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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 1 -
ÁLGEBRA
01. Determine el gráfico que mejor
representa a g x f 1 x , si la
gráfica que representa a la función f es:
02. Determine la figura que mejor representan a la gráfica de la función
g x f x x si la gráfica de f es
f
1
y
x
1
1
y
x 2
E)
y
x
A)
-1
-1
y
x
B)
-1
y
x
D)
-1
-1
y
x
C)
-1
-1
1
1
y
x
A)
1
1
y
x
C)
y
x
D)
y
x
E)
1
y
x
B)
1
1
y
x
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 2 -
03. Determine la gráfica que mejor representa a la gráfica de la función
g x f 1 x x , si la grafica de f
es:
04. Indique la grafica de
g x f 1 x f 1 x , si la gráfica
de f es la figura adjunta
y
x
E)
y
x
C)
y
x
D)
y
x
C)
y
x
B)
y
x
A)
y
x 1
1
y
x 1
1
y
x
A)
y
x
B)
y
x
D)
y
x
E)
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 3 -
05. Determine la figura que mejor
representa a g x f x x 3 , si la
gráfica de f es
06. Determine la gráfica que mejor
representa a g x f 1 x , si la
gráfica de f es la figura adjunta
1
y
x
A)
y
x
B)
-1
y
x
D)
1
y
x
E)
y
x
f
1
y
x
A)
y
x
B)
1
y
x
C)
-1
y
x
D)
1
y
x
E)
-1
1
y
x
f
2
y
x
C)
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 4 -
07. Si la gráfica de g x 2 f 1 x 1 es
determine la figura que mejor representa a la gráfica de f.
08. Sea la función x 1;x 1
f x1 x ;x 1
.
Indique la gráfica que mejor
representa a g x f x 2
y
x
g 1
2
x
y
1
1 -1
A)
y
x
1
1 -1
B)
y
x 1 -1
C)
y
x 1 -1
D)
-1
y
x 1 2
A)
3 4 -1 -2 -3 -4
1
2
3
B)
x
x
y x
1
x
1 x
2
y
x 1 2
C)
1
y
x -1
D)
1
1/2
1
y
x 1 2
E)
3 -1 -2 -3
1
y
x 1 -1
E)
-1/2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 5 -
09. Si la gráfica de f es la figura adjunta
esbozar la gráfica de g x f 1 x
10. Sea f :R R , si f x 3 x 4; x R .
¿Cuál es la gráfica que mejor
representa a f x x 3 4 ?
11. Dada la función f x x ; determine
la gráfica de f x 1 1 1
A)
y
x
B)
y
x
C)
y
x
D)
y
x
E)
y
x
y
x 0
A)
y
x 0
B)
y
x 0
C)
y
x
D)
B)
x
y
1
A)
y
x
-1
y
x 1
E)
0
f y
x
1
-1
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 6 -
12. Sea la función definida mediante:
2
2 x ; x 3
f x x 4 ; 3 x 2
x 4 6 ; 2 x
Bosqueje la gráfica de f x 1
13. Indique cuál de los siguientes gráficos representa la función f, definida
mediante x 1
f xx 2
x
y
C)
-1 1
2
x
y
D)
E)
x
y
2
A)
y
x
B)
y
x
C)
y
x
E)
y
x
y
D)
x
A)
y
x
B)
y
x
C)
y
x
y
x
D)
y
x
E)
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 7 -
14. Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. 2 3P x y x x y , es un
polinomio de grado 2.
II. 2P x x x es un polinomio en
x.
III. P x / P x 1 P 2x x 2 ,
P x polinomio en x.
A) VVV B) FVV C) VFV D) VVF E) VFF
15. 3 2 5P x ax 5a 2 x a 1 x 2ax 2a
es un polinomio completo, determine
el valor de P 2 .
