Post on 27-Jul-2022
Profesores participantes:
SEMINARIO DE PRODUCCIÓN DE MATERIALES DE
PROFESORES DE CARRERA
1ª Muestra De Materiales Educativos
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL NAUCALPAN
Cruz Salcedo Blanca Cecilia
Cruz Vázquez Daniel
Flores Reyes Fernando
García Sánchez Héctor
García Sánchez Javier
Garcilazo Galnares Angélica
Hernández Saavedra Carlos
Ramírez Maciel Juan Carlos
Rivera Vargas Héctor Gabriel
Rodríguez Jiménez Ramón
Tamayo Zaragoza Juan
Terrazas Castro Juan Manuel
Vera Butanda Florencio
Landa Orozco Eliseo
Martínez Gallardo Víctor Manuel
Mejía Olvera Fermín
Mendoza Cano Francisco
Mercado Martínez Miguel
Monzoy Vásquez José Alberto
Paulin Zamora Alfredo
Moreno Guzmán Salvador
SECUENCIA DIDÁCTICA PARA MATEMÁTICAS IV
UNIDAD 4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
I.DATOS GENERALES
PROFESOR(A) Blanca Cecilia Cruz Salcedo
ASIGNATURA Matemáticas IV
SEMESTRE
ESCOLAR Cuarto semestre
PLANTEL Naucalpan
II.PROGRAMA
UNIDAD
TEMÁTICA
Unidad 4. Funciones Trigonométricas
PROPÓSITO(S)
DE LA UNIDAD
Comprenderá la extensión del concepto de razón trigonométrica a
función trigonométrica. Estudiará las funciones seno y coseno en su
forma característica de variación y el análisis de sus parámetros.
Modelará situaciones de comportamiento periódico para resolver
problemas.
APRENDIZAJE(S)
Analiza e identifica los parámetros que aparecen en las funciones:
f(x) = D + Asen (Bx + C) f(x) = D + Acos (Bx + C)
D desplazamiento vertical, A amplitud, B frecuencia, y
desfasamiento.
TEMA(S)
Gráfica de las funciones:
f(x) = D + Asen (Bx + C) f(x) = D + Acos (Bx + C)
Análisis del comportamiento de la gráfica respecto de los
parámetros:
A, B, C y D
III. ESTRATEGIA
Esta estrategia es para reforzar los aprendizajes de esta unidad referentes a los
cambios de representación algebraico a gráfico y viceversa, haciendo variaciones
en los parámetros de las funciones seno y coseno.
IV. SECUENCIA
TIEMPO
DIDÁCTICO
Una sesión de 2 horas. Se realiza en Sala Telmex.
DESARROLLO Y
ACTIVIDADES
Inicio
El profesor hace una pequeña explicación de GeoGebra
considerando que no todos los alumnos tengan conocimiento de este
software y como recordatorio de los comandos que se utilizarán para
aquellos que tengan conocimiento previo del software.
Desarrollo
Se les pide a los alumnos que grafiquen en GeoGebra la función
f(x) = sen (x). Posteriormente se les pide que grafiquen la función
f(x)=asen(x) cuando a es entero positivo, negativo o racional. Se
les pide que anoten las variaciones observadas en una hoja.
Una vez realizadas las observaciones se les solicita que grafiquen
la función f(x)=sen(bx) y que anoten una vez más las variaciones
observadas respecto a la función f(x) = sen (x) en la hoja de papel.
Posteriormente deben realizar la misma comparación variando el
parámetro c, es decir: f(x) = sen (x+c) Estas observaciones deben
ser igualmente documentadas.
Por último, se varía el parámetro d: f(x) = sen (x)+d y se compara
con la función f(x) = sen (x).
Como segunda actividad, se les proyectarán diferentes gráficas de
funciones trigonométricas para que obtengan su expresión
algebraica. Estas deben ser escritas en la hoja que se le entregará
al profesor.
Cierre
Se hará una discusión grupal sobre las comparaciones hechas en
la primer actividad, donde los alumnos deben ser capaces de
explicar como se modifica la gráfica f(x) = sen (x) al variar sus
parámetros.
Posteriormente se discute las expresiones algebraicas propuestas
en la segunda actividad. Se comentan las dudas en caso de existir
y se termina la sesión.
ORGANIZACIÓN Los alumnos trabajarán en parejas. Utilizando una computadora
cada uno.
En caso de que los recursos no sean suficientes se distribuirán los
alumnos en el número de computadoras disponibles.
MATERIALES Y
RECURSOS DE
APOYO
Computadora para cada uno de los alumnos. Un cañón, pantalla
para proyección, pizarrón, plumón, hoja de papel y lápiz.
EVALUACIÓN El trabajo realizado durante la sesión se evalúa grupalmente en la
actividad de cierre. Los alumnos utilizarán una rúbrica para evaluar el
trabajo de sus compañeros. La calificación obtenida corresponderá al
10% de la calificación de la unidad.
