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Control Digital 08.doc 1
1. Aproximación de Controladores Continuos
1. Aproximación de Controladores Continuos____________________________ 1
1.1. Introducción ________________________________________________________ 2
1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia _____________________ 2 1.1.1. Aproximación de Tustin ______________________________________________ 2 1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia _____________________________________ 3 1.1.3. Respuestas Equivalentes ______________________________________________ 5
1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado ____________________________ 8
1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia ___________________________10 1.1.4. Método de la Transformada w _________________________________________ 10
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1.1. Introducción
Muchas veces ya existe un controlador analógico
Se intenta reproducir su comportamiento
Con un período de muestreo pequeño se puede solucionar.
1.2. Aproximación Basada en la Función de Transferencia
Se intenta aproximar ( )G s
Reloj
u(t)
CDAAlgoritmoCAD
u(kt) y(kt) y(t)
text
1.1.1. Aproximación de Tustin
aproximación de derivada como una diferencia en adelanto (método de Euler)
( ) ( ) ( ) ( )1dx t x t T x t qpx x t
dt T T
+ − −= ≈ = [1.1]
como una diferencia hacia atrás
( ) ( ) ( ) ( )1dx t x t x t T qpx x t
dt T qT− − −
= ≈ = [1.2]
en transformadas significa reemplazar
1zsT−= o
1zszT−= [1.3]
que corresponden a un desarrollo en serie truncado
Para el método de Euler
1sTz e sT= ≈ + [1.4]
para la diferencia hacia atrás
11
sTz esT
= ≈−
[1.5]
Otra aproximación: el método trapezoidal o método de Tustin
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12
12
sT
sT
z esT
+= ≈
− [1.6]
Se reemplaza directamente s por alguna de sus aproximaciones:
Euler
1zsT−′ = [1.7]
diferencia hacia atrás
1zszT−′ = [1.8]
Tustin o bilineal
2 11
zsT z
−′ =+
[1.9]
de este modo se obtiene
( ) ( )H z G s′= [1.10]
La figura muestra el mapeo del semiplano negativo de s
Plano Z
Diferencia en Adelanto Diferencia en Atraso Tustin
1.1.2. Problemas en el dominio Frecuencia
Con estas aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencias.
Si se quiere digitalizar un filtro pasa banda o notch puede haber distorsiones.
Ejemplo: transmisión de una senoide a través de un filtro con BO0
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( ) ( )1 2 11
1
j Tj T j T
j T
eH e e G
j T T e
ωω ω
ωω −
= − + [1.11]
el factor anterior es debido al bloqueador
el argumento de G es
2 2
2 2
2 1 2 2tan
1 2
j T j Tj T
j T j Tj T
e e e j TT e T Te e
ω ωω
ω ωω
ω−
−
− − = = + + [1.12]
la escala de frecuencias no es lineal.
Por ejemplo si el sistema continuo no deja pasar una determinada frecuencia ω ′ , la frecuencia bloqueada en el discreto será
2 tan2T
Tωω ′ =
[1.13]
o sea
( )212
tan 12 12
TTT
ωωω ω−
′′ ′= ≈ − [1.14]
No hay distorsión para 0ω = y la distorsión es baja para bajas frecuencias.
Para eliminar esta distorsión, a una determinada frecuencia 1ω se puede introducir una nueva transformación:
( )1
1
11tan 2
zs
T zωω
−′ =+
[1.15]
ahora se cumple
( ) ( )11
j TH e G jω ω= [1.16]
para esa frecuencia son iguales, pero hay distorsión para otras frecuencias.
Ejemplo 1.1. Integrador
( ) 1G ss
= [1.17]
su versión digital según Tustin
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( ) 1 12 1 2 1
1
TT z
H zz z
T z
+= =
− −+
[1.18]
la versión modificada para 1ω
( )( )1
1
tan 2 11M
Tz
H zz
ω
ω+
=−
[1.19]
en función de la frecuencia
( )( ) ( )
( )1 1
1 1
tan tan2 21 11 tan 2
j Tj T
M j T
T Te
H eTe j
ωω
ω
ω ω
ωω ω+= =−
[1.20]
para 1ω ω= continua y discreta, coinciden.
1.1.3. Respuestas Equivalentes
Se puede calcular una función de transferencia discreta para que tengan igual respuesta al escalón o a una rampa.