A) 2 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
16. Determine a b ab , si
a 2b a b b a 2b a b 8P x,y x y 5x y 7x y
es un polinomio homogéneo. A) 80 B) 100 C) 120 D) 160 E) 180
17. Si el polinomio es homogéneo, halle la suma de los coeficientes, si:
m n m n2 m 2 6 6 mP x,y m x nx y 4x y
A) 7 B) 11 C) 14 D) 16 E) 20
18. Si el polinomio:
2P x a b x 5 b c 3x 7 a c
es idénticamente nulo, entonces
a b
c
es
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
19. Si los polinomios
3 2P x ax 2bx a b x 5 y
3 2Q x ax a 8 x a 3 x a b
son iguales, encuentre a b
a b
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4
20. En un polinomio P x;y homogéneo
y completo en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 182. ¿Cuál es su grado de homogeneidad? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
21. Sea P un polinomio definido por
n n
P x 1 3x 2x 1 , si la suma
de coeficientes excede en 23 al término independiente, indique el valor de verdad de las proposiciones siguientes: I. El polinomio P(x) es de grado 2. II. La suma de sus coeficientes es
25. III. El término cuadrático del
polinomio P(x) es 12x2.
A) VVF B) VFV C) VVF D) FVV E) FFV
22. Sea P x,y un polinomio homogéneo
de grado 2 tal que
P 12;18 P 14;21 170 .
Halle P 10;15 .
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
23. Si al polinomio
a c a 1 c 3 b 8P x;y bx y ax y 7x , le
restamos 4 510x y su grado absoluto
disminuye. Determine el valor de a b c .
A) 4 B) 5 C) 9 D) 10 E) 19
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 8 -
24. Halle el valor de c a a b , si el
monomio a b cM x;y;z 5x y z cumple
que la suma de sus grado relativos tomados de 2 en 2, es 9,10,11, respectivamente. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
25. Si M y N son dos polinomios de grados 5 y 3 respectivamente ¿cuál de las expresiones tiene grado 12?
I. 2 2M N
II. 2
2M N
III. 7M 2N
IV. 3 2M N
V. 3
M N
A) I B) II C) III D) IV E) V
26. Si P es un polinomio homogéneo
dado por:
2 2n 5n 2 2 3n nP x,y 5 a n x y 2 2a 4b n x
a 3b8 2y 5 b n 2n xy
. Calcule la
suma de sus coeficientes A) 31 B) 40 C) 38 D) 41 E) 42
27. Sea el polinomio homogéneo
4 2 2 3P x,y 8x 11x y 5xy y
considere el polinomio Q(x;y) que debe agregarse a P(x;y) para que el polinomio resultante T(x;y) sea un polinomio homogéneo y completo respecto a x e y, que la suma de sus coeficientes sea 10 y su valor numérico para x 1; y 1 sea -10.
Halle Q(-1;1). A) -5 B) -2 C) 0 D) 2 E) 5
28. Si el polinomio
n 8 n 7 n 6P x n 3 x n 4 x n 5 x
Es ordenado y completo. Halle el valor de P(-1).
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
29. Dado el polinomio a 6 m a 5 pP(x,y) 5x y 6x y
a 8 2p m11x y .
Calcule a m p , sabiendo que es
homogéneo, completo y ordenado y
de a p términos respecto a “x”.
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
30. Halle el valor de a b en la siguiente identidad de polinomios
b 3 a 4 4a 3 b 4a x a y b x b y
A) 1
4 B)
1
2 C)
3
4
D) 1 E) 5
4
31. Si los grados de los polinomios
2
P x Q x y R x son 27 y 23
respectivamente, determine el grado de P(x) si se cumple que:
3
P x Q x R x
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
32. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. Si P x,y es un polinomio
homogéneo de grado 2; si
P 1;2 8 entonces P 4; 8 128 .
II. Si el grado de
P(x) Q x y P x Q(x) son 2 y 3
respectivamente, si además el
grado de P(x) Q x es 2
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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 9 -
entonces el grado de 4 3P x Q (x)
es 11. III. Si P(x) es un polinomio lineal y
mónico, tal que P(3) y P(8) son números cuadrados perfectos, entonces P(0)=1
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF
33. Si P es un polinomio definido por:
nnn 2 13 n 32P x 3x 4x 7x 2x
entonces el número de valores enteros que admite n es A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
34. Indique la secuencia correcta acerca de las afirmaciones si es verdadera
(V) o falsa (F), P x , Q x polinomios
sobre .
