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TRILCE
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C apít ulo
RAZONES TRI GONOM TRICAS
DE UN N GULO A GUDO - I I* CÁLCULO D E LAD OS: Es el procedim iento m ediante el cual se determ inan los lados faltantes de un triángulo
rectángulo, en térm inos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que tam bién se conoce.
Cr i te r i o :
conocido).(T.RconocidoLado
odesconocidLado
Casos:
1 .
A B
C
L
B CTanL
B C
A C L
A C
I)
II)
2 .
A B
C
L A BC ot
L
AB
A C L
A C
I)
II)
3 .
A B
C
L B CSenLB C
L
A B
I)
II)
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Trigonometría
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* SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular com o el sem iproducto de las
m edidas de dos de sus lados, m ultiplicados por el Seno del ángulo que form an dichos lados.
a
b
c
A
B
C
h
2
hbSA B C
2
aSenCbSA B C
Sabem os:
pero: h = aSenC
luego:
SenC2
abSA BC
SenB
2
acS
A B C
SenA
2
bcS
AB C
A nálogam ente
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TRILCE
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EJERCICI OS PROPUESTOS
01. H allar el área del triángulo, de la figura m ostrada:
K
a) C os.SenK 2 b) C os.Sen)2/K(2
c) C os.Sen)3/K( 2 d) C os.Sen)4/K( 2
e) C os.Sen)5/K( 2
02. En un triángulo isósceles ABC (AB= BC ) se sabe quelos ángulos congruentes m iden " " m ientras que ellad o desigual m ide "L". H allar uno de los lad os
congruentes.
a) Sec2
Lb) C sc
2
Lc) Tg
2
L
d) C tg2
Le) C os
2
L
03. O btener "x", en:
m
a) m Sen b) m C os c) m Secd) m C sc e) m Tg
04. O btener "x"
A
B
O
R
Hx
a) )Sen1(R b) )1Sec(R
c) )C os1(R d) )1C sc(R
e) )Tg1(R
05. En la figura, halla "x".
A
B
C
m n
x
a) nCosm Sen b) nCosm C os
c) nSenm C os d) nSecm Sec
e) nSecm Sen
06. H alla "x" en:
A C
BD
x
m
a) Tgm Sec b) C scm C os
c) C tgm C os d) C osm Sen
e) m Tg
07. H alla "x":
m
x
a) C ot.m Sen b) Tan.m Sen
c) Sen.m Sen d) C ot.m C os
e) Tan.m C os
08 . H allar "x":
B
A
D
HCm
x
a) 2
m Sen b) 2m C os
c) C osm Sen d) Tgm Sen
e) C scm Sec
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Trigonometría
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09. H allar "x", de la figura:
x
m
a) C os.m Sen b) C os.Sen
c) m Sen d) m C os
e) m Tg
10. D el gráfico, hallar: A C .
B
C A
m n
x y
a) m Senx+ nSeny b) m C osx+ nSeny
c) nSenx+ m C osy d) m C osx+ nC osy
e) m Seny+ nCo sx
11. D el gráfico, hallar "x", si: ABC D es cuadrado.
A B
CD
x
m
a) )Sen1(m b) )C os1(m
c) )Tg1(m d) )C tg1(m
e) )C tgTg(m
12. O btener "A B":
A
C
B
R
O
a) )C tgC sc(R b) )C tg1(R
c) )C sc1(R d) )Sen1(R e) 2R+ 1
13. H allar "x", siendo "O " centro del sector AO B.
A B
O
R
x
a) RSen b) RCos
c) )Sen1(R d) )C os1(R
e) )C os21(R
14 . H allar "x".
m
x
a) Senm Sen b) C osm Sen
c) C osm C os d) Senm C os
e) C tgm Tg
15. H allar la distancia m ínim a del pun to "P" a la
circunferencia:
P2
R
a) RC sc b) )1C sc(R
c) )1Tg(R d) )1C tg(R
e) )1C sc(R
16. D eterm ine "x" en:
A
C
BD
m
x
a) C os.m Sen b) Sec.m Sen
c) C tg.m Sen d) C tg.m C os
e) Tg.m C os
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TRILCE
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17 . H allar "x".
