Post on 07-Feb-2016
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EnseñanzasArtísticasSuperiores
Sistemas deRepresentación
Sistema diédricoParalelismo, perpendicularidad,
ángulos y distancias
Dos rectas son paralelas si lo son las proyecciones del mismo signo.
Paralelismo.
h’
r’ r’
r
r
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r
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v’
h’
r’
h’
h
v h’
h
v’
v
rh
r’
r
v
v’ r’
r
v
v’
Rectas oblicuas paralelas Rectas frontales paralelas Rectas de punta paralelas
Dos planos son paralelos si lo son las proyecciones del mismo signo.
Paralelismo.
P’
P P
P
P’P’’
P’
Q’ Q’
Q’’
Q Q
Planos oblicuos paralelos Planos proyectantes paralelos Planos paralelos a LT paralelos
Q’
Q
Recta y plano serán paralelos cuando R sea, por lo menos,paralela a una de las rectas contenidas en el plano.
Paralelismo.
P’
v’r’
r
s’
s
h’
h
v
P
Recta paralela a una recta contenidaen un plano oblicuo
v’
h’
h
v
De igual manera, un punto será paralelo a un plano, si dichopunto está contenido en una recta paralela a éste.
Paralelismo.
P’
v’r’
r
s’
s
h’
h
v
PP
P’
Recta paralela a una recta contenidaen un plano oblicuo
Punto contenido en un plano paralelo a otro
v’
h’
h
v
Q
Q’ a’
a
Observamos 3 casos clave.
Perpendicularidad.
1. Si una de las rectas es paralela a PH o PV, el ánguloproyectado quedará en verdadera magnitud (VM) en ese plano.
Perpendicularidad.
r’
s’
a’
a
s
v’
v
r
Recta horizontal perpendiculara recta oblicua
Q
2. Si una recta es perpendicular a un plano, lo será a todarecta contenida en el.
Perpendicularidad.
R
L
M
S
R r’
(P)
(P’)
3. Si una recta es perpendicular a un plano, también lo seráa su traza correspondiente
Perpendicularidad.
Recta perpendicular a un plano. Proyectaremosperpendicularmente a una de sus trazas.
Perpendicularidad.
s’
s r
P
P’s’
s
r
P
P’
Planos perpendiculares: Lo serán cuando uno contenga una rectaperpendicular al otro.
Perpendicularidad.
s’
s
r
P
P’
Q’
Q
Entre puntos: Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo en elque un cateto es la unión de las proyecciones y el otro ladiferencia entre cotas.
Distancias.
A
B
a’
a
b’
VM
b
Entre puntos: En el ejemplo, el cateto mayor surge al unir lasproyecciones verticales, y el menor del alejamiento entrelas horizontales.
Distancias entre puntos.
Paralelos: La distancia estará en una recta perpendicular aambos, localizando las intersecciones entre ésta y los planos.Los casos que vemos dan directamente VM en PV o PH.
Distancias entre planos.
P
P’ Q’
Q P
P’ Q’
Q
VM
VM
P’M’
v’
v’
h’
h
h
v v
M
P
Q’
Q
Paralelos: Para planos que nodan VM en su proyección, unplano proyectante y su interseccióncon los planos, genera los puntosde distancia en sus cortes conla recta R.
1. Dados (P) y (Q), trazamos (M)proyectante a PV, y perpendiculara los dos planos dados.
Distancias entre planos.
P’M’
v’
v’
b’
b
h’
h
h
v v
M
P
Q’
Q
Paralelos: Para planos que nodan VM en su proyección, unplano proyectante y su interseccióncon los planos, genera los puntosde distancia en sus cortes conla recta R.
2. Definimos R, contenida en (M) y, por tanto,perpendicular a (P) y (Q). Primero r’, dondecolocaremos un punto (b’). Su perpendicular dará b,por donde pasará la proyección horizontal de R.
Distancias entre planos.
P’M’
v’
v’
b’
b
a
a’h’
h
h
v v
M
P
Q’
Q
Paralelos: Para planos que nodan VM en su proyección, unplano proyectante y su interseccióncon los planos, genera los puntosde distancia en sus cortes conla recta R.
3. Obtenemos el punto A, en el corte de rcon la unión de las trazas de (Q).
Distancias entre planos.
P’M’
v’
v’
b’
b
a
a’h’
h
h
v v
M
P
Q’
Q
Paralelos: Para planos que nodan VM en su proyección, unplano proyectante y su interseccióncon los planos, genera los puntosde distancia en sus cortes conla recta R.
3. Obtenemos el punto A, en el corte de rcon la unión de las trazas de (Q).
Distancias entre planos.
catetoVM
Distanciaentre (P) y (Q)
En rectas paralelas, símplemente la perpendicular entre ambas.En rectas de punta, VM vendrá dada por las proyecciones en unode los dos planos.
Distancias entre rectas.
r’
VM
VM
s’
r’ s’
r
s
En rectas oblicuas paralelas,trazaremos (P) perpendicular aambas.
Distancias entre rectas. r’P’
P
r
s’
s
En rectas oblicuas paralelas,trazaremos (P) perpendicular aambas.Dos planos proyectantes contenidosen las rectas, generarán los puntosA y B, que determinan la distancia.
Distancias entre rectas. r’P’
M’Q’
MQ
P
r
s’
s
v’
v’
v vh’ h’
h
h
En rectas oblicuas paralelas,trazaremos (P) perpendicular aambas.Dos planos proyectantes contenidosen las rectas, generarán los puntosA y B, que determinan la distancia.
Distancias entre rectas. r’P’
M’Q’
MQ
P
r
s’
s
v’
v’
v vh’ h’
h
h
b’
Cateto VM
VM
a’
a
b
ÁngulosGeneralidades:
1. Dos rectas que se cortan forman un ángulo.
2. Si están contenidos en PH o PV, están en VM.
3. Al abatir al plano las 2 rectas que se cortan, tendremosel ángulo en VM.
Ángulo en VM de 2 rectas:-Localizamos (P) que forman R y S.
r’
a’
s’
r
a
s
Ángulo en VM de 2 rectas:-Localizamos (P) que forman R y S.-Abatimos la proyecciónhorizontal de A.
r’
v’
v h’ h’
h
h
A
v
v’P’
P
P
s’
r
s
a’
a
a’
a
altura a’
A abatidoen VM
Ángulo en VM de 2 rectas:-Localizamos (P) que forman R y S.-Abatimos la proyecciónhorizontal de A.-La unión del punto A en VMcon las trazas (en este casolas horizontales h-h), daráel ángulo que conforman lasdos rectas en VM.
r’
v’
v h’ h’
h
h
v
v’P’
P
s’
r
s
a’
a
A
Ángulo en VM de 2 rectas por abatimiento:Estudiaremos los abatimientos enel tema siguiente, pero harems unapequeña introducción paraobtener la VM del ánguloen este caso.
a’
s’
r’
r
s
a
Ángulo en VM de 2 rectas por abatimiento:Obtenemos P a través de las trazas de las rectas.
a’
a
v’
v’
P
vv
h
h
h’h’
s’
r’
r
s
P’
Ángulo en VM de 2 rectas por abatimiento:Abatimos las 2 trazas verticales, para obtenerP en VM. Basta con una perpendiculardesde v a P, que será cortada porel arco o-v’. a’
a
v’
v’
P
vv
h
h
h’h’
s’
r’
r
s
P’
a’
a
v’
V
v’
P
vv
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o
h
h’h’
s’
r’
r
s
P’
a’
a
v’
V
V
P’ abatido
v’
P
P’
vv
h
o
h
h’h’
s’
r’
r
s
Ángulo en VM de 2 rectas por abatimiento:Obtenido V, lo uniremos con la unión de lasproyecciones del plano en LT (llamadoo en este ejemplo para facilitarla comprensión),teniendo P en VM.
Repetiremos el proceso conla segunda traza vertical.
a’
a
v’
V
V
P’ abatido
v’
P
P’
vv
h
o
h
h’h’
s’
r’
r
s
Ángulo en VM de 2 rectas por abatimiento:Finalizamos el ejercicio uniendolas trazas V en VM con sustrazas h correspondientes.
La intersección dará elpunto A en VM y definiráel ángulo.
A
αVM
Ángulo que forma R con PH o PV:Lo deducimos mediante un eje de giro* en h’-h o v-v’, midiendosiempre el ángulo más pequeño.
Rr’
r’
h’
h’
h
H-h
V-v’
v
v
v’
r
r
*Estudiaremos los giros con más detenimiento en el tema siguiente.
Ángulo que forma R con PH o PV:El eje E hará que giremos el punto V-v’ hasta LT. El nuevo punto(v’) girado se unirá con la traza horizontal para determinar αV.
Rr’
r’
h’
h’
h
H-h
V-v’
(V)-(v’)
v
v
v’
(v’)
r
r
E-e
e
e’
e’
αV
Ángulo que forma R con PH o PV:Para determinar αH, colocaremos el eje de giro en PV.
r’
h’
h
v
v’
(h’)
r
e
e’
αH