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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
Ing. Luis Clemente Condori FIC-UNCP
MECANICA DE FLUIDOS I
Mayo - 2015
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En un punto de la masa liquida en movimiento existen por definir
cantidades escalares (presin, densidad, temperatura) y cantidades
vectoriales (velocidad, aceleracin, fuerza).
Mientras que una cantidad escalar queda definida por su magnitud. Para
que una cantidad vectorial quede definida se requiere conocer adems
de su magnitud, la direccin y el sentido.
Las caractersticas fsicas en el seno
lquido, tanto escalares como
vectoriales, pueden variar de un punto
a otro del lquido y en un mismo punto
de un instante a otro.
Esto se expresa diciendo que tanto las
cantidades escalares como las
vectoriales son funciones de punto y de
tiempo.
2 Ing. LUIS CLEMENTE
La cinemtica de los lquidos estudia el movimiento puro de las partculas, sin considerar la masa ni las fuerzas que lo producen. La descripcin del
movimiento se hace utilizando nicamente la velocidad, la aceleracin y la
rotacin.
El campo de velocidades
Una partcula del liquido recorre una lnea usualmente curva que se llama
trayectoria.
El estudio del movimiento de la partcula puede hacerse: * utilizando el vector posicin r, como una funcin vectorial del tiempo.
3 Ing. LUIS CLEMENTE
Parte de la mecnica que trata del movimiento en sus condiciones de espacio y tiempo, sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Es un vector cualquiera el cual identifica la posicin de algo en el plano cartesiano o en espacio
* utilizando la trayectoria y el camino recorrido, como una funcin escalar del tiempo.
El vector velocidad de la partcula (v)
se define como la rapidez de cambio
de su posicin:
resulta ser un vector tangente a la
trayectoria de la posicin de la partcula
y del tiempo.
4 Ing. LUIS CLEMENTE
Representa la distribucin espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio
Un escalar es un tipo de magnitud fsica que se expresa por un solo nmero y tiene el mismo valor para todos los observadores.
v
Trayectoria
Se cumple:
de modo que:
Si s es un vector unitario tangente en cada punto a la trayectoria se cumple:
es decir.
5 Ing. LUIS CLEMENTE
El campo de aceleraciones
Es un campo que se deriva del campo de velocidades. El vector
aceleracin de la partcula en un punto, se define como la rapidez de
cambio de su velocidad en ese punto:
Sus componentes son:
Desarrollando estas derivadas se
aprecia que las componentes de la
aceleracin son funciones de punto y
de tiempo.
6 Ing. LUIS CLEMENTE
a
La aceleracin en coordenadas intrnsecas
En la prctica se dan situaciones en las que el movimiento se supone
unidimensional. El estudio del flujo unidimensional se simplifica bastante
con el empleo de un sistema de coordenadas con su origen en cada
punto de la trayectoria; se denomina sistema intrnseco de coordenadas
y cualquier vector puede expresarse segn sus componentes en este
sistema.
En cada punto de la trayectoria es
posible distinguir tres vectores
unitarios , n, b tales que:
: tangente a la curva (vector
tangencial)
: normal a la tangente y
colineal con el radio de
curvatura, saliendo de la curva
(vector normal)
: perpendicular al plano
(vector binormal) 7 Ing. LUIS CLEMENTE
Los nombres de los planos respectivos son:
En este sistema:
prestemos atencion al termino
Puesto que P y son dos puntos
muy prximos entre si:
tiene la direccin de n y sentido
negativo; s y tienen
prcticamente el mismo mdulo
unitario:
sd
sds
: plano osculador : plano normal
: plano rectificador
tambin
dividiendo
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.(1)
En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene a su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partcula desplazndose en el espacio tridimensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleracin y la velocidad
9 Ing. LUIS CLEMENTE
reemplazando en (1):
Lo que quiere decir que el vector aceleracin se encuentra contenido en
el plano osculador. Averigemos las componentes:
el primer trmino representa aceleracin
convectiva, el segundo aceleracin local.
es decir:
aceleracin total = aceleracin convectiva + aceleracin local
nr
van
2
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Clasificacin de los flujos
En la prctica se presentan diversos tipos de flujo. En vista de que el
inters se centra en las conducciones por tubera y por canal, las
descripciones que siguen se ilustran con esquemas de estas
conducciones.
