Post on 07-Dec-2014
description
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Ciclo 2014-III
ÁLGEBRA “ECUACIONES”
ECUACIONES
DEFINICIÓN.
Es una igualad condicional que se verifica para
valores particulares asignados a sus incógnitas.
Ejemplo:
1. Resolver la ecuación: 3x – 1 = x + 5
Resolución:
3x – 1 = x + 5
3x – x = 5 + 1
2x = 6
x = 3 , es la raíz o solución.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES.
A. Según que sus Incógnitas estén Afectados o
No de Radicales.
1. Ecuaciones Racionales. Cuando sus
incógnitas no están afectadas de radicales.
Ejemplos:
31
;2
1
5
1
xx
xx
2. Ecuaciones Irracionales. Cuando al menos
una de sus incógnitas no está afectada de
radical.
Ejemplos:
2 xx
B. Según el número de raíces o Soluciones.
1. Ecuación Compatible. Cuando tiene
soluciones. Ésta a su vez podrá ser:
1.1. Determinada. Si presenta un número
limitado de de soluciones.
1.2. Indeterminada. Si presenta un número
ilimitado de de soluciones.
2. Ecuación Incompatible. Es aquella que no
admite solución (Ecuación Absurda).
C. Según el Tipo de Coeficientes.
1. Ecuaciones Numéricas. Cuando los
coeficientes son números.
Ejemplo: x2 + 5x + 6 = 0
2. Ecuaciones Literales. Cuando all menos
uno de los coeficientes es letra.
Ejemplo: ax + b = cx + d
I. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER
GRADO.
Es aquella cuya forma general es:
ax + b = 0 ; a 0
Donde: x es la incógnita
a b los coeficientes
Raíz x = -b/a
Sx = {-b/a}
* Discusión de la Solución.
- Si b R a 0 Compatible
Determinada
- Si b = 0 a = 0 Compatible
Indeterminada
- Si b 0 a = 0 Incompatible
Semana Nº 10
Tablilla
Babilónica
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
II. ECUACIÓN CUADRATICA O DE SEGUNDO
GRADO.
Es aquella cuya forma general es:
ax2 + bx + c = 0 ; a 0
Donde: x es la incógnita
a ; b c los coeficientes
METODOS DE RESOLUCION DE LA ECUACION Toda ecuación de 2do grado podrá resolverse por al
menos una de las siguientes formas:
A) Por Factorización Este método se aplica únicamente si el trinomio:
cbxax2
es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:
0n0m0n.m:Si
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
012xx2
Según el criterio del aspa x2 – x–12=(x–4)(x+3) simple tendremos: x -4 x 3 luego la ecuación dada será: (x–4) (x+3) = 0 Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas arriba; se tendrá:
x – 4 = 0 x + 3 = 0 x = 4 x= -3 Es decir el conjunto solución de la ecuación:
x2 – x – 12= 0, es : C.S. = {4; -3}
B) Por la Fórmula de Carnot
Dada la ecuación : 0cbxax2
, sus raíces s obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi Carnot:
a2
ac4bbx
2
Donde las raíces son:
a2
ac4bbx;
a2
ac4bbx
2
2
2
1
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
01x3x2
De la ecuación se deduce que:a = 1 b = 3 c =–1 Reemplazando en la fórmula tenemos:
)1(2
)1)(1(433x
2
Efectuando y reduciendo: 2
133x
Finalmente las raíces de la ecuación son:
2
133x1
;
2
133x2
En consecuencia el conjunto solución es:
2
133;
2
133.S.C
ANÁLISIS DE LA ECUACION:
Para la ecuación: 0cbxax2
, se tiene:
I) Si: Rcba ;0 , la ecuación es:
Compatible Determinada. II) Si: a = 0 b = 0 c = 0, la ecuación
es: Compatible Indeterminada
III) Si: a = 0 b = 0 c 0, la ecuación es: Incompatible.
NATURALEZA DE LAS RAICES A) DISCRIMINANTE )(
Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot:
ac4b2
De este modo la fórmula que da solución a una
ecuación de 2do grado queda así:
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
a2
bx
B) ANALISIS DEL DISCRIMINANTE Observando la relación anterior, resulta
previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2do grado. Veamos los siguientes casos:
Primero: 0:Si
En este caso las raíces d la ecuación serán reales y diferentes.
