11

11..11..44.. ASOCIACIONASOCIACION ENTREENTRE VARIABLESVARIABLES

EnEn lala investigacióninvestigación estadísticaestadística-- yy enen lolo

fundamentalfundamental aquellaaquella relacionadarelacionada aa variablesvariables

socioeconómicassocioeconómicas--,, eses comúncomún encontrarencontrar variablesvariables

relacionadasrelacionadas oo asociadasasociadas..

EstadísticamenteEstadísticamente eses importanteimportante analizaranalizar lala

relaciónrelación entreentre dosdos oo masmas variables,variables, siempresiempre queque

sese tengatenga unun indicioindicio queque entreentre ellasellas existeexiste porpor lolo

menosmenos ciertocierto gradogrado dede dependenciadependencia oo

asociaciónasociación..

22

Se trata de:Se trata de:

1.1. Explicar el comportamiento de una Explicar el comportamiento de una

variable dependiente ( Y ) en función de variable dependiente ( Y ) en función de

otras variables ( Xotras variables ( Xii ) )

2.2. Investigar si las variables están asociadas Investigar si las variables están asociadas

o correlacionadas entre si.o correlacionadas entre si.

33

EL ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACIONEL ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION

ANALISIS DE REGRESIONANALISIS DE REGRESION

Se refiere al estudio de la dependencia de la Se refiere al estudio de la dependencia de la

Variable Dependiente (Y) en una o mas variables Variable Dependiente (Y) en una o mas variables

independientes o explicativas (Xindependientes o explicativas (Xii).).

El objetivo es estimar yEl objetivo es estimar y/o predecir el valor /o predecir el valor

promedio poblacional de la Variable dependiente promedio poblacional de la Variable dependiente

en términos de los valores fijosen términos de los valores fijos--en muestras en muestras

repetidasrepetidas--de la variables explicativas.de la variables explicativas.

μ;X,...,X,X,XY k321

44

O en su forma mas especifica: en este caso O en su forma mas especifica: en este caso

lineallineal

Donde :Donde :

Se considera la parte determinística o exacta, ySe considera la parte determinística o exacta, y

es la variable aleatoria o es la variable aleatoria o probabilísticaprobabilística

kk3322110 Xβ...XβXβXββ

μXβ...XβXβXββY kk3322110

μ

55

En el análisis de regresión se presenta asimetría En el análisis de regresión se presenta asimetría

en el tratamiento de la variable dependiente y las en el tratamiento de la variable dependiente y las

variables independientes o explicativas.variables independientes o explicativas.

Y:Y: es aleatoria, estadística; es decir tiene es aleatoria, estadística; es decir tiene

asociada una distribución de probabilidad.asociada una distribución de probabilidad.

Xi:Xi: se asumen que son valores fijos.se asumen que son valores fijos.

TIPOS DE REGRESION LINEALTIPOS DE REGRESION LINEAL

MULTIPLE: cuando la variable dependiente Y, MULTIPLE: cuando la variable dependiente Y,

depende de k variablesdepende de k variables

μXβ...XβXβXββY kk3322110

66

SIMPLE : cuando la variable dependiente Y SIMPLE : cuando la variable dependiente Y

depende de una sola variable explicativa X.depende de una sola variable explicativa X.

ESTIMACIONESTIMACION

Significa encontrar los valores aproximados de Significa encontrar los valores aproximados de

los parámetros los parámetros 00 y y 11 , a través de un, a través de un método método

particular de estimación y un conjunto muestral particular de estimación y un conjunto muestral

de datos.de datos.

μXββY 10

77

METODO DE MINIMOS CUADRADOS METODO DE MINIMOS CUADRADOS

ORDINARIOSORDINARIOS

Consiste en plantear la función que tenga el Consiste en plantear la función que tenga el

menor error respecto a los valores observados menor error respecto a los valores observados

de la variable endógena. Es decir se trata de de la variable endógena. Es decir se trata de

minimizar los errores entre los valores minimizar los errores entre los valores

observado y estimados de la variable endógena.observado y estimados de la variable endógena.

n

1i

2

i

n

1i

2i YYeMinQ

88

Donde:Donde:

