Post on 06-Jul-2018
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
1/69
Formas cuadráticas
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
2/69
Distribución de Chi-Cuadrado
Distribución Chi-cuadrado central
Distribución de Y’Y con Y~Nn(0,I)
Distribución Chi-cuadrado no central
Distribución de Y’Y con Y~Nn(µ,I)
Esperanza de una Chi-cuadrado no central
Varianza de una Chi-cuadrado no central
Distribución de la suma de Chi-cuadrado nocentrales independientes
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
3/69
Distribución χ2 central
Función de Densidad
( )
( 2) / 2 / 2
( / 2)
2 2 2( , )
n u
n n
u e
u n
para u
χ
− −
Γ = ≤
( )con−=
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
4/69
Distribución χ2centralDe#inición a partir de normales
$ea
con
% de#inimos
Entonces
I)~ ( ,nN z 0
χ 2~ ( )U n
[ ]′ = " 2, ,&&&, nz z z z
′=U z z
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
5/69
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
π
π
−′ ′−
− ′ ′− +
= =
=
∫
∫
/2 "/2
/2 "/2
( ) 2
2
n
n
nt
U
n t
m t e e d
e d
z z z z
z z z z
z
z
R
R
( ) ( )π − ′− −=
∫ R/ 2 ("/ 2 )
( ) 2n
n t
U
m t e d z z
z
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
6/69
Teorema 1.10.1
Grabi!! F.". Theor and "##!ication o$ %inear &ode!s. Du'bur
(ress. )#ag. *+,
$ean a % b constantes,
a % b 'ectores n",
" una matriz simtrica nn de constantes % una matriz de#inida positi'a de constantes&
I = ... x'Ax+ x' a+ ao( )−∞
+∞
∫ −∞
+∞
∫ −∞
+∞
∫ exp − x'Bx + x'b + bo( )( ) dx1 dx2 ... dxn
I = 1
2
n / 2π
−1/ 2B exp
1
4b'
−1B b − bo( ) tr −1AB( )− b' −1B a + 12 b' −1B −1AB b + 2ao[ ]
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
7/69
( )
( )π − ′− −=
∫ R/ 2 ("/ 2 )
( ) 2n
n t
U m t e d
z zz
I = ... x'Ax+ x' a+ ao( )−∞
+∞
∫ −∞
+∞
∫ −∞
+∞
∫ exp − x'Bx + x'b + bo( )( ) dx1 dx2 ... dxn
I = 12
n / 2π
−1/ 2B exp
1
4b'
−1B b − bo( ) tr −1AB( )− b' −1B a +
1
2b'
−1B
−1AB b + 2ao[ ]
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
8/69
=" 0
( )π −
=/ 2
2 n
a
=a 0 ( ) I= −"/ 2 t -
( ) ( )π − ′− −= ∫
R
/ 2 ("/ 2 )( ) 2
n
n t
U m t e d z z
z
=b 0
= b
( ) ( )( )I π π − −= − "/ 2 / 2/ 2"
( ) ("/ 2 ) 2 22
nnU m t t
( ) ( )( )π π − −= −/ 2 / 2/ 2/ 2 (" 22 2"
2 2) n
nnn t
−= − / 2(" 2 ) nt
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
9/69
Distribución χ2
Esperanza % 'arianza
( )
( ) 2
E U n
V U n
=
=
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
10/69
Distribución χ2 no centralFunción de densidad
( )
λ λ
λ χ
∞ − −+ −
+ +=
Γ =
≤
∑
/ 2( 2 2) / 2
2 ( / 2)2
2* 2
( , , )
j v n j
n j j n j
e ev
j v n
para v
( λ + " para λ % + )
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
11/69
Distribución χ2 no centralFunción generatriz de momentos
( )conλ − =
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
12/69
Encontrar esperanza % 'arianza de una chi-
cuadrado no central
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
13/69
Distribución χ2
Esperanza % 'arianza
( ) 2
( ) 2( - )
E U n
V U n
λ
λ
= +
= +
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
14/69
Chi cuadrado no centra! a #artir de norma!es
inde#endientes con es#eranzas distintas de 0
I)~ ( ,nN
χ λ ′= 2! ~ ( , )V V n
( )λ ′= "2. .
