Post on 11-Dec-2014
1
AerodinAerodináámica Temica Teóóricarica
Unidad 3: Fluido Ideal Incompresible en Flujo Potencial Bidimensional
Flujos planos elementales
Prof. Dr. Carlos OlmedoJTP. Ing. Martín Sanpedro
Ayte. Marcos Ruggeri
2
Consideraciones generales
· Hipótesis � El flujo y sus propiedades son invariantes en planos
perpendiculares al movimiento � flujo bidimensionalProblema 2D
2 variables espaciales (x,y)
� Fluido irrotacional ideal incompresible
Existe función potencial
y
x
3
Ecuaciones de gobierno
• Ecuación de continuidad
• Condición de irrotacionalidad
00 ���
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yv
xuV
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Condiciones Cauchy-Riemann de variable compleja para u=f(x,y) v=g(x,y)
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xv
yu
yv
xu
4
• Función analítica en todo dominio• Mismas condiciones Cauchy-Riemann• u(x,y) y v(x,y) funciones armónicas
Velocidad compleja
)(),(),(~)(
;
viuyxivyxuVzfidydxdz iyxz
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yv
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Función de variable compleja
5
Velocidad compleja
Derivadas direccionales
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xvi
xu
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Condición de homogeneidad: Existe límite independiente de la dirección zo
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6
Velocidad compleja
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0
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2
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yxu
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yxv
yxv
xv
yyv
xyu
xuyxu
),(
),(
u(x,y) u(x,y) yy v(x,yv(x,y) ) funciones contifunciones conti--nuas y armnuas y armóónicas nicas
Satisfacen Satisfacen EcuaciEcuacióón de n de LaplaceLaplace
7
Plano físico y plano hodógrafo
yy
xx u
vv
u1
-v1
u1
v1
PLANO�FISICO PLANO�HODÓGRAFO
Líneas�de�corriente
1V�
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2V�
1V�
8
Potencial de velocidades
Flujo irrotacionalExiste potencial de velocidades0
����� V
02
2
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22 �
��
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��yx���
�(x,y) función armónicaSatisface la ecuación deLaplace
Reemplazando potencial de velocidades en ecuación de continuidad:
00 2 ������������ ��V�
���V�
9
Potencial de velocidades satisface la ecuaciPotencial de velocidades satisface la ecuacióón de Laplace y es n de Laplace y es una funciuna funcióón armn armóónica del espacio. nica del espacio.
SoluciSolucióón de la ecuacin de la ecuacióón de Laplace, con condiciones de contorno n de Laplace, con condiciones de contorno establecidas, determina el campo de movimiento.establecidas, determina el campo de movimiento.
EcuaciEcuacióón de Laplace muy utilizada en varios campos por n de Laplace muy utilizada en varios campos por simplicidad y linealidad.simplicidad y linealidad.
Principio de SuperposiciPrincipio de Superposicióón: aplicable combinacin: aplicable combinacióón lineal de dos o n lineal de dos o mmáás soluciones de la ecuacis soluciones de la ecuacióón de Laplace.n de Laplace.
Potencial de flujos compuestos se logra con superposiciPotencial de flujos compuestos se logra con superposicióón de n de flujos elementales.flujos elementales.
Potencial de velocidades
Características
10
Potencial complejoPotencial complejo
),(),( yxiyx �� ���
Posible definir potencial complejo como suma de potencial de velPosible definir potencial complejo como suma de potencial de velocidades ocidades y funciy funcióón de corriente:n de corriente:
FunciFuncióón analn analíítica: Satisface condiciones Cauchytica: Satisface condiciones Cauchy--RiemannRiemannTodas derivadas parciales continuasTodas derivadas parciales continuas
��
���
�
��
���
��
���
xy
yx��
��
Parte real y parte imaginaria Parte real y parte imaginaria satisfacsatisfacen ecuacien ecuacióón de Laplace n de Laplace
0),(2 �� yx� 0),(2 �� yx�
� Funciones armónicas conjugadas
11
Potencial complejo y velocidad compleja Potencial complejo y velocidad compleja
Derivadas direccionales
Vivuxy
iyi
iyidz
d
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ixx
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d
ctex
ctey
~
~
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La derivada del potencial complejo en el plano es igual a la velocidad compleja .
