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CHA/UDEP/2003
Sistemas Numéricos
Algoritmos Básicos
CHA/UDEP/2003
Definición y clasificación
Un sistema numérico es un conjunto de
dígitos que se relacionan para expresar la
relación existente entre la cantidad y la
unidad.
Se pueden establecer relaciones
algorítmicas definidas: Suma, resta, …
Se clasifican en posicionales y no
posicionales
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Sistemas Posicionales: con peso
Cada cifra de un valor numérico contribuye al valor final dependiendo de su valor propio y de la posición que ocupa dentro del número.
Existen tantos símbolos como la base del sistema.
Los número mayores que la base se representan con varias cifras.
Si la base es B, el valor del número se calcula sumando sus potencias:
Donde “Ai” son las cifras, e “i” su posición relativa.
on
n
n
n BABABABAN ..(...).. 0
1
1
1
1
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Sistemas no Posicionales: sin peso
La contribución de cada cifra no depende del lugar que
ocupa en el número.
Ej: Números romanos:
XXIII= 23, el símbolo X siempre vale 10, e I siempre vale 1, sin
importar su posición.
Para grandes cantidades resultan difíciles de manejar.
Trabajaremos con sistemas posicionales escribiendo la
base como subíndice.
)16(102 9,123,110001 HFFA
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Base 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9
Se emplean 10 símbolos: 0-9
La posición de cada dígito en un número decimal
indica la magnitud de la cantidad representada: peso.
Los pesos para los números enteros son potencias de
10, que aumentan su valor de derecha a izquierda.
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Representación de números fraccionarios
Se emplean
potencias negativas
de 10 cuyo valor
absoluto aumenta de
izquierda a derecha
empezando por 10-1.
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Binario (base 2: 0,1)
Es un sistema de dos dígitos: 0 y 1
Los pesos son potencias de 2:
20, 21, 22, 23, 24, 25, …= 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
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Ventajas y desventajas del sistema binario
Inconveniente para el ser humano.
Conveniente para las máquinas electrónicas: La mayoría de Máquinas
electrónicas procesan información por estados.
Para almacenar información sólo se necesita codificarla empleando dos estados: encendido y apagado.
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Base 2 Base 10
on
n
n
n BABABABAN ..(...).. 0
1
1
1
1
B=2
Ai=dígitos
Aquí la coma separa la parte entera de la fraccionaria
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Base 10 Base 2
Método de los pesos: Consiste en ir aproximando los pesos (1,2,4..) con
coeficientes hasta obtener el número deseado
Método de la división sucesiva: Se divide sucesivamente el número decimal entre la
base 2. Cada cociente resulando se divide nuevamente entre 2 hasta que se obtiene un cociente cuya parte entera es cero.
Los restos generadosen cada división conforman el número en binario.
El bit menos significativo (peso=1) o LSB es el primer resto, y el último resto es el bit más significativo o MSB.
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Base 10 Base 2 (enteros)
Método de los pesos
Método de las divisiones sucesivas
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Base 10 Base 2 (fraccionarios)
Ej: 109,625
Por suma de pesos: aproximando con sumas de potencias negativas de 2:
Por multiplicación sucesiva por 2: Se multiplica la parte
fraccionaria por 2, luego se vuelve a multiplicar la parte fraccionaria restante por 2, y se continúa hasta que la parte fraccionaria resultante sea cero.
210 101,1101101625,109
2
02356 1101101222221483264109
2
31 0101,022125,05,0625,0
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Sistema Octal (base 8): 0,1,2,3,4,5,6,7
Cada dígito octal
equivale a tres dígitos
en binario.
Ej: convertir 375,428 a
binario
375,428 = 011 111 101 , 100 010 2 = 011111101,100010 2
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Base 2 Base 8
Se agrupan las cifras de a TRES tanto en la parte entera como en la fraccionaria partiendo desde el punto decimal.
Se cambias los valores agrupados de a TRES por sus equivalentes en OCTAL.
82 42,375100010,011111101
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Base 8 Base 10
on
n
n
n BABABABAN ..(...).. 0
1
1
1
1
Se emplea la representación por pesos
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Base 10 Base 8 La parte entera por divisiones sucesivas
La parte fraccionaria por multiplicaciones sucesivas
Dejamos hasta 5 decimales,
podríamos continuar
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Hexadecimal (base 16)
1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
2FH=2x161 + 15x160 = 4710
2FH=0010 11112
on
n
n
n BABABABAN ..(...).. 0
1
1
1
1
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Base 16 Base 2 (entero)
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Base 2 Base 16
Se agrupan las cifras de a CUATRO tanto en la parte entera como en la fraccionaria partiendo desde el punto decimal.
