1.3 Balances Microscópicos de Calor enCoordenadas Cartesianas, Cilíndricas y

Esféricas.

Dr. Luis Mejía Macario

http://catedras.quimica.unlp.edu.ar/ftransporte/clase16.pdf

Instituto Tecnológico Superior de Misantla

En esta sección se usará la Ley de Fourier, ecuación para obtener expresiones de la conducción de calor unidimensional en estado estacionario a través de algunas geometrías simples.Para una placa plana o pared en la que el área de corte transversal A y la conductividad térmica k para la ecuación son constantes, la ecuación de q/A puede escribirse como:

Conducción a través de una placa plana o una pared.

Si la conductividad térmica k no es constante, sino que presenta una variación lineal con la temperatura:

k = a+bT

Entonces se determina la Constante de Conductividad Térmica Media (km).

km = a + b ( T1 + T2) 2

Conducción a través de una placa plana o una pared.

Conducción a través de una placa plana o una pared.

La ecuación se determina al sustituir la Conductividad Térmica Media (km) en la ecuación de abajo:

km = a + b ( T1 + T2) 2

a + b ( T1 + T2)

2 *(T1 - T2)

Δx

Conducción a través de un cilindro huecoEn muchos casos en las industrias de proceso, el calor se transfiere a través de las paredes de un cilindro de paredes gruesas, esto es, una tubería que puede estar

aislada. Considérese el cilindro hueco, con radio interior r1, donde la temperatura

es T1; un radio externo r2 a temperatura T2 y de longitud L, m. Supóngase que hay un flujo radial de calor desde la superficie interior hasta la exterior.Volviendo a escribir la ley de Fourier pero con la distancia dr en lugar de dx,

Substituyendo A(r1, T1)

(r2, T2)

L

dr r

D = 2rA = π DL,

Conducción a través de un cilindro hueco

Substituyendo A

(r1, T1)

(r2, T2)

L

dr r

D = 2r

Lπ D

A = π DL,

Conducción de calor a través de un cilindro huecoEJEMPLO. Longitud de tubo para un serpentín de enfriamientoUn tubo cilíndrico de caucho duro y paredes gruesas, cuyo radio interior mide 5 mm y el exterior 20 mm, se usa como serpentín de enfriamiento provisional en un baño. Por su interior fluye una corriente rápida de agua fría y la temperatura de la pared interna alcanza 274.9 °K, y la temperatura de la superficie exterior es 297.1 °K. El serpentín debe extraer del baño un total de 14.65 W (50 BTU/h). ¿Cuántos metros de tubo se necesitan?De acuerdo con el apéndice A.3, la conductividad térmica del caucho a 0°C (273 °K) es k = 0.151 W/m °K.Nota: Puesto que no se dispone de datos a otras temperaturas, se usará este valor para el intervalo de (274.9 a 297.1) °K.

Conducción de calor a través de un cilindro huecoEJEMPLO. Longitud de tubo para un serpentín de enfriamiento

r1 = 5 mm. 1 m = 0.005 m 1000 mmr2 = 20 mm. 1 m = 0.02 m 1000 mm

L = ln (r2/r1) . q 2π K (T1 – T2)

L = ln (0.02m/0.005m) . (– 14.65W ) = 0.964 m 2(3.1416)(0.151W/m.°K) (274.9 – 297.1)°K

r1 = 5 mmr2 = 20 mmT1 = 274.9 °K

T2 = 297.1 °K

Datos: MODELO

EJEMPLO. Longitud de Tubo para un Serpentín de Enfriamiento.Un tubo cilíndrico de cobre de 1/2 pulgadas de diámetro nominal, se usa como serpentín de enfriamiento en el interior de un reactor . Por su interior fluye agua fría y la temperatura de la pared interna es 273 °K. La temperatura de la superficie exterior es 275 °K. El serpentín debe extraer del baño un total de 70 KW. ¿Cuántos metros de tubo se necesitan? Si solo hay tubería de ¼ pulgada; ¿De qué longitud sería el tubo?De acuerdo con el apéndice A.1-I, la conductividad térmica del cobre a 0 °C (273 °K) esk = 388 W/m °K. Especificaciones para tubería de cobre flexible. Usos: Aire acondicionado y refrigeración.

