Post on 03-Feb-2015
1. La integral
Gustavo Rocha
2012 - 2
Objetivo del capítulo
Distinguir a la diferencial como una función de dos variables, a la integral indefinida como una familia de funciones antiderivadas, a la integral definida como un número, resultado del límite de una suma infinita de términos y a la función integral como un proceso de acumulación; las cuatro vinculadas a través del teorema fundamental del cálculo, que explica por qué la integral definida requiere del cálculo de antiderivadas y por qué el problema de la recta tangente es el inverso del problema del área, y se resuelven por medio de procesos inversos, la derivación y la integración; realizar procedimientos diversos de ajuste del integrando para calcular su primitiva; y evaluar integrales definidas aplicando la regla de Barrow.
Contenido del capítulo
1. La integral indefinida
2. Introducción a ecuaciones diferenciales
3. El problema del área
4. La integral definida
5. Teorema fundamental del cálculo
6. La diferencial
7. Cálculo de primitivas directas y evaluación de
integrales
1.1 La integral indefinida
Gustavo Rocha
2012 - 2
Objetivos del tema
Distinción de la integral indefinida como una familia de funciones antiderivadas.
Reconocimiento de las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración.
Reconocimiento de la diferencial de la función como integrando.
Cálculo de integrales de funciones polinómicas y trigonométricas.
Contenido del temaAntiderivadas o primitivas. Funciones con la misma derivada. Antiderivada general. Antiderivada particular.
Integral indefinida. Definiciones de integral indefinida. Derivación e integración como operaciones inversas. Elementos de la integral indefinida. Propiedades de linealidad de la integral indefinida.
Las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración. Regla de las potencias. Regla generalizada de las potencias. Reglas de integración de funciones trigonométricas.
La diferencial de la función como integrando. Cálculo de integrales de funciones polinómicas y trigonométricas.
x operación y resultado3 adición 4 74 adición 8 128 sustracción 3 55 sustracción 3 23 multiplicación 9 276 multiplicación 5 309 división 3 38 división 4 25 potencia 2 257 potencia 3 3438 raíz 3 29 raíz 2 3
x2 derivada 2x
x3 + c derivada 3x2
x2 + 3 derivada 2x
x3 + 4 derivada 4 3x2
x2 integral x3/3 + c
3x2 integral x3 + 8
x2 + 4 integral x3/3 + 4x + c
2x integral x2
Adivinanza
x y 2
y x 2
Adición - sustracción10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
f x = x+2
x y / 2
y 2x
Multiplicación - división
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
f x = 2x
x y
2y x
Potenciación – radicación
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-15 -10 -5 5 10 15
f x = x2
Operaciones matemáticas inversas
De la misma manera que la sustracción es la operación
inversa de la adición, la división es la operación inversa
de la multiplicación y la extracción de raíces es la
operación inversa de la exponenciación, así la operación
antiderivación es la operación inversa de la derivación.
Operaciones matemáticas inversas
Adición
Multiplicación
Potenciación
Integración
Sustracción
División
Radicación
Derivación
Primitiva
Antiderivadas o primitivas
Si la derivada de F es igual a f en el intervalo I:
entonces F es una antiderivada o primitiva de f en el intervalo I :
Por ejemplo:
y se dice que es una antiderivada o primitiva de en todo el dominio de x.
,xD F x f x x I
,xA f x F x x I
3 3 2 2 2 3, 3 , 3 , 3 ,x xF x x D x x x f x x A x x xR R
3x 23x
Antiderivadas o primitivas
Encontrar una primitiva para las siguientes funciones:
a) .
b) .
c) .
d) .
f x 2x
f x cos x
2
1f x
x
f x 2x cos x
2x
sen x
1
x
2x sen x
Función primitiva – función derivada90
80
70
60
50
40
30
20
10
-10
-20
-15 -10 -5 5 10
f' x = 2xf x = x2
Función primitiva – función derivada
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
-2 -1 1 2 3 4 5 6
f' x = cos x f x = sen x
Función primitiva – función derivada
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
f' x = -1
x2
f x = 1x
Función primitiva – función derivada
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-10
-15 -10 -5 5 10
q' x = 2x+cos x q x = x2+sen x
Derivada en un punto genérico14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
h x = x2
Derivada de una función
Encontrar la derivada de las siguientes funciones:
a) .
b) .
c) .
d) .
2f x x
2f x x 5
2f x x 3
2f x x 218
f ' x 2x
Funciones con la misma derivada
Si dos funciones F y G tienen la misma derivada:
entonces las funciones F y G difieren en una constante:
Por ejemplo:
F y G difieren en 2, que es una constante.