XββY

YYe

eYY

μYY

μXββY

10

ii

ii

ii

i10i

99

n

1i

2

10i

n

1i

2i XββYeMinQ

0XXββY2β

Q

01XββY2β

Q

101

100

1010

0XXββY

0XββY

10

10

210

10

XβXβYX

XββnY

1111

XY

Y

XX

Xn

β

β

XY

Y

β

β

XX

Xn

1

21

0

1

0

2

1212

ANALISIS DE CORRELACIONANALISIS DE CORRELACION

En este caso el objetivo principal, es medir la En este caso el objetivo principal, es medir la

fuerza, intensidad o grado de asociación lineal fuerza, intensidad o grado de asociación lineal

entre dos variables. Por ejemplo, la relación entre dos variables. Por ejemplo, la relación

entre:entre:

a.a. Dieta alimenticia y peso de los niñosDieta alimenticia y peso de los niños

b.b. Hábitos de fumar y cáncer a los pulmonesHábitos de fumar y cáncer a los pulmones

c.c. Horas de estudio y notas promocionalesHoras de estudio y notas promocionales

1313

El coeficiente de correlación entre dos variables El coeficiente de correlación entre dos variables

XXii y Xy Xjj, se calcula de la siguiente manera:, se calcula de la siguiente manera:

En el análisis de correlación se presenta simetría En el análisis de correlación se presenta simetría

en el tratamiento de la variable dependiente y las en el tratamiento de la variable dependiente y las

variables independientes o explicativas. Es decir variables independientes o explicativas. Es decir

no existe distinción entre variable dependiente no existe distinción entre variable dependiente

e independiente.e independiente.

2j

2i

ji

XX

XX

XXr

ji

1414

Así por ejemplo:Así por ejemplo:

Es importante verificar que:Es importante verificar que:

Un coeficiente de correlación nulo, significa que Un coeficiente de correlación nulo, significa que

las variables no están asociadas.las variables no están asociadas.

ijji XXXX rr

0jiXXr

1515

Así mismo un coeficiente de correlación igual a Así mismo un coeficiente de correlación igual a

la unidad, significa que existe una asociación la unidad, significa que existe una asociación

lineal perfecta entre las variables lineal perfecta entre las variables

correspondientes.correspondientes.

1jiXXr

1616

X2 X2 r=+1 r=-1

X1 X1

X2

X1

X2

X1

r~+1 r~-1

1717

X2 X2

r>0, ~ 0 r<0, ~ 0

X1 X1

X2

X1

rx1x2 = 0

1818

1.1.5.1.1.5. TIPOS DE DATOSTIPOS DE DATOS

DE CORTE TRANSVERSAL (CrossDE CORTE TRANSVERSAL (Cross--section)section)

Se caracterizan por no estar definidos a lo largo Se caracterizan por no estar definidos a lo largo

de un periodo determinado.de un periodo determinado.

La variación se produce a través del espacio y La variación se produce a través del espacio y

esta referida a un momento especifico y único de esta referida a un momento especifico y único de

tiempo.tiempo.

Es necesario para obtención de este tipo de Es necesario para obtención de este tipo de

datos, primero aplicar una encuesta a las datos, primero aplicar una encuesta a las

unidades de análisis.unidades de análisis.

1919

SERIES CRONOLOGICAS ( Series de tiempo )SERIES CRONOLOGICAS ( Series de tiempo )

También se les denomina Datos Históricos, se También se les denomina Datos Históricos, se

definen en base a un periodo y periodicidad, y no definen en base a un periodo y periodicidad, y no

cuentan con una “variación espacial”; sino cuentan con una “variación espacial”; sino

temporal.temporal.

Cuentan con cuatro componentes: Tendencia, Cuentan con cuatro componentes: Tendencia,

ciclo, estacionalidad e irregularidad.ciclo, estacionalidad e irregularidad.

IS*C*T*Y

ISCTY

2020

Tendencia (T)Tendencia (T)

Es la dirección general hacia la cual puede Es la dirección general hacia la cual puede

encaminar la curva, tomando como referencia encaminar la curva, tomando como referencia

toda la muestratoda la muestra--

Ciclo (C)Ciclo (C)

Es el componente del ciclo económico, o Es el componente del ciclo económico, o

fluctuaciones que se presentan alrededor de la fluctuaciones que se presentan alrededor de la

tendenciatendencia

2121

T 1950 2000

TENDENCIA

CICLO

PBI

2222

Estacionalidad (S)Estacionalidad (S)

Son las oscilaciones que se repiten, casi Son las oscilaciones que se repiten, casi

sistemáticamente en los sub. periodos de sistemáticamente en los sub. periodos de

tiempo.tiempo.

Son movimientos que contienen algunas series Son movimientos que contienen algunas series

de tiempo con periodicidad menor a un año, de tiempo con periodicidad menor a un año,

generando características estacionales.generando características estacionales.