12
Función de corriente satisface la ecuación de Laplace y es una función armónica del espacio.
Líneas a lo largo del cual la función de corriente es cons-tante son líneas de corriente
Líneas a lo largo del cual el potencial de velocidades es constante (curvas equipotenciales) son perpendiculares a las líneas de corriente.
FunciFuncióón de corrienten de corriente
Características
13
Caudal a travCaudal a travéés de ls de líínea plana nea plana
A��
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A
B
B��
1�
2�
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��
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�������xyyxyyxx
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0 Velocidad tangente a lVelocidad tangente a lííneaneade corrientede corriente
cteyx �),(�Líne
as�de�co
rriente
LLíínea de corrientenea de corriente
3�
0),(2 �� yx�
14
Caudal a travCaudal a travéés de una ls de una líínea nea
n̂ V�
A
B
zx �3
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cteyx �),(�LLííneaneass de corrientede corriente
dsnVdzkdsnVdSnVQCSS ��� ��� ˆ.ˆˆ.ˆ.���
LLíínea nea CC ((ABAB)) conjunta con conjunta con versorversor
k̂
xx �1
yx �2k̂
dst̂1�
determinan superficie determinan superficie SSnormal al plano de normal al plano de momo--vimientovimiento
El caudal (volumen) a travEl caudal (volumen) a travéés de s de SS
1515
Caudal a travCaudal a travéés de una ls de una líínea nea
yx �2
jdsdxi
dsdyn ˆˆˆ �
Concepto matemConcepto matemáático: versor normal a elemento de ltico: versor normal a elemento de lííneanea
jdyidxsd ˆˆ ���
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1616
Caudal a travCaudal a travéés de una ls de una líínea nea
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dxvdyujdxidyjviudsnVQ ˆˆˆˆˆ�
jdsdxi
dsdyn ˆˆˆ �Sabiendo que: jviuV ˆˆ ��
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Caudal volumCaudal voluméétrico es trico es independiente del independiente del camino empleado.camino empleado.
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LLííneas�d
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ddxx
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17
– Continuidad (fluido incompresible)
– Función de corriente
– Vorticidad (flujo irrotacional)
– Potencial de velocidades
0u vx y
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u vy x� �� �
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2 2x y� �
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2 0�� �
2 0�� �
EcuaciEcuacióón�de�Laplacen�de�Laplace
ResumenResumen
18
Flujos elementales simplesFlujos elementales simples
Flujo uniforme Fuente sumidero Vórtice (2D)
� �� �"�
"�sincos
UrUyUrUx
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19
Flujo uniformeFlujo uniforme
•• ParaleloParalelo •• Con Con áángulo de ataquengulo de ataque
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UrUxUrUy
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� �cos sin
cos sin
U y x
U x y
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� % %
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� �
20
constante��constante��
Fuente/sumideroFuente/sumidero
•• Potencial de velocidadesPotencial de velocidades
•• FunciFuncióón de corrienten de corriente
•• Velocidad radialVelocidad radial
•• ObservaciObservacióón: En n: En rr=0, =0, vvrr��infinitoinfinito
fuente0sumidero0
Q Q
&'
(
(
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ln2m r�#
�Q
21
VVóórticertice
•• FunciFuncióón de corriente y potencial de n de corriente y potencial de velocidades intercambiados respecto velocidades intercambiados respecto a fuente/sumidero:a fuente/sumidero:
•• Componentes de velocidad:Componentes de velocidad:
•• CirculaciCirculacióón asociada:n asociada:
–– CirculaciCirculacióón no nula debido a la n no nula debido a la singularidad en el origen.singularidad en el origen.
