Post on 24-Jan-2016
Iniciación a la Resistencia de los Materiales
•TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS
•de J.A.G. Taboada
Texto de referencia:
PARTE 1 : Resistencia
Objeto:
COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS
DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
CAPITULO II:
TRACCIÓN – COMPRESIÓN
Y
CORTADURA
Lecciones 4 y 5:
2011
Lección 4 :
• 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones.
• 4.2 .- Círculos de Mohr.
• 4.3 .- Planos y tensiones principales.
• 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson.
• 4.5 .- Deformación por esfuerzos triaxiales.
4.1.- Estado tensional de un punto
x
y
z
nx
nx
xy
xz
xz
xy
yxny
yz
nz
zyzx
4.1.- Tensiones principales de un punto
nx
xz
xy x
y
z N
2
3
1
= 1+ 2 + 3
1 2 3
dSx = d dSy = d dSz = d
4.1.- Matriz de Tensiones
x d = nx d + yx d + zx d
y d = xy d + ny d + zy d
z d = xz d + yz d+ nz d
x
y
z
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz
cosenos directores[ [ [ u
4.3.- Tensiones y direcciones principales
1
2
3
1 2 3
2
3
1
Direcciones principales
1
2
3
x
y
z
=
=>
x = 1
y = 2
z = 3
=>
12 2
2 32
x2 y2 z2+ + = 1
4.2.- Círculo de Mohr
13 2
C1
O1
C2
O2
C3
O3
n
n
p
’p
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz x
y
z
x
cos
cos(90-0
F/S
x
F
n = u = (F/S . cos ) . 1 . cos = F/S . cos2
N
n
2
= (F/S . sen ) . 1 . cos = F/S . (sen 2)
2
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz 1
2
3
x
cos
cos(90-0
nx
ny
x
Fx
n = nx. cos2 + ny. cos2 (90 – ) =
N
n
2
Fy
1
2
nx+ ny 2
+nx- ny
2cos 2 n =
nx- ny
2sen 2 =
4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto
Fx
N
n
2
Fy
1
2
nx- ny
tan 2=
nx+ ny 2
+ nx- ny
2 1 = )2(
nx+ ny 2
- nx- ny
2 2 = )2(
4.3.- Tensiones y direcciones principales
0 = (nx - )* + yx * + zx *
0 = xy * + (ny - )* + zy *
0 = xz * + yz * + (nz -)*
[ [ [ u
Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él:
Su determinante es :
(nx - ) yx zx
xy (ny - ) zy
xz yz (nz -)
= 0 que desarrollado es
- + I1 - I2+ I3 = 0
4.3.- Tensiones y direcciones principales
[ [ [ u
Tensiones principales : son las raíces de la ecuación
Ecuación característica o secular
- + I1 - I2+ I3 = 0
donde :
I1 = nx + ny+ nz
I2 = nxny+nynz+nznx-yz-
zx-xy
I3 = |
Deformación Trasversal
y = - x
coeficiente de deformación trasversal o de Poisson
y
x
Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)
x = x
E+ -
y
E -
z
E + T
y = y
E+ -
x
E -
z
E + T
z = z
E+ -
x
E -
y
E + T
Invariante lineal de deformaciones
Invariante lineal de tensiones
e = x + y + z
= x + y+ z
Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)
Invariante lineal de deformaciones
Invariante lineal de tensiones
e = x + y + z
= x + y+ z
x = x
E+ -
y
E -
z
E + T
0
E+
y = y
E+ -
x
E -
z
E + T
0
E+
z = z
E+ -
x
E -
y
E + T
0
E+
Calculo matricial
[ T ] =Matriz de tensionesEcuación de equilibrio
x = nx + yx + zx x nx yx zx
y = xy + ny + zy y = xy ny zy * z = xz + yz + nz z xz yz nz
= [ T ] * [u]
=nx
+ yx +
zx
= xy +
ny +
zy => = 0
= xz + tyz +
nz -
Invariante lineal = nx + ny + nz
Invariante cuadrático = nx ny ny nz + nx nz - 2
yx - zx -
yz
= T
> >
-3 + I1 2 - I2 + I 3
Ecuación característica : Direcciones Principales y Tensiones Principales