V. REFERENCIAS DE APOYO
BIBLIOGRAFÍA DE
CONSULTA PARA
LOS ALUMNOS.
• Sullivan, Michael, Precálculo. Prentice-Hall
Hispanoamérica, México 1997.
• Johnson, L. , Steffensen, Arnold R. (2009). Álgebra y
Trigonometría con Aplicaciones. México: Trillas.
BIBLIOGRAFÍA DE
CONSULTA PARA
EL PROFESOR
• Leithold, L. (1999). Álgebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. México: Oxfod University Press.
• Swokowski, E. y Cole, J. (2011). Álgebra y Trigonometría con
Geometría Analítica. (13a ed.) México: cengage Learning.
• Manual de GeoGebra
www.geogebra.org/help/docues.pdf
• Sullivan, Michael, Precálculo. Prentice-Hall Hispanoamérica,
México 1997.
• Demana, F., Waits, B., Foley, G. y Kennedy, D. (2007).
Precálculo Gráfico, Numérico, Algebraico. México: Pearson
Addison Wesley.
• Johnson, L., Steffensen, Arnold R. (2009). Álgebra y
Trigonometría con Aplicaciones. México: Trillas.
• Leithold, L. (1999). Álgebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. México: Oxfod University Press.
• Swokowski, E. y Cole, J. (2011). Álgebra y Trigonometría con
Geometría Analítica. (13a ed.) México: CENGAGE Learning.
Práctica de funciones trigonométricas utilizando como herramienta el software de Geogebra.
La realización de esta sesión está diseñada para trabajar en Sala Telmex. Primeramente, se revisarán algunos aspectos relativos al software necesarios para realizar la práctica, si ya has trabajado con Geogebra apoya a tus compañeros que no lo han hecho. En el segundo apartado se presenta la secuencia de funciones trigonométricas.
I. Uso de software Geogebra.
Pon atención a la explicación de la maestra sobre el uso de Geogebra. En este apartado hay algunas imágenes de lo que se menciona en clase por si necesitas apoyo.
Vistas en Geogebra
Geogebra permite trabajar en las siguientes Vistas:
Gráfica Gráfica 3D
Algebraica CAS (sistema de cálculo algebraico)
Hoja de cálculo Calculadora de probabilidades
Estas distintas Vistas pueden mostrarse u ocultarse utilizando el menú Vista.
En esta práctica trabajaremos en la vista gráfica y algebraica. La siguiente imagen muestra
donde se localizan las 2 vistas, así como la de la entrada.
• Barra de Entrada algebraica
Los objetos que se registran en la vista gráfica y/o la vista algebraica se pueden crear,
redefinir y modificar directamente escribiendo en la Barra de Entrada su expresión
algebraica. Sean valores, coordenadas o ecuaciones, estás se reflejarán en la vista gráfica y
la vista algebraica. También es posible utilizar funciones predeterminadas dentro del
software como lo son la función seno y coseno.
• Configuración de la vista gráfica
a. Ejes, graduación, líneas auxiliares.
Es posible configurar el plano cartesiano de acuerdo a nuestras necesidades. Da click
en el botón derecho y elige propiedades en menú que aparece.
En el apartado de vista gráfica se muestran varias pestañas, en la del Eje X o la
del Eje Y se puede modificar la graduación, unidades, rotular los ejes, etc. En
nuestro caso las unidades deben ser en radianes para el eje x.
En la pestaña Básico es posible modificar el grosor del trazo y su color.
Navega por los diferentes menús realizando cambios para que observes las modificaciones
en el plano gráfico.
Nombre:_______________________________________ Grupo:___________
II. Cambio de registros de representación para funciones seno y coseno. Instrucciones: escribe lo que se te pide a continuación, verifica que tus respuestas sean correctas utilizando Geogebra. No está permitido saltarse ejercicios ya que existe una secuencia. La forma de trabajo es individual, en caso de no tener una computadora para ti, se permite trabajar en pareja. De forma grupal se discutirán las respuestas para su evaluación. Ejercicio 1.
1. Escribe una función seno, sin desplazamientos. _________________________________________________________________
2. Escribe algunos puntos que pertenezcan a la función que propones en el punto 1. _________________________________________________________________
3. Introduce la función seno (punto 1) en Geogebra y comprueba que pasen por los puntos que propusiste en el punto 2. Responde SI en caso de ser correctos, NO si hay error. _____________________
Ejercicio 2.
1. Modifica la función seno para obtener la siguiente gráfica. Considera que no hay desfasamiento.
Describe brevemente cambio sufrió la función respecto a la función f(x)= sen(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función propuesta es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
Ejercicio 3.