A
B
C
D
a
b
x
a) aCosSen b) C osbSen
c) aCosbSen d) bCosaSen
e) bTgaSec
18 . D eterm ine el perím etro del triángulo ABC .
A
B
C
m
a) )C osSen1(m
b) )TgSec1(m
c) )C tgC sc1(m
d) )C scSec1(m
e) )C tgTg1(m
19 . H allar: "x" en:
m
x
a) C osm C tg b) C os.m Tg
c) Senm Tg d) m Tg
e) m Sen
20. D el gráfico, hallar: "C tgx".
x
a)
Sen
C osSec2b)
Sen
C osSen
c)
Sen
C osSecd)
C os
SenC sc
e)
SenC osSec
21. D el gráfico, determ ine "x".
m
x
a) Senm b) C osm c) Secm
d) C scm e) Tanm
22. D eterm inar C D .
A
B
C D
m
a) Senm Tan b) C osm C tg
c) C osm Tan d) C scm Tan
e) Senm C tg
23. D el gráfico, hallar "x".
m
45°
x
a)1Tan
m
b) 1C tgm
c) C tg1
m
d) Tan1
m
e) )Tan1(m
24. D eterm ine "x" en :
m x
a) SenSenm b) C osSenm
c) SecSenm d) SecC osm
e) SenC osm
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Trigonometría
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25. D eterm ine "x" en:
m
x
a) 2Secm b) 2C osm
c) 2Senm d) 2C scm
e) C scSecm
26. Si ABC D es un cuadrado, determ ine "x".
A
B
C
D
x
L
a) 2SenL b) 2C osL
c) )C osSen(L d) C osSenL 2
e) 2C osSenL
27. D el gráfico, hallar "x":m
x
a) )1Sec(m2 b) )1C sc(m 2
c) )1Tan(m2 d) )1C tg(m
2
e) )C tgTan(m 22
28. D el gráfico, hallar "x", si ABC D es un cuadrado.
n
A B
CD
x
a) nSen b) nCos c) C scnTan
d) nC sc e) nC tg
29. D el gráfico, hallar: ED .
A B
C
D
E m
a) m C tg b) m Sec c) 2m Sec
d) 2m C tg e) 2m Tan
30. En el gráfico, hallar M P, en térm inos de " " y " "; " "
y " ".
M
N
R P
b
a
a) Sec)C osba( b) C sc)C osba(
c) C tg)Tanba( d) Tan)bSeca(
e) C sc)bSena(
31. En un triángulo B AC , recto en A ; la m ediana B M y el
cateto A C form an un ángulo agudo x. Luego Tanx es
igual a:
a) 2TanC b) TanB + TanC
c) 2TanB d) TanC + C tgC
e) 2(TanC + TanB)
32. En la figura el área del triángulo AC D es igual al área
del triángulo A BC .
El valor de será:
A B
C
D
a)
2
1 A rcTan b)
2
1 A rcC tg
c)
2
1 A rcTan d)
2
1 A rcC tg
e) 2A rcTan
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TRILCE
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33. En la región lim itada por una circunferencia de radio R
y dos tan gentes a ésta; se quiere inscribir otra
circunferencia (de radio m enor que R). S i las tangentes
se intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A qué
distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse
el centro de la circunferencia inscrita?
a)
Sena1
Sena1
Sena
R b)
Sena1
Sena1
Sena
R
c) Sena1R
Sena d) Sena1Sena
R
e) Sena1Sena
R
34. En la figura, expresar O B y B C , en térm inos de x, y,
O A
B
C O A = x
A C = y
a) ySenxC osO B
yCosxSenB C
b) ySenxC osO B
xC osySenB Cc) ySenxC osO B
yC osxSenB C
d) ySenxC osO B
xSenyC osB C
e) ySenxC osO B
yC osxSenB C
35 . En la figura: A B C D es un rectángulo inscrito en la
circunferencia de centro O , A RD ; A B//RS , AB = a.H allar el radio de la circunferencia.