Flujo permanente y no permanente.- En el primero, en una seccin
de la conduccin permanecen constantes en el tiempo las variables
hidrulicas del flujo (velocidad, presin, densidad, etc). En el segundo
los valores de estas variables cambian de un instante a otro.
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Flujo uniforme y no uniforme.- Considrese un flujo permanente en
dos situaciones distintas: una con tubera de dimetro constante y la
otra con tubera de dimetro decreciente.
En el flujo uniforme permanecen constantes a lo largo de la
conduccin las variables hidrulicas del flujo (velocidad, presin,
densidad, etc).
En el flujo no uniforme los valores de estas variables cambian de un
punto a otro de la conduccin; se le denomina tambin flujo variado.
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Flujo gradualmente variado y rpidamente variado.- El esquema
corresponde a un canal que tiene una grada en el fondo, y es de por s
explicativo. El flujo variado (FV) puede serlo gradualmente (FGV) o
bruscamente (FRV). A la izquierda y a la derecha del flujo variado se
desarrolla flujo uniforme.
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Flujo unidimensional y bidimensional .- Estrictamente hablando el
flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo
prevalece una direccin es considerado unidimensional, como ocurre
con las tuberas y los canales. En el caso de los canales hay
circunstancias en las cuales no se puede prescindir de una segunda
dimensin para describir el flujo. debiendo hacerse el estudio del flujo
plano o bidimensional.
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Flujo laminar y turbulento.- Considrese una tubera de vidrio por la
que se hace pasar agua en movimiento permanente, uniforme y
unidimensional.
Si se inyecta un colorante se apreciar que, si la velocidad del
escurrimiento es muy baja, el colorante sigue unas trayectorias
ordenadas, rectilneas y paralelas, caractersticas del flujo laminar. Si la
velocidad del agua, en cambio, tiene los valores ordinarios, se observar
que el colorante se mezcla por efecto de las trayectorias desordenadas y
errticas, caractersticas del flujo turbulento.
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En la prctica, para las velocidades ordinarias, el flujo del agua es
turbulento en tuberas y canales y laminar en el subsuelo.
Existe un parmetro que es funcin de la viscosidad del lquido y
cuyo valor permite discernir sobre si el flujo es laminar o turbulento.
Se llama nmero de Reynolds (Re):
V : velocidad media del escurrimiento
v : viscosidad cinemtica
L : una longitud caracterstica .que en tuberas es generalmente el dimetro.
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Para valores de Re de hasta 2,300 se verifica que el flujo es laminar y
para valores mayores que 4,000 se verifica que es turbulento. Valores
intermedios corresponden al perodo de transicin. Ntese que el Re es
adimensional.
Osborne Reynolds (Belfast, Irlanda del Norte, 1842 - Watchet, Inglaterra, 21 de febrero de 1912), ingeniero y fsico
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Flujo compresible e incompresible.- Lo ordinario es que el agua se
considere incompresible y el aire compresible. Slo en aquellas
situaciones en que el agua resulta sometida a grandes presiones (como
en el fenmeno del golpe de ariete) es necesario tratarla como
compresible. De manera anloga, cuando el aire soporta presiones muy
pequeas durante su conduccin (como en los ductos de ventilacin)
puede ser considerado incompresible.
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Flujo rotacional e irrotacional.- Un flujo es rotacional si en su seno el
campo de vectores rot adquiere valores distintos de cero, y es
irrotacional si en todo punto y en todo instante rot . En la prctica,
para las velocidades ordinarias el movimiento del agua es rotacional;
para velocidades altas puede ser considerado irrotacional y para la
hiptesis de liquido perfecto (sin viscosidad) el movimiento es de hecho
irrotacional. El esquema muestra el diagrama de velocidades en un
canal, para cada situacin.
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Adems de los campos de velocidades y aceleraciones, existe en el seno
lquido otro campo llamado campo rotacional que se deriva de las
velocidades.