1. Modifica la función coseno para obtener la siguiente gráfica. Considera que no hay desfasamiento.
Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= cos(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
2. Modifica los parámetros necesarios para obtener la siguiente gráfica cosenoidal
Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= cos(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
3. Modifica los parámetros necesarios para obtener la siguiente gráfica
Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= sen(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
4. Modifica los parámetros necesarios para obtener la siguiente gráfica. Considera que se trata de una función coseno sin corrimiento de fase.
Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= cos(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
5. Modifica los parámetros necesarios para obtener la siguiente gráfica. Considera que se trata de una función seno sin corrimiento de fase.
Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= sen(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde. _________________________
¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
6. La siguiente gráfica muestra una función seno, modifica los parámetros necesarios para representarla.
Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= sen(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________ Compara tu respuesta con los compañeros cercanos a ti. ¿Es posible representar la gráfica anterior con más de una expresión algebraica? ___________ Justifica tu respuesta _________________________________________________ __________________________________________________________________
7. La siguiente gráfica muestra una función coseno, modifica los parámetros necesarios para representarla.
Describe brevemente qué parámetro se modificó respecto a la función f(x)= cos(x) _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________ Compara tu respuesta con los compañeros cercanos a ti. ¿Es posible representar la gráfica anterior con más de una expresión algebraica? ___________ Justifica tu respuesta _________________________________________________ __________________________________________________________________
8. La siguiente gráfica muestra una función seno, modifica los parámetros necesarios para representarla.
Describe brevemente que pasa con el periodo de la función _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________
¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
9. La siguiente gráfica muestra una función coseno, modifica los parámetros necesarios para representarla.
Describe brevemente que pasa con el periodo de la función _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
10. La siguiente gráfica muestra una función seno, modifica los parámetros necesarios para representarla.
¿Qué parámetros modificaste? _________________________________________________________________ Escribe la expresión algebraica que le corresponde _________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________
11. Propón una función seno y una función coseno que pasen por los puntos (pi , 4) y (3pi, -6) Escribe las expresiones algebraicas: ___________________________________ _________________________________________________________________ ¿La función obtenida en Geogebra, es la que se representa en la gráfica anterior? ___________ ¿Es posible obtener otras funciones además de las propuestas? _________________________________________________________________
Universidad Nacional Autónoma
de México
Colegio de Ciencias y Humanidades
Apoyo a la aplicación de los programas de
estudio de las
asignaturas de Matemáticas I y II
S E C U E N C I A D I D Á C T I C A
M A T E M Á T I C A S II
Página 2
1. Datos descriptivos
Grupo de Trabajo de Apoyo a la aplicación de los programas de estudio
de las asignaturas de Matemáticas I y II
Unidad 4: Congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras
Tema: Problemas de longitudes y áreas que involucran semejanza,
congruencia y el teorema de Pitágoras
2. Metas y Objetivos
Objetivo de la Unidad:
Al finalizar, el alumno:
Aplicará los conceptos de congruencia y semejanza y usará el Teorema de
Pitágoras en la resolución de problemas que involucren triángulos.
Argumentará deductivamente sobre la validez de algunas afirmaciones
geométricas y procesos en la resolución de problemas.
Aprendizajes esperados
El alumno:
• Utiliza correctamente la notación propia de la congruencia.
• Comprende el concepto de congruencia.
• Reconoce cuándo dos triángulos son congruentes con base en la
definición.
• Aplica los criterios de congruencia de triángulos para justificar
congruencia entre lados, ángulos y triángulos.
• Resuelve problemas, por medio de los criterios de congruencia.
Fundamentación
El programa de estudios de Matemáticas II establece que al abordar el estudio
de la geometría euclidiana, los estudiantes necesitan aprender a describir
objetos geométricos y sus partes de acuerdo con sus formas, dimensiones y
propiedades. Se plantea que dicho estudio debería contribuir al desarrollo de
habilidades de pensamiento reflexivo en la medida en que los alumnos
exploren, identifiquen propiedades y relaciones que lleven al planteamiento de
conjeturas y proposiciones generales, así como a la necesidad de construir
argumentos que validen dichas proposiciones (CCH, 2016)
Todo ello en el marco del enfoque general que se propone para las asignaturas
de Matemáticas I-IV: resolución de problemas como método de enseñanza
pero también como objeto de aprendizaje, cuidando la transición de la
aritmética al álgebra. Siguiendo estos lineamientos, esta secuencia plantea una
Página 3
actividad en la que, trabajando en una clase-taller, los estudiantes enfrenten y
resuelvan un problema geométrico cuya resolución requiera poner en juego
conocimientos sobre las condiciones bajo las cuales dos triángulos son
congruentes o semejantes, y las implicaciones de que tales condiciones se
cumplan.
