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COLEGIO PRE
UNIVERSITARIO
Tercer Ao
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
Geometra 1
INDICE
Punto y Plano ... 03
Poliedros . 12
Prisma . 24
Pirmide . 31 Cono ... 38
Cilindro .... 45
Esfera .. 52
Miscelnea . 57
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Geometra 2
IMPRESIONESY FOTOCOPIADOV.L.E.B.
DPTO. DE PUBLICACIONES
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B .
C .A .
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GEOMETRA DEL ESPACIO
TEMA: PUNTO Y PLANO
Geometra del Espacio.- tiene por objeto el estudio de las figuras slidas odel espacio, es decir, de las figuras cuyos puntos no pertenecen todas a unmismo plano sino al espacio tridimensional, como por ejemplo el ngulodiedro, el cubo, la pirmide, la esfera etc.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
TEOREMA 1
Tres puntos cualesquiera, no colinealesdeterminan un plano. As, los puntos no
colineales A,B,C, determinan el plano H.
TEOREMA 2
Geometra 3
P .
A . B .
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L
0
C
P
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Una recta y un punto exterior a ella, determinan un plano. As la recta AB y
el punto P situado fuera de ella, determinan el plano H.
TEOREMA 3
Si una recta es perpendicular ados rectas del plano que pasanpor su pie, entonces esperpendicular al plano.
Si L 1L , L 2L
Entonces. L H
TEOREMA 4
Si desde el pie de una rectaperpendicular a un plano, se trazaotra perpendicular a una rectacualquiera dada en el plano, todarecta, que pasa por un puntocualquiera de la primera y el puntode de interseccin de las 2ltimas, es perpendicular a la rectadad en el plano.
Geometra 4
L 1
2L
L
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) desde un punto exteriorA, exterior a un plano Htrazamos la perpendicular
AO y dos oblicuas MN y
AN .Determine la distancia
de MN al punto O, si AO =
4m, AM = AN = 5m y MN =4m.
Rpta.-
2) En la figura AO esperpendicular al plano H, AO =
4 , OB = 3 y AD = 29
Hallar el rea del ODB.
Rpta.-
3) En el plano H se tiene unacircunferencia de dimetro
PQ , de longitud igual a
50 cm. Por el extremo P se
levanta la perpendicular PA
a H; sobre la circunferencia se
toma un punto R tal que AR= PQ. Halle AQ, si 14PR =
cm.
Rpta.-
4) Sobre un plano se tieneun tringulo ABC, por el
vrtice A, se traza unaperpendicular al plano deltringulo, y en dichaperpendicular se toma unpunto M, luego se trazan
perpendiculares AFyAE
a los segmentosMCyMB , hallar FC, si
BM = 30m; EM = 6m, MC= 36m.
Rpta.-
5) La distancia de un punto aun plano es 5m, se toma unpunto P en el plano que dista13m del punto. Hallar la
distancia del punto P, hasta elpie de la proyeccin del primerpunto sobre el plano.
Rpta.-
6) Se tienen 2 rectasperpendiculares contenidas en
un plano H, desde el punto deinterseccin de las dos rectas,
se traza una tercera recta
perpendicular al plano, a 10m
del pie de sta tercera recta se
trazan dos rectas oblicuas a
cada una de las 2 rectas del
plano, la medida de estas 2
Geometra 5
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rectas es 26m y 20m, hallar el
rea del tringulo que se
forma al unir los puntos deinterseccin de stas tres
rectas con el plano.
Rpta.-
7) La recta L1 intercepta alplano H, en el punto P, luego
se toma un punto M en dicha
recta, por dicho punto se traza
una recta perpendicular al
plano que lo corta en el punto
N, si MN = 20cm ; hallar NP, si
mNMP = 53
Rpta.-
8) En la figura, hallar el readel tringulo .PQR si se sabeque AP = 10, AQ = 6 AR = 6
2
P Q
R
A
Rpta.-
9) Sean M y N dos planosparalelos que distan entre si
40m. La proyeccin AB (Con A en M y B en N) sobreel plano N mide 30m. HallarAB.
Rpta.-
10) Se tienen los rayos.
BYyAX , que se cruzanformando un ngulo que mide60 y cuya perpendicular
comn es AB . Sobre AX
se ubica el punto P y sobre
BY el punto Q tal que AP =
AB = BQ = 4m Hallar PQ.
Rpta.-
11) En la figura que semuestra hallar PQ si NM = 4.
P
Q
5 3
6 0 M
N
Rpta.-
Geometra 6
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12)Desde un punto exterior aun plano se trazan 4 lneas
oblicuas de 20u cada una, de
tal manera que sus pies son
los vrtices de un cuadrado
cuyo permetro es 40 2 ,
hallar la distancia del punto al
plano.
Rpta.-
13)Desde un punto exterior aun plano se trazan 2 rectas
oblicuas de 11m de longitud
cada una de manera que la
distancia entre sus pies es de
20m, si el rea de la figura
proyectada sobre el plano es
de 40m2 hallar la distancia del
punto hacia el plano.
Rpta.-
14)Desde el punto P, situadoa 10m de un plano se trazan
tres lneas oblicuas de 20m
cada una, de tal manera quelos pies de estas lneas son
las vrtices de un tringulo
equiltero, hallar el rea de
ste tringulo equiltero.
Rpta.-
15)Desde un punto exterior aun plano, se trazan dos lneas
rectas cuyas longitudes son10m y 20m, sus pies son losextremos de uno de loscatetos de un tringulorectngulo, hallar la distanciaentre dichos pies.
Rpta.-
16) En la figura que se muestraMN = 10; PM = QN = 10,
hallar el rea del PBQ, BN =
10.
P
Q
M
N
A
B
Rpta.-
17)Desde un punto Qexterior a un plano se trazancuatro rectas de 12m cadauna, de tal manera que suspies son los vrtices de uncuadrado cuyas diagonales
miden 12 3 m. hallar la
Geometra 7
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distancia del punto hacia elplano:
Rpta.-
18)Desde un punto exterior aun plano se trazan 2 rectas deigual longitud si la distanciaentre los pies de ambas rectases igual a la mitad de lalongitud de dichas rectas,hallar la distancia del punto alplano, si la proyeccin deestas dos rectas de untringulo equiltero cuya rea
es 9 3 m.
Rpta.-
19) La distancia de un puntoP al plano H es 20m, desdeeste punto se traza una recta
oblicua de 40m, determinar laproyeccin de esta recta sobreel plano.
Rpta.-
20) La distancia de un puntoQ hacia un plano U es 40,
si desde este punto se trazauna lnea recta oblicua, cuyalongitud es 50m. hallar lamedida de la proyeccin dedicha recta de sobre el plano.
Rpta.-
Geometra 8
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Por un punto que dista10m de un plano se traza a l
un segmento OP de 15m.
Calcular la longitud del lugar
geomtrico de los puntos P.
a) m510 b) m512
c) 20m d) m218 e) m215
2) Un punto P se muevepermaneciendo a 7m de los
extremos de AB cuya longitud
es de 10m, calcular el rea de la
figura determinada por el lugar
geomtrico de los puntos p.
a) 20 m2 b) 24 m2 c)
30 m2
d) 22 m2 e) 318 m2
3) Se dan 3 planos paralelos
P, Q y R, si la distancia entre
los planos P y Q es de 10m y
entre Q y R es de 14m,calcular las longitudes en
metros de los segmentos que
determinan sobre una
secante, tal que el segmento
de ella comprendido entre P y
R es de 60m.
a) 20 y40 b) 24 y36 c) 25 y35
d) 28 y32 e) 30 y30
4) Desde un punto exterior aun plano se trazan 3 oblicuas
congruentes de 14m de
longitud, de tal manera quesus pies son los vrtices de un
tringulo equiltero de 27m de
permetro, calcular la distancia
del punto al plano.
a) 15m b) 12m c) 11m
d) 10m e) 13m
5) En un plano H se tieneuna circunferencia de
dimetro AB de longitud
igual a 12m; por el extremo A
se levanta la perpendicular
AP al plano H, sobre la
circunferencia, se ubica un
punto C, tal que PC = AB. SiAC = 8m, hallar PB.
a) m1416 b) m1412
c) m1410 d)
m144
e) m148
Geometra 9
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6) La distancia del punto, P
del espacio, a un plano H es15m y la proyeccin sobre H
de la distancia de P a la
recta L contenida en H mide
8m. La distancia de P a L es:
a) 17m b) 15m c) 18m
d) m215 e) 20m
7) Se da un plano A y unpunto exterior M a l desde
M se trazan las oblicuas MP =
MR = 8m y la perpendicular
MS si m PMS = m
RMS = 30 y m PSR = 36.