Se cambias los valores agrupados de a CUATRO por sus equivalentes en HEXADECIMAL.
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Base 16 Base 10
on
n
n
n BABABABAN ..(...).. 0
1
1
1
1
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Base 10 Base 16 Parte entera por divisiones sucesivas y parte fraccionaria por multiplicaciones
sucesivas
4573, 7910 Hexadecimal 11DD, CAD7…16
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Aritmética Binaria
Básica para las computadoras digitales
Todos los algoritmos numéricos los
efectuamos con:
Sumas
Restas
Multiplicaciones
Divisiones
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Suma binaria
Algoritmo de la suma en cualquier base
Base 2
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Suma: Operación básica
La suma es la operación más importante.
Las demás operaciones aritméticas se efectúan con algoritmos que desarrollan sólo sumas.
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Resta binaria
5-3=2 101-011=010 Algoritmo que conocemos
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Multiplicación binaria
Algoritmo conocido
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División binaria
Algoritmo conocido
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Números con SIGNO (+/-)
Hay tres formas de trabajar con signo en binario: Signo y magnitud
Complemento a uno
Complemento a 2
Convenio: 1= negativo
0= positivo
Se escribe a la izquierda del código (trama).
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Signo y magnitud
Para operar primero hay que verificar el signo.
Existen dos representaciones para el cero, un +0 y un -0.
Complica la implantación de algoritmos con circuitos digitales.
…
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Representación en complemento
(uno o dos)
Permite efectuar el algoritmo de resta efectuando operaciones de sumas.
Números positivos: Se representan como en el sistema signo-magnitud:
un bit de signo cero (0) identifica al número como positivo 0101 1100
Números negativos: Son siempre el complemento del correspondiente
número positivo.
Hay dos tipos de complemento: 1. Complemento a uno 101 0011
2. Complemento a 2
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Complemento a 1
Número Positivos: se representan como en el
sistema signo-magnitud: un BIT de signo cero (0)
identifica al número como positivo.
Números Negativos: se reemplazan todos los unos
por ceros y los ceros por unos.
+ 8510 = 0101 01012
- 8510 = 1010 10102
Rango de valores representables para un
número de n bits: • n bits -(2
n-1-1) hasta +(2
n-1-1)
• 3 bits -3 hasta +3 100b hasta 011b • 8 bits -128 hasta +128 1000 000b hasta 0111 1111b
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Complemento a 2 Número Positivos: se representan como en el sistema signo-magnitud: un BIT de signo cero (0) identifica al número como positivo.
Números Negativos: Se suma UNO (0000 0001b) al complemento a uno:
+ 8510 = 0101 01012
- 8510 = 1010 10112
Rango de valores representables para un número
de n bits: -(2n-1) +(2n-1-1)
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Un mismo código puede
representar cantidades distintas
¿cero?
(+)
(-)
Binario Decimal Decimal Decimal
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Operaciones aritméticas con signo
Suma
Resta
Desbordamiento
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Suma con signo
Ej:
A y B positivos A+B≥0 ( 5 + 4 = + 9 )
A y B negativos A+B<0 ( -5 – 4 = - 9 )
A>0 y B<0 A>|B|, A+B≥0 ( 5 – 4 = + 1 )
A>0 y B<0 A<|B|, A+B<0 ( 4 – 5 = - 1 )
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a) SUMA: A y B positivos (A=7, B=4)
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b) SUMA: A y B negavivos (A=-5, B=-9)
En complemento a 2
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c) SUMA: A positivo, B negavivo,
A>|B| (A=15, B=-6)
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d) SUMA: A positivo, B negavivo,
A<|B| (A=16, B=-24)
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Sustracción
Restar es sumar a un número A otro número
negativo (-B).
Para representar un número negativo partiendo
de su positivo (B) se calcula el complemento a 2
(-B).
Si el primer bit del resultado es 1, el número
será negativo y se conoce haciendo el proceso
inverso del complemento a 2.
La respuesta correcta estará en el rango de -
(2n-1) +(2n-1-1).
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Desbordamiento
La respuesta correcta estará en el rango de
-(2n-1) +(2n-1-1).
Ej: n = 4 bits (incluido el bit de signo); -8 +7
¿Qué ocurre si sumamos 0111 + 0111 = 1110 ? ¡error!
Desbordamiento = OVERFLOW
Se da cuando ambos números son positivos o negativos
Para el caso de 8 bits:
- (2n-1 ) + (2n-1-1)
- (28-1 ) + (28-1-1)
- (128) + (128-1)
- 128 + 127 son los valores válidos para n=8bits.
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Suma de dos números negativos
A0=-125, B0=-58
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Suma de dos números positivos
A=125, B=58
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Sistemas Combinacionales
Sumadores
Multiplexers
Decodificadores