3. Conocimientos previos (Antecedentes):
• Proporcionalidad
• Noción de congruencia de triángulos
• Criterios de congruencia de triángulos
• Noción de semejanza de triángulos
• Criterios de semejanza de triángulos
Materiales
Papel
Lápiz
Fotocopias
Pizarrón
Marcadores
Borrador
Evaluación
Durante la implementación de la secuencia, se deberá monitorear la actividad
de los estudiantes para recabar información sobre las dificultades que
enfrenten, sus formas de atacarlas, los avances que vayan logrando. Esta
información tendrá que utilizarse para idear formas de ayudarlos a construir los
aprendizajes esperados, dentro de un ambiente en el que se privilegie el
esfuerzo continuo por mejorar colectivamente.
Esta información puede recabarse de maneras diversas: mediante notas,
rúbricas, interrogatorios dirigidos… y puede ser útil también para emitir
valoraciones sobre el grado en que los estudiantes logran cumplir los objetivos
de la tarea.
Página 4
Secuencia Didáctica
ACTIVIDADES In
icio
El profesor indicará los aprendizajes a trabajar en la clase. Distribuirá entre el grupo
una hoja con la primera parte de la consigna (Anexo 1) que acto seguido, el profesor
y alumnos voluntarios irán leyendo en voz alta.
El profesor se asegurará de que la tarea es clara para todos y entonces se acordará
un periodo de tiempo para trabajar en ella. A continuación, comenzará la actividad.
Des
arr
oll
o
Actividad 1.1 Los estudiantes llegarán a una aparente paradoja que involucra una
“inexplicable pérdida” de área al recortar la figura 1 y reconfigurarla para llegar a la
figura 2.
Figura 1
Figura 2
Actividad 1.2 Luego de discutir en grupo posibles explicaciones a esta paradoja
aparente, el profesor distribuirá entre los alumnos la segunda parte de la consigna
(Anexo 2), que también será leída en voz alta.
Actividad 2.1 Cuando todos los estudiantes tengan clara la naturaleza de esta
segunda parte, se acordará un periodo de tiempo para trabajar en ella y comenzará
nuevamente la actividad. Al hacerlo, deberán utilizar sus conocimientos sobre
congruencia y semejanza de triángulos para probar
Síntesis
ACTIVIDAD 3.1.
ACTIVIDAD 3.2.
ACTIVIDAD 3.3.
Recursos didácticos:
• Pizarrón
• Plumones
Página 5
• Computadora
• Cañón
Bibliografía sugerida para el alumno:
Anexo 1
• Primera parte
Considera las figuras que se muestran en la hoja anexa.
La Figura 1 es un rectángulo de dimensiones 13 × 5. Recórtalo. Luego recorta siguiendo las líneas gruesas, para obtener dos triángulos y dos trapecios.
Usa estas piezas como un rompecabezas y construye la Figura 2.
Calcula el área de ambas figuras.
¿Notas algo extraño?
¿Qué está sucediendo?
Discute con tu profesor y con el resto del grupo posibles explicaciones a esta paradoja.
Anexo 2
• Primera parte
Analiza esta versión de la figura 1. Calcula la medida de los segmentos 𝑒ℎ̅̅ ̅ y 𝑔𝑏̅̅̅̅ . Usa argumentos geométricos, no te dejes llevar por las apariencias.
Página 6
Explica con tanto detalle como te sea posible todos los procedimientos y razonamientos que emplees para hallar la longitud de esos dos segmentos. Usa las hojas blancas que proporcionará el profesor.
¿Cuáles son las dimensiones verdaderas de la Figura 2?
¿Cómo se explica entonces la paradoja que encontraste en la primera parte?
1
DESCRIPCIÓN DE UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Para lograr que los alumnos alcanzaran los aprendizajes señalados en el Programa de Cálculo Diferencial e Integral I, cada clase-taller de 2 horas, la desarrollamos en tres partes: i) Presentación e introducción del profesor en cada tema, aprox. 30 minutos. ii) Trabajo de los alumnos de manera individual y/o en equipo aprox. 50 minutos iii) Discusión grupal y revisión individual del trabajo aprox. 40 minutos. En las últimas dos partes de la clase los alumnos regulares y avanzados conjuntamente con el profesor daban atención diferenciada a los alumnos con mayores dificultades para lograr los aprendizajes. PRIMERA ESTRATEGIA DIDÁCTICA: LA INTUICIÓN GEOMÉTRICA Una estrategia didáctica que nos permite el desarrollo de una habilidad importante de los alumnos, en los procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, y en particular de los conceptos del Cálculo Diferencial e Integral, es LA INTUICIÓN GEOMÉTRICA, comprendida en términos de lo que puede ayudar a los alumnos en la solución de un problema. La intuición geométrica tiene que ver con el entendimiento de un problema a partir de una figura y el plan para resolverlo, utilizando diferentes registros de representación, en particular la representación geométrica, este planteamiento permite al alumno aproximarse y profundizar en el problema, desde un enfoque gráfico, visualizando el contenido del mismo y su posible estrategia de solución. Un problema donde aplicamos la anterior estrategia para Cálculo Diferencial e Integral I, fue en la Unidad 1, Procesos infinitos y la noción de límite. Problema1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A PROCESOS INFINITOS Consideremos un cuadrado unitario, es decir, de lado igual a la unidad. Ahora realicemos paso a paso el siguiente proceso: Primero se divide este cuadrado unitario transversalmente, de tal manera que queden dos rectángulos iguales, sombreamos uno de ellos, dejando sin sombrear el otro de estos rectángulos. En segundo lugar, dividimos este rectángulo, de tal manera que queden dos cuadrados iguales, nuevamente sombreamos uno de ellos, dejando sin sombrear el otro cuadrado. Con este nuevo cuadrado se procede de la misma manera que se hizo con el cuadrado original. Se sigue el proceso al infinito…. ¿Qué va a pasar con el área An sombreada, así como el área an que va quedando sin sombrear?
