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MECNICA VECTORIAL
(ESTTICA). CAPTULO 2: CUERPOS RGIDOS.
SISTEMAS EQUIVALENTES DE
FUERZAS.
MOMENTO DE UNA FUERZA
RESPECTO A UN EJE DADO.
Ing. Willians Medina.
Maturn, Abril de 2015.
Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
Mecnica vectorial para ingenieros. Ing. Willians Medina. 71
1.3.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE DADO.
El momento de una fuerza aplicada en A con respecto a un eje se obtiene mediante
).( FruM aa (6)
ua: Vector unitario a lo largo del eje aa.
r: Vector posicin trazado desde cualquier punto O sobre el eje aa hacia cualquier punto
A sobre la lnea de accin de la fuerza.
F: Fuerza.
zyx
zyx
aaa
a
FFF
rrr
uuu
Mzyx
(7)
xau ,
yau ,
za
u : Componentes x, y, z del vector unitario que define la direccin del eje aa.
x, y, z: Componentes x, y, z del vector posicin trazado desde cualquier punto O sobre el eje
aa hacia cualquier punto A sobre la lnea de accin de la fuerza.
xF , yF ,
zF : Componentes x, y, z del vector fuerza F.
El momento Ma de F con respecto a aa mide la tendencia de la fuerza F de impartirle al
cuerpo rgido un movimiento de rotacin alrededor del eje fijo aa.
Ejemplo 2.28. Ejemplo 4.8 del Hibbeler. Dcima Edicin.
La fuerza N )102040( kjiF acta
en el punto A mostrado en la figura.
Determine los momentos de esta fuerza con
respecto a los ejes x y a.
Solucin.
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Momento respecto al eje x.
Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.
Vector unitario sobre el eje.
Vector unitario sobre el eje: iux
Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje x hacia cualquier punto
sobre la lnea de accin de la fuerza aplicada en A.
Punto sobre el eje: )0,0,0(O
Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )6,4,3(A
Vector posicin: kjir 643
Fuerza.
La fuerza se encuentra escrita en funcin de sus componentes rectangulares
kjiF 102040
Momento.
N.m 80
102040
643
001
xM
Momento respecto al eje a.
Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.
Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
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Vector unitario sobre el eje.
El eje est a lo largo de la lnea OB.
Coordenadas del punto O: )0,0,0( Coordenadas del punto B: )0,4,3(
Vector sobre el eje: jiOB 43 Mdulo del vector sobre el eje: 5OB
Vector unitario sobre el eje: jiji
uOB 8.06.05
43
Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje OB hacia cualquier punto
sobre la lnea de accin de la fuerza.
Punto sobre el eje: )0,4,3(B
Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )6,4,3(A
Vector posicin: kr 6
Fuerza.
La fuerza se encuentra escrita en funcin de sus componentes rectangulares
kjiF 102040
Momento.
N.m 120
102040
600
08.06.0
OBM
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Comentario: Si para definir el vector posicin r en lugar de elegir los puntos B y A, se
hubiesen elegido los puntos O y A (figura), dicho vector posicin habra resultado
kjir 643 , obtenindose un momento
N.m 120
102040
643
08.06.0
OBM
Ejemplo 2.29. Ejemplo 4.9 del Hibbeler. Dcima Edicin.
La barra mostrada en la figura est
sostenida por dos mnsulas situadas una en
A y la otra en B. Determine el momento
MAB producido por
N )102040( kjiF , que tiende a
girar la barra con respecto al eje AB.
Solucin.
Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.
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Vector unitario sobre el eje.
El eje est a lo largo de la diagonal AB.
Coordenadas del punto A: )0,0,0( Coordenadas del punto B: )0,2.0,4.0(
Vector sobre el eje: jiAB 2.04.0 Mdulo del vector sobre el eje: 4472.0AB
Vector unitario sobre el eje: jiji
uAB 4472.08945.04472.0
2.04.0
Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje AB hacia cualquier punto
sobre la lnea de accin de la fuerza.
Punto sobre el eje: )0,0,0(A
Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )0,2.0,0(D
Vector posicin: jr 2.0
Fuerza.
La fuerza se encuentra escrita en funcin de sus componentes rectangulares
kjiF 300200600
Momento.
N.m 67.53
300200600
02.00
04472.08945.0
ABM
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Ejemplo 2.30. Problema 3.55 del Beer-Johnston. Novena Edicin.
El marco ACD est articulado en A y en D
y se sostiene por medio de un cable, el cual
pasa a travs de un anillo en B y est unido
a los ganchos en G y H. Si se sabe que la
tensin en el cable es de 450 N, determine
el momento respecto de la diagonal AD de
la fuerza ejercida sobre el marco por el
tramo BH del cable.
Solucin.
Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.
Vector unitario sobre el eje.
El eje est a lo largo de la diagonal AD.