Extracción de calor con un serpentín de enfriamiento.

Se usa un serpentín de enfriamiento de acero inoxidable 304 de 1.0 pie de longitud, con diámetro interno de 0.25 pulg y diámetro externo de 0.40 pulg, para extraer calor de un baño. La temperatura en la superficie interior del tubo es de 40 °F y de 80 °F en el exterior. La conductividad térmica del acero inoxidable 304 depende de la temperatura.

k = 7.75 + 7.78 x 1O-3 T = 7.75 + 0.00778 T

donde k se da en BTU/h . pie . °F y T en °F. Calcule la extracción de calor en BTU/s y watts.

Respuesta: 1.225 BTU/s, 1292 W

Extracción de calor de una solución. Repita el problema anterior con un serpentín de enfriamiento de acero inoxidable 308 que tiene una conductividad térmica promedio de 15.23 W/m °K.

Conducción de Calor a Través de una Esfera HuecaLa conducción de calor a través de una esfera hueca es otro caso de conducción unidimensional. Si utilizamos la ley de Fourier para la conductividad térmica constante con la distancia dr donde r es el radio de la esfera,

El área de una esfera, transversal normal al flujo de calor es:

A = 4πr²Se sustituye la ecuación del área en la anterior y se reordena obteniendo así:

y se integra para obtener:

T

r1,T1

r2, T2 dr

Conducción de Calor a Través de una Esfera Hueca

Flujo de calor

q

CONDUCCIÓN DE CALOR A TRAVÉS DE PLACAS SÓLIDAS EN SERIE

Flujo de calor a través de una pared de placas planas en serie.

Cuando hay una pared de placas múltiples constituidas por más de un material, como muestra la figura, es útil el siguiente procedimiento: Primero, se determinan los perfiles de temperaturas en los tres materiales A, B y C. Puesto que el flujo de calor q debe ser el mismo en cada placa, es posible aplicar la ecuación de Fourier a cada una de ellas: Sea kA, kB, kC [=] Conductividades térmicas de materiales

Despejando ΔT

Sumando las 3 ecuaciones y despejando q tendremos:

qq

Flujo de Calor = Fuerza Impulsora / Resistencia(s) Aplicación:

q = k A(T1 – T2) (X2 – X1)

q

q = (T1 – T2) (X2 – X1) k A

q = (T1 – T2) Fuerza impulsora ΔX Resistencia k A

(T1 – T2) ΔX k A

q (T1 – T2) ln(r2/r1) 2πk L

Placas

Tuberías

k no es f(T) = Cte

k es f(T) = a + bTq (T1 – T2) ΔX km A

Placas

q (T1 – T2) (1/r1 - 1/r2) 4πk

Esfera hueca

q = (T1 – T2) = R

q (T1 – T4) 3 Paredes planas en serie.

q (T1 – T4) Tubos concéntricosRA = ln (r2/r1) de manera similar para RB y RC

2πLkA

RESUMEN DE ECUACIONES

Flujo de calor a través de la pared aislada de un cuarto frioUn cuarto de almacenamiento refrigerado se construye con una placa interna de 12.7 mm de pino, una placa intermedia de 101.6 mm de corcho prensado y una placa externa de 76.2 mm de concreto. La temperatura superficial de la pared interna es de 255.4 °K y la exterior del concreto es de 297.1 °K.Empleando las conductividades del apéndice A.3 en unidades SI: 0.151 para el pino; 0.0433 para el corcho prensado; y 0.762 para el concreto, todas en W/m . °K. Calcúlese la pérdida de calor en W para 1 m², así como la temperatura en la interfaz de la madera y el corcho prensado (T2). .