¿A la larga, cuál es el valor de las áreas An y an? Estabilización
¿Cómo cambia (la variable) área en cada paso? Variación
¿Cuál es el estado próximo de cada área? Predicción
¿Quién es más grande (área anterior o área posterior)? Comparación
¿Cómo cambian los cambios de las áreas? Acumulación
1Lecciones de Cálculo Diferencial e Integral I, Hernández, Landa, , et.al. CCH-Naucalpan, 2012.
2
I. Comportamiento de un proceso infinito Para responder la primera pregunta
¿A la larga, cuál es el valor de las áreas An y an? Estabilización Es necesario proceder a analizar y contestar la segunda pregunta.
¿Cómo cambia (la variable) área en cada paso? Variación Para ello debemos describir paso por paso el proceso del problema. Consideremos el siguiente cuadrado unitario, es decir, de lado igual a la unidad.
PASO 1: Se divide al cuadrado anterior a la mitad
Llamemos con An al área perdida y con an al área que queda.
PASO 2: De la figura anterior (paso 1), se procede a dividir a la mitad al rectángulo sombreado
A1=1/2
a1=1/2
A2=1/2+1/4
a2=1/4
A0=0
a0=1
3
PASO 3: Se divide al cuadrado sombreado de la figura anterior a la mitad y se quita una de ellas.
Así se continúa el proceso infinito… II. Comportamiento de un proceso infinito. Representación tabular y GRÁFICA. TABULACIÓN: Si se continúa el proceso en la misma forma, y se van llenando los renglones para cada uno de los pasos en la tabla siguiente, tenemos:
PASO 1 A1= 0.5 a1=0.5
PASO 2 A2= 0.75 a2=0.25
PASO 3 A3= 0.875 a3=0.125
PASO 4 A4= .9375 a4=0.0625
PASO 5 A5= a5=
PASO 6 A6= a6=
… … …
PASO n An= an=
A3=1/2+1/4+1/8
a3=1/8
4
Así las gráficas de An vs n, y la de an vs n, son las siguientes
III. Representación simbólica de procesos infinitos Si separamos las dos tabulaciones y observamos que se continúa el proceso en forma indefinida:
• ¿A qué valor se aproxima cada vez más el área An? • ¿A qué valor se aproxima cada vez más el área an?
Con lo cual tenemos las siguientes notaciones: NOTACIÓN 1
El área An se aproxima al valor L= 1 El área an se aproxima al valor L= 0
Cuando n se aproxima a infinito Cuando n se aproxima a infinito
Si ahora sólo escribimos la primera y última filas, y las flechas, de las últimas tabulaciones, tenemos la segunda notación:
n (Pasos) An
1 A1= 0.5
2 A2= 0.75
3 A3= 0.875
4 A4= .9375
5 A5=
6 A6=
… ….
1
n (Pasos) an
1 a1=0.5
2 a2=0.25
3 a3=0.125
4 a4=0.0625
5 a5=
6 a6=
… …
0
5
NOTACIÓN 2
An L= 1 an L=0
n n
Si cambiamos la primera flecha por: lím___=_____, entre An , an , y el límite L, tenemos una tercera y última notación: NOTACIÓN 3
1=→
nn
Alím
0=→
nn
alím
Además, si el proceso anterior se representa aritméticamente como se muestra en la tabla siguiente y se van llenando los renglones para cada uno de los pasos, ¿cuál será la expresión algebraica para el enésimo término?
PASO 1 A1= ½ a1=1/2
PASO 2 A2= 1/2+1/4 a2=1/4
PASO 3 A3= 1/2+1/4+1/8 a3=1/8
PASO 4 A4= 1/2+1/4+1/8+1/16 a4=1/16
PASO 5 A5= 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 a5=1/32
PASO 6 A6=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 a6=1/64
… ... ...