' ' , ,F x G x a b
, ,F x G x c a b
2 25, 7 ' ' 2F x x G x x F x G x x
F x
G x
Funciones con la misma derivada26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
r' x = 2xt x = x2-2s x = x2+3r x = x2
Antiderivada general
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas, que se diferencian entre sí en una constante.
La antiderivada general es la familia constituida por un número infinito de primitivas.
Antiderivada general26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
f x = 2x
2F x x c
Antiderivada general
Encontrar la antiderivada general de las siguientes funciones:
a) .
b) .
f x 2x
f x cos x
2x c
sen x c
Antiderivar = Integrar
= Calcular primitivas
Integral indefinida
Una función f tiene una familia de funciones antiderivadas, denominada antiderivada general o integral indefinida, y cada miembro de esta familia se obtiene de cualquiera de ellos sumándole una constante adecuada.
En notación de Leibniz:
Las gráficas de cualesquiera antiderivadas de f son traslación vertical una de la otra.
f x dx F x c
Familia de antiderivadas
Integral indefinida
Integral indefinida
Obtener las siguientes integrales indefinidas:
a) .
b) .
c) .
d) .
2xdx
cos xdx
2
dx
x
2x cos x dx
2x c
sen x c
2x sen x c
1c
x
Antiderivada particular
Una función antiderivada particular no es una integral indefinida, sino un solo miembro de la familia, aquella cuya gráfica tiene ordenada 5.
Por ejemplo:
x
y
5
5F x
22 5xdx x
Definiciones de integral indefinida
y F x , la función desconocida que buscamos
F ' x f x , la función derivada de la que disponemos
dy
dy F ' x dx;dx
como cociente de diferenciales
dF x F ' x dx; x sustituyendo la función en términos de
dF x F ' x dx f x dx F x c
dy
F ' x ;dx
ambos miembros como símbolo de derivada
Definiciones de integral indefinida
En notación de derivadas:
En notación de diferenciales:
En notación de integrales:
La operación de hallar todas las soluciones de la ecuación diferencial se denomina integración indefinida o antiderivación.
dF x f x
dx
dF x f x dx
dF x F x c
dy f x dx
Derivación e integración como operaciones inversas
La integración es la inversa de la derivación:
La derivación es la inversa de la integración:
Para establecer cualquier resultado de la forma:
basta demostrar que
'F x dx F x c
df x dx f x
dx
f x dx F x c d
F x c f xdx
f ( x )dx F( x ) c
Elementos de la integral indefinida
1. Integral
2. Integrando
3. Diferencial
4. Variable de integración
5. Primitiva general
6. Constante de integración
Elementos de la integral indefinida f x dx F x c f x dx F x c
...dx f x dx dF x
7. Operador integral
8. Diferencial de F(x)
Reglas de derivación – reglas de integración
A cada regla de derivación le corresponde una regla de integración.
dkd
k 0 dk 0d 0dx 0 c kxdx
dd
kkx k d kx kdxdx
x kdx kx c
d du dvu x v x d u x v x du dv
dx dx dx
d u x v x du dv u x v x
Propiedades de linealidadde la integral indefinida
El operador integral es lineal.
La integral de una constante por una función es igual
a la constante por la integral de la función.
La integral de la suma es la suma de las integrales
La integral de la diferencia es la diferencia de las
integrales
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
Reglas de derivación – reglas de integración
d du dvu x v x u x v x d u x v x u x du v x dv
dx dx dx
d u v udv vdu u v udv vdu u v udv u v vdu
2 2
du dvv x u xu x u x v x du u x dvd dx dx d
dx v x v v x v
Integración por partes
udwu 1
u u w w dv
w uv
u
' ' ' 'd
f g x f g x g x d f g x f g x g x dxdx
' ' , 'd f g x f g x g x dx f g x u g x du g x dx 'df u f u du f u c f g x c Integración por sustitución
Integración por partes
Reglas de derivación – reglas de integración
rr
r r1 11
rd u r 1 u du
u du cu1
cr
u
r r 1 r r 1 r r 1 rd duu ru d u ru du d u ru du u c
dx dx
La regla de las potencias
Con relación a la regla de las potencias
1. ¿Por qué no funciona para
2. ¿Acaso funciona para
3. ¿Qué sucede cuando
4. ¿Cuál es la condición cuando
r 1
r xx dx c
r 1
r 1?
r ?
r 0?
r 0?
La regla de las potencias
0r 0, x dx 1dx dx x csi
r
1
dx 1r 0, x dx c, x 0
x 1 x si
porque la función no está definida para x 0
si1 1 0
1 dx x xr 1, x dx c ?
x 1 1 0queda pendiente para el tema 2
1x
r , x dx c1
si
Integrando funciones polinómicas
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
0.5 1 1.5 2 2.5 3
3 2f x 4x 18x 24x 10
4 3 2F x x 6x 12x 10x c
c 6
Regla generalizada de las potencias
La fórmula generalizada
es muy similar a la fórmula simple
pero su diferencia no es trivial, porque u es función de x:
r 1
r xx dx c, r 1
r 1
r 1
r uu du c, r 1
r 1
u g x , du d g x g' x dx
r 1 r 1r 1 g x g xu
d d cr 1 r 1 r 1
r 1u
d r 1r 1
ru
r 1rdu u du
r 1
g xd r 1
r 1
rg x
r 1
rg' x dx g x g' x dx
Definición de integral indefinidaen lenguaje de diferenciales
Regla de la cadena
Cálculo de la diferencial de la función
Regla generalizada de las potencias
Ejemplos:
r 1
r 1rr
g xud u du; d g x g' x dx
r 1 r 1
4
3 xx dx c
4
43 x 2x 2 dx c
4
4232
x 2x 2 2 xdx c
4
433 33 2 3 2
x 21 1x 2 x dx x 2 3x dx c
3 3 4
32x 2 dx No se puede aplicar directamente la regla generalizada de laspotencia, porque falta la diferencial. Aquí sería necesario desarrollarel cubo del binomio, y después integrar.
Regla generalizadade las potencias
Utilizando la regla de las potencias, calcule:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
2t dt 2t 1 dt
22t 1 t dt
23 25 t 1 t dt
22t 1 dt
Reglas de integración defunciones trigonométricas
Notación de diferenciales Notación de integrales
d senu cosudu cosudu senu c
d cosu senudu senudu cosu c
2d tanu sec udu 2sec udu tanu c
2d cot u csc udu 2csc udu cot u c
d secu secu tanudu secu tanudu secu c
d cscu cscucot udu cscucot udu cscu c
Reglas de integración defunciones trigonométricas
Ejemplos:
sen xdx sen x 1 dx
22x sen x dx2 3x sen x dx
2sen x dx No se puede aplicar directamente la regla del seno, porque falta la diferencial. Esta primitiva existe, pero no es una función elemental.
2sen x 1 xdx 3 2sen x 1 2x dx 2sen x 1 dx No se puede aplicar directamente la regla del seno, porque
falta la diferencial. Esta primitiva tampoco es función elemental.
cos x c
cos x 1 c
2 2sen x 2x dx cos x c 3 2 31 1
sen x 3x dx cos x c3 3
2 21 1sen x 1 2xdx cos x 1 c
2 2
3 2 32 2sen x 1 3x dx cos x 1 c
3 3
Integrando funciones trigonométricas
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
f x 4 6sen 2x / 2
F x 4x 3cos 2x / 2 c
c 0
Reglas de integración defunciones trigonométricas
Utilizando reglas básicas de integración, calcule:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
cos xdx
cos x 2 dx2x cos x dx
2 36x cos x dx2cos x dx
Distinción obvia
Para todos debe quedar muy claro que
. es la aplicación de la función seno al cuadrado de la
variable x.
es el cuadrado de la función seno de x.
2 2sen x sen x2sen x
2sen x
La regla generalizada de las potenciasaplicada a funciones trigonométricas
La regla de las potencias no solo es aplicable a funciones algebraicas y polinomios. Su uso se extiende a cualquier función, si está presente su correspondiente diferencial.
Ejemplos:
Dos resultados aparentemente diferentes para una integral
sen x cos xdxsen x cos xdx
2 2 2sen x 1 cos x cos x 1c c
2 2 2 2
2cos xc c
22cos x sen xdx3sen x cos xdx
2sen xc
2
2cos x
cos x sen x dx c2
3
2 cos xcos x sen x dx c
3
4sen xc
4
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
1 2 3 4 5 6 7 8
Integrando funcionestrigonométricas con potencias
3f x 4cos x sen x 4F x cos x c
c 4
Proceso de integración
1. Integral original
2. Reescribirla Conforme a una regla de integración Verificar la correspondencia del integrando con la
diferencial
3. Integrar: lo que se integra es el integrando
4. Simplificar Utilizar todos los recursos del álgebra Considerar solo una constante de integración
5. Verificar: Siempre es posible comprobar por derivación
La regla generalizada de las potenciasaplicada a funciones trigonométricas
Utilizando la regla generalizada de las potencias, calcule:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
3cos 2t sen 2t dt3 2tan y sec y dy
2 4csc 3 1 cot 3 1 d
3sec d
3sec x tan xdx
Cálculo de primitivas mediantereglas básicas de integración
Obtener las siguientes integrales indefinidas, usando reglas básicas de integración:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4 23x 5x x dx
2sec 3xdx
2
sen xdx
cos x
1 / 323x 1 4xdx
3sen2x dx
x