1

Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.

1.1. Definir unidad imaginaria.Definir unidad imaginaria.

2.2. Conocer y simplificar potencias de Conocer y simplificar potencias de i.i.

3.3. Definir el conjunto de los números Definir el conjunto de los números complejos.complejos.

4.4. Operar con los números complejos.Operar con los números complejos.

2

3

Este conjunto posee elementos que se obtienen a partir de raíces cuadradas con cantidad subradical negativa.

7 3 2 3 10

4

Definición:Definición:Entenderemos como Unidad Imaginaria a:

La que se conoce como Raíz Imaginaria.

i= -1

Nota: 2i =-1

Luego:

16

16 1

16 1

4i

E inventaron un número cuyo cuadrado es -1

después del año 1777, Euler lo denominó con la letra “i”.

2i =-1

7

2i =-1 3 2 i =i i=-1 i=-i

4 2 2 i =i i = -1 -1 =1

Este último resultado hace que las potencias de “i” solo tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1

0i =11i =i

n 4 m+p pi =i =ii= -1

EJEMPLOS:EJEMPLOS:

8

4 1 2 2 1i i

6 : 4 1

2

4 2 3 3i i i 111)i

5402) i 4 135 0 0 1i i

11: 4 2

3

540 : 4 135

14

020

0

63)i

3i

9

134) i i

2275) i i

2856) i 1

i

11277) i i

285 4 71 1

i1127 4 281 3

3i

Calcule las siguientes raíces:Calcule las siguientes raíces:

4 1

11 i

25 1

10

1) 4

2) 25

3) 12

4) 11

i2

i5

2 3 i4 3 1

Raíces pares de Números Raíces pares de Números NegativosNegativos

Hallar los números reales que verifican que la suma entre el quíntuplo de su cuadrado y 20, es igual a cero.

En símbolos: 25 20 0x

Al resolver la ecuación obtenida, nos damos cuenta que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales, por lo tanto esta ecuación no tiene solución en este conjunto, es decir que no existe ningún número real que resuelva este problema.

(Sin solución real)

25 20 0x

Para que la ecuación anterior tenga solución, los matemáticos buscaron una ampliación del conjunto de los Números Reales (IR).

A este Conjunto se definió como los Números Complejos:

/ , ;a bi a bi I

© copywriter

14

i) Los números reales y los imaginarios están incluidos en el conjunto ampliado.ii) Las propiedades del conjunto real se siguen cumpliendo en el conjunto ampliado.

Sus características son:

Se llama número complejo a un número “z” que puede escribirse de la forma

a y b son números realesAl número a se le llama parte real

(a=Re[z])Al número b se le llama parte imaginaria

(b=Im[z])

z=a+bi

a+bi (a,b)

Dos Números complejos son iguales si y sólo si, tienen igual parte real e igual parte imaginaria

si

Entonces:

1 2z =z

1 2 1 2Re z =Re z Im z =Im z

Ó sí Ó sí a + bi = c + di a + bi = c + di entoncesentonces a = c y b = d. a = c y b = d.

17

i35 )1

i47 )2

i61 )3

i5 )4

7 )5

18

81 )5 1 4 2 1

1 2 2 i

1 4 2 1

19

ibia 5626

66 Si a 2 5y b

0a2

5b

a b

OPERACIONES CON NÚMEROS OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS COMPLEJOS

20

a bi c di 1.Suma:

idbca

Ej 5em 1: 6plo 2 i i

5 6 1 2 i

i11

21

a bi c di 2.Resta:

idbca

3Ejemplo 1: 2 6 3 i i

3 2 6 3i i

9 5i

a bi c di

Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

22

Ejemplo 2 : 8 18 5 50

8 3 2 5 5 2i i

8 3 2 5 5 2i i

3 8 2 i

23

a bi c di 3.Multiplicación:

ac bd ad bc i

Nota: Nota: La multiplicación se puede llevar a cabo La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios.como si fuera una multiplicación de polinomios.

a bi c di ac ad i bc i 2bd i

1ac ad bc i bd

ac bd ad bc i

24

Ejemplo 1: 4 2 3 5 i i21062012 iii

12 14 10i

i1422

12 20 6 10 1i i

25

2Ejemplo 2: 4 5 i

254016 i

i409

4 5 4 5i i 216 20 20 25i i i

16 40 25 1i

26

3Ejemplo 3: 2 3 i

46 9i

22 3 2 3i i

2 4 12 9 2 3i i i

4 12 9 1 2 3i i

4 12 9 2 3i i 5 12 2 3i i

210 15 24 36i i i 10 15 24 36i i

27

.El conjugado de

Conjugado de un C

z=a+bi se defin

ompl

e po

ejo:

Definició

r Z=a+bi=a

n

-bi

:

Encuentra el conjugado de cada

Ejemplo

núm

s:

ero:

1. 2 4

2. 2 4

3. 64

4. 12 24

5. 13

i

i

i

i

i42

2 4i

64i

12 24i

13

28

8 7:

1 3

i

i

Ejemplo 1

(8 7 ) •

(1 3 )

(1 3 )

(1 3 )

ii

i i

2

2

91

217248

i

iii

La División se hace multiplicando por el conjugadodel denominador. (similar a la racionalización)

a bi

c di

4.División: .

a bi c d i

c d i c d i

29

8 17 21 1

1 9 1

i

8 17 21

1 9

i

10

1729 i

i10

17

10

29

30

4 5:

3

i

i

Ejemplo 2 (4 5 )

•3

3

3i i

i i

2

2

9

1512

i

ii

9

1512

i

31

9

1512

i9

15

9

12

i

3

5

3

4 i

i3

4

3

5

32

1) 5 7 2i i

2) 3 12 6 3i i

3) 12 23 16 13i i

4) 13 32 36 53i i

5) 3 2 6 3i i

33

6) 5 7 2i i

7) 3 12 6 3i i

1 28)

6 3

i

i

3 29)

6 3

i

i

34

1) 5 7 2i i 12 i

2) 3 12 6 3i i

3 12 6 3 i i 3 15 i

3) 12 23 16 13i i

12 23 16 13 i i 28 36 i

35

4) 13 32 36 53i i 49 21 i

5) 3 2 6 3i i 218 9 12 6 i i i

18 21 6 1 i12 21 i

6) 5 7 2i i 235 10 7 2 i i i35 3 2 i

37 3 i

36

7) 3 12 6 3i i 218 9 72 36 i i i

18 63 36 i

54 63 i

1 28)

6 3

i

i

1 2 6 3

6 3 6 3

i i

i i

2

2

6 3 12 6

36 9

i i i

i6 9 6

36 9

i 12 9

45

i 4 3

15

i

37

3 29)

6 3

i

i3 2 6 3

=6 3 6 3

i i

i i

218 9 12 6 =

36 9

i i i

18 3 6 =

36 9

i

24 3 =

45

i 8 =

15

i

Para representar un número complejo, de la forma se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical.

Obs:

a+bi

a+bi (a,b)

Ejemplos:

Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo.

El módulo de un número complejo está definido como:

Ejemplo:

2 2a+bi = a +b

2 2(-4) +2 = 20 =2 5-4+2i

a+bi