectores
−1
1
y
−1 1
x
u =v√2
u =
( 1√2
1√2
)v =
(11
)
|u|=
1
|v|=
√ 2
Figura 7: para encontrar unvector u con el mismo sentidoy dirección que v, pero que seaunitario, hay que dividir v porsu longitud.
Teorema 1. El producto punto v ·w = 0 cuando v es perpendicular a w.
wv
−1
1
2
3
4
y
−1 1 2 3 4
x
v w
v+
w
|v|
|v+
w|
|w|
Figura 8: la fórmula de Pitágo-ras aplicada a la suma de dosvectores ⊥.
Demostración:
1. Si v ⊥ w, entonces v y w forman dos catetos de un triángulorectángulo, y la hipotenusa es |v + w|. Por ejemplo
v =
(−1
2
)w =
(42
)v + w =
(34
)
|v|2 = 5 |w|2 = 20 |v + w|2 = 25
2. La fórmula de Pitágoras es a2 + b2 = c2, entonces
|v|2 + |w|2 = |v + w|2(
v21 + v2
2
)+(
w21 + w2
2
)= (v1 + w1)
2 + (v2 + w2)2
v21 + v2
2 + w21 + w2
2 = v21 + 2v1w1 + w2
1 + v22 + 2v2w2 + w2
2
0 = 2v1w1 + 2v2w2
0 = v1w1 + v2w2
0 = v ·w
Teorema 2. Si v y w son vectores unitarios, entonces
v ·w = cos θ
w
v
r=
1
θ
Demostración
1. Tomemos i =
(10
)y u =
(cos θ
sin θ
).
tema 1: vectores 9
2. El producto punto es i · u = cos θ.
3. Si rotamos ambos vectores un ángulo α obtenemos v = (cos α, sin α)
y w = (cos β, sin β), donde θ = β− α. Sigue siendo cierto que v yw son unitarios.
i
u
θv
w
θ α
β
4. v ·w = cos α cos β + sin α sin β = cos (β− α) = cos θ.La fórmula del coseno
v ·w = |v||w| cos θ
permite encontrar el ángulo entre dosvectores.
Teorema 3. Si v y w son un par de vectores no nulos cualesquiera,entonces
v ·w = |v||w| cos θ
w
v
r=
1
θ
Utilización de la fórmula del coseno
Ejemplo 5. Encontrar cos θ para v = (2, 1) y w = (1, 2).
El producto punto es v ·w = 4.
Tanto v como w tienen longitud√
5.
El coseno es 45
cos θ =v ·w|v||w| =
4√5√
5=
45
Entonces el ángulo será
θ = arc cos(
45
)≈ 36◦8698 . . .
tema 1: vectores 10
Repaso de ideas clave
1. El producto punto v ·w multiplica cada vi por wi y luego sumatodos los viwi.
2. La longitud |v| de un vector es la raíz cuadrada de v · v.
3. u = v|v| es un vector unitario. Su longitud es 1.
4. El producto punto v · w = 0 cuando los vectores v y w sonperpendiculares.
5. El coseno de θ (el ángulo entre dos vectores v y w no nulos)puede calcularse a partir de
v ·w = |v||w| cos θ
tema 1: vectores 11
Trabajo práctico
1. Representar gráficamente v =
(41
)y w =
(−2
2
), así como
también v + w y v−w, todos en el mismo plano xy.
2. Dados v =
(21
)y w =
(12
), calcular las componentes de
3v + w y de cv + dw.
3. Calcular los productos punto u · v, u ·w, u · (v + w) y v ·w
u =
(−0, 6
0,8
)v =
(34
)w =
(86
)
Dados dos vectores u y v cualesquiera,siempre se cumple la desigualdad deSchwarz
|u · v| ≤ |u||v|
4. Calcular las longitudes |u|, |v| y |w| de los vectores del ejercicioanterior. Luego comprobar que efectivamente se cumplen lassiguientes desigualdades
a) |u · v| ≤ |u||v|b) |v ·w| ≤ |v||w|
5. Calcular vectores unitarios en las direcciones de los vectores v yw del ejercicio anterior, y el coseno del ángulo θ formado entreellos. Pensar y escribir tres vectores a, b y c que formen 0◦, 90◦ y180◦ con el vector w (representar gráficamente los vectores en elplano xy puede ayudar).