O
A
B C
D
S
R
a) C os2a b) C os2a
c) Sen2a
d) aSen
e) C os2
1a
36. D ado el cuadrado ABC D , se tiene que las áreas de los
triángulos FAE, ED C y C B F son iguales, luego Senes:
A B
CD
E
F
a)6
53 b)
6
53
c)6
53 d)
6
53
e)6
53
37. En la figura m ostrada, son con ocidos: , y h.Entonces los valores de x e y son dados por:
y
h
x
a)
TanTanTanh
y; TanTan
h
x
22
b)
TanTan
Tanh y;
TanTan
hx
c)
22
22
22
2
TanTan
Tanh y;
TanTan
hx
d) 2
22
2
2
)TanTan(
Tanh y;
)TanTan(
hx
e) TanTanh y; TanhTanx 2
38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si:
AB = 3 y16
27A C
x
y
A
B
C
a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29d) 4,19 e) 3,19
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Trigonometría
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39. D e la figura hallar:
nzC tgxTanyTa
Tany3Tanz6F
y
z
k
k
x
a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30
d) 3,00 e) 3,20
40. E n u n triángulo rectángulo B A C , se cum ple que
4
2C osB C osC .
H allar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que
esta m ide m26 .
a) m2 b) m3 c) 3 m
d) m5 e) m7
41 . La figura m uestra un cuadrado cuya área es 2m64 y
tal que PC = BP'.
H allar: AM
Si: AP = 6 m
M
P
P'
A B
C D
O6m
a) m512 b) m35
12c) m3
5
16
d) m5
5
12e) m312
42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triángulo
ABC, AD = BD y 3C osSen3 H allar la tangente del ángulo D C G .
G
A
B
CD
a) 3 b) 3
2
c) 3
1
d)2
3e)
2
1
43. En la figura m ostrada, calcular: E = Tanx C tgy
Si: AB = AD = 1 ; DC = 2
DA
B
C
x
y
a)2
1b)
3
1c) 2
d)4
1e) 1
44. En la figura m ostrada, ¿a qué distancia se encuentra el
globo respecto del lago?
H
Lago
Im agen
G lobo
a) 2H C o s b) 2H Sen
c)2H Sec
d)2H C sc
e) 2H C tg
45. En la figura: D C = 2AB = 2.
C alcular el área del triángulo EFG .
G
A
B
E
F C
D
a) Tan18
1b) C tg
45
2
c) Tan45
2d) )C tgTan(
18
1
e) )C tgTan(9
1
46. En un sector circular, cuyo ángulo central es , estáinscrito un cuadrado de lado L.
El radio de la circunferencia correspondiente es:
a)
2
1
252C tg2C tg2
L
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TRILCE
27
b)2
1
2 52
C tg22
C tg2
L
c)2
1
2 5
2
C tg4
2
C tg
2
L
d)
22
C tg2
L
e)2
1
22
C tg2
L
47 . Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el lado
AC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectriz
de longitud w relativa al vértice B .
H allar el área del triángulo ABC .
a)
3
CAC os
3
wb
b)
2
CAC os
2
wb
c)
2
CAC os
3
wb
d)
3
CAC os
2
wb
e)
4
CAC os
2
wb
48 . Se tiene una poligonal ABC D tal que los ángulos ABC
y BC D m iden6
5 y
4
3 , respectivam ente.
H allar la longitud del radio de la circunferencia tangente
a los tres segm entos de la poligonal si cum ple que :
m8
3C tg
12
5C tg y B C = n
a)m
n2b)
m
nc)
m2
n
d)mn
mn
e) nm
49. En la figura, el triángulo N ST es isósceles de base 6, KH
es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo
equilátero de lado 6.
