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8/14/2019 11. Objetivos Del Estudios de Las Conicas
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140 III Coloquio de Matemtica
OBJETIVOS DEL ESTUDIO DE LAS CNICAS
William Wilfredo Reyes Prez
Objetivos
Origen y estudio del desarrollo del conocimiento de las cnicas.
Aportes de las principales matemticos de la antigedad.
Apolonio y su importancia en el estudio de las cnicas.
Introduccin
Dentro de las cnicas, las que son conocidas son la elipse y la parbola,
ya que las cuales se pueden observar directamente en la naturaleza. La
trayectoria de un objeto al lanzarlo al aire, el reflejo de la luna en la superficie
de las aguas calmadas de un rio, la forma de los peces o en el corte de las
ramas de las plantas bajo un cierto ngulo de inclinacin, son ejemplos de ello.De all que podemos entender que la concepcin intuitiva y el desarrollo
posterior de las cnicas, son tan antiguas como la misma geometra, desde
una fase de geometra primitiva a la geometra moderna que hoy conocemos, las cuales se dieron en
las diversas culturas ms antiguas del mundo.
Como explicar sino el grado de precisin que tena el cazador para lanzar una piedra o una
lanza, para defenderse o capturar el animal que luego se convertira en el alimento del da, si es que
no se conoca intuitivamente la trayectoria descrita.
Otro ejemplo evidente es en la construccin de las primeras herramientas utilizadas por el
hombre primitivo, se puede observar que la forma de elipse plana, eran las ms buscadas, las cualeseran trabajadas para transformarlas y utilizarlas en diferentes actividades.
Es por ello que no debe sorprendernos, el hecho de que el estudio de las
cnicas haya tenido tal inters, y que una gran cantidad de matemticos
hayan realizados trabajos de investigacin sobres sus propiedades.
Menecmo 370 - 325 a.n.eTriada de Menecmo, primeros estudios de lascurvas que luego se llamaran cnicas.
Euclides 330 - 275 a.n.e Estudio de las cnicas
Arqumedes de Siracusa 287 - 212 a.n.e Cuadratura de la parbola
Apolonio de Perga 260 - 200 a.n.e Tratado sobre las cnicasHypatia de Alejandra 375 - 415 Comentario sobre las cnicas de Apolonio
Eutocio de Escaln Alrededor de 560 Comentario sobre las cnicas de Apolonio
Jhon Wallis 1616 - 1703 Estudio de las cnicas en la geometra analtica
Vctor Poncelet 1788 - 1867 Hexgono circunscrito a las cnicas
El aporte de los diferentes matemticos es importante, y no se puede menospreciar ya que el
contexto en el que se desenvolvieron permiti estos logros, de estos aportes el de Apolonio es el ms
completo, y han permanecido hasta la actualidad.
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141III Coloquio de Matemtica
LAS TRIADAS DE MENECMO Y EL PROBLEMA DE LA DUPLICACIN DEL CUBO
Discpulo de Eudoxio, de la Academia platnica descubre la existencia de un grupo de curvas que
dan solucin a uno de los problemas dlicos, la duplicacin del cubo. Menecmo utiliza unas de las
figuras geomtricas espaciales para conseguir dichas curvas, y las cuales se generan con el trazado de
un plano perpendicular a la generatriz de conos rectos de tres tipos, segn que el ngulo en el vrticefuera agudo, recto u obtuso.