6. Dados un par de vectores unitarios v y w cualesquiera, calcularel valor de los productos punto siguientes
a) v ·w b) (v + w) · (v−w) c) (v− 2w) · (v + 2w)
Pista: se debe trabajar “con letras”, recordando que v = (v1, v2),w = (w1, w2) y que |v| = 1 y |w| = 1 (por ser vectores unitarios).
7. Calcular el ángulo θ, a partir del valor de cos θ, entre estos paresde vectores:
a) v =
(1√3
)y w =
(10
)b) v =
22−1
y w =
2−1
2
c) v =
(1√3
)y w =
(−1√
3
)d) v =
(31
)y w =
(−1−2
)
tema 1: vectores 12
Ejemplos con Sage. El código Sage en los siguientes
recuadros puede ser seleccionado,copiado y pegado en una hoja detrabajo de Sage, para ejecutarlo y asíobtener los resultados y los gráficos.
Operaciones con vectores de Rn
Hacer combinaciones lineales de vectores# crear el vector u ∈ R3
u = vector((1,1,0))
# crear el vector v ∈ R3
v = vector((0,1,1))
# producto por un escalar: a =√
2ua = sqrt(2)*u
# suma: b = u + vb = u+v
# resta: c = v− uc = v-u
# combinación lineal: d = 2u + 3vd = 2*u+3*v
# mostrar los resultados
print a;b;c;d . Puede utilizar estos ejemplos decódigo Sage como base para compro-bar los resultados de los ejercicios deltrabajo práctico.Calcular el producto punto y la longitud
# crear el vector u ∈ R5
u = vector((1,1,1,-1,3))
# la longitud es |u| =√
13print u.norm()
# crear dos vectores v y w de R2
v = vector((4,2))
w = vector((2,-4))
# la longitud es |v| = 2√
5print v.norm()
# el producto es v ·w = 0print v.dot_product(w)
Calcular el vector unitario# crear el vector u ∈ R3
u = vector((1,-2,2))
print u
# la longitud es |u| = 3print u.norm()
# crear el vector U = u|u| unitario
# en la dirección de uU = u/u.norm()
print U
tema 1: vectores 13
Calcular el ángulo entre dos vectores
# crear dos vectores de R2
u = vector((2,1))
v = vector((1,2))
print u;v
# calcular cos θ = u·v|u||v|
c = u.dot_product(v)/u.norm()/v.norm()
print c
# resultado en rad (con decimales)
print acos(c).n()
# resultado en grados (con decimales)
print (180/pi*acos(c)).n()
Representación gráfica de vectores en R2 y R3
Graficar vectores en R2
# crear dos vectores de R2
v = vector((-1/3,2/3))
w = vector((2,1))
# calcular u = v + wu = v + w
# crear "flechas" para cada vector
fv = arrow2d((0,0), v, color="red")
fw = arrow2d((0,0), w, color="red")
fu = arrow2d((0,0), u, color="blue")
# crear el gráfico
grafico = fv + fw + fu
# mostrar el gráfico
grafico.show()
Graficar vectores en R3
# crear dos vectores de R3
v = vector((1,1/2,1))
w = vector((1/3,2,1))
# calcular u = v + wu = v + w
# crear "flechas" para cada vector
fv = arrow3d((0,0,0), v, color="red")
fw = arrow3d((0,0,0), w, color="red")
fu = arrow3d((0,0,0), u, color="blue")
# crear el gráfico
grafico = fv + fw + fu
# mostrar el gráfico
grafico.show()