Segundo: 0:Si
En este caso las raíces de la ecuación serán reales e iguales. Este caso se presenta cuando el
trinomio "cbxax"2
es un cuadrado perfecto.
Tercero: 0:Si
En este caso las raíces d la ecuación serán imaginarias y conjugadas. Desde notarse que las raíces imaginarias siempre se presentan en parejas, siendo una la conjugada de la otra.
PROPIEDADES DE LAS RAICES
Para la ecuación: 0a/0cbxax2
, raíces
21xx , tenemos:
I) Suma de Raíces: a
bxxs
21
II) Producto de Raíces: a
cx.xp
21
III) Diferencia de Raíces : a
xxd21
A) RAICES PARTICULARES En algunas ecuaciones las raíces se consolidan
de tal modo que efectuando alguna operación elemental entre ellas, se podrá deducir alguna propiedad particular como por ejemplo:
Raíces Simétricas: Si 21
xx son raíces
simétricas, se podrá establecer lo siguiente: 0xxmxmx
2121
Raíces Recíprocas: Si:
21xx son raíces
recíprocas, se podrá establecer lo siguiente:
1x.xm
1xmx
2121
B) RAICES ESPECIALES Llamamos así a las siguientes raíces: Raíz Nula: Dada la ecuación cuadrática
0a/0cbxax2
, si ésta presenta una
raíz nula ( x = 0), se cumplirá que: c = 0 Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática
0a/0cbxax2
, si ésta presenta una
raíz unidad ( x = 1), se cumplirá que: a + b + c = 0
RECONSTRUCCION DE LA ECUACION CUADRATICA
Considerando a
21xx como raíces d la ecuación
tal que: S = Suma de raíces P = Producto de raíces Entonces la ecuación que se originó a dichas raíces
se determina así:
0PSxx2
PROPIEDADES IMPORTANTES A) De las Ecuaciones Equivalentes Sean:
)2(..........0cxbxa
)1..(..........0cxbxa
22
2
2
11
2
1
dos ecuaciones equivalentes , luego entre ellas se cumplirá la siguiente relación:
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
PROBLEMAS PROPUESTOS
BLOQUE I
01. Sea la ecuación de incógnita "x".
6 3m x
Si la solución es: x = 49. Hallar el valor de "m". a) 4 b) 8 c) 5 d) 13 e) 2 02. Resolver la ecuación si se reduce a primer
grado en "x".
2 22 5 3 4; ( )ax x a x ax a R
a) -1 b) -16 c) -15/17 d) -1/17 e) -1/9 03. Si la ecuación: 36x - 8 + 4ax + b = 13ax - b + 2 Tiene infinitas soluciones. Hallar: ab. a) 10 b) 24 c) 20 d) 32 e) 44
04. Resolver: 2 3 4 1
1 1 1
x x
x x x
Indicando, luego: 2 1x .
a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5
05. Hallar "x" en: 1 1
;a a b b
a bx b a x x b
a) a b
x b
b)
a b
a x
c)
2
a b
d) 2
a b e)
a b
ab
06. Resolver: 2 1 3x x ; e indicar la
suma de cifras de : 3x + 8. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 07. Resolver la ecuación:
1 1 3
1 1 1 1 xx x
a) 1 b) 1
2 c)
1
3
d) 1
4 e)
1
5
08. Al resolver la ecuación: 2 44
3x x a
x
Se obtuvo como una de sus soluciones el valor 5, hallar el valor de "a".
a) 3 b) 4 c) 9 d) 16 e) 11
09. Si la ecuación:
2 2(3 4) 2 2 2 18a x ax ax x
Se reduce a una de primer grado en x". Indicar el valor de "x".
a) 5
2 b)
4
3 c)
8
3
d) 2
5 e)
3
4
10. Calcular: "m.n", si la ecuación:
3 ( 1)2
nmx x
Es compatible indeterminada.
a) 12 b) 18 c) 72 d) 54 e) 45
11. Resolver: 2 22 ( 3)( 4) ( 9)( 4)x x x x x
E indicar lo correcto:
a) Tiene dos soluciones enteras. b) Tiene tres soluciones negativas. c) La mayor solución es 4. d) Tiene una solución fraccionaria. e) Tiene tres soluciones. 12. Al resolver la ecuación:
22 4 3
42 3 1
x x x
x x
, se obtiene:
a) x = 0 b) x = 2 c) x = -2 d) x = 1 e) Ecuación incompatible
13. Hallar "x", en: 2 2
2x m x n m n
m n mn
a) m + n b) m c) n - m
d) n e) ( )
2
n m
14. Resolver: 32 34 4 5 1 2x x x x
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
a) 13 b) 12 c) 14
d) 11 e) 15
15. Calcular "x", en:
1 1 1 1
x a x b x a x b
a) a + b b) a - b c) ab
d) a b e) ab
BLOQUE II
1. El valor de “q” para que las dos raíces de la
ecuación: 082 qxx , sean iguales,
es: a) 12 b) 16 c) -16 d) 10 e) -12
2. Si
mm
1; es el conjunto solución de la
ecuación ,053 2 kxx calcule el valor
de M. 21...4321 kM
a) 85 b) 96 c) 110 d) 100 e) 136
3. Si la ecuación cuadrática ,042 axax
tiene una única solución, entonces el valor de 4 a es:
a) 1/2 b) 1/4 c) 2 d) 1/8 e) 1/16
4. Calcule el mayor valor que tiene m para que la
ecuación 112 xmmx tenga raíces
iguales. a) 1 b) 5 c) 3 d) -1 e) -3
5. Si baCS ; es el conjunto solución de la
ecuación ,032 2 xx calcule el valor de
81212 ba
a) 10 b) 12 c) 17 d) 14 e) 15
6. Si 111 xx son las raíces de la ecuación
0362 pxx . Determinar p de modo
que: 12
511111
xx
a) 15 b) 14 c) 13 d) 11 e) 12
7. Si la ecuación:
04163 2 mxmmx tiene
raíces recíprocas. Señalar una de ellas. a) ½ b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6
BLOQUE III
III SUMATIVO 2013 - I
1. Determinar m para que la expresión
074122 mxmx tenga
raíces reales.
a) 4;2 Rm b) ,4m c) ,2m
d) 4,2 Rm e) 4,2m
III SUMATIVO 2013 - III
2. Hallar el tercer término en el desarrollo
de: 532 x .
a) 240x3 b) 520x3 c) 720x3
d) 810x3 e) 1080x3
III SUMATIVO 2013 - II
3. La ecuación de segundo grado con
coeficientes reales que admite como
raíz al número complejo ,32 i es:
a) 0742 xx b) 01442 xx
c) 0742 xx d) 01182 xx
e) 01182 xx
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
III SUMATIVO 2013 - II
4. Hallar el valor de “k” si las raíces de la
ecuación de segundo grado
09222 kxkx son iguales. Dar
como respuesta la suma de los valores
encontrados.
a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 0
III SUMATIVO 2012 - III
5. Los valores Rk que hacen que la
ecuación 0112 xkx no tenga
soluciones reales, se encuentra en el
intervalo.
a) 1,3 b) 1,3 c) 3,2
d) 3,1 e) 2,3
III SUMATIVO 2012 - I
6. El valor de m, que hace que la
ecuación 0112 xmmx no tenga
raíces reales, es:
a) 1 b) -1 c) 3 d) 2 e) 6
III SUMATIVO 2012 - I
7. La ecuación 0104436 2 pxpx
admite por raíces a 21 xx ; si
,10
1911
21
xx
entonces el valor de p, es:
a) 7 b) 3 c) 6 d) 2 e) 5
III SUMATIVO 2014 - I
8. Dada la ecuación:
0;0263 22 kkkxxk Si la suma
de sus raíces es igual al doble de su
producto, halla k.
a) 1 b) ½ c) -1/2 d) 2 e) -2
III SUMATIVO 2014 - I
9. La suma de las raíces de una ecuación
cuadrática es 2 y su diferencia 4.
Luego, la ecuación es:
a) 0322 xx b) 0322 xx
c) 0322 xx d) 0222 xx
e) 0322 xx
III SUMATIVO 2011 - III
10. Resolver:
4
3
55
1
55
1
xxxx. Dar
como respuesta la suma de sus raíces.
a) -16/9 b) 56/9 c) 16/9
d) 0 e) 80/9
III SUMATIVO 2011 - III
11. Al resolver la ecuación:
16
8
4
1
4
12
aaa
Se obtiene que el
valor de “a” es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) No hay solución
II SUMATIVO 2014 - II
12. Al resolver la ecuación:
,0852 ixix el cuadrado de
una de sus soluciones es:
a) 5-12i b) 5+12i c) 12-5i
d) 12+5i e) 5 - 6i
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
II SUMATIVO 2014 - I
13. La relación entre las edades de Ana y
Betty es de 3 a 5. Si hace 11 años el
promedio de sus edades era 9.
¿Cuántos años tendrá Ana dentro de 3
años?
a) 15 años b) 16 años c) 18 años
d) 20 años e) 21años
II SUMATIVO 2013 - III
14. Si las raíces de la ecuación:
0422 qpxqpxqp son
iguales, entonces el valor de: ,11
qp
es:
a) 0 b) 1 c) 4 d) 2 e) -3
II SUMATIVO 2012 - I
15. El conjunto solución de la ecuación
exponencial: xx 310133 , es:
a) 2;2 b) 1;1 c) 2/1;2/1
d) 4;4 e) 3/1;3/1
II SUMATIVO 2012 - I
16. Hallar el valor de n de tal manera que
las raíces de la ecuación:
;1
1
25
32
n
n
x
xx sean simétricas.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
II SUMATIVO 2013 - I
17. La ecuación resultante que tiene
solución y que se obtiene a partir de:
022 xx ee .
a) 2xe b) 1xe c) 1xe
d) 3xe e) 2xe
II SUMATIVO 2013 - I
18. Indique el cardinal del conjunto
solución de: xxx 31 ,
considerando solo las soluciones
enteras.
a) 2 b) 4 c) 0 d) 3 e) 1
II SUMATIVO 2012 - III
19. El numero de soluciones que tiene la
ecuación: ,0321
2
x
xx es:
a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 0
II SUMATIVO 2011 - III
20. Para que la ecuación cuadrática,
,0122 xkx tenga solución única,
los valores de k, deben ser:
a) 1;1 b) 2;2 c) 3;3
d) 2/1;2/1 e) 3/1;3/1
II SUMATIVO 2011 - II
21. Resolver:
ba
bxax
bxbxaxax
y dar
el valor numérico de “x” para
154 ba .
a) 15 b) 5 c) 3 d) 0 e) 1
Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda Álgebra.
8
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
II SUMATIVO 2011 - II
22. Formular una ecuación de segundo
grado sabiendo que sus raíces son 2 y
3; de esta manera la suma de los
coeficientes de sus términos, es:
a) 0 b) 5 c) 2 d) 2/3 e) 3/2
II SUMATIVO 2011 - II
23. La diferencia de los cuadrados de las
raíces d la ecuación:
22,11 22 xx ; es:
a) 1,2 b) 1,1 c) 1,3 d) 1,4 e) 1,5
EXCELENCIA 2011
24. Si 21; xx son soluciones de la
ecuación 0222 bxbx y
además
,421
2
2
2
1 xxxx entonces el
menor valor de 2
2
1
2
21 xxxxM es:
a) -12 b) -14 c) -15 d) -16 e) -17
PREFERENTE 2007
25. La suma de las raíces de la ecuación:
esxx ,1323
a) 1 b) 6 c) 7 d) 5 e) 9
PREFERENTE 2007
26. Si ,Rx la ecuación:
24 xx tiene como solución:
a) 0 b) 5 c) 0;5 d) 2 e) NA
PREFERENTE 2009
27. Al resolver:
11
...
32
1
21
1
1
1
naxnax
axaxaxaxnax
El valor de “x” es igual a:
a) 11 b) n+1 c) n-1 d) n+1/a e) n-1/a
PREFERENTE 2010
28. Dada la ecuación: ,010023 xx
donde 1x es una raíz real y 32 ; xx
son raíces imaginarias. El valor de
32
1
.xx
xR
a) -1/5 b) -1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/4
CEPUNT 2010 - II
29. Si se cumple que:
223
85
85
232
2
2
2
nn
xx
xx
xx
xx el valor
de “x” es:
a) 0 b) 1/4 c) ½ d) ¾ e) 5/4
CEPUNT 2010 - I
30. Si ba son las raíces de la ecuación:
2222 210295 xxx entonces el
valor de "" ba es:
a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) 1