12.7 mm de pino101.6 mm de corcho prensado

76.2 mm de concreto

Datos: Conductividades térmicas, W/m . °K Pino kA = 0.151Corcho prensado kB = 0.0433Concreto kC = 0.762

T2T3

T4 = 297.1 °K

ΔXA = 0.0127mΔXB = 0.1016 mΔXC = 0.0762 m

Espesores: {

T1 = 255.4 °Kqx

Las resistencias de los materiales calculadas con la ecuación para una área A de 1 m² son:

RA = ΔXA = 0.0127m = 0.0841 °K/W KAA (0.151) W/m°K *(1m²)

RB = ΔXB = 0.1016 m = 2.346 °K/W KBA (0.0433) W/m°K *(1m²)

RC = ΔXC = 0.0762 m = 0.100 °K/W KCA (0.762) W/m°K *(1m²)

q= __T1-T4 = 255.4 °K - 297.1° K___ = - 16.48 W RA+RB+RC (0.0841 + 2.346 + 0.100) °K/W

La respuesta es negativa, el calor fluye del exterior al interior.Para calcular la temperatura T2 en la interfaz entre el pino y el corcho.

q= T1-T2 = 255.4°K – T2 = - 16.48 W RA 0.0841 °K/W

Despejando para T2

T2 = 256.79 °K

Transferencia de Calor a Través de Cilindros de Capas MúltiplesLa transferencia de calor en las industrias de proceso suele ocurrir a través de cilindros de capas múltiples, como sucede cuando se transfiere calor a través de las paredes de una tubería aislada. La figura de abajo muestra una tubería con dos capas de aislamiento a su alrededor; es decir, un total de tres cilindros concéntricos. La disminución de temperatura es Tl - T2 a través del material A, T2 -T3, a través de B y T3 - T4 a través de C.

Evidentemente, la transferencia de calor, q, será igual en todas las capas, pues se trata de un estado estacionario. Dada una ecuación similar a la ecuación para un cada cilindro concéntrico,

RA = ln (r2/r1) 2πLkA

RB = ln (r3/r2) 2πLkB

RC = ln (r4/r3) 2πLkC

EJEMPLO: Pérdida de calor en una tubería aisladaUn tubo de paredes gruesas de acero inoxidable (A) con kA = 21.63 W/m°K y dimensiones de 0.0254 m (DI) y 0.0508 m (DE), se recubre con una capa de 0.0254 m de aislante de asbesto (B), kB = 0.2423 W/m a K. La temperatura de la pared interna del tubo es 811 °K y la de la superficie exterior del aislante es 310.8 °K. Para una longitud de 0.305 m (1.0 pie) de tubería, calcule la pérdida de calor y la temperatura en la interfaz entre el metal y el aislante.

r1 = 0.0127 m

r2 = 0.0254 m

r3 = 0.0254 m + 0.0254 m = 0.0508 m

RA = ln (r2/r1) 2πLkA

= ln (0.0254/0.0127) . 2(3.1416) 0.305 m (21.63 W/m°K)

= 0.693141.45 W/°K

= 0.01672 °K W

RB = ln (r3/r2) 2πLkB

= ln (0.0508/0.0254) . 2(3.1416) 0.305 m (0.2423 W/m°K)

0.69310.4643W/°K

= 1.4926 °K W

=

q= T1-T3 = 811 °K – 310.8° K = 331.7 W RA+RB (0.01672 + 1.4926) °K/Wq= T1-T2 = 811°K – T2

RA (0.01672) °K/WT2 = 805.5 °K.

Pérdida de calor en una tubería aisladaUn tubo de paredes gruesas de acero inoxidable (A) con kA = 21.63 W/m°K y dimensiones de 0.0254 m (DI) y 0.0508 m (DE), se recubre con una capa de 0.0254 m de aislante de lana de vidrio, kB = 0.0549 W/m a K. La temperatura de la pared interna del tubo es 811 °K y la de la superficie exterior del aislante es 310.8 °K. Para una longitud de 0.305 m (1.0 pie) de tubería, calcule la pérdida de calor y la temperatura en la interfaz entre el metal y el aislante.