PASO n An= 1/2+1/4+…+1/2n an=1/2n
Se observa, no tan fácilmente, que las expresiones algebraicas para los enésimos términos de cada uno de los dos procesos infinitos son las siguientes (Previamente se trabaja con los alumnos, la Notación Sigma):
1
1lim lim
2
n
n in ni
A→ →
=
= y nna
2
1=
La pregunta importante para el alumno es: ¿En términos de las áreas de rectángulos sombreados, que se puede decir o conjeturar, del valor de la suma infinita?
2 31
1 1 1 1lim lim ... ?
2 2 2 2
n
n in ni
A→ →
=
= = + + + =
6
Para lo anterior considere la suma finita: 1
2
... si multiplicamos ambos lados por con <1
(¿Por qué esta condición? analice cuando )se obtiene
... restando ambas igualdades y despejando
n
n
n
n
n n
S a ar ar r r
r n
rS ar ar ar S
−= + + +
→
= + + + resulta:
(1 ) (1 ) entonces sucede que lim lim lim lim
1 1 1 1 1
Note: lim 0 sólo si <1
n n n
n nn n n n
n
n
a r a r a r aS S
r r r r r
r r
→ → → →
→
− −= = = − =
− − − − −
=
Utilizando este resultado se obtiene que:
2 31
1 11
2 21 1 1 1lim lim ... lim 1
12 2 2 21
2
n
n
n in n ni
A→ → →
=
− = = + + + = =
−
lo cual se intuye geométricamente. Algunas reflexiones: Las ideas básicas de las matemáticas nacen de situaciones concretas y visuales, representables intuitiva y geométricamente. La aritmética, por ejemplo, surge del intento de dominar la multiplicidad presente en la realidad, con la geometría se trata de explorar racionalmente la forma y la extensión, el álgebra se ocupa de explorar, en una abstracción de segundo orden, las estructuras subyacentes a los números y a las operaciones entre ellos, es una especie de símbolo del símbolo, el Cálculo Diferencial e Integral nació con la intención de explorar las estructuras del cambio y de las transformaciones de las cosas en el tiempo y en el espacio.
LA INTUICIÓN GEOMÉTRICA, constituye un aspecto importante en la enseñanza de la matemática, actividad totalmente natural si se tiene en cuenta la naturaleza misma de la matemática como una ciencia y una herramienta.
Actividad de aprendizaje.
Objetivo. Esta actividad tiene como propósito el de explorar los efectos de los
parámetros 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 en la gráfica de la función trigonométrica:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑.
Exploración 1. Explore el efecto que produce el parámetro 𝑎 en la gráfica de
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑥).
1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano,
en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) c) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) d) 𝑦 = −1
2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Llene la siguiente tabla y luego traslade las parejas ordenadas de puntos al
plano cartesiano. Dibuja cada gráfica con diferente color.
𝑥 0 𝜋
4
𝜋
2
3𝜋
4
𝜋 5𝜋
4
3𝜋
2
7𝜋
4
2𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
3𝑠𝑒𝑛(𝑥)
−1
2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
¿Qué puede concluir acerca del efecto del parámetro 𝑎 en las gráficas?
2) Use sus gráficas para contestar lo siguiente.
a) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
b) Para 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
c) Para 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
d) Para 𝑦 = −1
2𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
e) ¿Cuál es el periodo de la graficas?
i) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ii) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) iii) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) iv) 𝑦 = −1
2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Exploración 2. Explore el efecto que produce el parámetro 𝑏 en la gráfica de
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥).
1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano,
en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(1
2𝑥)
Llene la siguiente tabla y luego traslade las parejas ordenadas de puntos al
plano cartesiano. Dibuja cada gráfica con diferente color.
𝑥 0 𝜋
4
𝜋
2
3𝜋
4
𝜋 5𝜋
4
3𝜋
2
7𝜋
4
2𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑠𝑒𝑛(1
2𝑥)
¿Qué puede concluir acerca del efecto del parámetro𝑏 en las gráficas?
2) Use sus gráficas para contestar lo siguiente.
a) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
b) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
c) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
d) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (1
2𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
e) ¿Cuál es el periodo de la graficas?
i) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ii) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
iii) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) iv) 𝑦 = −1
2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Exploración 3. Explore el efecto que produce el parámetro 𝑑 en la gráfica de
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑑.
1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano,
en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2
c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3
Llene la siguiente tabla y luego traslade las parejas ordenadas de puntos al
plano cartesiano. Dibuja cada gráfica con diferente color.
𝑥 0 𝜋
4
𝜋
2
3𝜋
4
𝜋 5𝜋
4
3𝜋
2
7𝜋
4
2𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2
𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3
¿Qué puede concluir acerca del efecto del parámetro 𝑑 en las gráficas?
2) Use sus gráficas para contestar lo siguiente.
a) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor del desplazamiento vertical?
b) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2, ¿Cuál es el valor del desplazamiento vertical?
c) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2, ¿Cuál es el valor del desplazamiento vertical?
d) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3, ¿Cuál es el valor del desplazamiento vertical?
e) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
f) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2, ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
g) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2, ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
h) Para 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3, ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de 𝑦?