Irregularidad (I)Irregularidad (I)

Son movimientos que se dan de manera Son movimientos que se dan de manera

anormal, irregular que se presentan en una serie anormal, irregular que se presentan en una serie

de tiempo y que responden a hechos exógenos de tiempo y que responden a hechos exógenos

o inimaginableso inimaginables

2323

1.1.6.1.1.6. MATRICESMATRICES--OPERACIONESOPERACIONES

1.1. MATRIZMATRIZ

Es una colección de números ordenados Es una colección de números ordenados

rectangularmente.rectangularmente.

VECTOR: Es un conjunto ordenado de números VECTOR: Es un conjunto ordenado de números

dispuestos en fila o columnadispuestos en fila o columna

nk2n1n

k22221

k11211

ij

a...aa

......

......

......

a...aa

a...aa

aA

2424

VECTOR FILA: VECTOR FILA: MatrizMatriz de de unauna únicaúnica filafila

VECTOR COLUMNA: Matriz de una única VECTOR COLUMNA: Matriz de una única

columnacolumna

Así entonces, Matriz se define también conjunto Así entonces, Matriz se define también conjunto

de vectores filas o conjunto de vectores columna.de vectores filas o conjunto de vectores columna.

2.2. DIMENSION DE UNA MATRIZDIMENSION DE UNA MATRIZ

indica el numero de filas y el numero de indica el numero de filas y el numero de

columnas que contiene una matriz. columnas que contiene una matriz.

A A nknk , indica que la matriz A tiene n filas y k , indica que la matriz A tiene n filas y k

columnascolumnas

2525

Si n = k, entonces A es una matriz cuadradaSi n = k, entonces A es una matriz cuadrada

3.3. TIPOS DE MATRICES CUADRADASTIPOS DE MATRICES CUADRADAS

a.a. Matriz SimétricaMatriz Simétrica

Es aquella en que :Es aquella en que :

ji,j iij ,aa

127

253

731

A

2626

b.b. Matriz DiagonalMatriz Diagonal

Es una matriz cuadrada cuyos únicos Es una matriz cuadrada cuyos únicos

elementos distintos de cero aparecen en elementos distintos de cero aparecen en

su diagonal principal.su diagonal principal.

C.C. Matriz EscalarMatriz Escalar

Es una matriz diagonal con el mismo valor Es una matriz diagonal con el mismo valor

en todos los elementos de la diagonalen todos los elementos de la diagonal

d.d. Matriz IdentidadMatriz Identidad

Es una matriz escalar con unos en la Es una matriz escalar con unos en la

diagonal.diagonal.

2727

A la matriz identidad se designa por I, y a A la matriz identidad se designa por I, y a

veces se incluye un subíndice para veces se incluye un subíndice para

designar su tamaño u orden.designar su tamaño u orden.

e.e. Matriz TriangularMatriz Triangular

Es aquella que tiene ceros encima o bien Es aquella que tiene ceros encima o bien

debajo de la diagonal principal. Si los debajo de la diagonal principal. Si los

ceros están por encima de la diagonal , la ceros están por encima de la diagonal , la

matriz es triangular inferior.matriz es triangular inferior.

100

010

001

I3

2828

4.4. OPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICES

Las matrices proporcionan una forma adecuada Las matrices proporcionan una forma adecuada

de operar un conjunto de ecuaciones , y con de operar un conjunto de ecuaciones , y con

ecuaciones que constituyen series de elementos.ecuaciones que constituyen series de elementos.

a.a. Igualdad de MatricesIgualdad de Matrices

Las matrices A y B son iguales, Las matrices A y B son iguales, si y solo sisi y solo si

tienen la misma dimensión y cada tienen la misma dimensión y cada

elemento de A es igual al correspondiente elemento de A es igual al correspondiente

de B.de B.

jiijij ,;baBA

2929

b.b. Matriz TranspuestaMatriz Transpuesta

Matriz transpuesta de A, designada por AMatriz transpuesta de A, designada por A'' , ,

se se obtieneobtiene creandocreando una matrizuna matriz cuyacuya nn--

ésimaésima filafila eses lala jj--ésimaésima columna de la columna de la

matriz originalmatriz original..

Si A Si A nknk , entonces A, entonces A'' knkn

43

'

3x4

4553

1412

3651

413

546

515

321

A

x

A

3030

La definición de una matriz simétrica, La definición de una matriz simétrica,

implica que si A es simétrica, entonces implica que si A es simétrica, entonces

AA’’ = A= A

Para cualquier matriz A: (APara cualquier matriz A: (A’’))’’ = A= A

El vector transpuesto de un vector El vector transpuesto de un vector

columna es un vector fila, y viceversa.columna es un vector fila, y viceversa.