Ver demostración en notas de clases
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
15/69
Distribución χ2f(u)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
n=4;λ=0
n=4;λ=1
n=4;λ=5
u
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
16/69
Distribución de !a suma de chi-
cuadrados inde#endientes
I)"" "
~ ( ,nN .
I)22 2
~ ( ,nN .
′=" " "U
′=2 2 2U
=" 2
Co'( , ) 0
′ ′ ′+ = + =" 2 " " 2 2U U
′ ′ ′=" 2
. 0 I)+" 2~ ( ,n nN .
′ ′ ′= " 2. 0. . .
( ) χ λ + 2" 2 ~ !U U n
= +" 2n n n λ λ λ ′ ′ ′= = + = +" "
" " 2 2 " 22 2( ). . .. . .
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
17/69
Distribución de$ormas cuadráticas
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
18/69
Distribución de $ormas
cuadráticas
Distribución de Y’"Y/ Y~Nn(0,I), " idempotente simtrica
Distribución de Y’"Y/ Y~Nn(µ,I), " idempotente simtrica
Distribución de Y’"Y/ Y~Nn(µ, )," simtrica " idempotente Condiciones e1ui'alente a "
idempotente
Distribución (n-")$2/σ2
ndependencia de 3ormas Cuadr4ticas % 5ineales
6rueba 7 para una muestra
ndependencia de #ormas cuadr4ticas
Esperanza de #ormas cuadr4ticas
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
19/69
Distribución con ( )I~ ,N 0
nxn"$imtrica e idempotente de ran8o k
′ =( "( DEiste ( orto8onal ((’(((9I) tal 1ue
7eorema "&2&: ;rabill, "$ E5E?EN7>$ DE D $>N CE@> > AN>$& B6or 1u
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
20/69
=z (
′ ′ ′= " ( D(′ ′= " z Dz
( )I~ ,N z 0
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
21/69
$i tiene ran8o k , entonces sóloeisten k elementos dia8onales de Di8uales a " siendo el resto i8uales a
(Bpor 1u)
1 1
1 12 2
′
′ ′ ′= = =
z z " z Dz D z z
z z
1 I~ ( , )k N z 0
( ) ( )k 2 2~ ( )rango χ χ ′ = " "
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
22/69
Distribución con ( )I~ ,N .
k I ′ =
0( "(
0 0
nxn"$imtrica e idempotente de ran8o k
Eiste ( orto8onal ((’(((9I) tal 1ue
" 2. 0=( ( ( k I" "′⇒ =("(
′=z ( ′ ′
′ = = = = ′ ′
" " "
2 2 2
( ( z( z
( ( z
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
23/69
( ) ( )′′ = =z " (z " (
k I′
′ ′ ′= = = =
" "
2 2
z z0z ("(z z Dzz z0 0
k I′ ′= =" " " "z z z z
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
24/69
I I" " " " "~ ( , ) ( , )k k N N ′ ′ ′=z (. ( ( ( .
( ) χ ′ ′ ′"2" " " "2~ ( ),rangoz z " ((
" "′ ′= ⇒ =(D( " (( "
k I "" 2 " "
2
. 0′
′ ′= = =
′
(0" (D( ( ( ((
(0 0
( ) χ ′ ′"2 2~ ( ),rango " ". ".
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
25/69
Distribución con
, simtrica de ran8o k
( )~ ,N Σ.
Σ idempotente" ′Σ = Γ Γ
( )"−′ ′= Γ − ⇒ = Γ +z . z .
( ) ( ) ( ) ( )" "− −′′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= Γ + Γ + = + Γ Γ Γ + Γ =" z. " z . z . " z . -
( )I"
~ ,nN −
′Γ
⇒si idempotente-
( ) ( ) χ − − ′′ ′ ′ ′Γ Γ ÷
"2 " "
2~ ( ),rango " -. - .
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
26/69
( ) ( ) ( ) ( )" " "" " " "2 2 2− − − −′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Γ Γ = Γ Γ Γ Γ =. - . . " . . ".
( ) χ ′ ′"2 2~ ( ),rango " -. ".
⇒idempotente-
6ara probar 1ue tenemos 1ue usar 5ema 2 pa8& "F en $earle
′ ′ ′= Γ Γ Γ Γ = Γ Σ Γ -- " " " "
′= Γ Γ - "
′ ′ ′Γ Γ Γ Γ = Γ Γ " " "
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
27/69
( ) ( )
( ) ( ) ( )
′ ′ ′ ′= ⇒ =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − = − − +
′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − = − − +
′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − = − − = ⇒ − =
( )( )
( )( )
2 2 (2 2 2 (2
2 2 (2 2 ( 2 2 2 2( (2 2 (2 2(
(2 2 (2 2 (2 2( (2 2 2 2( 2 2
2 2 (2 2 ( (2 2 (2 2 (2 2
5ema 2 pa8& "F en $earle
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
28/69
′= Γ Σ Γ -- " "
′= Γ Γ - "
Γ
$i post multiplicamos G&
%
por
tenemos ′Γ Γ Γ = Γ Σ = Γ Σ Γ ΣΣ =-- " " " " "
′Γ Γ Γ = Γ ΣΓ =- " "
{2
′ ′Γ Σ = Γ ⇒ Γ Σ′ ′Γ Γ Γ Γ Γ = Γ Γ --
" " " " " "14 2 43
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
29/69
E+emploH Distribución de
( ) 2 2" /n S σ −
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
30/69
( ) ( )" 22
"
"n
i i
S n y y −
=
= − −∑{ }" 2, ,&&&, ny y y ( )I
2
,nN σ .
( ) I Jσ σ
′− = − ÷
2 2
2
" "" / nn S
n
( )2 2 2 2 2 2 2 2
" " " "
2 2n n n n
i i i i i i i i i
y y y y y y y ny ny y ny = = = =
− = − + = − + = − ∑ ∑ ∑ ∑
I2
"
n
i
i
y =
′ ′= =∑
J"2
nnny ′=
J
" " "
" " "
" " "
n
′= =
11
L
L
M M O M
L
proposición
demostración
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
31/69
J= = = = = =
′ = = + + +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑M
"
2
" 2
" " " " " "
" " ", ,&&&, &&&
n n n n n n
n i i i i i n i
i i i i i i
n
y
y y y y y y y y y y
n n n
y
I = I J I = I J2 22" " "n nn nσ σ
σ Σ = − − ÷ ÷ " "
[ ]=
= + + + = = = ∑ 2 2 2" 2
"
" " "&&&
n
n i i
y ny y ny y ny ny y n y ny n n n
I J2
" "n
nσ
′ − ÷
"
1 44 2 4 43
5ue8o lo 1ue tenemos 1ue mostrar es 1ue es idempotenteI J"
nn
− ÷
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
32/69
I J I J
=I- J J J J
=I-2 J J
I- J
− − = ÷ ÷
− + =
+ =
= ÷
2
" "
" " "
" "
"
n n
n n n n
n n
n
n n
n n n
n n
n
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
33/69
34ntesis
( ) σ ′− =2 2" /n S "
I J2
" "n
nσ
= − ÷
"
Σ idempotente"
χ ′ ÷
2 "~ ( ), I
2
rango A A ". .
I J I J − = − ÷ ÷
" "B Cn nrango traza porqué
n n
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
34/69
34ntesis
dem4sG
5ue8oG
I J I J2 2 2
" " " " "
2 2 2n n
n
n n nλ
σ σ σ
′ ′ ′ ′ ′= − = − = − = ÷ ÷ ÷
. . . . . . . . . .
( ) χ ′ −
2
~ "n "
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
35/69
Inde#endencia de $ormascuadráticas !inea!es de un
ector a!eatorio con
distribución 5orma!
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
36/69
Caso 1. 6! ector a!eatorio con tiene
matriz de coarianzas identidad
( )I~ ,N .
q n×-×
( )simétrican n"
-
′ "
= ⇒ independencia de-" 0
%
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
37/69
simtrica de "
8arantiza la eistencia de ( orto8onaltal 1ue (7eorema "&2&: ;rabill, "
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
38/69
( )′= ⇒ = B porqué-" 0 -(( "( 0
{ {"" "2 ""
"" 2"2" 22
,
′ = = ⇒ = =
C D
C C D-(( "( C 0 C 0
C C (B6or 1u)
{ } { }2 ( )q n q k q n k × × × − = C 0 /C
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
39/69
""" "" "
′ ′ ′ ′ ′= = =
D 0" z ( "(z z z z D z
0 0
[ ]2 2 2= = = =- -(z Cz 0/C z C z
′=z (
$i de#inimos
entonces
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
40/69
( )I′ ′ ′= =~ nN z ( ( ( (
"z 2zndependientes B6or 1u
′ " -mplica independencia de
( )I′= nN (
( )I′ ′ ′= =~ nN z ( ( ( (
( )I′= nN (
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
41/69
Caso 7. Genera!ización a! caso en 8ue e! !a
matriz de coarianzas es de$inida #ositia
( )Σ~ ,N .
q n
×
-×
( )simétrican n"
-
′"
Σ = ⇒ independencia de- " 0
%
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
42/69
"−′= Γ z ′Γ Γ = Σ
( )( ) ( )I" " " "~ N N − − − −′ ′ ′ ′Γ Γ Γ Γ Γ = Γ z
′= Γ z
( ) ( )′′ ′ ′ ′ ′= Γ Γ = Γ Γ " z " z z " z ′= Γ - - z
( ) ( )′ ′Γ Γ Γ = - "
( ) ( )′ ′ ′Γ Γ Γ = Σ Γ - " - " Σ =- " 0
( ) ( )′ ′Γ Γ Γ =- " 0
6or hipótesis
lue8o
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
43/69
( ) ( )′′ ′ ′ ′ ′= Γ Γ = Γ Γ " z " z z " z
′= Γ - - z
( ) ( )′ ′Γ Γ Γ =- " 0
( )I−′Γ "~ N z µ
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
44/69
Inde#endencia de $ormascuadráticas de un ector
a!eatorio con distribución
5orma!
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
45/69
( )Σ~ ,N .
×n n- × ( )simétrican n"
I -
′ "
Σ = ⇒ independencia de- " 0
%
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
46/69
′Γ Γ = Σ
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
47/69
′Γ Γ = Σ
′Σ = Γ Γ " - " -
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
48/69
′Γ Γ = Σ
′Σ = Γ Γ " - " -
{ {
}′ ′Σ = Γ Γ Γ Γ =
por hiptesis
C 9
" - " -
hi t i
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
49/69
{ {
}′ ′Σ = Γ Γ Γ Γ =
por hiptesis
C 9
" - " -
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
50/69
"I −′= Γ z (
( )( ) ( )I− − − −′ ′ ′ ′Γ Γ Γ Γ Γ = Γ " " " "~ I I IN N z ( ( ( (
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
51/69
( )I−′Γ "~ IN z ( µ
( ) ( )
{
′′ ′ ′= Γ Γ =
′ ′ ′ ′= = =
′ ′=
Γ
=
′Γ
""" "" "
C
" (z " (z
z ( (z z ( (z
D 0z z z D z0 0
" C
( ) ( )
{
′′ ′ ′= Γ Γ =
′ ′ ′ ′= = =
′ ′= =
′Γ Γ
2 22 222
9
- (z - (z
z ( (z z ( (z
0 0z z z D0 D
9
z
-
{ { { {′ ′ ′= =′′ ′Γ Γ ′Γ Γ Γ Γ Γ Γ C 9 C 9
( (( ( ( -" (-"
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
52/69
Distribución T de3tudent
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
53/69
$i J es una 'ariable aleatoria normalest4ndar %
A es una Chi-cuadrado con ν 8rados delibertad %
% J % A son 'ariables independientes,entonces
se distribu%e como una 7 de $tudent
con ν 8rados de libertad&
!
U ν
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
54/69
( )
2
y "
S n
0− µ=
EstadKstico 7
Demostrar 1ue tiene distribución 7 ba+o Lo
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
55/69
( )
( )
( )
σ
σ
0
−
− µ
=
−
2
2 2" /
"
S
y
n
n
n
@aKz cuadrada de una Chi-cuadrado
di'idida sus 8rados de libertad
Normal est4ndar
(ba+o L)
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
56/69
( )
( )
σ
0
−
− µ2
"
n
n
y
( )
σ
−
2 2/
"
S
n
=
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
57/69
( )
σ
σ
0
=
− µ
=2
2 2/
y
n
S
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
58/69
( )σ σ
0= − µ =2 2 2/y n S
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
59/69
( )
( ) ( )σ σ 0=
− µ=2 2 2/
y
n S
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
60/69
( )
σ
0
= − µ
2
y
( ) σ 2 2/n S( ) =
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
61/69
( )
( )0
= =
− µ2 /S
y
n
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
62/69
6ara demostrar independencia del numerador% del denominador
7enemos 1ue escribir el numerador %denominador deH
como una #orma lineal % una cuadr4ticarespecti'amente % mostrar 1ue sonindependientes
( )( )
0= =− µ2 /S
y
n
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
63/69
( )0
0
=
=
− µ
− µ
=
." ," ,&&&," 0
." ," ,&&&," 0
n n n
n n
y
n
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
64/69
( )
( )
( )
=
′= − ÷ ÷ ÷−
= − ÷ ÷ ÷−
2 /
" "
"
" ""
n n
n n
# $
n
n n n
# $ n n
S
n
"
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
65/69
( )
( )
σ
σ
− ÷ ÷ ÷−
Σ =
= =
=
− ÷−
2
2
." ," ,&&&," 0" "
"
""
." ," ,&&&," 0
n n
n n
n # $ n n n
# $ n
n n n
nn
nn
#
n
"
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
66/69
− ÷
=
=−
− =
L
L
O
"
" " "
" "
." ," ,&&&," 0
." ,"""
" " "
" "
,&&&," 0 ." ," ,&&&," 0
." ," ,&&&," 0 . , ,
" "
"& 0 && ,
n nn n n
n n n n n n
n n n n n n
# $ n
n
n n nn
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
67/69
Distribución 3 (no central)
A" una chi-cuadrado no central con par4metros n" % λ,
A2 una chi-cuadrado central con n2 8rados de libertad
A" % A2 independientes
M(A"/n")/(A2/n2) es una 3-no central
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
68/69
Distribución 3 (no central)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 00
!
),,:( 21
2112
2
11
21
21
1
2/)2(
2
2
2
2/)2(
2
22/)2(
021
≤
Γ Γ
Γ
= +
+++
++
+
∞
=
− +−
∑
w para
w
j
e
nnw nwn
nn j jnn
n
n n
nn jn j
j
j
F
λ
λ
λ
( λ j =1 para λ =0 y j=0 )
8/17/2019 02_Fromas Cuadraticas
69/69
& &" &2< "2&O "F&:=
Variable 3
&
&2
&O
&:
&F
D e n s i d a
d
F(8,4,0)
F(8,4,10)
Distribución 3 (no central)