I. 2P x / Gr P Gr P
II. 2P x / P x P x 2x
III. Siempre 2Gr P Gr P 1, P x
es un polinomio. A) VFF B) VVF C) VFV D) FFF E) FFV
35. Sea A={P(x)/P(x) es un polinomio
sobre de grado 2}. Indique la
secuencia correcta acerca de las siguientes afirmaciones:
I. P x ,Q x A P x Q x A
II. P x Q x A P x Q x A
III. P x ,Q x A P x A Q x A
IV. 2P x A :P x 1 A P x x 1
A) VFFF B) FVFF C) FFVF D) FFFV E) FFFF
36. Si P(x) es un polinomio de grado “3” que cumple:
P x 1 P x 2x 3x 2 , halle el
coeficiente del término cuadrático. A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
37. Si 2 4 6P x 1 x 1 x 1 x ... hay
n factores, halle el grado de nP x .
A) 2n n B) 2n n 1
C) n 2
2
D) n2
E) 3n n
4
38. Sea P x x 3 un polinomio
racional entero; si se cumple las siguientes condiciones:
P R x Q x x 1 y
2 2 2P R x Q x x 1
. Determine
el valor de la expresión
M P R x Q x .
A) x 2 B) 2x 4 C) 3x 5
D) 4x 3 E) 6x 7
39. Dado el polinomio
m n q n q sP x,y,z,w x y
m n s m q sz w se pide determinar la condición necesaria y suficiente para que sea un polinomio homogéneo. A) m n q s B) m q s n
C) 2m n q s D) m q n s
E) m n q s
40. Sea
n n 1 n 2P x nx n 1 x n 2 x
22x x m , si sus coeficientes
suman 63 y P 0 n 2 . Halle la
suma de coeficientes de
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m m 1 2Q x mx m 1 x 2x x n
A) 10 B) 18 C) 36 D) 46 E) 63
41. Sean P y Q dos polinomios definidos mediante:
2P x 1 x 3x 1
2Q 2x 1 P x x
Halle el polinomio P x 2Q x .
A) 2x B) 2x2 C) x2
D) 22x E) 2x 2
42. Si P x x x 1 x 2 x 3 x 4
Q x x x 1 x 2 x 3 x 4
4R x 20x
Determine: P x Q x R x
A) 16x2 B) 25x2 C) 36x2
D) 100x2 E) 125x2
43. Se define el polinomio P(x), tal que
b 1
3
1 x b x1 xP x
1 b b b
2
3 6
1 x b x b x
b b
2 m 1
m m 1 m m 1
2 2
1 x b x b x b x
b b
.
Determine el valor de
2011 2010K P b P b
A) 0 B) 1 C) 2010 D) 2011 E) 4021
44. Cierto polinomio Mónico de 4º grado
es divisible por 2x 4x 3 ; también
por 2x 5x 6 y 2x 3x 2 . Si se divide dicho polinomio entre x 4 es residuo es 42. Halle el residuo de dividir el polinomio entre x 5 .