2
ln2
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0�rv
22
VVóórticertice
Flujo irrotacionalFlujo irrotacional–– vvóórtice librertice libre
Flujo rotacionalFlujo rotacional–– vvóórtice forzadortice forzado
23
Doblete (Dipolo)Doblete (Dipolo)
•• Par fuentePar fuente--sumidero de igual intensidad (funcisumidero de igual intensidad (funcióón de corriente)n de corriente)
1
2
sintancos
sintancos
rr a
rr a
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"
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Kr
Kr
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2 2 sintan arm r a#� "� � �� � � �Q
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tan tan2tan tan1 tan tanm
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sumiderofuente
24
EscurrimientoEscurrimiento dentrodentro de de unauna hendidurahendidura angularangular
nzz �� )( �� n 1 flujoflujo uniformeuniforme
))sin()(cos()( "" ninrz n ���
,)cos(Re nr n "� ���
""" iVVninnrdzd
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PotencialPotencial complejocomplejo
VelocidadVelocidad complejacompleja
25
)cos(1 "nnrV nr
� )sin(1 "" nnrV n�3para �n
)3cos(3 2 "rVr � )3sin(3 2 "" rV �
0�"V3
,0 #"" ��
Paredes rígidas:
3,0 #"" ��
EscurrimientoEscurrimiento dentrodentro de de unauna hendidurahendidura angularangular
26
SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y fuenten flujo uniforme y fuente
• Función�de�corriente�y�potencial�de�velocidades
• Ubicación�del�punto�de�estanca�miento�donde�ambos�flujos�se�can�celan�mutuamente
• Función�de�corriente
• Línea�de�corriente� �sin
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# ""
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ntoestancamiede punto
fuente
ntoestancamiede punto
fuenteuniforme ��� ��
fuenteuniforme ��� ��
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rQUrcos ln2#
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b U# #� � �
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� �,2stagnationmr b� " # �� � � � Q
ntoestancamie
27
•• Agregado de sumidero simAgregado de sumidero siméétricamente opuestotricamente opuesto–– Flujo uniforme + fuente + sumideroFlujo uniforme + fuente + sumidero
•• FunciFuncióón de corriente y potencial de velocidadesn de corriente y potencial de velocidades
� � 11 2 2 2
2 sinsin sin tan2 2m m arUr Ur
r a"� " " " "
# # � �� � � �� �
Q Q
SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y par fuenten flujo uniforme y par fuente--sumiderosumidero
� �1 2cos ln ln2mUr r r� "#
� Q
ntoestancamiede punto
ntoestancamiede punto
fuente sumidero
QQ�
28
SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y par fuenten flujo uniforme y par fuente--sumiderosumideroÓÓvalo de Rankinevalo de Rankine
•• LaLa funcifuncióónn dede corrientecorriente sese puedepuede escribirescribir tambitambiéénn
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•• En el En el puntopunto dede estancamientoestancamiento ((xxee ,, 0)0)
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12
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•• LaLa posiciposicióónn de los de los puntospuntos dede remansoremanso se se obtieneobtiene de la de la condicicondicióónn uu =0=0
12 22"
#"
#� QQUy ��
29
SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y par fuenten flujo uniforme y par fuente--sumiderosumideroÓÓvalo de Rankinevalo de Rankine
•• LaLa posiciposicióónn de los de los puntospuntos dede remansoremanso eses
•• LaLa llííneanea dede corrientecorriente queque determinadetermina la forma del la forma del cuerpocuerpo sese obtieneobtienedel valor de del valor de �*�* en el en el puntopunto dede estancamientoestancamiento derechoderecho
•• SiendoSiendo �*�*= 0 en la = 0 en la superficiesuperficie deldel cuerpocuerpo ,, existeexiste lala siguientesiguiente relacirelacióónn
UQaaxe #2
22 �� lU
Qaaxe +��+�#2
2
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)0(2
)0(0, ���##
� QQUa
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"#
� QQUyc � �QUyc#
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21 �
30
SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y par fuenten flujo uniforme y par fuente--sumiderosumideroÓÓvalo de Rankinevalo de Rankine
•• LaLa ordenadaordenada yycc se se determinadetermina dede
•• resultaresulta lala siguientesiguiente ecuaciecuacióónn parapara elel contornocontorno deldel óóvalovalo
•• concon (x,y)
(a,0)(-a,0)
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axytg�
�2" axytg
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31
FlujoFlujo UniformeUniforme PasantePasante sobresobre DobleteDoblete
• La superposición de un doblete y un flujo uniforme da el siguientepotencial complejo
zKUz#2
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zKUz
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22 2 �
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yxiyxKxyiiyyixyixxyxU
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3223
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yxiyxKiyyixxyxU
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3223
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yxKyyyxUiKxxyxU
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� � � �, -� � �
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yxKyyyxUiKxxyxU
###
FlujoFlujo UniformeUniforme PasantePasante sobresobre DobleteDoblete
33
� �� �
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##
## i
yxKyyyxUi
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yxKxxyxU
���
�#
#�
� �222 yxKyUy�
�#
¿cómo se�determina la�línea de�corriente para la�cual la�función de�corriente vale�0�?��De�la�condición
� �2220
yxKyUy�
�#
FlujoFlujo UniformeUniforme PasantePasante sobresobre DobleteDoblete
� �, -� �22
32
22
yxKyyyxU
��
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#�
34
� � KyyxUy �� 222#� �2220
yxKyUy�
�#
� � KyxU �� 2220 #
222
2 R
UKyx ���#
•existe una línea circular�de�corriente de�radio�R ,��para la�cual el�valor�de�la�función de�corriente es cero.•Cualquier función de�corriente de�valor�nulo es una pared�sólida imper�meable
FlujoFlujo UniformeUniforme PasantePasante sobresobre DobleteDoblete
35
FlujoFlujo UniformeUniforme PasantePasante sobresobre DobleteDoblete
� � ../
0
112
3
�
22222
22
42 yxyxyxKUu
# � � ../
0
112
3
�
22222 4 yxyxxyKv
#
222 vuV ��
� � � �
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2
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442 �4
�56
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�
���
.
./
0
112
3
�
yxyxxy
yxyxyxUV
#7
#7
Ecuación de la línea de corriente con �=0 :
UaR
#7
2 ��222 yxR �� con
36
Nótese que una de�las lineas es cerrada y�circunda el�origen a�una distancia cons�tante igual a�
UKR#2
�
• El�ploteo de�formas de�isolíneas de�corriente (�� = cte ) .�
3737
SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y dobleten flujo uniforme y dobleteFlujo alrededor de un cilindroFlujo alrededor de un cilindro
•• Componentes�de�velocidad�en�Componentes�de�velocidad�en�coordenadas�polarescoordenadas�polares
2 2
2 21 cos 1 sinra av U v Ur r"" "
� � � �� ! � �� � � �
� � � �
•• Flujo�uniforme�+�dobleteFlujo�uniforme�+�doblete
•• FunciFuncióón�de�corriente�y�potencial�n�de�corriente�y�potencial�de�velocidades�(en�polares)de�velocidades�(en�polares)
•• Para�Para�r=ar=a,�Funci,�Funcióón�de�corriente�y�n�de�corriente�y�potencial�de�velocidadespotencial�de�velocidades
sinsin
coscos
KUrr
KUrr
"� "
"� "
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2
2
2
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1 sin
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aUrr
aUrr
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� �� �
� �� �� �
38
El módulo es independiente del tamaño del círculo
El coeficiente de presión en los puntos del círculo
SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y dobleten flujo uniforme y dobleteFlujo alrededor de un cilindroFlujo alrededor de un cilindro