Erastoteles, le atribuye a Hipcrates la idea de que el problema quedara resuelto si se consigue
la interseccin de dos medias en proporcin continua entre dos segmentos, uno de los cuales es el
doble del otro, es decir:
Siendoa yb los dos segmentos dados
yx ey los buscados.
a
x
x
y
y
b= = ( )... I
Agrupando convenientemente
a
x
x
y= ( )... II x2 =ay
x
y
y
b= ( )... III y2 =bx
De la primera y segundo razn de (I) x2 =ay ... (IV)
De la primera y tercera razn de (I) xy =ab ... (V)
Finalmente multiplicando (IV) y (V) x3 =a2b
Si reemplazamosb = 2a x3 = 2a3
Como se puede observar en la segunda fila de la
tabla adjunta, especficamente en la ltima columna,
estn los principios de las cnicas:
Menecmo demostr que para encontrar la solucin
del problema planteado, era suficiente intersecar
una parbola y de una elipse, o dos parbolas, este
segundo mtodo era mas sencillo que el primero,
como se observa en la grfica adjunta, al intersecar
las expresiones que representan a cada parbola se
obtiene:x3 = 2a3.
Lo admirable de Menecmo, era el hecho de
haberse dado cuenta que exista una familia de curvas
construidas a mano, que cumplan con las condiciones
requeridas. Estas curvas se obtenan cortando un cono
circular recto por una plano perpendicular a una generatriz del cono, este hallazgo importantsimo
recibiran luego el nombre de parbola, elipse e hiprbola.
y
x
x2 = ay
y2 = 2ax
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142 III Coloquio de Matemtica
A partir del cono circular recto de una sola hoja, y de tal manera que las generatrices formen con
el eje, un ngulo de 45, el plano de corte perpendicular a una de las generatrices, determina una curva
(parbola) que tiene la forma de:y2 = dx, donde d es una constante que depende directamente de la
distancia del vrtice del cono al plano de la seccin.
Para la construccin de las otras secciones cnicas, como laelipse
y lahiprbola
, el ngulo en el
vrtice del cono circular recto, debera ser agudo y obtuso respectivamente.
OBTENCIN DE LAS TRIADAS DE MENECMO
4545
Oxitoma Ortotoma Ambliotema
Seccin determinada por
un plano perpendicular a la
generatriz de un cono agudo.
Que hoy conocemos como
elipse.
Seccin determinada por
un plano perpendicular a la
generatriz de un cono recto.
Que hoy conocemos como
parbola.
Seccin determinada por
un plano perpendicular a la
generatriz de un cono obtuso.
Que hoy conocemos como
hiprbola.
Observacin.- Al mencionar cono agudo, cono recto y cono obtuso, en este caso se esta haciendo
referencia al ngulo determinado por dos generatrices diametralmente opuestas.
LAS CNICAS DE APOLONIO
Apolonio de Perga (260 - 200 a. n. e.), por los aportes en las matemticas, es considerado
uno de los tres ms grandes matemticos de la poca, la cual es denominadaLa edad
de oro de la matemtica griega. Se diferencia tanto de Euclides y Arqumedes, en
el sentido de la especializacin, y por la forma de de analizar y escoger los temaspareciere que tuviera una cierta competencia con Arqumedes
Vivi algunos aos en Prgamo en donde se haba construido una Universidad, la
cual tiene las mismas caractersticas que la de Alejandra, pero no la magnitud de esta.
Tal es la trascenda de sus obra en el estudio de las cnicas, que sustituyo los tratados
que sobre el mismo asunto escribieran Tanto Menecmo y Euclides. Se dice que por la forma de
analizar los problemas de su poca, fue un precursor de la geometra analtica. De all que fue conocido
comoEl Gran Gemetra.
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Objetivos del estudio de las cnicas
143III Coloquio de Matemtica
En su tratado sobre las secciones cnicas, hay tanta informacin e investigacin, que en
la actualidad son pocas cosas que se le han incrementado, y estos es obviamente utilizando las
matemticas modernas.
Igualmente al rumbo que han tenido diversos tratados de otros matemticos, gran parte de ellos,
se han perdido las originales y si es que existen algunos de ello son traducciones al rabe.