A) 162 B) 172 C) 182
D) 192 E) 202
45. Halle el resto de dividir
16 8
7 6 5 4 3 2
x x 1
x x x x x x x 1
A) 4 B) x 1 C) 3 D) x 1 E) 1
46. Determine el resto de la siguiente división
100 5
4 3 2
x x x 2
x x x x 1
A) x 1 B) x 1 C) x 4
D) x 4 E) 2x x 1
47. Si a b c 0 la expresión 2 2 2 2 2 2M 2a b 2b c 2c a es
equivalente a
A) 3 3 3ab bc ca
B) 2 2 2a b c ab bc ca
C) 4 4 4a b c
D) 2
ab bc ca
E) 0
48. Si a, b y c son números reales positivos que cumplen la condición
a b a c b c6
b a c a c b , entonces el
valor de
3
3 3
a b c
a b 7abc
es
A) 1
4 B)
1
3 C) 1
D) 3 E) 9
49. Halle el resto de dividir
51 60 2x 2 x 1 3 x 3x 2
A) 1 B) 2 C) 2x D) 3x E) 4x 1
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50. Efectuar
K x 1 x 4 x 3 x 2 x 2 x 3 x 5 x 4
212 x x 1
A) -84 B) -80 C) -70 D) -50 E) -30
51. Sabiendo que 9
9
a x7
ax , el valor de
la expresión 9
449
a x
ax es
A) 3 B) 4 C) 5
D) 5 E) 2
52. Al dividir un polinomio separadamente
entre x 1 , x 2 y x 3 , si se
obtiene siempre como resto -20. Calcule el término independiente de dicho polinomio sabiendo que es de tercer grado y que si se divide entre x 4 , se obtiene como resto 16. A) -10 B) -56 C) 20 D) 36 E) -46
53. Si al dividir
4 3 2Ax 4x Bx 18x 12
x 1 x 3
se obtiene
como residuo 2x 3 . Halle A B .
A) -5 B -3) C) 3 D) 4 E) 6
54. Halle la suma de los coeficientes del residuo de la división
36 18 6 3
12 9 3
4x 3x 5x x 8
2x x 2x 3
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
55. Dada la siguiente división por Horner
1 2 -b -2 30
a 4 -8
b
2 8
Determine el resto de la división. A) x 8 B) x 4 C) 6x 2
D) 2x 6 E) x 6
56. Si al efectuar la división 4 3 2
2
ax x bx 11x 2
3x 5x 2
; se obtiene
como resto 3x 6 . Determine el
valor de 2 2a b . A) 15 B) 35 C) 21 D) 34 E) 27
57. Halle m y n si el residuo de 4 3 2
2
12x 23x 8mx 35x n
4x 5x m
es
2x 3 . De cómo respuesta n m . A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 40
58. Determine B A si la división
4 3 2
2
Ax Bx 21x x 12
2x 4x 3
es exacta.
A) 11 B) 16 C) 20 D) 22 E) 30
59. Si la división del polinomio
2 2 3 2P x a b x 2b a b x
4abx b 2b a por d x a b x b a
es exacta. Halle el valor de 2 2
2 2
a b 5abM
3ab a b
.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9
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60. Halle c para que
2Q x x a 1 x b sea divisible
por x c ; sabiendo que
5 4 3 2x 12x 31x 14x ax b es
divisible por 2x 5x 2 .
A) 1 ó 4 B) -1 ó 4 C) -4 ó -1 D) 1 E) 4
61. Determine el mayor valor del residuo de la división
5 4 3 28x 2m 4 x 2n m 2 x 1 n x 4x mn
2x 1
Si se sabe que m,n R y que la
suma de coeficientes del cociente es 5. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
62. Determine el resto de dividir
2
x 1 x 2 x 3 x 4 6
x 5x 7
A) -2 B) 0 C) 6 D) 9 E) 11
63. Proporcionar el resto de dividir
100 99 98 2x x x x x 1 entre
3x 1 .
A) 34x 33 B) 22x 2x 2
C) 2x x 1 D) 233x 34x 34 E) x 1
64. Si se cumple P x x 2 Q x y
Q(x) es divisible por x 3 . Indique
el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. P(x) es divisible por x 3 .
II. P(x) posee más factores primos que Q(x).
III. Q 2 0
A) FVF B) VVF C) VVV D) VFF E) FFF
65. Si el polinomio
5 4 2P x 2x x ax bx c es
divisible por 4x 1 ; entonces el
valor de a b c
Ea b c
es
A) 3
2 B) -1 C)
2
3
D) 2
3 E)
3
2
66. Un polinomio P(x) Mónico de grado 3
es divisible por x 4 y genera un
cociente Q(x) que al ser dividido por
x 1 el residuo es 2. El resto de la
división de P(x) por x 4 x 1 es
A) x 2 B) x 4 C) 2x 8
D) x 1 E) 2
67. Un polinomio P(x) de 5to grado con término independiente -6 es divisible
separadamente por 2x 1 y
2x 2x 2 . Si se divide P(x) por
3x 1 se obtiene por residuo
11x 3 . Halle P(-1).