La distribución de velocidad en el contorno del círculo
� � """ seniUeeUV ii �� 21~ 2
"senUV 2~ �
"
22
20 41
~1
21 sen
UV
Uppc p ��
�
39
Flujo alrededor de un cilindro: Comparación Experimental y Teórica
• Usando�el�Principio�de�Bernoulli�la�distribución�de�presiones�sobre�la�superficie�del�cilindro
– r=a
– Bernoulli
2 sinsv U" "�
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2 20
2 20
1 12 2
1 1 4sin2
s s
s
p U p v
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"
"
� � �
� � viscoso)(no
Teórico
4040
FlujoFlujo UniformeUniforme sobresobre DobleteDoblete y y VVóórticertice concconcééntricontrico
•• y�la�y�la�velocidadvelocidad complejacomplejaresultaresulta
z Lniz
KUz## 22$
���r Lnsen
raUrIm
#"�
21 2
2 $��
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���8�
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"�2
1 2
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�
����
����� cos
raUrRe
•• La�La�superposicisuperposicióónn de�de�flujoflujo uniformeuniforme ,�un�,�un�dobletedoblete y�un�y�un�vvóórticertice concconcééntricontrico dadael�el�siguientesiguiente potencialpotencial complejocomplejo
•• en�el�en�el�llíímitemite z z �� �� UVz
�)�
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21~ 2•• en�el�en�el�ccíírculorculo z = z = eeii��aa
•• oo ���
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i
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"
"
22 0
4141
FlujoFlujo UniformeUniforme sobresobre DobleteDoblete y y VVóórticertice concconcééntricontrico
•• Para�Para�esteeste flujoflujo ,�,�sobresobre el�el�ccíírculorculo hay�dos�hay�dos�puntospuntos de�de�estancamientoestancamiento((remansoremanso)�.�)�.�CorrespondenCorresponden a�a�laslas raraíícesces de�la�de�la�ecuaciecuacióónn
02
222 ��
��
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iazzUV~
#
•• EstEstáánn determinadasdeterminadas porpor 02
22 ����
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zU
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•• SolucionesSoluciones son��son��
22
44���
��� $
+$
�U
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iz##
•• Si�Si��� =�0�=�0� az +� ((SolucionesSoluciones del�del�cilindrocilindro sin�sin�circulacicirculacióónn )�)�
4242
FlujoFlujo UniformeUniforme sobresobre DobleteDoblete y y VVóórticertice concconcééntricontrico
•• Si�|Si�|��|�<��4|�<��4��UaUa se puede expresarse puede expresar 9#Uasen4�$
•• Las�Las�solucionessoluciones son��son�� 9iaez ++�
•• Si�|Si�|��|�>��4|�>��4��UaUa las imlas imáágenes de las dos ragenes de las dos raííces son dos puntos sobre el eje ces son dos puntos sobre el eje imaginario y la velocidad resulta indefinida imaginario y la velocidad resulta indefinida
•• Si�Si��� =�4=�4��UaUa ((raraíízz dobledoble)��)��U
iz#4$
�
43
El módulo sigue siendo independiente del tamaño del círculo
El coeficiente de presión en los puntos del círculo
SuperposiciSuperposicióón flujo uniforme y dobleten flujo uniforme y dobleteFlujo alrededor de un cilindroFlujo alrededor de un cilindro
La distribución de velocidad en el contorno del círculo
)(2~ 9"" senseniUeV i �
9" sensenUV � 2~
� �22
20 41
~1
21 9"
sensen
UV
Uppc p ��
�
44
Superposición de flujo uniforme, doblete y vórticeFlujo alrededor de un cilindro con circulación
• Flujo�uniforme�+�doblete�+�vórtice
• Ubicación�de�los�puntos�de�estancamiento�donde�v�=0
2
2
2
2
1 sin ln2
1 cos2
aUr rr
aUrr
� "#
� " "#
� � $� � �
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ntoestancamiede punto
ntoestancamiede punto
ntoestancamiede punto
ntoestancamiede punto
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Superposición de flujo uniforme, doblete y vórticeFlujo alrededor de un cilindro con circulación
• Flujo�uniforme�+�doblete�+�vórtice
• Ubicación�de�los�puntos�de�estancamiento�donde�v�=0
2
2
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múltiple velocidadde punto
ntoestancamiede punto
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