1

OBJETIVOS:

1. Definir unidad imaginaria.2. Conocer y simplificar potencias

de i.3. Definir el conjunto de los

números complejos.4. Operar con los números

complejos.

2

DEFINICIÓN:Los Números Imaginarios surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real. Este conjunto se representa por I

Este conjunto posee elementos que se obtienen a partir de raíces cuadradas con cantidad subradical negativa.

3

7 3 2 3 10

4

Definición:Entenderemos como Unidad Imaginaria a:

La que se conoce como Raíz Imaginaria.

i= -1

Nota: 2i =-1

NÚMEROS IMAGINARIOS

Luego:

16

16 1

16 1

4i

E inventaron un número cuyo cuadrado es -1 después del año 1777, Euler lo denominó con

la letra “i”.

2i =-1

Calcule las siguientes raíces: 4 1

11 i

25 1

7

1) 4

2) 25

3) 12

4) 11

i2

i5

2 3 i4 3 1

Raíces pares de Números Negativos

NÚMEROS COMPLEJOS

Hallar los números reales que verifican que la suma entre el quíntuplo de su cuadrado y 20, es igual a cero.

En símbolos:

25 20 0x

NÚMEROS COMPLEJOS

Al resolver la ecuación obtenida, nos damos cuenta que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales, por lo tanto esta ecuación no tiene solución en este conjunto, es decir que no existe ningún número real que resuelva este problema.

(Sin solución real)

25 20 0x

NÚMEROS COMPLEJOS

Para que la ecuación anterior tenga solución, los matemáticos buscaron una ampliación del conjunto de los Números Reales (IR).

A este Conjunto se definió como los Números Complejos:

/ , ;a bi a bi I

11

© copyw

riter

i) Los números reales y los imaginarios están incluidos en el conjunto ampliado.ii) Las propiedades del conjunto real se siguen cumpliendo en el conjunto ampliado.

Sus características son:

NÚMEROS COMPLEJOS

Se llama número complejo a un número “z” que puede escribirse de la forma

a y b son números reales Al número a se le llama parte real

(a=Re[z]) Al número b se le llama parte imaginaria

(b=Im[z])

z=a+bi

a+bi (a,b)

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS:

Dos Números complejos son iguales si y sólo si, tienen igual parte real e igual parte imaginaria

si

Entonces:

1 2z =z

1 2 1 2Re z =Re z Im z =Im z

Ó sí a + bi = c + di entonces a = c y b = d.

Ejemplos de Números Complejos:

14

i35 )1

i47 )2

i61 )3

i5 )4

7 )5

15

81 )5 1 4 2 1

1 2 2 i

1 4 2 1

Ejemplo:Determine el valor de y de si

16

ibia 5626

66 Si a 2 5y b

0a2

5b

a b

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

17

a bi c di 1. Suma:

idbca

Ej 5em 1: 6plo 2 i i

5 6 1 2 i

i11

18

a bi c di 2.Resta:

idbca

3Ejemplo 1: 2 6 3 i i

3 2 6 3i i

9 5i

a bi c di

Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

19

Ejemplo 2 : 8 18 5 50

8 3 2 5 5 2i i

8 3 2 5 5 2i i

3 8 2 i

20

a bi c di 3.Multiplicación:

ac bd ad bc i

Nota: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.

a bi c di ac ad i bc i 2bd i

1ac ad bc i bd

ac bd ad bc i

21

Ejemplo 1: 4 2 3 5 i i21062012 iii

12 14 10i

i1422

12 20 6 10 1i i

22

2Ejemplo 2: 4 5 i

254016 i

i409

4 5 4 5i i 216 20 20 25i i i

16 40 25 1i

23

3Ejemplo 3: 2 3 i

46 9i

22 3 2 3i i

2 4 12 9 2 3i i i

4 12 9 1 2 3i i

4 12 9 2 3i i 5 12 2 3i i

210 15 24 36i i i 10 15 24 36i i

24

.El conjugado de

Conjugado de un C

z=a+bi se defin

ompl

e po

ejo:

Definició

r Z=a+bi=a

n

-bi

:

Encuentra el conjugado de cada

Ejemplo

núm

s:

ero:

1. 2 4

2. 2 4

3. 64

4. 12 24

5. 13

i

i

i

i

i42

2 4i

64i

12 24i

13

25

8 7:

1 3

i

i

Ejemplo 1

(8 7 ) •

(1 3 )

(1 3 )

(1 3 )

ii

i i

2

2

91

217248

i

iii

La División se hace multiplicando por el conjugadodel denominador. (similar a la racionalización)

a bi

c di

4.División: .

a bi c d i

c d i c d i

26

8 17 21 1

1 9 1

i

8 17 21

1 9

i

10

1729 i

i10

17

10

29

27

4 5:

3

i

i

Ejemplo 2 (4 5 )

•3

3

3i i

i i

2

2

9

1512

i

ii

9

1512

i

28

9

1512

i9

15

9

12

i

3

5

3

4 i

i3

4

3

5

Ejercicios:Resuelve la operación indicada.

29

1) 5 7 2i i

2) 3 12 6 3i i

3) 12 23 16 13i i

4) 13 32 36 53i i

5) 3 2 6 3i i

30

6) 5 7 2i i

7) 3 12 6 3i i

1 28)

6 3

i

i

3 29)

6 3

i

i

31

1) 5 7 2i i 12 i

2) 3 12 6 3i i

3 12 6 3 i i 3 15 i

3) 12 23 16 13i i

12 23 16 13 i i 28 36 i

32

4) 13 32 36 53i i 49 21 i

5) 3 2 6 3i i 218 9 12 6 i i i

18 21 6 1 i12 21 i

6) 5 7 2i i 235 10 7 2 i i i35 3 2 i

37 3 i

33

7) 3 12 6 3i i 218 9 72 36 i i i

18 63 36 i54 63 i

1 28)

6 3

i

i

1 2 6 3

6 3 6 3

i i

i i

2

2

6 3 12 6

36 9

i i i

i6 9 6

36 9

i 12 9

45

i 4 3

15

i

34

3 29)

6 3

i

i3 2 6 3

=6 3 6 3

i i

i i

218 9 12 6 =

36 9

i i i

18 3 6 =

36 9

i

24 3 =

45

i 8 =

15

i

REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

Para representar un número complejo, de la forma se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.

Obs:

a+bi

a+bi (a,b)

Ejemplos:

Módulo de un Complejo:

Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo.

El módulo de un número complejo está definido como:

Ejemplo: 2 2a+bi = a +b

2 2(-4) +2 = 20 =2 5-4+2i

a+bi

POTENCIAS DE I:1. Divida el exponente por 4 y el resultado será elevado al resto de la división.2. luego para simplificar use; 3. Sí

39

2i =-1 3 2 i =i i=-1 i=-i

4 2 2 i =i i = -1 -1 =1

Este último resultado hace que las potencias de “i” solo tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1

0i =11i =i

n 4 m+p pi =i =ii= -1

EJEMPLOS:

40

4 1 2 2 1i i

6 : 4 1

2

4 2 3 3i i i 111)i

5402) i 4 135 0 0 1i i

11: 4 2

3

540 : 4 135

14

020

0

63)i

3i

41

134) i i

2275) i i

2856) i 1

i

11277) i i

285 4 71 1

i1127 4 281 3

3i