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Cálculo I

GUÍA # 1, Continuidad

Facultad de Ingenieŕıa y Ciencias Aplicadas

Problemas de Nivel Básico

1. Demuestre que la función  f :     →     definida por  f (x) = 1 es continua en todo     .2. Demuestre que si  f   y  g  son funciones continuas en el punto  x =  a, entonces  f  · g   es continua en

dicho punto.

3. Determine el, o los, valores de a

∈    tal que la función

f (x) =

x2 − 5 + a2√ x − 1 ,   si  x > 1

(a + 2)x ,   si  x ≤ 1sea continua en todo     .

Solución:

Notemos que el único punto conflictivo es  x = 1, pues para  x  1 es división de continuas donde el denominador no se anula yası́ una función continua también, y calculamos entonces

f (1) =   a + 2ĺımx→1−

f (x) = ĺımx→1− (a + 2)x   =   a + 2

ĺımx→1+

f (x) = ĺımx→1+

x2 − 5 + a2√ x − 1

para que ĺımx→1+

f (x) exista debe suceder que −5 +  a2 = 1 ⇒  a2 = 4 y por lo tanto   a  = 2 o biena = −2en cualquiera de los dos casos ĺım

x→1+f (x) = 0 y para que ĺım

x→1+f (x) = ĺım

x→1−f (x) debe suceder que

a + 2 = 0, lo que implica que  a =−

2.

4. Dada la función  f (x) =

√ 1 + x + x2 − 1

x  , calcule ĺım

x→0f (x).

Determine si   f   es una función continua en   x  = 0, y si existe el ĺımite ĺımx→0

f (x)− f (0)x, en los

casos:

1

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a )   f (0) = 0.

b)   f (0) =   12

.

Solución:

Primero calculemos ĺımx→0

f (x)

ĺımx→0

f (x) = ĺımx→0

√ 1 + x + x2 − 1x

= ĺımx→0

√ 1 + x + x2 − 1

x  ·

√ 1 + x + x2 + 1√ 1 + x + x2 + 1

= ĺımx→0

x + 1√ 1 + x + x2 + 1

=  1

2

Por lo tanto si  f (0) = 0 la función no será continua, el ĺımite ĺımx→0

f (x)− f (0)x

 no existirá pues

el denominador se anula y no el numerador.

Por otro lado si definimos  f (0) =   12  entonces la función es continua y

ĺımx→0

f (x)− f (0)x   = ĺım

x→0

√ 1 + x + x2 − 1

x  −   1

2

x

= ĺım

x→0

x + 1√ 1 + x + x2 −   12x

= ĺımx→0

3x + 3

(√ 1 + x + x2 + 1)(2x + 1 + √ 1 + x + x2)=

  3

4

5. Dado  n ∈     considere la función  f (x) definida por:

f (x) =

  xn sen( 1

x) si   x̸ = 0,0 si  x = 0.

Encuentre los valores de  n  para que  f   sea continua en     .

Solución:

Si   x ̸= 0,   f   es continua por cuociente y potencia de funciones continuas. Para   x  = 0 vemos elĺımite:

ĺımx→0

f (x) = ĺımx→0

xn sen

1

x

= 0

=   f (0)

2

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La última igualdad se tiene ya que  xn tiende a cero para  n ≥ 1 y sen 1x

 es acotado, por lo tanto,

f  es continua para  n ≥ 1.6. Considere

f (x) =

x2 − b sen(x)x3 + 3x

  si  x > 0,

ax + b + 1 si − 1 ≤ x ≤ 0,sen(πx) si  x < −1.

Determinar a  y  b  de forma que  f (x) sea continua en todo  

7. Determine la relación entre  a  y  b  de modo que

f (x) =

x3 + a3

x + a  ,   si  x > −a,

3(bx

−a)2

a2  ,

  si x≤ −

a.

sea continua en −a  (a̸ = 0).8. Determine las constantes   a  y   b  de manera que la función   f (x) sea continua para todo   x   real y

grafique la función obtenida.

f (x) =

2x + 3a   si  x

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a ) En el punto x = −1 es una aśıntota vertical, pues el numerador de la función (|x2 + x− 2|x)no se anula en ese punto, y por lo tanto ĺım

x→−1+f (x) no existe, de hecho, ĺım

x→−1+f (x) = −∞,

en consecuencia la discontinuidad no es reparable.

b) En  x = 0 tanto el deonominador como el numerador se anulan, por lo que hay posibilidadesde que la discontinuidad sea reparable, de hecho:

ĺımx→0

|x2 + x − 2|x(x− 1)(4x2 + 4x) = ĺımx→0

|x2 + x − 2|(x − 1)(4x + 4)  = −

12

por lo que la discontinuidad en este punto es reparable, basta con redefinir la función f (0) =   12

.

c ) en   x   = 1 hay una discontinuidad no reparable, de hecho, los ĺımites laterales son distintos:

ĺımx→1+

f (x) = 1

4  y ĺım

x→1−f (x) = −1

4. Por lo tanto la discontinuidad no es reparable.

11. Localice los puntos de discontinuidad de la siguiente función y clasif́ıquelos en  reparables   o   noreparables .

f (x) =  2x3 + 2x

|x2

− x|(x + 1)12. Estudiar las discontinuidades de la función

f (x) =  x2 + x − 2x2 − 6x + 5 .