Hallar PR.
a) 2m b)
m)252(
c) m)25( d) m5
e) m)25( +
8) El segmento AB estcontenido en un plano y mide
10 3 m. A qu distancia de
ste plano deber trazarse un
plano paralelo por el punto P
de modo que m PAB = 60 ym PBA = 45?
a) m)13(15 b)
m)31(15
c) m)13(5 d)
m)31(5
e) 15 m3
9) Se tiene un segmento
MR tal que MR = 4m,
contenido en un plano P1, S un
punto en otro plano P2, . A
que distancia de P1, debe
trazarse el plano paralelo P2,
para que m SRM = 30 y m
RMS = 45?
a) m)13(2 b) m32
c) m)13(2 + d) 2m
e) 15 m3
10) En 2 rectas que se cruzan,
la mas corta distancia es 4m,
se toma en un mismo sentido
las longitudes OA = AB = 5m
sobre la primera y
OA = OB = 5m sobre la
segunda, Si AA = 5m Calcular
BB.
a) 2m b) 13m
c) m132 d)m)232(
e) m134
11) Si CDyAB son 2
rectas que se cruzan en el
espacio, sobre AB se toman
Geometra 10
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los puntos E, F y G y sobre
CD se toman los puntos P , I
y H de tal manera que EP
es perpendicular a ambas
rectas e igual a 4m. EF = FG
= PI = IH = 20m. Hallar GH
sabiendo que FI = 5m.
a) m52 b) m132
c) m152 d) m172
e) m72
12) Sean 'C'AyAC dosrectas que se cruzan y son
contadas por 3 planos
paralelos en los puntos
respectivos A, B y C y A, B y
C, tales que AB=6m , BC =
12m , BC = 20m y BB =
10M, si la distancia mnima es
'AA , Hallar esta distancia.
a) 8m b) m3 c) 6m
d) 10m e) 20m
13) El tringulo equilteroABC esta en un plano
perpendicular a un cuadrado
ABDE, siendo AB el lado
comn del tringulo y del
cuadrado si M es punto medio
de AC , N punto medio de
BD y el rea del tringulo
BMN es 2m3 , es el lado
del cuadrado mide?
a) m22 b) m102 c)
m10
d) m26 e) m24
14) En un plano H se
encuentra una circunferencia
de 4,5m de radio, la distancia
de P a la circunferencia es15m, hallar la menor distancia
de P a la circunferencia.
a) m103 b) m102
c) m10 d) m26
e) m24
15)Desde un punto P se
traza PA perpendicular al
plano H, luego se hace pasar
por A , una circunferencia
cuyo radio mide 5m, se une P
con C, que es un punto de la
circunferencia. Si AB es un
dimetro, AC = 8m y m BPC es 30, hallar el rea del
tringulo PBC.
a) 2m318 b)
2m312
Geometra 11
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c) 2m336 d)
2
m218
e) 2m212
TEMA: POLIEDROS
EL ESPACIO.- La idea de espacio es abstracta, la vamos a entender como laextensin de cada uno de los puntos inmaginables. Elconjunto de todos los puntos inmaginables, llena el espacioen su totalidad.
EL PLANO.- Nos da la idea de un plano, la superficie de una mesa, lasparedes de una aula, el piso, para determinar un plano slose necesitan tres puntos. Adems se representa mediante uncuadriltero.
B .
C .A .
P l a n o P
POSTULADOS
1) En todo plano hay infinitos puntos y rectas.
Geometra 12
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2) Si dos puntos de una recta estn en un plano todos los puntos dedicha recta estarn tambin en el plano.
B
A
3) Si una recta interfecta a un plano que no la contiene, entonces lainterseccin es un solo punto.
4) Por una recta pasan infinitos planos.
Geometra 13
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P o l i e d r o C o n v e x o P o l i e d r o n o C o
TEOREMA DE EULER
En todo poliedro se cumple que: El nmero de caras mas el nmero devrtices es igual al nmero de aristas mas dos.
Donde: C = Nmero de Caras
V = Nmero de Vrtices
A = Nmero de Aristas
Propiedad:
Si un poliedro est formado por polgonos de diferente nmero de lados, elnmero de aristas se calcula de la siguiente manera:
Donde:
Geometra 15
C + V = A + 2
2
................pnpnp.nA
332211 +++=
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a
a
a
a
a
a
D
h a
a
a
a
a
a
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n1 ,n2 , n3,.. es el nmero de lados de cada polgono
p1 ,p2 , p3,.. es el nmero de polgonos que nos dan.
POLIEDROS REGULARES
Un poliedro es regular, cuando sus caras son polgonos regulares, sloexisten 5 poliedros regulares que son:
1) TETRAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 4 caras iguales, cada
una de las caras es un tringulo equiltero.
rea total. (AT)
3aA 2T =
Volumen. (V)
212
aV
2
=
Altura (a)
63
ah=
a : longitud de la arista.h: longitud de la altura.
2) HEXAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene seis caras iguales,
cada una de la caras es un cuadrado.
rea total. (AT)
2T a6A =
Volumen. (V)
Geometra 16
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aa
a
a
a
aa
aa
D
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3aV =
Diagonal (D)
3aD=
a : longitud de la arista.D: longitud de la diagonal.
3) OCTAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 8 caras iguales, ycada una de las caras es un tringulo equiltero.
rea total. (AT)
2T a32A =
Volumen. (V)
23
aV
3
=
Diagonal (D)
2aD=
a : longitud de la arista.D: longitud de la diagonal.
4) DODECAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 12 carasiguales y cada una de estas caras es un pentgono regular.
rea total. (AT)
Geometra 17
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5
525a15A 2T
+=
Volumen. (V)
10
52147
2
a5V
2+
=
a : longitud de la arista.
5) ICOSAEDRO REGULAR: Es aquel poliedro que tiene 20 carasiguales, y cada una de las caras es un tringulo equiltero.
rea total. (AT)
3a5A 2T =
Volumen. (V)
2
537
6
a5V
2+
=
a : longitud de la arista.
Geometra 18
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Un poliedro est formadopor 4 tringulos y 5cuadrilteros, hallar el nmerode caras (C), vrtices (V) yaristas (A).
Rpta.-
2) Un poliedro esta formadopor 6 tringulos, 4 pentgonosy 7 cuadrilteros convexos.Cuntos vrtices tienendicho poliedro?
Rpta.-
3) Un poliedro convexo, estaformado por 2 tringulos, 3cuadrilteros y x polgonosde 11 lados cada uno. Hallarel valor mnimo de x.
Rpta.-
4) Cuantas diagonales tieneun dodecaedro regular.
Rpta.-
5) Hallar el rea total de unicosaedro regular, cuya arista
mide cm324 .
Rpta.-
6) La diagonal de un cubomide 37 m, hallar el rea
total.
Rpta.-
7) El volumen de un cubo es216m3, calcular la diagonal dedicho cubo.
Rpta.-
8) Calcular la altura de untetraedro regular de 12m dearista.
Rpta.-
9) El volumen de un exaedroregular es igual a su diagonalal cubo dividido entre:
Rpta.-
10) El volumen de un
tetraedro regular de arista aes:
Rpta.-
11)Una de las caras de untetraedro regular tiene un rea
Geometra 19
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de 2m327 , calcular la
altura del tetraedro.
Rpta.-
12) Un poliedro convexo estaformado por 4 tringulos y 5cuadrilteros. Hallar el nmerode diagonales de estepoliedro:
Rpta.-13) Cuantas diagonales tieneun icosaedro regular:
Rpta.-
14) la arista de un cubo mide3cm y la arista de otro cubomide 12 cm. Cul es la razn
de sus reas totales?
Rpta.-
15) Un poliedro posee 100tringulos, 24 pentgonos, 60hexgonos y 30 enegonos.Cuntos vrtices tiene elpoliedro?
Rpta.-
16) Si un slido de forma cbicade un metro de arista, se divide en
cubitos de un milmetro de arista,entonces que altura alcanzaruna columna formada por todoslos cubitos unos encima de otros.
Rpta.-
Geometra 20
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17) Todas las aristas de un
cubo suman 48cm. Calcular la
diagonal de dicho cubo.
Rpta.-
18) Hallar el rea de la
superficie de un tetraedro
regular de 4 cm. de arista.
Rpta.-
19) La altura de una de las
caras de un tetraedro regular
mide 32 encontrar el rea
total.
Rpta.-
20) En un cubo de 6m de
arista, encontrar la distancia
de uno de sus vrtices al
centro de una de sus caras
opuestas.
Rpta.-
Geometra 21
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Encontrar el nmero dearistas de un poliedro que estaformado por 8 tringulos, 5cuadrilteros y 6 pentgonos.
a) 17 b) 27c) 37 d) 47e) 57
2) Hallar el volumen de untetraedro regular, si su alturamide 62
a) 218 b) 212
c) 29 d) 224
e) 215
3) Encontrar el rea total deun octaedro regular si la altura
de una de sus caras mide 4.
a)3
3100b)
3
3130
c)3
3120d)
3
3125
e) 3
3128
4) Encontrar el rea total deun cubo si la diagonal de una
de sus caras mide 2
a) 5 b) 4
c) 6 d) 8
e) 12
5) Encontrar el nmero de
aristas de un poliedro que se
encuentra limitado por 5
tringulos, 6 cuadrilteros y 7
pentgonos.
a) 41 b) 38
c) 48 d) 37
e) 35
6) En un cubo de 4cm de
arista, encontrar el rea de la
regin triangular que se forma
al unir tres vrtices del cubo.
a) 2cm28 b)
2cm38
c) 2cm34 d)
2cm216
e) 2cm316
7) Hallar el volumen de untetraedro regular si el rea dela regin de una de sus caras
es 34
a) 216 b)2
215
c)3
216d) 3
5
16
Geometra 22
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e) 33
16
8) Cuando se unen los centrosde las caras de un cubo, seforma:
Un tetraedro regular Un icosaedro regular Un octaedro regular Un dodecaedro regular Otro cubo
9) En un poliedro, la suma delnmero de caras vrtices yaristas es 32. Calcule el nmerode aristas de dicho poliedro.
a) 12 b) 13c) 14 d) 15e) 16
10)Hallar el rea de la reginpoligonal obtenida al unir lospuntos medios de las aristasdel cubo tal como se muestraen la figura, el volumen delcubo es 64m3
a) 2m36 b) 2m312
c) 2m324 d)2m318
e) 2m1211) Si la arista de un octaedroes el triple de la arista de unicosaedro, la relacin en quese encuentran sus reastotales es:
a) 18/5 b) 12/5c) 16/5 d) 13/5
e) 9/512) El rea de un tetraedro es
336 , hallar la altura de una
de sus caras.
a) 23 b) 33
c) 3 d) 2
e) 3
13) Hallar el rea total de untetraedro regular. Si la sumade las longitudes de susaristas es 36.
a) 236 b) 336
c) 36 d) 318
e) 18
14) Se tiene un icosaedro
regular cuya arista es el doblede la arista de un tetraedroregular, hallar la relacin delas reas de dichos poliedros.
a) 10 b) 15c) 20 d) 30e) 1/10
Geometra 23
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15) Si la diagonal de un cuboes D , hallar su volumen.
a)9
3D2b)
9
3D3
c)27
3D3d)
12
3D3
e)6
3D3
Geometra 24
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B a s e s u p e r i o r
a l t u r a
s e c c i nr e c t a ( S R )
P l a n ol a b a s
B a s e i n f e r i o r A r i s t a b s i c a
A r i s t a l a t e r a l ( a )C a r a l a t e r a l
B
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
TEMA: PRISMA
Es el slido que se encuentra limitado por dos polgonos planos congruentes
y paralelos entre s, llamados bases y por 3 o ms paralelogramos, llamados,
caras laterales.
Clasificacin.
1) Prisma Oblicuo
Cuando las aristas laterales no son perpendiculares a las bases
Frmulas:
rea Lateral
a.PA SRL =
PSR: Permetro de la SR
rea Total (AT)
B2AA LT +=
Volumen (V)
a.AV SR=
Tambin
hxBV=
Geometra 25
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
2) Prisma Recto
Cuando las aristas laterales son perpendiculares al plano que contiene ala base, en este caso la arista lateral y la altura coinciden, se utilizan lasmismas formulas anteriores.
B
h
Geometra 26
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
Rpta.-
8) La base de un prisma
triangular es un tringulo
equiltero de 2m de lado. la
altura del prisma es 10 m.
calcular el volumen del
prisma.
Rpta.-
9) Calcular el volumen de unprisma hexagonal regular cuya
base tiene un permetro de 24
m y su altura es 12 m.
Rpta.-
10) La base de un prisma
recto es un cuadrado de 4 cm.
de lado, la altura mide 6 cm.
el rea lateral del prisma es:
Rpta.-
11) En un paraleleppedo
rectangular, la base es un
cuadrado de 2 m de lado y la
altura mide 1m. Cunto mide
la diagonal?
Rpta.-
12)Calcular el rea total de
un prisma triangular de 2,5 m
de altura, si la base es un
tringulo cuyos catetos miden
3 y 4m.
Rpta.-
13) La arista bsica de un
prisma cuadrangular regular
mide 12 m y su altura mide
igual al semipermetro de la
base. Calcular el rea lateral
del prisma.
Rpta.-
14)Calcular el volumen de unprisma recto de altura igual a
12 m si su base es un
tringulo rectngulo cuyos
catetos miden 8 y 6.
Rpta.-
15)Calcular el rea total de
un prisma cuadrangular
regular de 30m de altura, si la
diagonal de la base mide
m210 .
Rpta.-
16) El permetro y el rea de
una de las caras de unparaleleppedo rectangular
miden respectivamente 34 m y
60m2. Calcular el volumen del
slido, si la suma de sus
diagonales es 340m.
Rpta.-
Geometra 28
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
17)Un lingote de oro que
contiene 0,45 m3 del precioso
metal, se lamina
convirtindolo en una plancha
de 3 cm. de espesor y 2,8 m
de ancho Cul ser la
longitud de la plancha
resultante?
Rpta.-
18)Calcular el volumen de un
prisma oblicuo triangular cuya
seccin recta es un polgono
circunscrito a un crculo de
radio 10 cm y el rea lateral
del prisma mide 22 cm2.
Rpta.-
19) La base de un tronco de
prisma recto es un cuadrado
cuyo lado es 10 m y la otra
base es un paralelogramo.
Cul es el volumen del
tronco si sus aristas son 4 , 6 y
10m ?
Rpta.-
20) La altura de un prismarecto mide 6m; su base es un
rectngulo, en el que cada
uno de sus lados es el doble
del contiguo, el rea total es
144m2 Cual es la longitud de
una de las diagonales del
prisma.
Rpta.-
Geometra 29
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Encontrar el rea lateralde un prisma triangularregular, su arista lateral mide4 y su arista bsica mide 2.
a) 12 b) 10 c) 18d) 24 e) 30
2) La base de paraleleppedorecto es un cuadrado de 2mde lado, su altura es igual alpermetro de la base. Hallar suvolumen.
a) 16cm3 b) 9cm3 c) 30cm3
d) 32cm3 e) 18cm3
3) Encontrar el volumen de
un prisma hexagonal regular,su altura es igual al radio Rde la circunferenciacircunscrita a la base.
a) 2R2
3b) 3R
2
33
c) 3R3 d) 3R3
32
e) 3R3
34
4) El volumen deparaleleppedo rectangular es128, el mayor lado de la basees igual al doble del otro lado,adems la altura es igual al
menor lado de la base. Hallarel rea total delparaleleppedo.
a) 128 b) 180 c) 140d) 150 e) 160
5) El volumen de un prisma
triangular regular es 390 ,su altura mide 10. Encontrar ellado de su base.
a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 2
6) La altura de un prismatriangular regular mide 33 ,
el desarrollo de su superficielateral es un rectngulo cuyadiagonal mide 6, hallar suvolumen.
a)2
81b)
4
81c)
3
81
d)581 e)
681
7) Encontrar el volumen deun paraleleppedo rectangular,las diagonales de sus caras
miden 74y58,34 .
Geometra 30
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
a) 75 b) 85 c) 95d) 100 e)105
8) El rea lateral de unprisma hexagonal regular es864, sus caras laterales soncuadrados. Hallar el volumendel prisma.
a) 2592 b) 2590
c) 3024 d) 32592
e) 32488
9) Las aristas laterales de unprisma oblicuo miden 20 y conel plano de la base forman unngulo que mide 60, Cuantomide la altura del prisma.
a) 210 b) 310 c) 5
d) 10 e)15
10) Las caras laterales de unprisma regular son cuadrados,si su rea lateral es 108.Encontrar el volumen delprisma.
a) 318 b) 332 c)
336
d) 354 e) 312
11) Una de las caras lateralesde un prisma triangular tienepor rea igual a 24, ladistancia de esta cara a laarista lateral opuesta es 6hallar el volumen del prisma.
a) 60 b) 74 c) 72d) 64 e) 80
12) Los lados de la base deun paraleleppedo rectangularmiden 3 y 4, su diagonal mide13. Hallar el volumen delparaleleppedo.
a) 140 b) 124 c) 145d) 136 e) 144
13)Calcular el volumen de un
prisma recto triangular dearistas bsicas 4 ; 6 y 8 yaltura 15
a) 35 b) 45 c) 55d) 65 e) 75
14)Hallar el volumen de unprisma recto de 5m de altura,cuya base es un tringulo
equiltero , sabiendo que ladistancia del punto medio deuna arista lateral a la diagonalde la cara lateral opuesta mide
m34
a) 40m3 b) 30m3 c) 60m3
d) 3m380 e) 18m3
15) Calcular x si 38V =
x
a) 1 b) 2 c) 3
Geometra 31
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
d) 4 e) 5
TEMA: PIRMIDE
Se llama pirmide al slido que se encuentra limitada por un polgono planollamado base y por tres o ms tringulos que tienen un vrtice comnllamadas caras laterales, se llama altura de la pirmide a la perpendicular quese traza por un vrtice al plano de la base.
Frmulas
AL = de las reas de todas las caras laterales.
BAA LT +=
2
a.PA PBL =
hxB3
1V =
Geometra 32
A l t u r a d e l ap i r m i d e
C a r a l a t e r a l
B a s e
A p o t e m a d
A p o t e m a d e l a b a s
B
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Una pirmide
cuadrangular el lado de la
base mide 14m y la altura
mide 24m, calcular el rea
lateral.
Rpta.-
2) La apotema y la altura de
una pirmide miden 13 y 11
metros respectivamente,
calcular el rea lateral de la
pirmide.
Rpta.-
3) Calcular el volumen de lapirmide Q ABC sabiendo
que:
mQCA = mQCB = m
ACB = 90 , adems AQ =
15m, AB = m'106 QB =
13m
1 5
A
D
C
1 3
B
1 0 6
Rpta.-
4) Calcular el rea lateral y
total de una pirmide triangular
regular, cuya arista de la base
mide 6m, sabiendo que la
apotema de la pirmide mide
m35
Rpta.-
5) La apotema de una
pirmide regular hexagonal
excede a la altura en 1cm. Si
la arista bsica mide 6 cm.
Cunto mide la apotema?
Rpta.-
6) La base de una pirmide
regular es un cuadrado de 4m
de lado, si la altura mide igual
que la diagonal de la base,
hallar el rea lateral de la
pirmide.
Rpta.-
7) Calcular el volumen de
una pirmide octogonal
regular, cuya arista de la base
Geometra 33
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
mide m)12( y su altura
6m.
Rpta.-
8) Calcular el volumen de
una pirmide cuadrangular
regular cuya arista bsica
mide 6cm, siendo su rea
lateral el quntuplo del rea de
la base:
Rpta.-
9) La base de una pirmide es
un trapecio issceles de bases
4 y 10 metros, respectivamente,
siendo las medidas de cada
lado no paralelo, 5m. Calcular el
volumen de dicha pirmidesabiendo que su altura mide
igual que el semipermetro de la
base.
Rpta.-
10)Calcular la apotema de
una pirmide pentagonal
regular cuya rea lateral es
315 cm2 y la arista bsica
mide 6cm.
Rpta.-
11) El rea total de una
pirmide cuadrangular regular
es los 3/2 de su rea lateral.
Calcular el volumen de la
pirmide. Si la arista bsica
mide 2m.
Rpta.-
12) Una pirmide regular tiene
por base un cuadrado de lado
6m, y la altura es igual a ladiagonal del cuadrado.
Calcular el volumen de la
pirmide.
Rpta.-
13) En un tronco de pirmide
el rea de la base mayor es
cuatro veces el rea de la
base menor 6, hallar el
volumen del tronco si la altura
es 3/7.
Rpta.-
14) La base de una pirmide
regular es un tringuloequiltero de lado igual a 2m,
sus caras laterales son
tringulos rectngulos, hallar
el rea total de la pirmide.
Rpta.-
Geometra 34
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
15) En una pirmide regular
de base cuadrangular de 40m
de lado, Cul es el rea de la
proyeccin de una de las
caras laterales sobre su base?
Rpta.-
16) La base de una pirmidees un tringulo rectngulo
cuyos catetos miden 6 y 8metros; las aristas laterales,
13m cada uno. Hallar el
volumen.
Rpta.-
17) El rea lateral de unapirmide regular hexagonal esde 48m2, calcular el lado de la
base si la apotema de la
pirmide tiene una medida
igual a 4 veces la medida del
radio no de crculo que
circunscribe a la base:
Rpta.-
18) Calcular a qu distancia
del vrtice de una pirmide
triangular, cuya altura es 2m,
se debe trazar un plano
paralelo a la base, para que
las dos partes resultantes
estn en la razn 3/5.
Rpta.-
Geometra 35
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
19) El rea lateral de unapirmide regular cuadrangular
de 4m de altura es 60m2
.Calcular el rea de la seccin
diagonal.
Rpta.-
20) La altura de una pirmide
regular mide 10m y la base esun cuadrado de 8m de lado.
Calcular la medida de la arista
y apotema de la pirmide.
Rpta.-
Geometra 36
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) La arista bsica de una
pirmide cuadrangular regular
mide 2, las caras laterales son
tringulos equilteros. Hallar
el volumen de la pirmide.
a)3
32b)
2
23c)
3
24
d)3
3e)
3
34
2) Encontrar el volumen de una
pirmide hexagonal regular,
sus aristas laterales miden 6 yforman con el plano de la base
ngulos que miden 30.
a) 35,1 b) 40,1 c) 55,1
d) 70,1 e) 75,1
3) Encontrar el volumen del slido
mostrado, ABCD es un
cuadrado, AD = 4, AE +CF = 21.
B
A
C
D
4
E
F
4
a) 52 b) 56 c) 60
d) 58 e) 54
4) Una pirmide tiene 242 aristas
Cuntos vrtices y caras
tiene?
a) 120;120 b) 124;121c) 122;122 d) 118;126
e) 126;118
5) Encontrar el rea total de unapirmide cuadrangular regular,
la altura mide 3 y el rea
de una de las caras laterales
es igual al rea de la base.
a) 8 b) 6 c) 9
d) 4 e) 5
6) Las caras laterales de una
pirmide cuadrangular regular
tienen una inclinacin de 45
Geometra 37
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
con respecto al plano de su
base, la base se encuentra
inscrito en una circunferenciade radio R encontrar el
volumen de la pirmide.
a) 3R2
2b)
3
R3
c)3R
3
2d) 3R
3
2
e) 3R3
3
7) Hallar el volumen del tetraedro
de la figura, las reas de las
regiones triangulares DAB ,
DAC y ABC son 3 ; 6 y 8
adems.
a) 34 b) 22
c) 12 d) 24
e) 23
Geometra 38
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
8) El volumen de una pirmide
es 36, su vrtice es O y su
base es el tringulo ABC,
sobre la arista OA se toma
su punto medio M. Hallar el
volumen de la pirmide de
vrtice M y base el tringulo
ABC.
a) 9 b) 27
c) 18 d) 12
e) 20
9) Una pirmide cuyo volumen
es 48, es dividida en dos
partes por un plano paralelo a
su base y que pasa por el
punto medio de la altura.
Hallar el volumen de la parte
mayor.
a) 32 b) 34
c) 40 d) 36
e) 42
10) El slido de la figura esta
formado por un rectoedro y
una pirmide. Hallar el
volumen del slido.
a
2
a
a
a)3
a5 3b)
3
a7 3c)
2
a5 3
d) 3a4 e) 3a6
11) Hallar el volumen de una
pirmide regular hexagonal
sabiendo que el rea lateral es
el doble del rea de la base y
la altura mide 3m.
a) 3m18 b) 3m36 c)
3m9
d) 3m12 e)3m312
Geometra 39
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao
12) Una pirmide regular tiene por
base un cuadrado de 12m de
lado. y la altura es igual a ladiagonal del cuadrado.
Calcular el volumen de la
pirmide.
a) 3m2576 b)
3m3676 c) 2m3480
d) 3m3240
e) 3m3120
13) Si una pirmide tiene 140
aristas, calcular su nmero de
caras.
a) 140 b) 70 c) 80
d) 71 e) 69
14) Encontrar la apotema de una
pirmide pentagonal regular,
su arista bsica mide 6 y su
rea lateral 315.
a) 19 b) 20 c) 21
d) 22 e) 23
15) La base de una pirmide esun rectngulo de lados a 12 y
8 su altura mide 10 y cae en el
centrote la base. Encontrar la
arista lateral.
a) 3,08 b) 6,16 c) 9,24
d) 1,54 e) 13,32
Geometra 40
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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h g
r
222 rhg +=
TEMA: CONO
Se llama como de revolucin al slido engendrado por un tringulorectngulo, cuando gira una vuelta completa alrededor de cada uno de loscatetos.
g: generatrizh: alturat: radio de la base
rea Lateral. (AL)
g.rAL =
rea total. (AT)
)rg.(rAT +=
Volumen. (V)
h.r.3
V 2
=
Desarrollo de la superficie lateral y total
hg
r
g
r
0 = 3 6rg
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) El radio de la base de un
cono mide 6 cm. Calcular el
rea lateral del cono, si la
generatriz forma 30 con la
altura.
Rpta.-
2) La generatriz de un conomide 13 cm. y el radio de la
base mide 5 cm. El volumen y
el rea total del cono son
respectivamente
Rpta.-
3) El volumen de un cono de
revolucin es 10m3 y ladistancia del centro de su
base a su generatriz es de 3m.
Hallar el rea lateral del cono.
Rpta.-
4) En un tringulo ABC, recto enB, la altura relativa a la
hipotenusa determina sobre
esta 2 segmentos que miden
8 cm. y 2 cm.
respectivamente. Calcular el
volumen del slido que se
genera cuando el tringulo
ABC gira 360 alrededor de
una recta que contiene a la
hipotenusa.
Rpta.-
5) La altura y la generatriz de
un cono miden 15 y 17 metros
respectivamente. El rea
lateral del cono es:
Rpta.-
6) En un cono, la generatriz yla altura forman un ngulo de
30 El rea lateral es 20m2, el
rea total del cono es:
Rpta.-
7) El rea total de un cono es
16 m2.El radio de la base y
la altura estn en la relacin
de 3 a 4. Calcular la altura.
Rpta.-
8) El dimetro de la base de
un cono circular recto mide
14m. Calcular el volumen de
dicho slido, si su generatriz
mide 25m.
Rpta.-
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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9) El volumen del slido
generando por la rotacin
sobre la hipotenusa AB de laregin triangular de la figura.
A B
C
4 c m . 9 c m .
Rpta.-
10) Calcular el volumen de un
cono cuya base tiene 10 cm.
de circunferencia y cuya altura
mide 6 cm.
Rpta.-
11) el dimetro de la base de
un cono mide 30 cm., si la
generatriz mide 25 cm.
Cunto mide la altura del
cono?
Rpta.-
12) La generatriz de un cono
mide 25 cm. y la altura mide 1
cm. menos que la generatriz,
calcular el rea lateral del
cono.
Rpta.-13) El radio de la base de un
cono es 15 cm. y la distanciadel centro de la base a la
generatriz es de 12 cm. Hallar
el rea lateral del cono.
Rpta.:
14)Calcular la altura de uncono sabiendo que el rea
lateral es 2m516 , s i e l
radio de la base es 4m.
Rpta.-
15) La generatriz y la altura deun cono forman un ngulo de
16. Si el dimetro de la base
del cono es 7 cm., calcular elrea total del cono ( = 22/7).
Rpta.-
16) Sobre la superficie lateral
de un cono de revolucin se
toma un punto distante 6 , 16 y
10 cm. de la altura, la base y
el vrtice, respectivamente.
Hallar el rea total del cono.
Rpta.-
17) Al girar una vuelta
completa alrededor de la recta
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L la regin sombreada de la
figura se genera un slido
cuyo volumen es:
5 u3 u
1 u
L
Rpta.-
18) Calcular el volumen del
cono de revolucin.
3 7 1 0
Rpta.-
19) Calcular el rea de la
superficie lateral.
1 5
4
1 0
Rpta.-
20) Si el volumen de un cono
de revolucin equiltero es K,
hallar la generatriz.
Rpta.-
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Encontrar el volumen deun cono de revolucin, sugeneratriz mide 6 y forma unngulo que mide 60 con elplano de su base.
a) 39 b) 36
c) 33 d) 32
e) 312
2) El radio de la base y la
altura de un cono de
revolucin miden 2 y 4. Hallar
la distancia del centro de la
base a una de las
generatrices.
a)5
34 b)5
24
c)5
64d)
5
54
e)5
74
3) La hipotenusa de untringulo issceles mide
26 . Encontrar el rea total
del cono que se engendra
cuando el tringulo rectngulo
gira una vuelta completa
alrededor de uno de los
catetos ( 5,12Asumir = ).
a) 90 b) 85 c) 84
d) 95 e) 96
4) La altura BH de untringulo ABC mide 3 y su lado
AC mide 8. Hallar el volumen
del olido engendrado por dicho
tringulo cuando gira una vuelta
completa alrededor del lado AC.
a) 26 b) 18 c) 24
d) 36 e) 32
5) Un cono y un cilindro de
revolucin tienen sus bases y
sus alturas congruentes Hallar
la relacin de sus volmenes.
a) 1 b) c) 1/3
d) e) 1/9
6) Con un sector circular cuyo
radio mide 6 y con un ngulo
central que mide 120 se
construye un cono de
revolucin. Encontrar el volumendel cono
a) 218 b) 316
c) 23
13d) 2
3
14
e)3
216
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7) La altura de un cono de
revolucin mide 3, su
generatriz y el radio de subase suman 9. Hallar el rea
lateral.
a) 15 b) 20 c) 18
d) 12 e) 21
8) El rea lateral de un cono
de revolucin es el doble del
rea de su base. Encontrar la
medida del ngulo que forma
su generatriz con su altura.
a) 15 b) 37 c) 45
d) 30 e) 60
9) La generatriz de un cono
circular recto es el doble deldimetro de su base, su rea
total es 45 . Encontrar su
generatriz.
a) 4 b) 10 c) 12
d) 6 e) 8
10) La altura de un cono mide
5, si el radio de la baseaumenta en 3 mientras que la
altura permanece constante,
el volumen aumenta en 55 .
Hallar la generatriz del cono
original.
a) 40 b) 42 c)
45
d) 41 e) 39
11) Encontrar la altura de uncono de revolucin sabiendo
que su rea lateral es
516 y el radio de la base
mide 4.
a) 5 b) 3 c) 10
d) 8 e) 9
12) El rea total de un conode revolucin es
+ )15(13 , el radio de la
base y la altura se encuentran
en la relacin de 1 a 2. Hallarla altura del cono.
a) 142 b) 133 c)
132
d) 135 e) 1,5
13)Un cono de revolucin seconstruye de papel , cortandoun sector circular de radio 3
cm. y 120, de ngulo central,
adems cortando un crculo.
Encontrar el rea total del
cono.
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a) b) 2 c) 4
d) 3 e) 8
14) En un tetraedro regular seencuentra inscrito en un cono
de revolucin, la base del
cono se encuentra inscrito en
la base del tetraedro, el vrtice
del cono coincide con un
vrtice del tetraedro. Si el
volumen del tetraedro es2144 , encontrar el
volumen del cono.
a) 316 b) 616
c) 216 d) 64
e) 612
15) Un barquillo tiene la forma
de un cono de 12 cm. de
altura y de 6 cm. del radio dela base. Se llena el barquillo
de helado, hallar el volumen
de helado.
a) 2cm144 b)
2cm72
c) 2cm36 d)
2cm288
e) 2cm100
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TEMA: CILINDRO
Se denomina cilindro de revolucin al
slido engendrado por un rectngulo
cuando gira una vuelta completa
alrededor de uno de sus lados, el
cilindro es equiltero cuando su altura
es igual al dimetro de su base.
Frmulas:
rea Lateral (AL)
h.r.2AL =
rea Total (AT)
)rh(r2AT +=
Volumen (V)
h.rV 2=
B
h
r
r
E j e d e G i r o
B a s es u p e r i o r
G e n e r a t r i z
B a s ei n f e r i o r
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) La circunferencia de la
base de un cilindro mide 8
m y la generatriz es igual al
dimetro de la base. Calcular
el rea lateral del cilindro.
Rpta.-
2) El rea lateral de un
cilindro es A y su volumen es
V, calcular el radio de su
base.
Rpta.-
3) El rea lateral de un
cilindro es 20 m2 y el rea
total es 28 m2. El volumen
del cilindro es:
Rpta.-
4) Un cilindro est lleno de
agua hasta la mitad. Se suelta
un cuerpo metlico y el nivel
del agua sube 3,5 cm. Si el
dimetro del cilindro es 8 cm.
Cul es el volumen del
cuerpo?
Rpta.-5) La generatriz de un
cilindro mide 6m y el radio de
la base mide 5m, el rea total
del cilindro es:
Rpta.-
6) El rea lateral de uncilindro es 6 m2, el volumen
es 3 m2. Calcular el rea
total.
Rpta.-
7) El rea lateral de uncilindro es 18m2 y su volumen
es 9m
3
. Hallar el dimetro desu base.
Rpta.-
8) Calcular el volumen de un
cilindro de revolucin cuya altura
mide 8 y el desarrollo de su
superficie lateral es un rectngulo
cuya diagonal mide 10.
Rpta.-
9) Un vaso cilndrico de 20
cm. de dimetro y 40 cm. de
altura est lleno de agua. Si
se vierte esta agua en otro
vaso de 40 cm. de dimetro,
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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determinar la altura que
alcanzar el agua
Rpta.-
10)Un deposito de formacilndrica se desea cambiar
por otro de la misma forma,
pero aumentando en un 50%
la longitud de la circunferencia
de la base. En que
porcentaje se incrementar elvolumen del nuevo cilindro,
respecto al primero. ?
Rpta.-
11) Calcular la suma de
volmenes de los cilindros
generados por un rectngulo
de lados 2m y 3m, cuando
giran 360 alrededor de cada
uno de sus lados.
Rpta.-
12)Calcular x , Si V = 40
X
1
Rpta.-
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13) En el grfico, calcular X
X 3
4
Rpta.-
14) En un cilindro de revolucin
la longitud de la circunferencia
de su base aumenta en un 20%
En cuanto se incrementa el
volumen del cilindro?
Rpta.-
15) El rea total de un cilindro
circular recto es igual al rea
total de un cubo de 20 cm. de
arista, calcular la altura del
cilindro.
Rpta.-
16) Cuntos metros
cuadrados de hojalata se
necesitarn para fabricar 500
tarros de leche, de 8 cm. de
dimetro y 12 cm. de altura?
Rpta.-
17) El nmero de tuboscirculares con dimetro interior
de una pulgada, que
transporta el mismo caudal de
agua que un tubo de seis
pulgadas de dimetro interior
es )hh( 21 = .
Rpta.-
18) Una poblacin tiene 5000
habitantes que consumen en
promedio por persona 12 litros
de agua diariamente.
Determinar el dimetro de un
pozo cilndrico que abastezca
a la poblacin y que adems
tenga una capacidad para una
reserva de 25% del consumodiario, y tal que la altura sea 4
veces el dimetro.
Rpta.-
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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19) Cuntos metros cbicos
de tierra ser necesario
extraer para construir un tnelde 120m de largo, si su
seccin recta es un
semicrculo de 12m de
dimetro?
Rpta.-
20) Qu relacin existe entre
las reas laterales de un
prisma recto de basetriangular equiltera y el
cilindro inscrito en este
prisma?
Rpta.-
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1) El radio de la base de un
cilindro de revolucin mide 8,
su rea lateral es igual al rea
de su base. Hallar la altura del
cilindro.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 12 e) 16
2) Un cilindro de revolucin
es generado por un rectngulo
cuya rea de su regin es 10,
hallar el rea lateral del
cilindro.
a) 20 b) 10 c) 10
d) 20 e) 15
3) El rea total de un cilindro
de revolucin es igual al rea
total de un cubo, el radio de la
base del cilindro mide 2 cm. y
la arista del cubo mide 4 cm.
Hallar la altura del cilindro.
a) cm18
b)
cm448
c)
cm248
d)
cm124
e) cm224
4) Cunto pagar Oscarpara que le caven un pozo
cilndrico de 12m de
profundidad, 5m de dimetro
es su chacra de Huaral , si le
cobran s/. 0.40 por m3
( = 3,14) ?
a) s/.94.20 b) s/.94.50
c) s/.90.50 d) s/.92.50
e) s/.93.50
5) El permetro de la base de
un cilindro de revolucin es A
y el rea de la regin del
rectngulo generador es B.
Hallar su volumen.
a)2
B.Ab)
3
B.Ac)
B.A
d)4
B.Ae)
5
B.A
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6) Encontrar el volumen deun cilindro de revolucin
circunscrito a un cubo de 8
cm3 de volumen.
a) 3cm2 b) 3cm6
c) 3cm8 d) 3cm10
e) 3cm4
7) Calcular el volumen de un
cilindro equiltero, su reatotal es 12 .
a) 24 b) 22
c) 25 d) 35
e) 34
8) Un cilindro de revolucin
de 8 cm de radio de la base,
contiene agua hasta su mitad,
se introduce un cuerpo
metlico de forma cbica y el
nivel del agua sube 8 cm.
Hallar la arista del cuerpo
metlico.
a)
3
8
b)
3
7
c) 39 d) 312
e) 36
9) Determinar el volumen del
cilindro de la figura, Si OA = 6.
6 0
A
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a) 327 b) 27
c) 39 d) 312
e) 35
10) Hallar el rea total de un
cilindro de revolucin, su
altura es igual al lado a del
hexgono regular inscrito en la
base del cilindro.
a) 2a3 b) 2a4
c) 2a d) 2a2
e) 2a3
11) La altura de un cilindro de
revolucin mide 12, el radio de
su base es 1/3 de su altura,
hallar el rea total del cilindro.
a) 124 b) 120 c)
126
d) 128 e) 130
12)Un tarro de leche cilndricose encuentra sobre el piso de
un cuarto, su proyeccin sobre
el techo tiene una rea 9 y
su proyeccin sobre una de
las paredes tiene un rea de
24 Hallar el volumen del tarro.
a) 35 b) 36 c) 34
d) 28 e) 38
13)Calcular el volumen de uncilindro de revolucin, su
altura es igual al dimetro de
su base, su rea total es 12 .
a) 24 b) 22
c) 25 d) 35
e) 34
14) En un prisma recto de
base cuadrada se encuentrainscrito un cilindro. Calcular el
volumen del cilindro, si el
volumen del prisma es de
12m3
a) 3m4 b) 3m6
c) 3m12 d) 3m
e) 3m3
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15) Si el rea lateral yvolumen de un crculo recto
son entre si como 22 es a
32 Cunto mide el radio de
su base?
a) 3 b) 1 c) 2
d) 2,5 e) 1,6
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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R
R
R
TEMA: ESFERA
Se llama esfera al slido engendrado por un semicrculo cuando gira una
vuelta completa alrededor de su dimetro.
rea
2R4A =
Volumen
3R.3
4V =
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) El radio de una esferamide 3 A que distancia delcentro debe trazarse un planopara que el rea de la seccindel crculo que se determinasea igual a 1/3 del rea deuno de los crculos mximos?
Rpta.
2) Encontrar el rea total deuna semi esfera de radio R.
Rpta.
3) Los radios de 2 esferasmiden 2 y 4 En que relacinse encuentran susvolmenes?
Rpta.
4) Encontrar el volumen deuna esfera si su rea es 36 .
Rpta.
5) El radio de una esfera mide6, calcular el rea de la seccin
que se determina sobre un planoperpendicular a un radio y quepasa por la mitad de dicho radio.
Rpta.
6) Encontrar el volumen de laesfera circunscrita a un cubo
cuya arista mide 32 .
Rpta.7) Una esfera se encuentrainscrita en un cilindro derevolucin, si el rea de laesfera ms el rea total delcilindro es 31,4 hallar el reade la esfera.
Rpta.
8) Dos esferas slidas deplomo de radios r y 2r se fundenpara construir un cilindro derevolucin de altura igual a 3r,hallar el radio de la base delcilindro.
Rpta.
9) El rea total de un conoequiltero es 81. Hallar el reade la esfera inscrita.
Rpta.
10) El rea de la superficielateral de una semi esfera esA1 y el rea de la base es A2 ,Hallar A1/ A2
Rpta.11) Dos esferas cuyos radiosmiden 4 y 6 son tangentesexteriores y se encuentranapoyadas sobre una mesa.Hallar la distancia entre lospuntos de apoyo.
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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Rpta.
12) La diagonal de una de lascaras de un cubo mide 8.Hallar el rea de la esferainscrita en el cubo.
Rpta.
13) Hallar el radio de la esferainscrita en un tetraedro dearista 12.
Rpta.14) Tres esferas de radios 4 ; 9 y
16, se encuentran sobre unamesa, tangentes exterioresdos a dos. Hallar el permetrodel tringulo que se forma alunir los puntos de tangenciade las esferas con la mesa.
Rpta.
15)Calcular el rea de una esfera,si dos crculos menoressituados a un mismo lado delcentro de la esfera tienen porreas 25 y 36 . Ladistancia entre los centros delos dos crculos es 1.
Rpta.
16) En la figura, calcular x
X
4
X
Rpta.
17) A que distancia del
centro de una esfera de 15
cm. de radio deber pasar unplano para el crculo seccin
tenga 12 cm. de radio.
Rpta.
18) El rea de un crculomenor de una esfera es 706,5
cm2, calcular el radio de laesfera, sabiendo que su centro
esta a 8 cm. de dicho crculo
menor (Usar = 3,14)?
Rpta.
19) La longitud de una
circunferencia mxima de unaesfera mide 62,8 m. Calcular
el rea de la superficie
esfrica.
Rpta.
20) Dos esferas de metal deradios 2a y 3a. Se funden
juntas para hacer una esfera
mayor. Calcular el radio de la
nueva esfera.
Rpta.
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1) El dimetro de un balnde ftbol es de 30 cm.Calcular su volumen;
a) 3cm1500 b)
3cm2500
c) 3cm4500 d)
3
cm5500
e) 3cm3500
2) La altura y el dimetro deun cono de revolucin soniguales al radio de una esferade 4 cm3 de volumen. Calcularel volumen del cono.
a) 3cm1 b)3cm25,0
c) 3cm5,1 d) 3cm2
e) 3cm4
3) En una esfera el rea delcrculo mximo es S Hallar el
rea de la esfera.
a) 2S b) 3S c) 4Sd) 5S e) 6S
4) El volumen de una esferaes numricamente igual surea. Calcular su radio.
a) 1 b) 3 c) 6d) 9 e) 27
5) La arista de un cubo es de6m. Calcular el volumen de laesfera inscrita en el cubo.
a) 3m9 b) 3m24 c)
3m81
d) 3m72 e) 3m36
6) La arista de un cubo es de2m. Calcular el rea de laesfera circunscrita al cubo.
a) 2m12 b) 2m13 c)
2m14
d) 2m15 e) 2m16
7) El rea de una esfera es144 cm2, El volumen es:
a) 3cm144 b)
3cm288
c) 3cm72 d) 3cm36
e) 3cm24
8) El volumen de un cilindroes 30m3, El volumen de la
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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esfera inscrita en el cilindroes:
a) 3m10 b) 3m20
c) 3m40 d) 3m50
e) 3m15
9) En que relacin seencuentran los volmenes dedos esferas si el radio de unade ellas es el triple de la otra.
a) 1/3 b) 1/9 c) 1/27d) 1/54 e) 1/8
10) El rea de la superficie deuna esfera es igual a 36 .Calcular su volumen:
a) 18 b) a c) 36
d) 72 e)
11)Un cono y una esferatienen igual radio. La altura delcono es igual al dimetro dela esfera, si el volumen delcono es 100m3, el volumen dela esfera ser:
a) 3m100 b)3m200
c) 3m100 d)3m200
e) 3m50
12)Uno de los crculosmximos de una esfera tiene
un rea de 100 .cm2,el reade la superficie esfrica es:
a) 2cm200 b)
2cm200
c) 2cm400 d)
2cm400
e) 2cm300
13) El dimetro de una esfera
mide 20 cm.. Calcular suvolumen ( /3 = 1,047).
a) 3cm1047 b)
3cm2094
c) 3cm3141 d)
3cm4188
e) 3cm5235
14) Calcular el volumen deuna esfera circunscrita a untronco de cono de 6 cm degeneratriz y de radios de 3 cmy 6 cm. respectivamente.
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62/87
a) 3cm288 b)
3cm280
c) 3cm3288 d)
3cm290
e) 3cm300
15) C es un cilindrocircunscrito a una esfera S Si
el volumen de C es 16cm3, entonces el volumen S
(en cm3 ) es:
a)3
32b) 10
c)3
16d) 16
e)5
32
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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MISCEL NEA
1) En una recta se ubican los
puntos consecutivos A , B , C
y D, tal que: AC = 9, BD = 8 y
AD = 12. Calcular BC.
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 1
2) En una recta se ubican lospuntos consecutivos A , B, C
y D, tal que:
AC.CD = BD.AD
Si AB = 3, calcular CD.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1,5 e) 2,5
3) En una recta se ubican lospuntos consecutivos A, B y C
siM es punto medio de AC
, BC AB = 12, Calcular BM.
a) 6 b) 5 c) 8
d) 4 e) 3
4) En la figura BC . AD = 45
Calcular X.
A 2 B C 2 D
X
a) 6 b) 5 c) 4
d) 7 e) 8
5) En la figura AC + BC = 20
Calcular x.
A BM C
X
a) 10 b) 15 c) 12
d) 9 e) 8
6) En una recta se ubican los
puntos consecutivos A, B, C y
D tal que CD = 2BC. Y 2AB +AD = 36, Calcular AC:
a) 8 b) 12 c) 15
d) 9 e) 10
7) En la figura AB + CD = 10
MB MC = 12, Calcular x.
A B M C X D
K K
a) 11 b) 8 c) 6
d) 12 e) 4
Geometra 63
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
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8) En la figura, calcular x
A B M N C8
a) 10 b) 4 c) 3
d) 6 e) 16
9) En una recta se ubican lospuntos consecutivos A , B , C
y D tal que M y N son puntos
medios de AC y BD
respectivamente Si AB + CD =
40, Calcular : MN.
a) 10 b) 20 c) 18
d) 12 e) 25
10) En una recta se ubican lospuntos consecutivos A , B , C ,
M y N son puntos medios de
AN y BC respectivamente
M BN , si NC = AB + 6.Calcular BM.
a) 2 b) 1 c) 4d) 3 e) 6
11) Calcular la medida de un
ngulo sabiendo que el
complemento de su medida es
igual al cudruple de dicha
medida.
a) 12 b) 15 c) 30
d) 20 e) 18
12) Del grfico, calcular x.
+
+ 2+ 3
+ 4
X
a) 105 b) 108 c) 120
d) 150 e) 160
13) Se tienen los ngulos
consecutivos AOB, BOC y
COD, de modo que: AOD - m BOC = 40,m AOC + m BOD =100. Calcular la mBOC.
a) 30 b) 45 c) 60
d) 70 e) 80
14) Calcular x si 1L // 2L .
8 0
4 x
9 x
3 x
L 1
2L
x
a) 8 b) 6 c) 7
Geometra 64
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
65/87
d) 10 e) 16
15) Calcular x si 21 L//L
L 1
2L
3 5
4 0
a) 60 b) 40 c) 50
d) 70 e) 80
16) Calcular x si21 L//L
L 1
2L
6 x
7 x
8 x
6 x
a) 20 b) 18 c) 15
d) 12 d) 24
17) Calcular x si1L // L2
8 6
x
a) 34 b) 46 c) 56
d) 47 e) 43
18. Calcular x si21 L//L
3 x
4 X
5 x
a) 15 b) 30
c) 45 d) 60
e) 90
19. Calcular x si21 L//L
2
2
x
a) 150 b) 75
c) 90 d) 80
e) 120
20. Calcular x si21 L//L
Geometra 65
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
66/87
5 0
8 0
x
a) 110 b) 120c) 125 d) 115
e) 105
21) Calcular x
x
a) 60 b) 90 c) 75d) 45 e) 10
22) Calcular x, si m ABC = 5x
A D E C
B
a) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 30
23) Calcular x
5 4
X
a) 16 b) 15 c) 12
d) 20 e) 18
24) Calcular x en
4 0
x
a) 20 b) 15 c) 40
d) 10 e) 80
25) Los lados de un tringulo
escaleno miden 4; 6; 2x.
Calcular el valor entero de x.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 2;3 e) 3;4
26) Calcular el mnimo valor de x.
Geometra 66
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
67/87
X + 3X - 3
8
a) 5 b) 4 c) 3
d) 6 e) 8
27) Calcular x.
7 x
8 x
4 x
x
a) 20 b) 12 c) 15d) 18 e) 36
28) Calcular x + y + z
y
x z
a) 540 b) 90 c) 240
d) 360 e) 180
29) Calcular x
x
2
4
a) 36 b) 45 c) 60d) 30 e) 90
30) Hallar x si: (
+
) = 100
a) 20 b) 50 c) 24d) 25 e) 80
31) Calcular x si c escircuncentro del +ABD.
8 0 2 x
3 x
A
B
C
D
a) 120 b) 110 c) 100d) 160 e) 130
32) Calcular x
Geometra 67
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
68/87
B
5 0 4 0
5 0
x
a) 80 b) 40 c) 50d) 90 e) 100
33) Calcular x si G es baricentrodel +ABC
3 x
2 x
B
G
a) 100 b) 80 c) 140d) 130 e) 120
34) Calcular x si I es elincentro del +ABC.
x
1 0 0
I
B
a) 100 b) 80 c) 140d) 130 e) 120
35) Calcular X si O es elcircuncentro del +ABC.
OX
8 0
a) 120 b) 110 c) 100d) 160 e) 130
36) Calcular CD si H es el
ortocentro del+
ABC y HD = 6.
H
B
A C
D
2
a) 8 b) 6 c) 9d) 10 e) 12
37) Calcular x si C es elcircuncentro del +ABC.
2 xx
A
B
C
D
a) 15 b) 20 c) 5d) 10 e) 12
Geometra 68
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
69/87
38) Calcular MN. Si I es incentro del
+ABC y adems MN //AC .
M NI
3 4
a) 16 b) 15 c) 12d) 20 e) 18
39) Calcular x si O es elortocentro del +ABC.
H
2
A
B
C
8
a) 6 b) 8 c) 10
d) 5 e) 9
40) Calcular x. Si C escircuncentro del +ABC.
4 0 3 0
x
B
CA
a) 80 b) 70 c) 60d) 50 e) 40
41) Calcular x si:
4 0 4 0
x
a) 20 b) 40 c) 80d) 60 e) 50
42) Calcular x
x8 0
a) 80 b) 60 c) 120d) 100
Geometra 69
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
70/87
43. En la figura que se muestra,calcular x
5 0 x
3 nn
a) 40 b) 50
c) 60 d) 70e) 80
44. Si G es el Baricentro. Calcular BG
3A
B
C
G
a) 2 b) 1c) 6 d) 7e) 5
45. Calcular x
xx
a) 30 b) 60c) 45 d) 75e) 22.5
46. Calcular BD, Si AC = AD
A
B
D
3 1
a) 2 b) 3c) 4 d) 6e) 5
47. Calcular x
x
x
a) 15 b) 30c) 45 d) 37e) 18,5
48. Calcular x
x
5
3
Geometra 70
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71/87
a) 60 b) 53c) 45 d) 37
e) 30
49. Calcular BO, si =+ 30 yAC = 8
A
B
C
D
a) 6 b) 4c) 10 d) 5e) 7
50. Calcular
2
a) 45 b) 53c) 37 d) 30e) 22,5
51. Si la suma de las medidas delos ngulos internos de unpolgono es 1800 Cuntasdiagonales totales tiene?
a) 54 b) 65c) 35 d) 44
e) 77
52. Cuantos segmentos unen lospuntos los puntos medios detodos los lados de un icosagono.
a) 230 b) 160c) 190 d) 170e) 180
53. Cuantos lados tiene elpolgono regular ABCDE.
A
B C
D
E
1 3
.
.
a) 300 b) 240c) 360 d) 120e) 250
54. Cuantos lados tiene el polgono
convexo si el sxtuplo de unnmero de lados excede en 12 ala raz cuadrada de la suma delas medidas de sus ngulosinternos.
a) 6 b) 9c) 12 d) 16e) 7
Geometra 71
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72/87
55. El menor ngulo de unpolgono mide 120; los otros
forman con l una progresinaritmtica de razn 5Cuntos lados tiene?
a) 16 b) 6c) 9 d) 12e) 15
56. Cuantos lados tienen el polgonodonde la suma de sus ngulosinternos es 80 veces su nmerototal de diagonales.
a) 8 b) 5c) 18 d) 12e) 6
57. Se tiene un hexgonoequiltero ABCDEF de lados
alternados congruentes talque AB + BC = 32 .
Cunto dista A del lado
DE ?
a) 3 b) 3
c) 2/3 d) 2
e) 2
58. Calcular el nmero de ladosde un polgono convexo en elcual el nmero total dediagonales es igual a sieteveces su nmero de lados.
a) 12 b) 15c) 18 d) 17
e) 10
59. Cuntos lados tiene aquel
polgono convexo en el cual,al disminuirle en 2 el nmero
de lados, su nmero de
diagonales disminuye en 15.
a) 10 b) 9
c) 9 d) 11
e) 12
60. Cuantos lados tiene aquel
polgono regular en el cual al
disminuirle en tres su nmero
de lados, la medida de su
ngulo exterior disminuye al
20.
a) 6 b) 8
c) 10 d) 9
e) 5
61. En la figura ABCD es un
trapecio, calcular 2
A
BC
D
3
1 15
a) 37 b) 53
c) 30 d) 60
e) 45
Geometra 72
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62. Calcular x
7B
a) 5 b) 7c) 6 d) 8e) 9
63. En el trapecio ABCD, calcularla distancia entre los puntos
medios de BDyAC
2
4
A
B C
D
a) 2 b) 3c) 1 d) 4e) 1,5
64. Calcular , si ABCD es unrombo.
A
B
C
D
3
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 30
65. Calcular x si: 12AE = y 12EC +=
A
B C
D
E
a) 30 b) 22,5 c) 15d) 37 e) 28,5
66. Calcular x, si ABCD es uncuadrado
Geometra 73
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74/87
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
75/87
2
X
3
D
CB
A 8
a) 3 b) 2,5c) 5,5 d) 4e) 5
71) Calcular X
X
0
0
a) 20 b) 15c) 18 d) 30e) 45
72) Calcular X
2
0
X
X
a) 30 b) 18c) 15 d) 8
e) 18,5
73) Cuanto mide el inradio deltringulo.
6
a) 1 b) 4
c) 3 d) 2e) 5
74) Si ABCD es un romboidecalcular X
Geometra 75
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76/87
8
X
a) 4 b) 3c) 2 d) 1
e) 5
75) Calcular X
X8
5 7
a) 2 b) 3c) 1 d) 4e) 5
76) Cuanto mide el inradio deltringulo.
a+
4
C
B
A a
a) 2 b) 3c) 4 d) 1e) 5
77) Cuanto mide el inradio del BED
B
aE
C
A
0
6 + a
a) 2 b) 3c) 4 d) 1e) 5
78) Calcular X
Geometra 76
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77/87
X
6
a) 6 b) 7c) 8 d) 5e) 9
79) En la figura , Calcular elpermetro del ABC.
A
B
C
R
213-a
Q
a
P
a) 32 b) 30c) 36 d) 40e) 39
80) En la figura calcular X
X
8
9
a) 45 b) 37c) 60 d) 53e) 30
81)
X
7 0 X
a) 40 b) 50c) 60 d) 70e) 45
82) Calcular X si O es centro.
Geometra 77
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78/87
C
A
B
X
0
a) 36 b) 60c) 45 d) 72e) 70
83) Calcular X
X
a) 120 b) 60
c) 45 d) 72
e) 70
84) Calcular X
X
4 0
a) 40 b) 60
c) 80 d) 20
e) 60
Geometra 78
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
79/87
85) Calcular X
X
1 0 0
a) 45 b) 30
c) 20 d) 40
e) 36
86) Calcular X
5 X 8 0
a) 15 b) 18
c) 14 d) 17
e) 16
87) Calcular X
X X
a) 45 b) 30c) 40 d) 60e) 35
88) Calcular X
6 0 X
a) 90 b) 120c) 100 d) 140e) 160
Geometra 79
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
80/87
89) Hallar X
X
5 X
a) 30 b) 15c) 18 d) 20
e) 32
90) En la figura calcular X
X
3 0
a) 50 b) 45c) 65 d) 35e) 70
91) Calcular X
94 x
x 4
a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5
92) Calcular X
2
9
4 x
X
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
93) Cunto mide el lado delcuadrado?
1 5
3
a) 10 b) 12 c) 9d) 6 e) 8
94) Calcular X Si:
AC//MNyAN//PM
Geometra 80
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B
1
P
M N
X
A C
3
a) 6 b) 4 c) 12
d) 8 e) 5
95) Calcular
9 0 +
6
4 , 5
a) 53 b) 60 c) 30d) 45 e) 37
96) Calcular X
1
7
6
3
97) En un tringulo ABC las medidasde sus ngulos interiores estn
en progresin aritmtica. SiendoA el vrtice del ngulo cuymedida es la intermedia. Calcularla medida del ngulo quedeterminan las bisectrices de losngulos exteriores trazados de By C.
a) 60 b) 30c) 48 d) 36
e) 54
98) En las prolongacionesde los lados BA y AD de un
cuadrado ABCD, se ubican lospuntos P y Q respectivamente; talque PC = CQ y PQ = 12cm.Calcular la distancia de C a
PQ .
a) cm26 b)
5cmc) 6cm d) 4cm
e) cm24
99) Segn el grfico,calcular x si: BE = EC; FB =FA y AN = NC.
Geometra 81
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
82/87
A
B
C
E
F
x
N
a) 60 b) 90c) 80 d) 120
e) 70
100)En el lado AD de unrectngulo ABCD se ubica el
punto P, de modo que BP
interseca a AC en Q.
Calcular la distancia de Q a D,siendo Q la proyeccin de Q
sobre CD , adems:
2(PD) = 3(AP) y AB = 14cm
a) 6cm b) 4cmc) 5cm d) 3cme) 2,5cm
101) Segn el grfico, calcular AMsi: OP = 4(PT) = 4 y O escentro del cuadrante.
P
N TM
O B
A
a) 1 b) 2
c) 3 d) 1,5e) 0,5
102) En el grfico G es baricentro dela regin triangular ABC, siGR = 2. Calcular GB ademsAMNQ es un romboide.
B
C
G
R
Q
NM
A
a) 6 b) 9c) 12 d) 15e) 18
103)En el grfico: Si m ACO =37, m DOC = 45, CE =21, calcular: DE
Geometra 82
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
83/87
A
B
D
OC
E
a) 2 b) 4c) 7 d) 16e) 9
104)Dado el tringulo rectnguloABC recto en B se traza la
altura BH . Si AB = 3 y HC
= 8. Calcular BC.
a) 2 b) 1
c) 22 d) 26
e) 2
105)Segn el grfico, calcularAQ, s i MB = 2, AM = 4,
m MAT = 60 y
m P M = 120. (T: punto detangencia)
P M
B
T
Q A
a) 10 b) 12
c) 8 d) 4e) 6
106) Calcular la longitud del radiode la circunferencia inscritaen un tringulo rectngulo siel punto de tangencia con lahipotenusa determina dossegmentos cuyas longitudesson 2 y 3.
a) 1 b) 2c) 1,5 d) 2,5e) 0,5
107) Segn el grfico EB = 10,ED = 12, AO = OC = 4 yABCD es un rectngulo.Calcular OE.
A
B
O
D
E
C
a) 106 b) 107
c) 108 d) 104
e) 105
Geometra 83
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
84/87
108) Segn el grfico, calcular el
rea e la regin triangularAGM. Si BL = LC, BG = 4 yAG = 2GL = 6.
B
MA C
G
L
a) 30 b) 35
c) 31 d) 37
e) 52
109)Segn el grfico, calcular BP.
Si: PC = 12, MT =3
R(N, P, E
y T son puntos de tangencia).
M T
NR
P
D
C
E
A
B
a) 4 b) 8
c) 6 d) 5e) 3
110) Calcular la longitud de lamenor mediana en unaregin triangular que tienedos lados que miden 3 y 4,sabiendo adems que el reacorrespondiente a dicharegin toma su mximo valor.
a) 3 b) 4
c) 2 d) 2,5e) 1,5
111)En la figura, el tringulo ABOes equiltero, hallar laecuacin de la recta L, si elrea de la regin triangular
ABO es 234 (M es
punto de tangencia)
A
B
MO L x
y
a) 012y3x32 =++
b) 012y3x2 =+
c) 012y3x32 =+
d) 024y3x32 =+
e) 024y3x32 =++
Geometra 84
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
85/87
112)Sean las rectas L1: x2y6 =0 y L2: x + y 3 = 0, hallar la
ecuacin de la circunferenciacuyo centro es la
interseccin. de
1Ly
2L,
adems su radio mide 4.
a) (x + 4)2 + (y + 1)2 = 16b) (x 4)2 + (y + 1)2 = 16c) (x 5)2 + (y 1)2 = 16
d) (x 3)
2
+ (y 1)
2
= 16e) (x 1)2 + (y 5)2 = 16
113)Del grfico, F es foco de la
parbola yL
su directriz.
AF = 1 y FB = 3. Calcular elrea de la regin sombreada.
x
y
A F
L
BP a r
D i r e c
a) 2 b) 3
c) 32 d) 33
e) 34
114) Del grfico F es el foco de laparbola y el eje x es su
directriz. Hallar la ecuacinde la parbola.
x
yP a r b o
F ( 2 ; 2 )
a) (x 2)2 = 2(y + 1)b) (x 2)2 = 2(y 1)c) (x + 2)2 = 2(y 1)d) (x 2)2 = 4(y 1)e) (x 2)2 = (y 1)
115)Segn el grfico, calcular el
valor de x, si 2 = +
A C
x
4 0
a) 50 b) 40c) 45 d) 53e) 37
Geometra 85
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
86/87
116)Segn el grfico, lostringulos ABC y CED son
equilteros; calcular:CD
AB
B
CA D
E
a)3
4b) 2
c)2
3d)
3
32
e) 2
5
117) Segn el grfico QR =AO, calcular el valor de
, si m A = 72
A B
Q
O
P
a) 12 b) 48
c) 24 d) 30
e) 26
118) En la figura BDE, EFG, GHC
y ABC son tringulos
equilteros, si DE FG = FG HC = 1cm y el permetro de
la regin triangular ACB es
27cm. Calcular el permetro
de la regin triangular GHC.
A
B
C
D
E F
G H
a) 3cm b) 6cm
c) 9cm d) 7,5cme) 10,5cm
119)Segn el grfico; NM = ML,BN = 4 y CL = 12. Calcular EM.
B
CE
3 0
6 0
a) 32 + b) 31+
c) 33 + d) 8
e) 33
120)Se tiene un hexgono regularABCDEF, en la regin interior
Geometra 86
R
8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre
87/87
se ubica el punto M de modoque CM = ME y m CME =
90. Calcular la medida delngulo MCF.
a) 10 b) 15c) 25 d) 30e) 35
121)Segn la figura lascircunferencias son
congruentes, calcular m B M ,Si m A + m C = 210
M
AC
B
RP
Q
a) 100 b) 80c) 120 d) 105
e) 112122)En la figura m A B .
Calcular m ALB.
L
E
A
T
a) 30 b) 45 c) 60
d) 90 e) 53
123)De un punto P exterior a unasemicircunferencia de dimetroAB se traza la tangente PT y laperpendicular PH a laprolongacin de AB (T es punto
de tangencia y H
AB ), si
TP = AB; calcular m AHT.
a) 2
37
b) 2
43
c) 2
53
d) 20 e) 15
124)En la figura, BE = 5 ; EC =4 y AC = 14 . Calcular elrea de la regin triangularABC.
E
DB
a) 42 2 b) 28 2 c)21 2d) 40 2 e) 56 2