El aporte fundamental de Apolonio, es el hecho de poder obtener las secciones cnicas, a partir de
la interseccin de un plano con un cono, sin importar el ngulo que forman la generatriz y el eje, como
afirmaba Menecmo. El tipo de seccin cnica obtenida dependa fundamentalmente de la inclinacin del
plano secante con el eje. Este mismo concepto le permiti un mejor anlisis de los mismos. Apolonio fue
mas all de ello, ya que tambin planteo que la construccin de estas secciones cnicas, era independiente
del tipo de cono utilizado, es decir, podra ser un cono circular recto u oblicuo.
Elipse Parbola
H
Hiperbola
Otro aspecto que Apolonio, reviso de los textos anteriores sobre el tema, es el hecho de considerar
al cono circular recto, no como un cono de una sola hoja sino, como la composicin de dos conos
orientados en sentidos opuestos, donde las generatrices de uno son la prolongacin de las generatrices
del otro.
De all el error de algunos gemetras al mencionar a las dos hiprbolas, en vez de las ramas de
una hiprbola nica, no reconociendo el carcter dual de esta seccin cnica.
El nombre de las seccin cnicas, otro aporte de Apolonio es el nombre que le asigno a lo que
antes se le llamaba las triadas de Menecmo. De hecho que las palabras Elipse, Parbola y Hiprbola
fueron utilizados en la soluciones de ecuaciones cuadrticas por el mtodo de aplicacin de reas, Elipse
(Ellipsis) significaba deficiencia, Hyperbola significaba exceso y parbola donde no haba ni deficiencia ni
exceso. Fue Apolonio por sugerencia de Arqumedes, que coloca estos nombres y son los que con los que
se les conoce hasta la actualidad. Si bien es cierto que los nombres no podran significar mucho, pero en
esto caso, nos invita a tener presente la relacin de estas figuras con el algebra, que ya ms tarde John
Wallis con la ayuda de la geometra analtica, desarrollara ampliamente.
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Objetivos del estudio de las cnicas
144 III Coloquio de Matemtica
Por otro lado algo que se tenia que superar (lo cual lo consigui Apolonio) sin duda era el hecho
de que las cnicas no se definan como lugares geomtricos de puntos del plano que satisfacen
una condicin determinada, tal como se suele hacer hoy, sino que se describan de una manera
estereomtrica como secciones de una figura tridimensional por un plano. Apolonio, al igual que
sus predecesores, obtena sus curvas a partir de un cono en el espacio tridimensional, pero luego
logro prescindir del cono lo ms rpidamente posible. A partir del cono dedujo una propiedad plana
fundamental o sntoma de la seccin, que viene a dar una condicin necesaria y suficiente para que
un punto est situado sobre la curva, y desde ese momento abandon ya el cono y procedi a estudiar
dicha curva por mtodos planimtricos exclusivamente.
Tal, es al avance y el aporte de Apolonio en las secciones cnicas, que en su misma poca, as
como tambin posteriormente, ya sea por error, por omisin o por envidia, an haba dificultades para
poder interpretar estos aportes. Por ejemplo uno de estos comentarios, planteaba la utilidad de la
profundizacin de las cnicas, otro propona una interpretacin incorrecta que an est muy extendida,
al respecto de que las nombres que Apolonio asigno a las secciones cnicas, fue segn el plano trazado
y su relacin con la segunda hoja del cono.
ElipseCuando el plano de corte quedaba corto respecto a
la segunda hoja del cono.
ParabolaCuando el plano de corte marchaba paralelamente
a la segunda hoja del cono.
HiperbolaCuando el plano de corte intersecaba a la segunda
hoja del cono.
Como obtiene Apolonio la ecuacin de las cnicas.
A partir del anlisis de que todo cono circular recto tiene no slo un sistema infinito de seccionescirculares paralelas a la de la base, sino tambin otro conjunto infinito de secciones circulares a las que
l llamo secciones subcontrarias (o anti paralelas) a las primeras.
V
FT
L
TN
R
M
A B
Sea el cono de base circular oblicuo, cuyo
dimetro esAB.
Se obtiene la seccin circular circunscrita
al NFR, determinado por un plano secante
paralelo a la base del cono.
Trazamos un segundo plano secante,
determinado la regin triangular TVL, de tal
modo que sea semejante a la regin triangular
VNF, orientados de manera opuesta.
Por relaciones mtricas en la circunferencia que
contiene a los vrtices del tringuloNRF:
MR2 = (NM)(MF)
Como el mVNF = mVLT, entonces:
TNM~FLM
NM(MF) = TM(ML)
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Objetivos del estudio de las cnicas
145III Coloquio de Matemtica
Si TM=x, TL=a yRM=y entonces se obtieney2 =x (a x)
x
ay
a
+ =
2 2
22
2
Como se observa es la ecuacin de una circunferencia.
Como se explico anteriormente, el hecho de obtener las secciones cnicas de forma estereomtrica,
lo hacia complicado de estudiar, pero he aqu la forma como Apolonio logro despojar a las cnicas de
esta condicin.
Obtencin de la propiedad de la elipse
1. Construccin del cono circular oblicuo.
2. Se traza el planoH, la cual obviamente interseca a todas las generatrices del cono.
3. Este plano interseca a las generatrices diametralmente opuestas AB yAC, en los puntos HyK
respectivamente. La interseccin de los segmentosHK yBC es el punto G.
4. Sea el segmentoPQ paralelo a la base del cono, que interseca al segmentoHKen el puntoM.
5. Trazamos por el segmento PQ un plano paralelo a la base del cono determinado una circunferencia
que contiene a los puntosD,PyE.
6. Se observa: HDM~ HBG
EntoncesDM
HM
BG
HGy DM
HM BG
HG= =
...( )I
7. Se observa: MEK~ KCG
EntoncesME
MK
CG
KGy ME
MK CG
KG= =
( )... II
8. En la circunferencia: por relaciones mtricas.
PM2 =DMME ...(III)
9. Reemplazando (I) y (II) en (III):
PM
HM BG
HG
MK CG
KG
2 =
A
E
K
H Q
D
P
M
BC
G
Si PM = y, HM = x yHK =
2a , la propiedad que expresa
la igualdad anterior se puede
expresar as:y2 = kx (2a x)
La cual representa una elipse que
tiene aHKcomo eje mayor.
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146 III Coloquio de Matemtica
DESCRIPCIN DEL LIBRO DE APOLONIO
El inters que le puso Apolonio y el afn de que esto se conozca en el mundo matemtico, nos
puede indicar el individualismo que la historia le asigna, lo cual puede observarse en la siguiente carta
con que remiti a Eudemo el primer libro de las Cnicas. Dice as: Cuando estaba contigo en Prgamo
supe que deseabas conocer lo que he escrito sobre las cnicas, y por eso te envo el primer libro.Los otros te los mandare cuando pueda repasarlos, porque creo que no habrs olvidado que me
compromet a escribirlos a ruego del gemetra Necucrates cuando estuvo a verme en Alejandra,
y me encontr obligado a transcribrselos sin volverlos a ver porque se marchaba de viaje. Ahora,
que tengo tiempo, no los repartir sin haberlos corregido; pero como algunos amigos tienen los dos
primeros libros sin corregir, no te extraes si encuentras algn pasaje modificado. Los especialistas
han confirmado que es el libro V de los 8 libros, es el que tiene mayor importancia, por la investigacin
y el anlisis que lleg.
Apolloni PergaeiCONICORUM
Libro I
Apolloni PergaeiCONICORUM
Libro II
Apolloni PergaeiCONICORUM
Libro III
Inicia con la generacin de
las cnicas, pero una vez
que se obtienen mediante
consideraciones estereomtricas
las relaciones bsicas entre lo
que llamaramos las coordenadas
de un punto de la curva en
el plano, expresadas por lasecuaciones descritas, Apolonio
se dedica a estudiar por mtodos
planimtricos las propiedades
fundamentales de las cnicas.
Abunda en nuevas propiedades
y hace un estudio exhaustivo de
las asntotas. Al final del Libro
estudia el problema de trazar una
tangente que forme un ngulo
dado con el dimetro que pasa
por el punto de contacto.
Estudia primero propiedades
de tringulos y cuadrilteros
determinados por tangentes y
dimetros conjugados y otras
propiedades de las tangentes.
Apolloni PergaeiCONICORUM
Libro IV
Apolloni PergaeiCONICORUM
Libro V
Apolloni PergaeiCONICORUM
Libro VI
Se estudian los puntos de
interseccin de las cnicas.
Destaca la Proposicin 9 que
exhibe un mtodo de trazar dos
tangentes a una cnica desde un
punto.
Es una de las principales obras
maestras de la Geometra griega.
Est dedicado a los segmentos
mximos y mnimos, es decir, a
la distancia mxima y mnima de
un punto a los de una cnica las
rectas normales
Est dedicado a la igualdad y
semejanza de cnicas. Sobresalen
en este Libro las Proposiciones
28, 29 y 30, donde se resuelve el
problema de dados una cnica y
un cono circular recto hallar una
seccin del cono que sea igual a
la cnica dada.
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Objetivos del estudio de las cnicas
147III Coloquio de Matemtica
Apolloni PergaeiCONICORUM
Libro VII
Apolloni PergaeiCONICORUM
Libro VIII
Relaciona numerosas propiedades de los dimetros
conjugados entre las que sobresalen las de lasProposiciones 12 y 13 acerca de la constancia de
la suma en la elipse y la diferencia en la hiprbola
de los cuadrados de los dimetros conjugados.
Se perdi, y se presume contena resultados para
determinar los dimetros conjugados de unacnica de tal manera que algunas funciones de sus
longitudes tuvieran valores dados.
SEMEJANZA EN LAS CNICAS
Tambin podemos darle importancia, en cuanto a los aportes de
Apolonio, el hecho de plantear la semejanza de las cnicas lo que esta
plasmado en el libro VI, a pesar de las limitaciones en cuanto al uso
de las coordenadas. A pesar de que es justamente es Apolonio quiense le atribuye los principios de la geometra analtica de Descartes.
Con un sistema que se anticipa a la geometra analtica, Apolonio
plantea (en el libro I) que la ecuacin de la cnica mantiene su forma
al realizar una transformacin de coordenadas basado en la tangente
y el dimetro que pasan por un punto Mde la cnica, a otro sistema
determinado por la tangente y el dimetro correspondientes a un
segundo punto Nsobre la misma cnica.
Utilizando los conceptos anteriores, Apolonio establece que todas
las parbolas son semejantes, y que una parbola no puede sersemejante a una elipse ni a una hiprbola, ni tampoco una elipse a
una hiprbola.
Tambin Apolonio, formula que al trazar planos paralelos entre si, pero secantes a un cono arbitrario
darn lugar a dos secciones semejantes, ya sea hiprbola o elpticas.
Bibliografa
Carl B. Boyer, Historia de la Matemtica, Versin espaola de Mariano Martnez Prez, Obra
fundamental y bastante completa que detalla el desarrollo de las matemticas.
Francisco Vera,Breve historia de la geometra, Un texto que tiene bastante anlisis en cuanto a los
diferentes aportes de las sociedades, en cuanto a la geometra.
A. I. Markushevich, Curvas Maravillosas, Interesante texto sobre el estudio de las curvas notables,
como las cnicas, lemniscata, etc.
A. Berenice Guerrero G., Geometra en el plano y en el Espacio, No presenta aspectos de la
geometra, sino tambin explica aspectos tericos bastante importantes de los slidos geomtricos,
entre ello el cono de revolucin.