Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2013. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Clase 6 - Versión 1 - 2014

Especificaciones temporalespara sistemas dinámicos

Son parámetros que describen la evolución temporal de un sistema dinámico. Estos miden la Performance o Desempeño del sistema dinámico de acuerdo a un criterio prestablecido.

Su uso es doble:

2) Para el Diseño de un Sistema de Control.Por ejemplo, se definen valores deseados de las especificaciones temporales de la salida controlada y luego se diseña el controlador para que la Función de Transferencia del Sistema de Control tenga sus polos y ceros en zonas apropiadas y cumpla las especificaciones temporales preestablecidas en el diseño.

1) Para el Análisis de un Sistema Dinámico a lazo abierto.Por ejemplo, se conoce su Función de Transferencia de Laplace G(s) y a

partir de la información de sus polos complejos conjugados más dominantes, se calculan los parámetros temporales de su respuesta.

2

Definición de parámetros en una evolución temporal

Sobrepico Mp Elongación máxima de la respuesta al escalón respecto a su valor final

Tiempo de subida tr Tiempo insumido por la respuesta al escalón

en subir desde el 10% al 90% de su valor finalTiempo de establecimiento ts

Tiempo en que la respuesta al escalón alcanzaa mantenerse definitivamente dentro del 5%de su valor final. También puede ser 1%

Tiempo de pico tp

Instante en donde ocurre el sobrepico

y(t)

t

100%

90%

10%0

tr

ts

Mp

tp

3

De primer orden

Parámetros temporales según clases de sistemas dinámicos

Oscilantes subamortiguados de 2do orden

De fase no-mínima

4

ts

±% de h()

Respuesta de primer orden - Simulación

1.0

1.5

0.0

0 20 40 60 80 100 120

tiempo

0.5

tr

t

Mp=0

5

±% de h()

ts

Respuesta de sistema oscilante - Simulaciones3

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100 120

tiempo

tp

Mp

tr

6

ts

±% de h()

Respuesta de fase no-mínima - Simulación

-.5

0.5

1.0

0 20 40 60 80 100 120

tiempo0.0

tp1

Mp1

tr

Mp2

tp2

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Deducción del tiempo de subida tr

wntr

Tomamos como promedio el valor de n tr =1.8 que corresponde a =0.5

8

La respuesta temporal al escalón 1(t) es:

Deducción del tiempo de sobrepico tp

9

y(t) = 1 – e-st (C cos t(d t - ))O bien: y(t) = 1 – e-st (C cos t(d t - ))

En donde la condición de extremo (es decir su primera derivada igualada a cero) es:

Deducción del tiempo de sobrepico tp

Por lo tanto el primer máximo ocurre en:

10

El 1er cero t=0 carece de sentido físico. En su 2do cero se debe producir el máximo, es decir en t =/d:

Deducción del sobrepico Mp

Reemplazando el tiempo de sobrepico en la Respuesta temporal al escalón:

es decir:

11

Ejemplo: Si Mp= 0.1 (es decir: 10%) y se solicita , entonces:

= 1/1-(/2.3)2

Relación entre el sobrepico y el amortiguamiento

Ejemplos para particulares:

y

12

Deducción del tiempo de establecimiento ts

Para una precisión en estado estacionario de ±1%,recurrimos a la evolvente e-t:

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Resumen de especificaciones temporalespara analizar un sistema dinámico

1) Tiempo de subida tr

2) Sobrepico Mp

3) Tiempo de sobrepico tp

4) Tiempo de establecimiento ts (para ±1% de tolerancia)

2’) Pico inverso Mpi (2do. cero)

3’) Tiempo de pico inverso tpi

tr = 1.8 wn

(para =0.5 o sea q=45°)

Mp = e-pz / 1-z2 Mpi

dh(t)dt

= 0

tp = pwd

tpi h(tpi) = Mpi

ts = 4.6 (1%)s

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Especificaciones de diseño en el plano de la variable compleja s

Con dos grados de libertad en la posición de los 2 polos complejos, es decir: ( ,s wd) o ( ,z wn), sólo es posible asignar biunívocamente dos parámetros temporales del conjunto (tr, tp, ts, Mp).

Por ello al fijar los valores en los dos grados de libertad, se puede indicar una terna o la cuaterna completa (tr, tp, ts, Mp) sólo a través de desigualdades:

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Zona de estabilidad para diseño

jws

s

Zona estable derespuesta rápida

Zona estable derespuesta lenta

Zona inestable derespuesta creciente en el tiempo

z=cte

s =cte

wn=cte

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wd=cte

wd=-cte

Fronteras de Buena Performancey Estabilidad

Tiempo t Variable sFrecuencia w

Diseños equivalentes en distintos dominios

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