Exploración 4. Explore el efecto el efecto que produce el parámetro 𝑐 en la
gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑐).
1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano,
en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +𝜋
3)
c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −𝜋
3) d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
2)
Llene la siguiente tabla y luego traslade las parejas ordenadas de puntos al
plano cartesiano. Dibuja cada gráfica con diferente color.
𝑥 0 𝜋
4
𝜋
2
3𝜋
4
𝜋 5𝜋
4
3𝜋
2
7𝜋
4
2𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +𝜋
3)
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −𝜋
3)
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −𝜋
2)
¿Qué puede concluir acerca del efecto del parámetro 𝑑 en las gráficas?
¿En qué se parecen las gráficas?
¿En qué son diferentes las gráficas?
Llene la siguiente tabla.
Función. Amplitud. Periodo. D. de la fase. D. vertical.
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋) − 3
𝑦 = −𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 −𝜋
4) − 2
𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 +𝜋
2) + 3
𝑦 = −1
2𝑠𝑒𝑛(4𝜋𝑥 + 4) − 1
𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛 (𝜋
4𝑥 + 3) +
3
4
Funciòn seno.ggb
Prof. Alfredo Paulín Z.
SECUENCIA DIDÁCTICA PARA MATEMÁTICAS III
Unidad 1.- Elementos de trigonometría
Aprendizajes a lograr con la secuencia:
El alumno:
a) Comprenderá que el concepto de razón trigonométrica se deriva de la relación de los lados de
un triángulo rectángulo y que son respectivamente invariantes en triángulos semejantes.
b) Determinará los valores de las razones trigonométricas (aproximados y exactos) para los
ángulos de 30°,45° y 60° y empleó la calculadora para verificarlos.
• Cálculo de valores aproximados de las razones trigonométricas de 45° usando cuadrados de
distintas medidas de sus lados y las de 30°, 60° usando triángulos equiláteros.
• Cálculo los valores exactos de dichas razones, usando un cuadrado de lado “1” para las de
45° y un triángulo equilátero de lado “2” para las de 30° y 60° como se explicará en el
desarrollo de la secuencia.
1) Fase inicial.- Días antes de la actividad, se formarán equipos de 4 o 5 alumnos. El día de la
actividad cada equipo traerá el siguiente material: 3 juegos de escuadras de diferente tamaño
(grande, mediano y chico) y otros 3 juegos idénticos a los anteriores, como los que se muestran
en las siguientes figuras:
Los alumnos identificarán estas escuadras como triángulos rectángulos escalenos.
Los alumnos identificarán estas escuadras como triángulos rectángulos isósceles.
Prof. Alfredo Paulín Z.
Además, traerán un pliego de papel bond, masking tape o diurex, lápiz, goma, bolígrafo, regla
graduada, calculadora y su cuaderno de apuntes.
2) Fase de desarrollo:
En todas las actividades, los alumnos encontraran los resultados por ellos mismos, orientados
por el profesor cuando sea necesario.
En este momento, se les recordó a los alumnos lo que son los triángulos equiláteros, isósceles y
escalenos; el uso del Teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos así como la identificación
de los catetos y la hipotenusa. También se recordó la definición de las razones trigonométricas
de cualquier ángulo (estos temas ya se les habrán dado previamente). Esto es:
. . . . . ., cos , tan
. .
C O C A C OsenA A A
H H C A= = = y, por supuesto las recíprocas,
. .cot ,sec ,csc
. . . . . .
C A H HA A A
C O C A C O= = = donde A es cualquiera de los ángulos agudos, H es la
hipotenusa del triángulo, . .C O es el cateto opuesto al ángulo A y, . .C A es el cateto adyacente al
ángulo A .
También quizá sea necesario recordarles lo que es un valor aproximado y lo que es un valor
exacto.
Cálculo de los valores aproximados de razones trigonométricas de 45°
Después del recordatorio, se les indicó a los equipos que tomaran de su material cada uno de los 3
pares de escuadras que son triángulos isósceles y que busquen la forma de unir cada par de
escuadras iguales para que formen cuadrados como los que se indican a continuación:
Prof. Alfredo Paulín Z.
La idea es que no tengan problemas para observar que el lado que debe coincidir es la hipotenusa
para formar los cuadrados. En caso de haber dificultades se les orientará.
A continuación dibujarán en sus pliegos de papel bond los cuadrados y anotarán en ellos las
medidas de sus lados. Observando sus cuadrados, se darán cuenta fácilmente que sus ángulos
miden 90° ya que son ángulos rectos y que la diagonal bisecta los ángulos de 90°.
