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MATRICES
ANALISIS MATEMÁTICO PARA ANALISIS MATEMÁTICO PARA ECONOMISTAS IVECONOMISTAS IV
Luis Figueroa S.
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Competencias:
.Define una matriz.Tipos de matrices
.Igualdad de matrices
.Realiza operaciones de suma y producto
por un escalar. Propiedades.
.Transposición. Propiedades.
.Define el producto de matrices.
.Propiedades.
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Introducción• Una empresa desea fabricar 4 productos A, B, C, D que requieren de dos materias primas
digamos “X” e “Y” y de cantidades de unidades de mano de obra. Desea además comparar los números de unidades que se requieren en la producción semanal de dichos artículos.
• Supongamos que tal información se encuentra dada en la siguiente tabla:
Producto A B C D
Unidades de material X 250 300 170 200
Unidades de material Y 160 230 75 120
Unidades de mano de obra 80 85 120 100
• Las columnas expresan las unidades requeridas por cada producto, mientras que las filas expresan las unidades de cada insumo requeridas por los 4 productos
Por ejemplo: 230 es el número de unidades de la materia prima Y usadas para la
producción semanal del producto (artículo) B
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Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrados en grandes paréntesis.
Se denotan con letras mayúsculas. El orden o tamaño mxn lo determina el número de filas m y el número de columnas n.
100120858012075230200170300250
A 160
filas
100120858012075230200170300250
A 160
columnas
NOTACIÓN: La matriz A = [ aij ] , donde aij representa el elemento que se encuentra enLa i-esima fila y la j-esima columna. En general una matriz A de orden mxn se escribe:
mxn
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
aaaa
aaaaaaaa
A
....
.
.........
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Nota: A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas. Se emplean paréntesis ( ) o corchetes [ ] para encerrar los elementos que conforman a la matriz. En nuestro curso emplearemos corchetes.
Matriz A de orden mxn
: Elemento de la fila i y columna jija
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TIPOS DE MATRICES
Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se denota por O.
Es una matriz cero de orden 4x3
000
000
000
000
A
Matriz Nula o Cero
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Tiene m filas y una sola columna.
La matriz C tiene 3 filas.
1
6
2
C
MATRIZ COLUMNA
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El número de filas es igual al número de columnas. En este caso se dice que la matriz es de orden n.
La matriz M es cuadrada de orden 3.
Una matriz de orden 1 tiene un sólo elemento
270
469
172
M
MATRIZ CUADRADA
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La matriz cuadrada A se dice que es diagonal si cumple con las siguientes condiciones :
Si ij entonces aij= 0
Los elementos aii no son todos nulos.
MATRIZ DIAGONAL
5000
0000
0040
0002
x0
01
Matriz Diagonal de orden 4
Matriz Diagonal de orden 2
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La matriz cuadrada A se dice que es triangular superior si cumple con las siguientes condiciones :
Si i > j entonces aij= 0Si i j entonces aij es cualquiera
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
5000
3000
51140
8932
A
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La matriz cuadrada A se dice que es triangular inferior si cumple con las siguientes condiciones :
Si i j entonces aij= 0Si i j entonces aij es cualquiera
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
2570
01412
0083
0002
A
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Es una matriz diagonal con todos los elementos aii=1. Se denota por In.
Matriz identidad de orden 3
MATRIZ IDENTIDAD
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Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices del mismo orden, se dice que A es igual B y se escribe A=B si para todo elemento ij se tiene aij= bij
IGUALDAD DE MATRICES
Además el orden de A es igual que el orden de B.
54
31
52
1
y
x23 yx
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Ejemplo:
¿Para que valores de x, y, z las matrices A y B son iguales?
231
541B23zyx1A
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Un agricultor que posee 3 fincas muestra sus perdidas o ganancias medidas en toneladas en los dos últimos años:
AÑO 1999
TRIGO ARROZ FRIJOL MAÍZ CAFÉ
FFINCA1
FINCA2 FINCA3
-1/2 -3 4
10 2/3 -2
3 0 -1
7 12 15
2 -1 13
AÑO 2000
TRIGO ARROZ FRIJOL MAÍZ CAFÉ
FINCA1 FINCA2 FINCA3
3 8/5 8
2 1 -3
-4 -2 4
3 0 7
5 4 10
Si queremos la perdida o ganancia en ambos años que operación se debe realizar y ¿cómo?
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Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices de orden mxn , se denota por A+B a la suma de las matrices A y B y se define por C=(cij) como la nueva matriz tal que cij= aij+ bij para todo ij:
C=A+B
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA DE MATRICES
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Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces:
1. A+B=B+A
2. A+O=A
3. (A+B)+C=A+(B+C)
Propiedades de la suma
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Sean A=(aij) y una matriz de orden mxn y un escalar respectivamente, se denota por A al producto de un número por una matriz. Es decir:
A = ( aij)
Producto de un escalar por una Matriz
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Propiedades del Producto por un Escalar
Sean A y B dos matrices del mismo orden y , dos escalares. Entonces:
1. (A+B)= A+ B
5. 0A=O
2. (+)A=A+A
4. 1A=A
3. ( ) A= ( A)
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Ejercicios
1.- Determine una matriz B = [ bij ]3x2 tal que
bij = 2i + 3j – 4
2.- Hallar x, y, z, w para que la siguiente igualdad tenga sentido
3wzyx4
2w16x
wzyx3
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Ejercicios2.- Una cadena de tiendas tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de TV,
DVD y estéreos en los dos almacenes estuvieron dadas por:
204014163422Distribuidor 1
Distribuidor 2
TV DVD estéreos
a) Si las ventas para junio se esperan con un 50% de aumento sobre las de mayo, escriba la
matriz que representa las ventas proyectadas para junio.
b) El número de TV, DVD y estéreos en existencias para el mes de mayo vienen
representadas por la matriz B. Durante este mes se hicieron entregas a los almacenes de
acuerdo a la información dada por la matriz C. Determine la matriz que representa el
número de artículos en existencias al final de mayo, si las matrices B y C son:
04810
123820C283218203030B
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Una empresa fabrica dos productos lápices y marcadores, usando tres materias primas digamos P, Q y R.
Sea A la matriz de las unidades de las materias
primas usadas por los productos
La producción se realiza en dos plantas, Caracas y Valencia.
Sea B la matriz de los costos de la materias
primas (por unidad) en las dos plantas
¿Como se expresa el costo total de las materias primas para la producción de Lápices en Caracas?
CT = 3.10 + 2. 8 + 4.6
Ejemplo
152423Lápices
Marcadores
P Q R
5678
1210Materia prima P
Materia prima Q
Materia prima R
Caracas Valencia
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¿Cómo será el costo total en Valencia?
CT =
¿Cómo es el costo en el caso de la producción de marcadores en Caracas y en Valencia?
¿Se puede escribir esto en una matriz?
¿Cuál será dicha matriz?
Ejemplo
Lápices
Marcadores
Caracas Valencia
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Producto de matricesDef: Dadas las matrices A = [ aij]mxp y B = [ bij]pxn , tales que el número de columnas
de A es igual al número de filas de B, el producto AB es una matriz C = [ cij]mxn ,cuyo elemento Cij se obtiene al multiplicar escalarmente la fila i-esima
de A con la columna j-esima de B.
• Propiedades: Sean A, B y C matrices de tamaños “adecuados” y K escalar.
– (AB)C = A(BC), (asociativa)
– A(B + C) = AB + AC, (distributiva a la izquierda)
– (A + B)C = AC + BC, (distributiva a la derecha)
– K(AB) = (KA)B = A(KB), para K escalar
– Si A es una matriz cuadrada A. I = I.A = A
232221
131211
CCCCCC
BA116
250B
4102
A:Ejm
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Ejercicios• Efectúa el producto entre las siguientes matrices A y B
304201-
By323201
A
623402
By1-2
31Ai)
)ii
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Observaciones
NOTA 1: El producto de dos matrices no es conmutativo, sin embargo para ciertas matrices se cumple esta propiedad.
NOTA 2: Se pueden tener dos matrices A y B tales que AB = O y sin embargo ninguna de las matrices sea una matriz cero.
23-
-12B;2312A
01
01B0011A ;
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Ejercicio
Una empresa usa 4 diferentes materias primas M1 , M2 , M3 , M4 en la elaboración de su producto. El no de unidades de M1 , M2 , M3 , M4 usadas por unidad del producto son 4, 3 , 2 y 5 respectivamente. El costo por unidad de las 4 materias primas es $5, $7, $6 y $3, respectivamente.
¿Cómo es la matriz que expresa el Nº de unidades de las materias primas M1 , M2 , M3 , M4 usadas por unidad de producto?
¿Cómo es la matriz que expresa el costo por unidad de éstas materias primas? ¿Cómo se calcula el costo total de las materias primas por unidad del producto expresada como el producto de dos matrices ?
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TRASPOSICION DE MATRICES
Definición:
Sea A=(aij) una matriz de orden mxn se denota AT y se llama traspuesta de A, a la nueva matriz de orden nxm con elementos aji , es decir:
AT=(aji )
303
352
431
A
334
053
321tA
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PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION
1. (AT)T=A
2. (A+B)T= AT+BT
3. (cA)T=cAT
Nota: En la propiedad 2, A y B tienen que ser del mismo orden.
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Operaciones definidas
Producto escalar: Se define entre A = [ aij ]1xn una matriz fila y
B = [ bij ]nx1 una matriz columna,
Se denota por A• B se realiza operando las matrices de la siguiente manera:
nn2211
n
1
n1 ba.......babab.
ba.....aAB
.
44
3D
10
C112B21-A
¿Que tienen en común estos pares de matrices A y B?
¿Se podrá definir este producto para algunos pares de las siguientes matrices? Señale para cueles pares de matrices es posible.
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PRODUCTO DE MATRICES
Si A1xn y Bnx1 son matrices de elementos reales entonces se denota por AB al producto de A por B y se define como la matriz que tiene por elemento el número real
n
iiibaAB
1
Definición 1:
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Ejemplo
1x3-1x4+2x0+5x7 = 34
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PRODUCTO DE MATRICES
Si Amxp y Bpxn se denota por AB al producto de A por B y se define como la nueva matriz C=AB de orden mxn con elementos cij dados por:
p
kjkki
jp
j
j
ipiiji ba
b
b
b
aaac1
2
1
21 .]....[
Definición 2:
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OBSERVACIONES
1. Notar que para que el producto AB se pueda realizar se requiere que el número de columnas de A tiene que ser igual al número de filas de B.
2. El resultado de la operación AB es una nueva matriz C que tiene:
El mismo número de filas que la matriz A. El mismo número de columnas de B.
mxnpxnmxp CBA
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3. El producto AB puede existir y sin embargo no existir BA.
Ejemplo
434223 xxx CBA
2342 xx ABSin embargo:
NO EXISTE
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4. Si existe AB y BA, el producto matricial entre A y B no es conmutativo.
CAB
CBA
37
5. La matriz identidad permite conmutar el producto de AI
Ejemplo
38
6. Si AB = 0 esto no implica que
A = 0 B = 0 o ambos.
Ejemplo
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL
Sean A, B y C matrices tales que las operaciones que aparecen a seguir están definidas, entonces:
1. AI=A IA=A
2. (AB)C=A(BC) Ley asociativa
40
A (B+C)= AB+AC(B+C) A= BA+CA Ley distributiva3.
41
4. (AB)T=BTAT
=
=
Nota: En esta propiedad se requiere que A y B sean multiplicativas.