A A nx1nx1 = A= A’’ 1xk1xk k=nk=n

A A 1xk1xk = A= A’’ nx1nx1 n=kn=k

3131

c.c. Suma / resta de matricesSuma / resta de matrices

C = A + B = C = A + B = ［［a a ijij ±± b b ijij］］

Para que las matrices puedan sumarse o Para que las matrices puedan sumarse o

restarse es necesario que tengan la misma restarse es necesario que tengan la misma

dimension.dimension.

En la suma / resta de matrices, la matriz En la suma / resta de matrices, la matriz

nulanula--matriz cuyos elementos son todos matriz cuyos elementos son todos

cerosceros-- juega el mismo papel que el escalar juega el mismo papel que el escalar

0 en la suma escalar.0 en la suma escalar.

A + 0 = AA + 0 = A

3232

A partir de lo anterior puede comprobarse A partir de lo anterior puede comprobarse

que la suma de matrices es:que la suma de matrices es:

ConmutativaConmutativa

A + B = B + A A + B = B + A

Asociativa Asociativa

(A + B ) + C = A + ( B + C )(A + B ) + C = A + ( B + C )

y quey que

( A + B )( A + B )’’ = A= A’’ + B+ B’’

3333

d.d. Producto de matricesProducto de matrices

Para multiplicar matrices, el numero de Para multiplicar matrices, el numero de

columnas de la primera matriz, debe columnas de la primera matriz, debe

coincidir con el numero de filas de la coincidir con el numero de filas de la

segunda matriz.segunda matriz.

nnnkkn CB*A xxx

154

231A 3x2

50

61

42

B 2x3

3434

1)(5)(5(6)4(4)1)(0)(5(1)4(2)

2(5)3(6)1(4)2(0)3(1)1(2)C 2x2

4113

325C 22x

k1,...,jn1,...,iij'

ijij ,;baC

3535

El producto de matrices no es conmutativoEl producto de matrices no es conmutativo

e.e. Traza de una matrizTraza de una matriz

Es la suma de los elementos de su Es la suma de los elementos de su

diagonal principaldiagonal principal

kxknxkkxn

nxnkxnnxk

CA*B

CB*A

ji

n

1i

ij;aTr(A)

3636

f.f. Rango de una matrizRango de una matriz

Es el orden de la Es el orden de la submatrizsubmatriz cuadrada mas cuadrada mas

grande cuyo determinante no sea CERO.grande cuyo determinante no sea CERO.

Puede verse que el Puede verse que el DetDet. . |A|=0, |A|=0, eses decirdecir eses

unauna matrizmatriz singular y no singular y no tienetiene inversainversa..

Aunque el orden es de 3x3, su rango es <3. Aunque el orden es de 3x3, su rango es <3.

Su rango =2Su rango =2

123

540

663

A

3737

g.g. Determinante de una matrizDeterminante de una matriz

Para cada matriz cuadrada A, existe un Para cada matriz cuadrada A, existe un

numero (escalar) conocido como numero (escalar) conocido como

determinante de la matriz, Det. A ó determinante de la matriz, Det. A ó |A||A|

El proceso de encontrar el determinante El proceso de encontrar el determinante

de una matriz de orden 2x2 es:de una matriz de orden 2x2 es:

2221

1211

aa

aaA

3838

h.h. Inversa de una matrizInversa de una matriz

Si A, es una matriz cuadrada y no singular; Si A, es una matriz cuadrada y no singular;

es decir es decir |A||A|≠0≠0 , su inversa puede , su inversa puede

encontrase de la siguiente manera. encontrase de la siguiente manera.

12212211 aaaaA

T

Adj AA

1A 1

3939

Los pasos para calcular la inversa, son los Los pasos para calcular la inversa, son los

siguientes:siguientes:

1.1. Encontrar el determinante de A. Si es Encontrar el determinante de A. Si es

diferente de cero, pasar al paso 2.diferente de cero, pasar al paso 2.

2.2. Reemplazar cada elemento aReemplazar cada elemento aijij de A por su de A por su

cofactor para obtener la matriz de cofactor para obtener la matriz de

cofactores.cofactores.

3.3. Transponer la matriz de cofactores para Transponer la matriz de cofactores para

obtener la matriz adjunta.obtener la matriz adjunta.

4.4. Dividir cada elemento de la matriz adjunta Dividir cada elemento de la matriz adjunta

por el determinante de A.por el determinante de A.

Luego se puede verificar que: AALuego se puede verificar que: AA--11 = I= Inn