Ahora, se le pedirá a un alumno de cada equipo que tome una sola escuadra de cada juego, que
discuta con sus compañeros y que nos diga la medida de los ángulos y de los lados de cada
triángulo. Es de suponer que nos conteste que cada triángulo tiene dos ángulos de 45° y uno de 90°
( no importa el tamaño); con respecto a los lados, lo que se pretende es que los alumnos los
identifiquen como triángulos isósceles por tener dos lados iguales y que representan los lados del
cuadrado (los catetos) y uno diferente (hipotenusa). También se le pedirá que, usando el Teorema
de Pitágoras, calculen el valor de la hipotenusa de cada triángulo.
Teniendo los lados de los triángulos, usando las definiciones, se pueden calcular los valores
aproximados de las razones trigonométricas de 45°. En este momento, no importa que usen valores
decimales.
Cálculo de los valores exactos de razones trigonométricas de 45°
Para obtener los valores exactos de las razones trigonométricas de 45° se les explicó a los alumnos
que se usará un cuadrado de lado “1”, aunque se pueden usar otras medidas de lado. En caso de
que sea necesario, se les mostrarán las siguientes figuras:
En el caso de que l = 1, h = √2 , y el triángulo isósceles nos quedará así:
Prof. Alfredo Paulín Z.
Y podrán calcular los valores exactos de las razones trigonométricas de 45° y los verificaran con su
calculadora. Considero que se podrán dar cuenta y puedan explicar por qué 1
45 cos452
sen = =
o por qué tan 45 1=
Además, se espera que los alumnos comprendan que el concepto de razón trigonométrica se deriva
de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y que no varían en triángulos semejantes,
que es uno de los aprendizajes de la unidad 1 de Matemáticas III.
Cálculo de los valores aproximados de razones trigonométricas de 30° y 60°
De manera similar a como se realizó en las de 45°, ahora se les indicó a los equipos que tomaran
de su material cada uno de los 3 pares de escuadras que son triángulos escalenos y que busquen la
forma de unir cada par de escuadras iguales para que formen triángulos equiláteros como los que se
indican a continuación:
En este caso los lados que se unirán para formar los triángulos equiláteros, serán los catetos más
grandes. Se espera que los alumnos lo hagan fácilmente. En caso de dificultades, el profesor
siempre estará guiando la actividad.
A continuación, por equipos, dibujarán en sus pliegos de papel bond los triángulos equiláteros y
anotarán en ellos las medidas de sus lados ( que les debe de dar una medida igual) y los pegarán en
las paredes o en el pizarrón del aula. Se les preguntará a los alumnos cuanto miden los ángulos
interiores de cada uno de los triángulos. Se espera que contesten que sus ángulos son iguales y que
miden 60°. Por otro lado, se les pedirá que observen que la línea que se forma cuando unieron las
escuadras es la altura “h” de cada triángulo, que se puede calcular por Teorema de Pitágoras y que
bisecta al ángulo del vértice de donde parte. Se les pedirá que calculen dicha altura para cada
triángulo, no importa que usen decimales. Con las medidas de los lados de los triángulos rectángulos
escalenos y usando las definiciones de razones trigonométricas, se les pedirá que calculen los
valores aproximados de las razones trigonométricas de 30° y 60°. Se espera que los alumnos
Prof. Alfredo Paulín Z.
comprendan que el concepto de razón trigonométrica se deriva de la relación entre los lados de un
triángulo rectángulo y que no varían en triángulos semejantes, que es uno de los aprendizajes de la
unidad 1 de Matemáticas III.
Cálculo de los valores exactos de razones trigonométricas de 30° y 60°
Para que entiendan mejor los alumnos, se les mostrarán las siguientes figuras:
En el caso de que l =2 (hipotenusa), h = √3 (un cateto), y el otro cateto con valor de “1”, el triángulo
rectángulo escaleno (representado por una escuadra) nos quedará así:
Y podrán calcular los valores exactos de las razones trigonométricas de 30° y 60°, que podrán
verificar con su calculadora. Se les mencionará que se pueden utilizar otras medidas del lado de los
triángulos equiláteros, pero esto complicaría los cálculos.
Se considera que la clase de dos horas es suficiente para llevar a cabo esta actividad.
3) Fase de síntesis. Se le pedirá a un alumno de cada equipo que haga un breve resumen de la
actividad y que exprese lo que aprendieron sus integrantes con la secuencia, el profesor hará
las precisiones que se requieran. Se les darán otros ejercicios para resolver en casa, como los
siguientes:
Prof. Alfredo Paulín Z.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcula lo que se te pide de acuerdo a la figura y luego comprueba con tu calculadora.
Sen 30°, cos 30°, sen 60°, cos 60°, tan 30°, cot 60°. ¿es necesario conocer las medidas de los lados
el triángulo?
2. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos midan 30° y 60° respectivamente y calcula las
razones trigonométricas de esos ángulos. ¿son iguales a las que obtuviste durante la secuencia?
3. Dibuja un triángulo rectángulo isósceles y calcula las razones trigonométricas de 45°. . ¿son iguales a
las que obtuviste durante la secuencia?