13. Considere f (x) =

x−   12 sen(x)

x + sen(x)  si  x ≤ 0,

x − 2x2 − 8   si  x > 0.

,

¿Es   f   continua en todo     ?. Si su respuesta es negativa, determine las discontinuidades de   f   yclasifı́quelas en   reparables   o   no reparables . Si hay discontinuidades reaparables, redefina   f   paraevitarlas.

14. Considere la siguiente función:

f (x) =

  x arctan

1x

  si   x̸ = 0,

0 si  x = 0.

Demuestre que  f  es continua en cero.

Solución:

Para demostrar la continuidad de f en  x = 0 debemos probar que ĺımx→

0

x arctan1

x = 0.Hacemos el cambio de varaible  u = arctan

1x

 y entonces  x =

  1

tan(u) y aśı

ĺımx→0

x arctan

1

x

= ĺım

u→0

1

tan(u)u = ĺım

u→0

u

sen(u) cos(u) = 1.

En consecuencia la función no es continua en el origen.

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Problemas de Nivel Avanzado

15. Localice los puntos de discontinuidad de la siguiente función y clasifique cada discontinuidad enreparable  o   no reparable .

f (x) =

cos

πx

2   si

 |x

| 1,

2 si |x| = 1.Solución:

Primero notemos que la función cosπx

2

  definida en el intervalo (−1, 1) es continua, aśı como

tambíen |x − 1|  en cada una de las componentes de |x|  > 1, por lo que solo debemos estudiar lacontinuidad en los puntos  x = −1 y  x = 1.

a ) Para el punto  x =−

1 calculamos los ĺımites laterales:

ĺımx→−1+

f (x) = ĺımx→−1+ |x − 1|   = 2

ĺımx→−1−

f (x) = ĺımx→−1− cos

πx

2

  = 0

f (−1) = 2

como ambos ĺımites son diferentes, entonces la discontinuidad no es reparable en  x = −1.b) Para el punto  x = 1 calculamos los ĺımites laterales:

ĺımx→1−

f (x) = ĺımx→1− |x− 1|   = 0

ĺımx→1+ f (x) = ĺımx→1+ cos πx2   = 0

f (−1) = 2

En este caso los ĺımites son iguales entre ellos pero no iguales al valor de la funcíon en elpunto, por lo que podemos redefinir la función para que sea continua en   x   = 1 poniendo f (1) = 0

16. Sea  f   la función definida por

f (x) =

(x − α)2 si   x  0.

Determine todos los valores de  α  y  β  en     para los cuales  f  es una función cotinua.

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17. Considere

f (x) =

sen(2x)

x − x2)   si  x ≤ 0,

2(x3 − 1)x2 − 1   si  x > 0.

,

¿ Es   f   continua en todo     ?. Si su respuesta es negativa, determine las discontinuidades de   f y clasif́ıquelas en  reaprables   o   no reparables . Si hay discontinuidades reparables, redefina   f   paraevitarlas.

18. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

(a) La función  f (x) = senh(x) :=   exp(x)−exp(−x)2

  definida en     .

(b) La función  f (x) = 1 −√ 1− x2 definida sobre [−1, 1].(c) La función

f (x) =   1x2   si   x̸ = 0,

1 si  x = 0.19. Sea f  : (0, 1) →     una función continua tal que [f (x)]2 = 1 para todo x ∈ (0, 1). Pruebe que f  ≡ 1

o bien  f  ≡ −1 (es decir,  f  es idénticamente 1 o −1).20. Sean A  un intervalo cerrado y  f  :  A ⊆ R→ R una función para la cual existe una constante L ≥ 0

(conocida) tal que|f (x)− f (y)| ≤ L|x − y|,   ∀x, y ∈ A.

Una función con tal propiedad se denomina  Lipschitziana  de parámetro L. Demuestre que  f (·)es continua en  A.

21. Sea  f :  

  →    una función continua satisfaciendo que

f (x + y) = f (x) + f (y),   ∀x, y ∈ R.Demuestre que existe un número real  a tal que  f (x) = ax  para todo  x ∈ R.

22. Sea   f : [0, 1] →   [0, 1] una función continua y monótona tal que   f (0) = 0 y   f (1) = 1. Se definef (n) :=  f  ◦ f  ◦ · · · ◦ f   (n  veces) y se supone que existe un entero positivo  m  tal que  f (m)(x) =  xpara todo  x ∈ [0, 1]. Demuestre que  f (x) = x  para todo  x ∈ [0, 1].

23. Considere la función  tangente hiperbólica, tanh:  R→ R, definida por

tanh(x) :=  ex − e−xex + e−x

.

(a) Demuestre que la funcíon tanh(·) es continua en     , tanh(0) = 0 y −1  <  tanh(x)  <  1, paratodo  x ∈     .

(b) Pruebe que si  n →∞, entonces tanh(n) → 1 y tanh(−n) → −1.(c) Use el teorema de los valores intermedios para demostrar que ∀y ∈ (−1, 1), ∃ x ∈     tal que

tanh(x) = y . Qué puede decir acerca de la biyectividad de tanh(·)?

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