Se llama rotor de o rotacional de al vector: v v
Rot = v
que tambin es funcin de punto y de tiempo.
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Significado fsico del vector rot .- Como en el cuerpo rgido, adems de
la traslacin una partcula puede experimentar una rotacin. Sea el
centro de gravedad de la partcula y el eje instantneo correspondiente.
vp
o
e
En un plano perpendicular a
considerar dos lneas ortogonales que
servirn para estudiar la rotacin pura
de la partcula.
El punto P se halla muy prximo al-
punto ; la velocidad es tangente
a la trayectoria circular de radio d y
corresponde a la traslacin pura del
punto P.
e
po v
r
Al producirse la rotacin la velocidad angular vale:
Por comodidad se puede tomar el eje e como eje
z y el plano en que se mueve P como plano xy.
Entonces el vector velocidad angular es:
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La velocidad puede definirse como = x d
el vector d tiene la forma ;
entonces:
v v rr
lo cual significa que el rotor de la velocidad en un movimiento de
rotacin alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad
angular.
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La misma idea pero graficada para un canal en curva, visto en planta:
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Descripcin del movimiento
El movimiento de un fluido queda descrito cuando se est en
condiciones de conocer:
* el cambio de posicin de una partcula
* la variacin de la velocidad en un punto.
Hay dos formas clsicas de describir el movimiento de un fluido.
Mtodo de Euler.- Consiste en elegir
un punto y determinar las variables
cinemticas en ese punto, en cada
instante, sin considerar el camino que
despus siga cada partcula individual.
Se usa:
Matemtico y fsico suizo
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Mtodo de Lagrange,- Consiste en elegir una partcula y determinar las
variables cinemticas de esa partcula siguiendo su recorrido. Se usa:
De los dos mtodos se prefiere el primero
porque su manejo analtico es ms simple.
Fsico, matemtico y astrnomo italiano
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Lnea de corriente. Trayectoria. Tubo de flujo En el flujo no permanente las variables cinemticas varan en un mismo
punto de un instante a otro. Supongamos que en un instante se conoce el
campo de velocidades . Se define lnea de corriente a toda lnea
trazada idealmente en el seno lquido de modo que la tangente en cada
uno de sus puntos; proporcione la direccin del vector velocidad
correspondiente. No existe posibilidad de que dos lneas de corriente
tengan un punto comn.
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Si el flujo es no permanente
para otro instante t, la
configuracin de las lneas de
corriente es otra. Si el flujo es
permanente la configuracin
de las lneas de corriente es
la misma en cualquier
momento.
Se define trayectoria la curva que
marca el camino que sigue una
partcula con el transcurrir del
tiempo.
Si el flujo es no permanente las l.c. y trayectoria son lneas distintas. pero
si el flujo es permanente significan lo mismo.
La razn est en que en el flujo permanente el campo de velocidades no
cambia con el tiempo: * toda partcula que pasa por a sigue la misma trayectoria. * en cada punto a , a , an el vector velocidad permanece igual.
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Ecuaciones de la lnea de corriente
ecuacin diferencial de la l.c.
En trminos de las componentes:
dx = vx dt
dy = vy dt
dz = vz dt
o bien, para un instante t
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Tubo de flujo.- Si se considera en el seno lquido una curva cerrada y las l.c. que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad
de estas l.c. definen una superficie que se denomina tubo de flujo o
tubo de corriente, y que no puede ser atravesada por el fluido. El
volumen encerrado se conoce como vena lquida.
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Caudal o gasto
Considrese el tubo de flujo
elemental, definido en las curvas cerradas C, C muy prximas entre s.
En el punto P se pueden considerar dos vectores: y .
El vector es un vector unitario normal a la superficie y cuyo
sentido positivo se establece por convenio.
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En un intervalo dt el volumen de lquido que atraviesa, el elemento de
superficie es igual al producto escalar:
pero
se define caudal o gasto a la relacin;
Si dA es un elemento de una superficie finita
A, entonces:
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y si, como es costumbre, se escoge la
superficie A de modo que las l.c.
sean normales a ella:
Se llama velocidad media del flujo a
travs de la superficie A al cociente: