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6.2 Mtodo grfico para la construccinde diagramas de fuerza cortantey de momento
En los casos donde se somete una viga a varias cargas diferentes, la de-terminacin de V y M como funciones de x para despus graficar esas
ecuaciones puede resultar un proceso bastante tedioso. En esta seccin
se analiza un mtodo ms sencillo para la construccin de los diagramas
de fuerza cortante y de momento; este mtodo se basa en dos relaciones
diferenciales, una que existe entre la carga distribuida y la fuerza cortante,
y otra entre la fuerza cortante y el momento.
Regiones de carga distribuida. Con el fin de generalizar, consi-dere la viga de la figura 6-8a, que est sometida a una carga arbitraria. En
la figura 6-8bse muestra un diagrama de cuerpo libre para un pequeo
segmentoxde la viga. Como este segmento se ha elegido en una posicinxdonde no hay fuerza concentrada o momento, los resultados que se ob-
tengan no se aplicarn en estos puntos de carga concentrada.
Observe que todas las cargas mostradas sobre el segmento actan en sus
direcciones positivas de acuerdo con la convencin de signos establecida,
figura 6-3. Asimismo, tanto la fuerza cortante como el momento resultan-
tes internos, que actan en la cara derecha del segmento, deben cambiarse
por una cantidad pequea para mantener al segmento en equilibrio. La
carga distribuida se sustituye por una fuerza resultante w(x)xque acta a
una distancia fraccional k(x) desde el lado derecho, donde 0 6k61 [por
ejemplo, si w(x) es uniforme, k=12]. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio
para el segmento, se tiene
La falla de esta mesa se produjo en el pun-tal de apoyo ubicado en su lado derecho. Sise dibujara, el diagrama de momento flexio-nante para la carga en la mesa indicara queste es el punto donde ocurre el momentointerno mximo.
(a)
x x
w(x)
M0
F
(b)
M M
M
V
x
w(x)x
w(x)
k(x)
Diagrama de cuerpo libredel segmento x
O
V V
Figura 6-8
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6.2 MTODOGRFICOPARALACONSTRUCCINDEDIAGRAMASDEFUERZACORTANTEYDEMOMENTO 26
Al dividir entre xy tomar el lmite cuando xg0, las dos ecuaciones
anteriores se convierten en
M = Vx + w1x2k1x22
-Vx - M - w1x2x[k1x2] + 1M + M2 = 0d+ MO = 0;
V = w1x2x
V + w1x2x - 1V + V2 = 0+ c Fy = 0;
(6-1)
(6-2)
=
dM
dx = V
pendiente del diagramade fuerza cortante
en cada punto
pendiente del diagrama
de momento en
cada punto
intensidad de lacarga distribuida
en cada punto
fuerza cortante
en cada
punto
=
dV
dx = w1x2
Estas dos ecuaciones proporcionan un medio conveniente para obte-
ner rpidamente los diagramas de fuerza cortante y de momento para una
viga. La ecuacin 6-1 establece que en un punto lapendiente del diagrama
de fuerza cortante es igual a la intensidad de la carga distribuida. Por ejem-
plo, considere la viga de la figura 6-9a. La carga distribuida es negativa y
aumenta desde cero hasta wB. Por lo tanto, el diagrama de fuerza cortante
ser una curva con pendiente negativa, la cual aumenta desde cero has-
ta -wB. En la figura 6-9b se muestran las pendientes especficas w
A=0,
-wC-wDy wB.
De manera similar, la ecuacin 6-2 establece que en un punto la pen-
dientedel diagrama de momento es igual a la fuerza cortante. Observe
que el diagrama de fuerza cortante en la figura 6-9b comienza en +VA
,
decrece hasta cero y luego pasa a ser negativo y disminuye hasta -VB. El
diagrama de momento tendr entonces una pendiente inicial de +VA
que
decrece hasta cero, despus la pendiente se vuelve negativa y disminuye
hasta -VB. En la figura 6-9cse muestran las pendientes especficas V
A, V
C,
VD
, 0 y -VB.
ww(x)
A
C D
wB
0
0
V
VA
VA
VC
VD
M
wC
wD
(a)
(b)
(c)
w= incremento negatpendiente = incremento
V = decremento positivopendiente = decremento pos.
Figura 6-9
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Las ecuaciones 6-1 y 6-2 tambin pueden rescribirse en la forma dV=
w(x) dxy dM=Vdx. Si se tiene en cuenta que w(x) dxy Vdxrepresentan
reas diferenciales bajo la carga distribuida y el diagrama de fuerza cor-
tante, respectivamente, es posible integrar estas reas entre dos puntos
cualesquiera Cy Dde la viga, figura 6-9d, y escribir
La ecuacin 6-3 establece que el cambio en la fuerza cortanteentre Cy D
es igual al reabajo la curva de la carga distribuida entre esos dos puntos,
figura 6-9d. En este caso, el cambio es negativo ya que la carga distribuida
acta hacia abajo. Del mismo modo, a partir de la ecuacin 6-4, el cambio
en el momento entre Cy D, figura 6-9f, es igual al rea bajo el diagrama de
fuerza cortante en la regin entre Cy D. Aqu, el cambio es positivo.
Como las ecuaciones anteriores no se aplican en los puntos donde ac-
ta una fuerza o un momento concentrado, a continuacin se considerar
cada uno de estos casos.
Regiones de fuerza y momento concentrados. En la figura
6-10bse muestra un diagrama de cuerpo libre de un pequeo segmento dela viga mostrada en la figura 6-10a; el segmento se tom por debajo de la
fuerza. Aqu se puede ver que el equilibrio de fuerzas requiere
(6-3)
(6-4)
=
M = LV1x2dx
cambio en la
fuerza cortante
cambio en
momento
rea bajo la
carga distribuida
rea bajo el diagrama
de fuerza cortante
=
V = Lw1x2dx
(6-5)V = F
V + F - 1V + V2 = 0+ c Fy = 0;
M + M - M0 - Vx - M = 0d+ MO = 0;
(6-6)M = M0
As, cuando Facta hacia arribasobre la viga, Vespositivopor lo que la
fuerza cortante saltar hacia arriba. Del mismo modo, si Facta hacia
abajo, el salto (V) ser hacia abajo.
Cuando el segmento de viga incluye al momento M0, figura 6-10b, en-
tonces el equilibrio de momentos requiere que el cambio en el momento
sea
Si se hace que xS0, se obtiene
En este caso, si M0se aplica ensentido horario, Mespositivopor lo que
el diagrama de momento saltar hacia arriba. Del mismo modo, cuando
M0acta ensentido antihorario, el salto (M) ser hacia abajo.
(d)DC
x
x
V
DC
DC
(e)
(f)
M
V
M
Fig. 6-9 (cont.)
F
V
V V
M M
x
(a)
M
M
(b)
M0
O
V
V V
M M
x
Figura 6-10
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6.2 MTODOGRFICOPARALACONSTRUCCINDEDIAGRAMASDEFUERZACORTANTEYDEMOMENTO 26
Procedimiento de anlisis
El siguiente procedimiento proporciona un mtodo para construir
los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga, con
base en las relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y mo-
mento.
Reacciones en los apoyos.
Determine las reacciones de apoyo y descomponga las fuerzas
que actan sobre la viga en sus componentes perpendiculares y
paralelas al eje de la viga.
Diagrama de fuerza cortante.
Establezca los ejes Vyx,y grafique los valores conocidos de la
fuerza cortante en los dos extremos de la viga.
Observe cmo varan los valores de la carga distribuida a lo lar-
go de la viga, y note que cada uno de estos valores indica la pen-diente que tendr el diagrama de fuerza cortante (dV>dx=w).
Aqu wes positiva cuando acta hacia arriba.
Si debe determinarse un valor numrico para la fuerza cortante
en un punto dado, tal valor puede encontrarse mediante el m-
todo de las secciones y la ecuacin de equilibrio de fuerzas, o
bien por medio de V=w(x) dx, que establece que el cambio
en la fuerza cortanteentre dos puntos cualesquiera es igual al
rea bajo el diagrama de cargaentre esos dos puntos.
Diagrama de momento.
Establezca los ejes Myx,y grafique los valores conocidos delmomento en los extremos de la viga.
Observe cmo varan los valores del diagrama de fuerza cortan-
te a lo largo de la viga, y tenga en cuenta que cada uno de estos
valores indica la pendiente que tendr el diagrama de momento
(dM>dx=V).
En el punto donde la fuerza cortante es cero, dM>dx=0; por lo
tanto, en este punto ocurre un momento mximo o mnimo.
Si debe determinarse un valor numrico para el momento en un
punto dado, tal valor puede encontrarse mediante el mtodo de
las secciones y la ecuacin de equilibrio de momentos, o bienpor medio de M=V(x)dx, que establece que el cambio en el
momento entre dos puntos cualesquiera es igual al rea bajo
el diagrama de fuerza cortanteentre esos dos puntos.
Como w(x) debe integrarsea fin de obtener V, y V(x) se inte-
gra para obtener M(x), entonces si w(x) es una curva de grado
n, V(x) ser una curva de grado n +1 y M(x) ser una curva de
grado n+2. Por ejemplo, si w(x) es uniforme, V(x) ser lineal y
M(x) ser una parbola.
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EJEMPLO 6.5
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga
mostrada en la figura 6-11a.
SOLUCINReacciones en los apoyos. La reaccin en el soporte fijo se mues-tra en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-11b.
Diagrama de fuerza cortante. Primero se representa la fuerzacortante en cada extremo de la viga, figura 6-11c. Como no hay carga
distribuida sobre la viga, la pendiente del diagrama de fuerza cortante
es cero, tal como se indica. Observe que la fuerza Pen el centro de la
viga hace que el diagrama de fuerza cortante salte en forma descenden-
te una cantidad P, dado que esta fuerza acta hacia abajo.
Diagrama de momento. Se grafican los momentos en los extre-mos de la viga, figura 6-11d. Aqu el diagrama de momento consta de
dos lneas inclinadas, una con pendiente de +2Py la otra con pendiente
de +P.
El valor del momento en el centro de la viga puede determinarse
por el mtodo de las secciones, o con base en el rea bajo el diagrama
de fuerza cortante. Si se elige la mitad izquierda del diagrama de fuerza
cortante,
M x=L = -3PL + (2P)(L) = -PL
M x=L = M x=0 + M
(a)
L
PP
L
P
2P
2P
3PL
P
V
P
x
M
x
3PL
PL
w0pendiente0
Vconstante positivapendienteconstante positiva
(b)
(c)
(d)
fuerza Phacia abajosalto Phacia abajo
Figura 6-11
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EJEMPLO 6.6
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga
mostrada en la figura 6-12a.
SOLUCIN
Reacciones en los apoyos. Las reacciones se muestran en eldiagrama de cuerpo libre de la figura 6-12b.
Diagrama de fuerza cortante. En primer lugar se representa lafuerza cortante en cada extremo, figura 6-12c. Como no hay carga dis-
tribuida sobre la viga, el diagrama de fuerza cortante tiene pendientecero y por lo tanto es una lnea horizontal.
Diagrama de momento. El momento es igual a cero en cada unode los extremos, figura 6-12d. El diagrama de momento tiene una pen-
diente constante negativa de M0>2Lpuesto que es la fuerza cortante
en cada punto de la viga. Observe que el momento de par M0ocasiona
un salto en el diagrama de momento justo en el centro de la viga, pero
no afecta al diagrama de fuerza cortante en ese punto.
(a)
L L
M0
(b)
(c)
V
(d)
M
x
x
L L
M0
M0/2LM0/2L
M0 /2
M0/2
M0/2L
w0pendiente0
Vconstante negativapendienteconstante negativa
momento M0ensentido horario
salto positivo M0
Figura 6-12
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EJEMPLO 6.7
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para cada una
de las vigas mostradas en las figuras 6-13ay 6-14a.
SOLUCINReacciones en los apoyos. Las reacciones en el soporte fijo semuestran en cada diagrama de cuerpo libre de las figuras 6-13by 6-14b.
Diagrama de fuerza cortante. En primer lugar se representa lafuerza cortante en cada punto extremo, figuras 6-13cy 6-14c. La carga
distribuida en cada viga indica la pendiente del diagrama de fuerza cor-
tante y produce as los perfiles mostrados.
Diagrama de momento. Primero se representa el momento encada punto extremo, figuras 6-13dy 6-14d. Los diferentes valores de la
fuerza cortante en cada punto de la viga indican la pendiente del diagra-
ma de momento en ese punto. Tenga en cuenta que esta variacin pro-duce las curvas mostradas.
NOTA: Observe cmo el grado de las curvas de w, Vy Maumenta
debido a la integracin de dV=w dxy dM=V dx. Por ejemplo, en la
figura 6-14, la carga distribuida
lineal produce un diagrama de
fuerza cortante parablica y un
diagrama de momento cbico.
(a)
L
w0
(b)
w0L
w0
w0L2
2
(c)
V
x
w0L
Vdecremento positivopendiente = decremento positivo
(d)
M
x
w0L2
2
wconstante negativa (w0)pendiente = constante negativa (w0)
w0
(a)
L
(b)
w0
w0L2
w0L2
6
(c)
0
V
x
w0L
2
(d)
M
x
w0L2
6
Vdecremento positivopendientedecremento positivo
wdecremento negativopendientedecremento negativo
Figura 6-14Figura 6-13