Post on 03-Oct-2015
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Solucin de sistemas de ecuaciones por el mtodo de Gauss Jordan
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el mtodo de Gauss Jordan
Paso 1. Se forma la matriz aumentada
Este es el sistema de ecuaciones a resolver
2 3
2 5 4
3 2 2
x y z
x y z
x y z
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
NOTA IMPORTANTE: El objetivo del mtodo es lograr formar una matriz identidad de esta forma.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a
b
c
Donde el sistema tiene la siguiente solucin: x = a y = b z = c
Solucin por el mtodo de gauss jordan
Paso 1. Se forma la matriz aumentada
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de 1 en el primer rengln ya tenemos un nmero 1. Nuestro objetivo ahora ser hacer obtener ceros debajo de este nmero 1
Al numero 1 de la diagonal se le denomina elemento pivote; sobre ste vamos a apoyarnos para hacer ceros los nmeros arriba y debajo de dicho numero con operaciones de eliminacin rengln
[ ] 1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Solucin por el mtodo de gauss jordan
Columna pivote
Rengln pivote
Seleccionamos el rengln pivote
Seleccionamos un rengln diferente al rengln pivote
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Identificamos Rengln, Columna y elemento pivote
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Como el objetivo es hacer 0 el nmero debajo del rengln pivote Por qu nmero debemos multiplicar el rengln pivote?
0
Elemento pivote
(-2) [ ] 1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Solucin por el mtodo de gauss jordan
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Modificamos el segundo rengln con la operacin de eliminacin rengln
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 0 -3 -2
Ahora modificamos el tercer rengln Por qu nmero multiplicamos el rengln pivote ahora?
[ ] 1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
-8 0 -4 -7
3 -2 -1 2
(-3)
Cmo queda la nueva matriz?
1 2 1 3
0 1 3 2
0 8 4 7
Solucin por el mtodo de gauss jordan 1 2 1 3
0 1 3 2
0 8 4 7
Ya transformamos la primera columna, ahora vamos con la segunda; afortunadamente ya hay un 1 como nuevo elemento pivote
1
1
Qu hacemos ahora? Hay que transformar en ceros los nmeros arriba y abajo del nuevo elemento pivote
[ 0 1 -3 -2 ]
Nuevo rengln pivote
Se repite la eliminacin rengln
0
(-2) 1 2 1 3
1 7 7
[ 0 1 -3 -2 ]
0 -8 -4 -7
(8)
0 0 -28 -23
La siguiente matriz queda:
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 28 23
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 23/ 28
Solucin por el mtodo de gauss jordan El siguiente elemento pivote es 28; el cual debe ser transformado en 1 sin alterar la ecuacin Cmo lo hacemos?
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 28 23
En otras palabras: Cada rengln representa una ecuacin, si dividimos todo el rengln entre -28 obtenemos el 1 que estamos buscando
Convertimos el elemento pivote en
1 para facilitar las operaciones; dividimos todo el rengln entre el nmero pivote (-28) obteniendo el siguiente resultado
1 1
1 1
1
Solucin por el mtodo de gauss jordan Realizamos la operacin de eliminacin rengln
[ 0 0 1 23/28 ]
1 0 7 7
(-7)
1 0 5/4
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 1 23/ 28
0
[ 0 0 1 23/28 ]
0 1 -3 -2
(3)
0 0 13/28 1
1 0 0 5 / 4
0 1 0 13/ 28
0 0 1 23/ 28
Finalmente la matriz queda
Nuevo rengln pivote
Leyndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28
Respuestas: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28
Sistema de ecuaciones original
2 3
2 5 4
3 2 2
x y z
x y z
x y z
Solucin por el mtodo de Gauss Jordan