Coordenadas del punto A: )75.0,0,0( Coordenadas del punto D: )0,0,1(
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Vector sobre el eje: kiAD 75.0 Mdulo del vector sobre el eje: 25.1AD
Vector unitario sobre el eje: kiki
uAD 6.08.025.1
75.0
Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje AD hacia cualquier punto
sobre la lnea de accin de la fuerza BH.
Punto sobre el eje: )75.0,0,0(A
Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )75.0,0,5.0(B
Vector posicin: ir 5.0
Fuerza.
BHuFF uBH: vector unitario de la direccin de la fuerza.
Coordenadas de los puntos B y H: )75.0,0,5.0(B , )0,75.0,875.0(H
Vector BH: kjiBH 75.075.0375.0 Mdulo del vector BH: 125.1BH
kjikji
F 300300150125.1
75.075.0375.0450
Momento.
N.m 90
300300150
005.0
6.008.0
ADM
Comentario: Si para definir el vector posicin r en lugar de elegir los puntos A y B, se
hubiesen elegido los puntos A y H (figura), dicho vector posicin habra resultado
kiir 75.075.0875.0 , obtenindose un momento
N.m90
300300150
75.075.0875.0
6.008.0
ADM
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Igual momento se obtiene cuando se eligen los puntos D y B, y D y H para representar el
vector posicin.
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Ejemplo 2.31. Ejemplo 3.5 del Beer-Johnston. Novena Edicin.
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Sobre el cubo de lado a acta una fuerza P, como se
muestra en la figura. Determine el momento de P: a)
con respecto a A, b) Con respecto a la arista AB y c)
con respecto a la diagonal AG del cubo.
Solucin.
Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.
Vector posicin trazado desde el punto A hacia cualquier punto sobre la lnea de
accin de la fuerza FC.
Coordenadas del punto referencial de clculo del momento: ),,0( aaA
Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: ),0,( aaF
Vector posicin: jaiar
Fuerza.
FCFC uPF uFC: vector unitario de la direccin de la fuerza.
Coordenadas de los puntos F y C: ),0,( aaF , )0,,( aaC
Vector FC: kajaFC Mdulo del vector FC: aFC 2
kP
jP
a
kajaPFFC
222
Momento.
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)(2222
220
0 kjiPa
kPa
jPa
iPa
PPaa
kji
M A
110
0112
)(
kjiP
aM A
)(2
kjiPa
M A
b) Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.
Vector unitario sobre el eje.
El eje est a lo largo de la lnea AB.
Coordenadas del punto A: ),,0( aa Coordenadas del punto B: ),,( aaa
Vector sobre el eje: iaAB
Mdulo del vector sobre el eje: aAB
Vector unitario sobre el eje: ia
iauAB
Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje AB hacia cualquier punto
sobre la lnea de accin de la fuerza FC.
Vector posicin: jaiar
Fuerza.
Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
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kP
jP
FFC22
Momento.
220
0
001
PPaaM AB
2110
011
001
2)(
PaPaM AB
c) Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.
Vector unitario sobre el eje.
El eje est a lo largo de la lnea AG.
Coordenadas del punto A: ),,0( aa Coordenadas del punto G: )0,0,(a
Vector sobre el eje: kajaiaAG
Mdulo del vector sobre el eje: aAG 3
Vector unitario sobre el eje: kjia
kajaiauAG
3
1
3
1
3
1
3
Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje AG hacia cualquier punto
sobre la lnea de accin de la fuerza FC.
Vector posicin: jaiar
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Fuerza.
kP
jP
FFC22
Momento.
220
0
3
1
3
1
3
1
PPaaM AG
110
011
111
2)(
3
1
PaM AG
)1(
6
PaM AG
6
PaM AG
Ejemplo 2.32. Problema 3.55 del Beer-Johnston. Octava Edicin.
La seccin ABCD de una pasarela inclinada en voladizo mide 2.4 m de ancho y est
parcialmente sostenida por los elementos EF y GH. Si la fuerza compresiva ejercida por el
elemento EF sobre la pasarela en el punto F es de 24.3 kN, determine el momento de esa
fuerza respecto al borde AD.
Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
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Solucin.
Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.
Vector unitario sobre el eje.
El eje est a lo largo de la lnea AD.
ngulo entre la pasarela y el plano x z.
7.2
0.9sen
18.7
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Las coordenadas del punto D se determinan mediante trigonometra.
Coordenadas del punto A: )0,0,0( Coordenadas del punto D: )0,9.0,18.7cos2.7(
Vector sobre el eje: jiAD 9.01435.7
Mdulo del vector sobre el eje: 2.7AD
Vector unitario sobre el eje: jiji
uAD 1250.09922.02.7
9.01435.7
Vector posicin trazado desde el punto A hacia cualquier punto sobre la lnea de
accin de la fuerza FC.
Coordenadas del punto referencial de clculo del momento: )0,0,0(A
Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )0,9.0,1.2( E
Vector posicin: jir 9.01.2
Fuerza.
EFEFEF uFF uEF: vector unitario de la direccin de la fuerza.
Coordenadas de los puntos E y F: )0,9.0,1.2( E , )4.2,7.18sen 4.2,18.7cos4.2(F
Vector EF: kjiEF 4.220.12812.0 Mdulo del vector EF: 70.2EF
kjikji
FFC 6.218.105308.270.2
4.220.12812.03.24
Momento.
kN.m 96.24
6.218.105308.2
09.01.2
01250.09922.0
ADM
Ejercicios propuestos.
Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
Mecnica vectorial para ingenieros. Ing. Willians Medina. 86
55. La tapa ABCD de un bal de 0.611.00 m tiene
bisagras a lo largo de AB y se mantiene abierta
mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho
en E sin friccin. Si la tensin de la cuerda es de 66
N, determine el momento de la fuerza ejercida sobre
la cuerda en D respecto de cada uno de los ejes
coordenados.
Respuesta: N.m 2.31xM , N.m 20.13yM ,
N.m 42.2zM .
Figura Problemas 55 y 56.
56. La tapa ABCD de un bal de 0.611.00 m tiene bisagras a lo largo de AB y se mantiene
abierta mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho en E sin friccin. Si la tensin
de la cuerda es de 66 N, determine el momento de la fuerza ejercida sobre la cuerda en C
respecto de cada uno de los ejes coordenados.
Respuesta: N.m 6.25xM , N.m 80.10yM , N.m 6.40zM .
57. El marco ACD est articulado en A y en D y se
sostiene por medio de un cable, el cual pasa a travs
de un anillo en B y est unido a los ganchos en G y H.
Si se sabe que la tensin en el cable es de 450 N,
determine el momento respecto de la diagonal AD de
la fuerza ejercida sobre el marco por el tramo BG del
cable.
Respuesta: 111.0 N.m.
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58. La placa triangular ABC se sostiene
mediante soportes de rtula en B y D y se
mantiene en la posicin mostrada
mediante los cables AE y CF. Si la fuerza
ejercida por el cable AE en A es de 55 N,
y la fuerza ejercida por el cable CF en C
es de 33 N, determine el momento de esa
fuerza respecto de la lnea que une los
puntos D y B.
Respuesta: 2.28 N.m.
Figura Problemas 58 y 59.
59. La placa triangular ABC se sostiene mediante soportes de rtula en B y D y se mantiene
en la posicin mostrada mediante los cables AE y CF. Si la fuerza ejercida por el cable CF
en C es de 33 N, determine el momento de esa fuerza respecto de la lnea que une los
puntos D y B.
Respuesta: 9.50 N.m.
60. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y
EG. Si la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 46 lb, determine el momento de esa
fuerza alrededor de la lnea que une los puntos A y D.
Respuesta: 1359 lb.in.
61. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y
EG. Si la fuerza ejercida por el cable EG en E es de 54 lb, determine el momento de esa
fuerza alrededor de la lnea que une los puntos A y D.
Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
Mecnica vectorial para ingenieros. Ing. Willians Medina. 88
62. Un tetraedro regular tiene seis lados de
longitud a. Si una fuerza P se aplica a lo
largo del borde BC como se muestra en la
figura. Determine el momento de la fuerza
P alrededor del borde OA.
Respuesta: 2
Pa.
Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
Mecnica vectorial para ingenieros. Ing. Willians Medina. 89
63. Para levantar una caja pesada, un
hombre usa un bloque y un polipasto y los
sujeta a la parte inferior de la viga I
mediante el gancho B. Si se sabe que los
momentos de los ejes y y z de la fuerza
ejercida en B por el tramo AB de la cuerda
son, respectivamente, de 120 N.m y 460
N.m, determine la distancia a.
Respuesta: 1.252 m.
64. Para levantar una caja pesada, un
hombre usa un bloque y un polipasto y los
sujeta a la parte inferior de la viga I
mediante el gancho B. Si se sabe que el
hombre aplica una fuerza de 195 N al
extremo A de la cuerda y que el momento
de esa fuerza alrededor del eje y es de 132
N.m, determine la distancia a.
Respuesta: 1.256 m.
Figura Problemas 63 y 64.
65. Una lancha pequea cuelga de dos
gras, una de las cuales se muestra en la
figura. Se sabe que el momento alrededor
del eje z de la fuerza resultante RA ejercida
sobre la gra en A no debe exceder 279 lb.ft
en valor absoluto. Determine la mxima
tensin permisible en la lnea ABAD
cuando x = 6 ft.
Respuesta: 61.5 lb.
66. Para la gra del problema 65, determine
la mxima distancia permisible x cuando la
Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.
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tensin en la lnea ABAD es de 60 lb.