H allar el radio R.
R
K N H T
S
2
L
a)
4C tg32 b)
4Tan32
c)
3Tan32 d)
4Tan34
e)
3C tg32
50. En la figura m ostrada se tiene un cuadrado ABC D con
uno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyo
lado tiene la longitud a unidades. Si el segm ento D M
divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio
cuyas áreas están en la relación de 1 : 4.
C alcule la tangente del ángulo M D C .
M
A B
CD
a)4
1b)
5
2c)
3
1
d)4
3e)
5
3
51 . D ado un polígono regular convexo de n lados, se trazan
dos circun ferencias, la prim era de rad io r que es
tangente a todos los lados del polígono, y la segunda
de radio R que pasa por todos sus vértices.
El valor de la razónR
r es :
a)n
Sen b)
n2Sen
c)n
2Sen
d)n
Sen2
1 e)n
C os
52. U n cuadrado M N PQ cuyos lados m iden 22 ,
está inscrito en una circunferencia.
C alcular la distancia del punto Q al punto m edio del
arco M N .
a) 5,0 b) 1 c) 5,1
d) 2 e) 2
2
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Trigonometría
28
53. En la siguiente figura:
A
B
Cc
r
O
La relación 2
2
c
r4 es equivalente a:
a)
2C os12 b) C os12
c) Sen12 d)
2C os12
e) )Sen-)(1C os-1(2
54 . La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto
m edio del lado AB.
D eterm ine C sc
A B
C D
Q
a) 2 b) 4
5c) 3
d) 4 e) 52
55. En la figura, hallar "x":
k
x
a) SenkSec5 b) TankSec6
c) 7SeckC tg d) 6C oskTan
e) C oskSec5
56 . En el cuadrado A BC D , las áreas de los triángulos O AP,
PD C y CBO son iguales.
Luego C sc es:
A B
C D
O
P
a)53
6
b) 356
c)
53
6
d)
53
6
e)53
6
57. En la figura hallar el valor de "h" en función de , y
. Si : c , Â , B̂
h
A B
C
D
a) C tgC tg
b) TanTan
c) SenSen
Send)
C tgC tg
e) SenC os
58.En un triángulo A B C , recto en B , la m ediana C M y el
cateto BA form an un ángulo agudo . Entonces, Tges:
a) 2 TanA b) 2 C tgA
c) 2TanC d) TanA + TgC
e) 2(TanC + C tgA)
59. En la sem icircunferencia m ostrada, halle:
2Sen
2SenK
1
3
A B
C
Q
O
P
a) 2 b) 3 c) 4
d)4
1e)
3
1
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60. D el gráfico, hallar Tan
Si:n
PB
m
A P
M
A
O B
P N
a))nm2(n
m
b) )nm2(mn
c))mn2(m
n
d) mn2nm2
e)nm2
mn2
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lavesClaves
b
a
c
c
b
d
a
a
a
d
c
c
d
b
b
c
c
c
c
a
b
e
b
c
d
c
d
c
d
e
a
a
c
b
d
b
e
b
b
d
c
d
c
a
c
b
b
b
b
b
e
b
e
b
b
d
a
a
c
c
01 .
02 .
03 .
04 .
05 .
06 .
07 .
08 .
09 .
10 .
11 .
12 .
13 .
14 .
15 .
16 .
17 .
18 .
19 .
20 .
21 .
22 .
23 .
24 .
25 .
26 .
27 .
28 .
29 .
30 .
31 .
32 .
33 .
34 .
35 .
36 .
37 .
38 .
39 .
40 .
41 .
42 .
43 .
44 .
45 .
46 .
47 .
48 .
49 .
50 .
51 .
52 .
53 .
54 .
55 .
56 .
57 .
58 .
59 .
60 .