Ejemplo 1.2. Comparación de Aproximaciones
( )( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
2 2 2
1 2 400
5 2 100 3 2500
s s sG s
s s s s s
+ + +=
+ + + + + [1.21]
se muestrea con 0,03T s= o sea 105N rad sω =
con un bloqueador de orden cero resulta
( ) ( ) ( )1ˆ 1 sT sTG s e H esT
−= − [1.22]
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Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagrams
-150
-100
-50
0From: U(1)
10-1
100
101
102
103
-300
-200
-100
0
100
To:
Y(1
)
Sistema continuo, Aproximación de Tustin, BO0
Ejemplo 1.3. Motor con compensador en adelanto
Motor:
( ) ( )1
1G s
s s=
+ [1.23]
compensador en adelanto
( ) 142k
sG ss
+=+
[1.24]
función de transferencia en lazo cerrado
( ) 2
42 4lcG s
s s=
+ + [1.25]
tiene un factor de amortiguamiento 0,5ξ = y una frecuencia natural 0 2radsω =
El objetivo es encontrar una función de transferencia que aproxime la respuesta en lazo cerrado según el esquema de la figura
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-1
r(t)
ek
H(z)CAD CDA ( )1
1s s +
uk u(t) y(t)
La aproximación de Euler resulta
( ) ( )( )
11 11
4 4 41 1 2 1 22
Ek
zz Tz TTH z
z z T z TT
−+ − −− +
= = =− − + − −+
[1.26]
Tustin
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
22 11 2 2 2214 4 4
2 1 12 2 2 2 2 2211
Tk
Tz zT z T TTT zH z
z TT z T T zTT z
−− −+ + − + +++= = =− −+ − + ++ −
++
[1.27]
La transformación con un bloqueador de orden cero del regulador resulta
( ) ( ) ( )2 2
0 2 2
4 2 1 0,5 14
T T
BO k T T
z e z eH z
z e z e
− −
− −
− + − += =
− − [1.28]
todas las aproximaciones tienen la forma
( ) 0 1
1k
b z bH zz a
+=+
[1.29]
La frecuencia de corte del sistema continuo es 1,6crad
sω = y una buena elección
del período de muestreo es 0,1 0,3T s= L
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 2 4 6 8 10-2
-1
0
1
2
3
4
Discretización de Euler para diferentes períodos de Muestreo y el Control Continuo
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1.3. Aproximación Basada en Variables de Estado
La realimentación del estado puede verse como un controlador proporcional generalizado.
Proceso
dxAx Bu
dty Cx
= + =
[1.30]
se suponen medibles todos los estados
Controlador
( ) ( ) ( )u t Mr t Lx t= − [1.31]
La versión discreta será
( ) ( ) ( )u kT Mr kT Lx kT= −% % [1.32]
Se trata de obtener las matrices aproximando las continuas
El estado en lazo cerrado evoluciona
( ) lc
dxA BL x BMr A x BMr
dty Cx
= − + = + =
[1.33]
si la referencia se mantiene constante durante el período de muestreo se puede integrar en el período resultando
1k lc k lc kx x r+ = Φ + Γ [1.34]
donde
0
lc
lc
A Tlc
T A slc
e
e dsB
Φ =
Γ = ∫ [1.35]
el controlador discreto deberá dar la misma respuesta, o sea
( )1k k kx L x Mr+ = Φ − Γ + Γ% % [1.36]
donde Φ y Γ son las matrices en lazo abierto
En general no es posible elegir L% tal que
lc LΦ = Φ − Γ % [1.37]
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Se divide
0 1 2TL L L= +% [1.38]
Se puede hacer un desarrollo en serie
( ) ( )( ) 222
2lcTI A BL T A BLA ABL BLΦ ≈ + − + − − + +L [1.39]
y
22
2TI AT AΦ ≈ + + +L [1.40]
( )( )2 2 2
0 1 0 1 02 2 2 2T T T TL BT AB L L BL T BL ABLΓ ≈ + + + = + + +% L L [1.41]
( ) ( ) 220 0 1 2
TL I A BL T A ABL BLΦ − Γ ≈ + − + − − +% L [1.42]
igualando término a término
( )( )2TL L I A BL= + −% [1.43]
Para calcular M se supone que en régimen estacionario las ecuaciones [1.34] y [1.36] deben dar el mismo valor
según el continuo el valor final es
( ) 0lc lcI x Mr− Φ = Γ [1.44]
y en el discreto
( )( ) 0I L x Mr− Φ − Γ = Γ% % [1.45]
suponiendo
0 1 2TM M M= +% [1.46]
( ) 2
2lcTM BMT A BL BMΓ ≈ + − +L [1.47]
( ) 2
0 1 0 2TM BM T BM ABMΓ ≈ + + +% L [1.48]
esto da
( )2TM I LB M= −% [1.49]
Ejemplo 1.4. Doble integrador. Aproximación de Realimentación del Estado
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[ ]
0 1 00 0 1
1 0
dxx u
dt
y x
= +
=
[1.50]
sea el controlador continuo
( ) ( ) [ ] ( )1 1u t r t x t= − [1.51]
se utiliza 0,5T =
las matrices discretas resultan
[ ]1 0,5 1L T= −% [1.52]
1 0,5M T= −% [1.53]
0 5 10 15-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia
Bode y Nyquist son métodos frecuenciales adecuados para Sistemas expresados como entrada-salida.
1.1.4. Método de la Transformada w
Pasos
1- Obtener una ( )H z muestreando el sistema continuo con un BO0.
2- Definir la variable 2 1
1zw
T z−=+
.
3- Transformar ( )H z obteniendo ( ) ( ) 1 21 2
wTz
wTH w H z +
=−
′ =
4- Dibujar el Bode y utilizar los métodos convencionales.
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5- Retransformar el controlador al plano z .