03 Analisis Dimensional

ANÁLISIS DIMENSIONAL

M. en C. RICARDO ROBERTO HORTA OLIVARESPROFESOR DE LA ACADEMIA DE BIÓNICA.

Prof. Ricardo R. Horta Olivares,Acad. de Biónica, UPIITA.

Ejemplo 1, 1ª Y 2ª Leyes de NewtonGalileo hizo un gran avance en la comprensión delmovimiento cuando descubrió el Principio de Inercia: siun objeto se abandona y, si no es perturbado, continúamoviéndose con una velocidad constante en una línearecta si es que estaba originalmente moviéndose ócontinúa en reposo si es que estaba en reposo.

Por ejemplo:

vtLvtmL

bcdatMLtLtMLvtmL dcbdaddcba

=∴⋅

=−=−=⇒=

==Π=Π

−−

−+−

: tantoloPor 0y 1 ,11 :Sea,,,

Para conocer la relación entre nuestras tres variablesbásicas, L, m y t, con la variación de L en el tiempo (v,velocidad), aplicamos el Teorema de Buckingham.Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un productoadimensional Π1:

Newton escribió 3 leyes, la 1ª ley fueuna mera confirmación del Principio deInercia de Galileo. La 2ª ley dio unamanera específica para determinarcomo la velocidad cambia bajodiferentes influencias llamadas“fuerzas”. La 3ª ley describe lasfuerzas con algún detalle de laigualdad de la acción y reacción. La 2ªLey de Newton sostiene que lasfuerzas cambian el movimiento de unobjeto de este modo: “la variacióntemporal de una cantidad llamadamomentum (p) es proporcional a lafuerza”.

Ahora, para conocer la relación entre nuestras nuevastres variables básicas, L, m, y v con la cantidad demasa en movimiento (p, momentum), aplicamos elTeorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo quen – k = 1. Un producto adimensional Π1:

vmppmvpvmL

acdbtMLtLMtLMLpvmL dcdbdcadddccba

⋅=∴==Π

==−=⇒=

==Π=Π

−−+++−−

De nuevo, para conocer la relación entre nuestrasnuevas tres variables básicas, L, t, y p con lavariación de p en el tiempo (F, fuerza), aplicamos elTeorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

naceleració

=⋅=∴⋅=⇒

=∴⋅

=−=−=⇒=

==Π=Π

−−

−−+++−−

atvaamF

tFpFptL

abdctMLtLMtLMtLFptL dcbdcdcadddcccba

Ejemplo 2, Definiciones Eléctricas.En el S.I. De unidades, por acuerdo internacional, seha aceptado que para medir la intensidad de unacorriente eléctrica se use el amperio, nombre querecuerda al sabio físico y matemático francés, AndréMarie Ampere; para la diferencia de potencial, elvoltio, como reconocimiento a Volta y para laresistencia eléctrica el ohmio, para perpetuar lamemoria del sabio alemán descubridor de la ley.

La corriente eléctrica es una corriente de electrones(Q), por consiguiente, el número de ellos en ciertolapso de tiempo (t) a través de una resistenciaunitaria (R) es lo que se llama intensidad decorriente eléctrica.

Para conocer la relación entre nuestras tres variablesbásicas, Q, t, y R con la variación de Q en el tiempo (I,corriente), cantidad de carga en movimiento, aplicamosel Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

ItQItQR

acdbtQRtQtQRItQR dcdbaddcba

=∴⋅

=−=−=⇒=

==Π=Π

−−

−+−

El físico alemán, George Simón Ohm, despues de unaserie numerosa de experimentos para fijar los factoresque afectan a la corriente eléctrica, estableció en 1827la relación que existe entre ellos y enunció su ley comosigue: “La intensidad de una corriente eléctrica (I )varía directamente proporcional a la diferencia depotencial (V ) e inversamente a la resistencia delconductor (R )”

Ahora, para conocer la relación entre nuestras tresvariables básicas, I, t, y R con el potencial eléctricoproducido en una resistencia unitaria por una corrienteunitaria (V, voltaje), aplicamos el Teorema deBuckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1.Un producto adimensional Π1:

IRVVRIVIRt

acdbIRtIRIRtVIRt dcdbaddcba

⋅=∴==Π

==−=⇒=

==Π=Π

Así pues, se define el ohmio como “la resistencia quepresenta un conductor que al aplicarle entre susextremos una diferencia de potencial de un voltio, esrecorrido por una corriente de un amperio”.

Así mismo el voltio es definido como “la diferencia depotencial eléctrico (V ) que existe entre dos puntos deun hilo conductor (R ), que transporta una corrienteconstante de un amperio (I ), cuando la potenciaeléctrica (P ) disipada entre estos dos puntos es igual aun Vatio”.

Ahora, para conocer la relación entre nuestras nuevastres variables básicas, I, R, y V con la potenciaeléctrica disipada en una resistencia unitaria por unacorriente y potencial unitarios (P, potencia), aplicamosel Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por loque n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

IVPPVIPVIR

acdbVIRVIVIRPVIR dcdbaddcba

⋅=∴⋅

==−=⇒=

==Π=Π

Ejemplo 3La fuerza de arrastre Fa que actúa sobre un cuerpo(esfera) que se mueve por un fluido de viscosidad µ[M/LT] y densidad ρ [M/L3], es una función deldiámetro D [L] y de la velocidad v [L/T] del objeto conrelación al fluido. Determinar (a) la forma de laecuación de esta fuerza y (b) la fuerza de arrastre deuna esfera del doble de tamaño a la misma velocidad.

Número de variables:

Número de dimensiones:

Número de GruposAdimensionales:

3 y sean D, v y ρ.

Resolvemos para Π1 :

dbdcdcba

dddccbba

TMLTLMLMTLL

−−+−−+

−−−−

11 )( µρ

(a) Tenemos: ),,,( µρvDFa =

Igualamos a cero los exponentes y resolvemos comoecuaciones simultáneas:

1y 111

−=⇒

=−−

=−−+

acdbSea

Por lo tanto:

Π=Π=Π −

µρDvvD 1

111111 )(

Que es el Número de Reynolds (Re), que es larazón de la Fuerza de Inercia a la de fricción.

dbdcdcba

dddccbba

TMLTLMLMTLL

−−++−+

−−−

Π=Π ρ

−=⇒

=−−

=+−+

acdbSea

Π=Π=Π −

DvFvD ρρρ

22 )( 21

Por lo tanto:

De acuerdo con Buckingham:

ρµρ

vDvDvDF

=ΠΠ=Π

(b) Por el principio de similitud, tenemos queD 2=2 D 1 y v1=v2:

Ejemplo 4, Grupos Adimensionales en la Mecánica de Fluidos.

La fuerza de inercia FI que actúa sobre una burbuja quese mueve por un fluido de viscosidad µ [M/LT] y densidadρ [M/L3], es una función del diámetro D [L] y de lavelocidad v [L/T] del objeto con relación al fluido.Determinar la forma de las ecuaciónes de las fuerzasdebidas a: la gravedad g [L/T2]; normales o de presión p[M/T2L]; fricción, debidas a la viscosidad µ; tangenciales,debidas a la tensión superficial σ [M/T2]; normales,debidas a la compresibilidad κ [M/LT2].Número de variables:Número de dimensiones:Número de GruposAdimensionales:

93 y sean D, v y ρ.

dbdcdcba

dddccbba

TMLTLMLMTLL

−−++−+

−−−

Π=Π ρ

Tenemos: κσµ FFFFFamF pgI ++++=⋅=

−=⇒

=−−

=+−+

acdbSea

Por lo tanto:

Π=Π=Π −

DvFvD ρρρ

00 )( 21

Es decir: ρ22vDFI =

dbcdcba

ddccbba

TMLTLLMTLL

−−+−+

−−−

Π=Π ρ

Tenemos: ρ22vDFI =

−=⇒

=−−

=+−+

acdbSea

Por lo tanto:

⋅Π=Π=Π −−

gDvgvD 1

0111 )( 2

Que es el Número de Froude (Fr), la razón de laFuerza de Inercia a la de gravedad.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la gravedad es:

ρρ gD

dbdcdcba

dddccbba

TMLTLMLMTLL

−−+−−+

−−−−

ΔΠ=Π ρ

Tenemos: ρ22vDFI =

−=⇒

=−−

=−−+

acdbSea

Por lo tanto:

ΔΠ=ΔΠ=Π −

pvpvD ρρ

22 )( 21

Que es el Número de Euler (Eu), la razón de laFuerza de Inercia a la de presión.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la presión es:

EuFF I

Resolvemos para Π3:

dbdcdcba

dddccbba

TMLTLMLMTLL

−−+−−+

−−−−

33 )( µρ

Tenemos: ρ22vDFI =

1y 111

−=⇒

=−−

=−−+

acdbSea

Por lo tanto:

Π=Π=Π −

µρDvvD 3

111133 )(

Que es el Número de Reynolds (Re), la razón dela Fuerza de Inercia a la de fricción.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la fricción es:

µρρ

µ DvDvvDFF I ===22

dbdccba

ddccbba

TMLTMLMTLL

−−+−+

−−−

Π=Π σρ

Tenemos: ρ22vDFI =

−=⇒

=−−

acdbSea

dbdccba

Por lo tanto:

Π=Π=Π −

44 )( 21

21 DvDvvD

Que es el Número de Weber (We), la razón de laFuerza de Inercia a la tensión superficial.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la tensión superficial es:

σρρ

σ DDvvD

WeFF I === 2

dbdcdcba

dddccbba

TMLTLMLMTLL

−−+−−+

−−−−

Π=Π κρ

Tenemos: ρ22vDFI =

−=⇒

=−−

=−−+

acdbSea

Por lo tanto:

Π=Π=Π −

ρκκ

ρκρ

vvvD 5510

55 )( 21

Que es el Número de Mach (Ma), la razón de la Fuerzade Inercia a la de elasticidad, siendo el radical lavelocidad del sonido en el fluido.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la elasticidad es:

κρρ

MaFF I ===

Ejemplo 5La hemodinámia se encarga de investigar los fenómenosfísicos que gobiernan el flujo de sangre en el sistemacirculatorio. Utilizando el teorema de Buckinghamestablezca las expresiones que describen el flujosanguíneo considerando las siguientes variables: masaM [M], longitud L [L], velocidad v [L/T], densidad ρ[M/L3], viscosidad µ [M/LT] y presión P [ML/(LT)2].

Número de variables:

Número de dimensiones:

Número de GruposAdimensionales:

3 y sean M, L y v.

cdadcb

ddccba

TMLLMTLLM

−+−+

−−

11 )( µ

3y 11 :

−=⇒

bdaSea

Por lo tanto:

Π=Π=Π −−

ρρ 311031

11 )(LMvLM

dcdadcb

dddccba

TMLTLMTLLM

−−+−+

−−−

3y 211 :

−=⇒

=−−

bcdaSea

dcdcbda

Π=Π=Π −−

PLMvPvLM 32

123122 )(

Por lo tanto:

dcdadcb

dddccba

TMLTLMTLLM

−−+−+

−−−

33 )( µ

2y 111 :

−=⇒

=−−

bcdaSea

dcdcbda

Por lo tanto:

Π=Π=Π −−

µµ 23

112133 )(

LMvvLM

BIBLIOGRAFÍA

STREETER, L. VICTOR, MECÁNICA DE LOS

FLUIDOS, ED. Mc. GRAW-HILL, 1990

AIN A. SONIN, The Phisical Basis of DIMENSIONAL ANALYSIS, 2aEdition, Department of Mechanical

Engineering MIT, Cambridge, MA 02139

GEOFFREY GORDON, SIMULACIÓN DE SISTEMAS, ED. DIANA, 1980

STEPHEN BONE- BOGUMIL ZABA, BIOELECTRONICS, ED. WILEY, 1992

LOWEN SITERER-BOHDAN T. KULAKOWSKI, DINAMIC MODELING ANDCONTROL OF ENGINEERING SYSTEM, EL COLLIER MACMILLAN, 1990

PAUL A. LUKER, BERND SCHMIOT, R. P. VAN WIJK VAN BRIEVING, D. P.F. MÖLLER, BIOMEDICAL MODELING AND SIMULATION ON A PC,ADVANCES IN SIMULATION, ED. SPRINGER-VERLAG, 1993

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