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7/23/2019 [2013-1] Primera Prueba Catedra
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PRIMERA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALES MA382 (18 abril 2013)
1. Resuelva la ecuación diferencial (15 ptos.)
(2x2y2 2x3y + 4x2)dx + (4x3y x4)dy = 0; (1)
buscando un factor integrante de la forma (z) con z = x2.
Solución
Multiplicando (1) por (z),
(z)(2x2y2 2x3y + 4x2)dx + (z)(4x3y x4)dy = 0; (2)
entonces, (z) con z = x2, será factor integrante si
@
@y[(z)(2x2y2 2x3y + 4x2)] =
@
@x[(z)(4x3y x4)]
(z)(4x2y 2x3) = 0(z)dz
dx(4x3y x4) + (z)(12x2y 4x3)
(z)(8x2y + 2x3) = 03y x4):
) (z)(4xy + x2) = 03y x4) ) 0(z)
(z) =
4yx + x2
4x3y x4 =
(4y x)
x2(4y x) =
1
z
) 0(z)(z) = 1z ) d(z)(z) = 1z dz ) ln((z)) = ln(z) ) (z) = eln(z) = z1 (12 pun
Así, un factor integrante es (z) = z1 = x2.
Reemplazando (z) = x2 en (2), se tiene la ecuación exacta
(2y2 2xy + 4)dx + (4xy x2)dy = 0
Entonces, existe F (x; y) tal que
@F
@x = 2y2 2xy + 4; : : : (3)
@F
@y = 4xy x2; : : : (4)
Integrando (3) con respecto a x, se obtiene
F (x; y) = 2xy2 x2y + 4x + (y) : : : (5)
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Derivando (5) con respecto a y e igualando a (4), se tiene
4xy x2 + 0(y) = @F @y
= 4xy x2 ) 0(y) = 0 ) (y) = 0:
Reemplazando (y) = 0 en (5): F (x; y) = 2xy2 x2y + 4x y la solución general dela ecuación (1) es
2xy2 x2y + 4x = C: (3 puntos)
2. Resolver la ecuación ( 10 ptos.)
dy
dx =
4
xy + x
p y; (6)
Solución
La ecuación (6) se puede escribir como
dy
dx 4
xy = xy1=2 (7)
que corresponde a una ecuación de Bernoulli con n = 1=2:
Multiplicando (7) por y1=2 obtenemos
y1=2 dy
dx 4
x y1=2 = x: (8)
De…nimos z = y1=2 , entonces tenemos dz
dx =
12
y1=2 dydx
: Reemplazando en (8),
2dz
dx 4
x z = x ) dz
dx 2
x z =
x
2 ) dz 2
x z dx =
x
2 dx (5 puntos) (9)
que es una ecuación lineal de primer orden.
Factor integrante para (9): (x) = eR 2
x dx = e2 ln(x) = x2.
Multiplicando (9) por (x) se obtiene d(x2 z) = x1
2 dx e integrando se tiene
x2 z = 1
2 ln(x) + C; ) ln(x) = 2 x2 z + C ) x = C e2 x2
z
y reemplazando z = y1=2, la solución general de (6) es
x = C e2 x2p y: (5 puntos)
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3. Encontrar, la solución general de la ecuación: (15 ptos.)
(3x2y y3)dx (x3 3xy2)dy = 0 (10)
Solución
Denotando M (x; y) = 3x2y y3 y N (x; y) = x3 + 3xy2, para todo real se tiene
M (x;y) = 3(x)2(y) (y)3 = 3(3x2y y3) = 3M (x; y);
N (x;y) = (x)3 3(x)(y)2 = 3(x3 3xy2) = 3N (x; y);
entonces M (x; y) y N (x; y) son funciones homogéneas de grado 3, así(10) es unaecuación diferencial de coe…cientes homogéneos.
Haciendo el cambio de variable v = y=x, se tiene y = vx; dy = vdx + xdv,
y reemplazando en la ecuaciónm (10), se obtiene
(3x3v x3v3)dx (x3 3x3v2)(vdx + xdv) = 0
(3v v3)dx (1 3v2)(vdx + xdv) = 0
(3v v3 v + 3v3)dx (1 3v2)xdv = 0
(2v + 2v3)dx (1 3v2)xdv = 0
2v(1 + v2)dx (1 3v2)xdv = 0;
entonces1
xdx 1 3v2
2v(1 + v2)dv = 0 ) 1
xdx (1 + v2) 4v2
2v(1 + v2) dv = 0
luego,
1
xdx (
1
2v 2v
1 + v2)dv = 0 e integrando, ln(x) 1
2ln(v) + ln(1 + v2) = C;
así,
lnxv1=2(1 + v2)
= C
) xv1=2(1+v2) = C; ( sino incluye valor absoluto, se descuenta 1
y reemplazando v = y=x, la solución general de (10) es
x(y
x)1=2(1 +
y2
x2) = C:
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4. Un tanque contiene originalmente 1000 litros de una solución agua-mineral, con
una concentración de 0:3 kg/lit. Se hace ingresar al tanque agua que contiene0:4 kilogramos de mineral por litro, con una rapidez de 30 lit/hora, y la soluciónabandona el tanque con una velocidad de 40 lit/hora. Determinar la cantidad demineral y la concentración en el tanque después de 50 horas. (20 ptos.)
Solución
X (t) es la cantidad de mineral en el tanque en el instante t.
Datos:
Volumen inicial V (0) = 1000 litros
Concentración inicial C (0) = 0:3 y como C (0) = X (0)V (0) , entonces
X (0) = C (0)V (0) = 0:3(1000), entonces X (0) = 300 kg
Concentración de entrada ce = 0:4 kg=lit
Velocidad de entrada ve = 30 lit=hora
Velocidad de salida vs = 40 lit=hora
Volumen V (t) = V (0) + t(ve vs), entonces V (t) = 1000 10 t
Hallar X (50) =?, C (50) =?
Modelo:d X
d t
= vece
vsX
V (t)
, reemplazando los datos se tiene que resolver la ecuación
diferencial lineal:
d X
d t = (0:4)(30) 40
X
1000 10 t ) d X
d t = 12 4
X
100 t
dX + 4
100 t X dt = 12 dt (10 puntos) (11)
Factor integrante para (11): (t) = eR
4
100t = e4 ln(100t) = (100 t)4.
Multiplicando (11) por (t), se tiene d((100 t)4X ) = 12 (100 t)4 dt
e integrando se obtiene
(100t)4X = 4(100t)3+C ) X (t) = 4(100t)+C (100t)4:(5 puntos) (
Aplicando la condición X (0) = 300 en (12):
300 = X (0) = 400 + C (100)4 ) 100 = C (100)4 ) C = (100)3;
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y reemplazando en (12),
X (t) = 4(100 t) (100)3(100 t)4: (13)
En t = 50 de (13) se tiene
X (50) = 4(50) (100)3(50)4 = 200 (2)3(50) = 200 25
4 =
775
4 = 193:75
La cantidad de mineral en el tanque despues de 50 horas es 193. 75 kilogramos.
Ahora, como V (50) = 1000 10(50) = 500 y X (0) = 193:75, entonces
C (50) =
X (50)
V (50) =
193:75
500 =
1:9375
5 = 0:3875; (5 puntos)
entonces, la concentración en el tanque despues de 50 horas es 0.3875 kilogramos demineral por litro.
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