A) 5 B) -3 C) -16 D) 10 E) -12
68. Un polinomio cúbico es divisible por
2x 1 ; al ser dividido entre 2x 1 el residuo es 6x 2 . Determine el valor
de verdad de las proposiciones siguientes: I. P(x) es divisible entre 3x 1 .
II. Es resto de dividir P x x 2
es 25.
III. Al dividir 2P x x 6 es resto
es 21x 7 . A) FVF B) FFV C) VVF D) VVV E) FVV
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69. Dado el polinomio
4 3 2P x ax 4x bx cx 2 en x,
divisible por x 1 y x 2 ; al
dividirlo por x 1 el resto es -6.
Indique el valor de 2a c b . A) -15 B) 10 C) 18 D) 21 E) 30
70. Al dividir P(x) entre
x 2 x 4 x 2 se obtiene como
resto 2x x 1 . Calcule el resto de
dividir P(x) entre 2x 2x 8 . A) x 3 B) x 3 C) x 3 D) 2x 6 E) 3x 9
71. Si 4 2 3 2 2P x ax a 1 x ax a 1 x a
es un polinomio factorizable, entonces la suma de coeficientes de un factor primo es A) 2a 12 B) a 20
C) a 16 D) 2a 1 E) 8a 1
72. Dado el siguiente polinomio P que
puede factorizar por aspa simple
4 2 2 2P x,y,z x x y z 2yz y z .
Determine un factor primo.
A) 2x y 2 B) 2x y z
C) 2x y z D) 2x y z 1
E) 2x y z 1
73. Notando que el siguiente polinomio se
puede factorizar por aspa doble
2 2P x,y 2y 3x xy 16x 9y 5 .
Determine la suma de sus factores primos. A) 2y 3x 1 B) y x 5
C) 3y 4x 6 D) 3y 2x 4
E) 2y 3x 9
74. Obtener la suma de los factores primos de:
3 3 2 2 2 2 2 2x y ax y bx y cx y abxy
acxy bcxy abc
A) 2xy a b B) 3xy a c
C) 3xy a b c D) 3xy b
E) 3xy
75. Dado el siguiente cociente notable
162 n
2 2 4
x 2y y
x 4x 1 y 4y
, si se sabe que
m es el grado absoluto del cuarto término en el desarrollo de dicho cociente. Halle m n . A) 16 B) 22 C) 36 D) 38 E) 52
76. Determine el número de términos del
cociente notable mp p
m
x y
x y
; si los
grados absolutos de todos los términos de su expansión disminuyen de 3 en 3; además el término de lugar 40 de sus expansión tiene grado absoluto 87. A) 42 B) 44 C) 46 D) 48 E) 52
77. Si uno de los coeficientes del
desarrollo del cociente m m n
2 m 1 m 4
x y
x y y
es x50 determine n m .
A) 35 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43
78. Simplifique y luego determine el número de sumados de la expresión
95 90 5
80 60 20
x x x 1
x x x 1
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 14 -
79. Si el quinto término del cociente
notable
x x4 4
y y5 9 5 9
a b
a b
es 176 64a b .
¿Cuál es el número de términos del cociente? A) 8 B) 12 C) 16 D) 24 E) 32
80. Uno de los factores primos de la
expresión
4x x c x 2c x 3c 24c es
A) x c B) x 2c
C) x 4c D) 2 2x 3cx 6c
E) 2 2x 3cx 9c
81. Determine la suma de coeficientes de un factor primo de
6 5 4 2E x 2x 3x 4x 1 A) -2 B) 0 C) 2 D) 3 E) 4
82. El producto de dos polinomios es
2
2x 1 y el cociente de su MCM y
su MCD es 2
x 1 . Determine el
MCD. A) x 1 B) x 1 C) x 2 D) x 2 E) x
83. Determine la suma de los coeficientes
del MCD de los polinomios
4 3 2P x 2x x 3x 3x 9
3 2Q x 10x 9x 17x 6
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
84. Halle la suma de los coeficientes del
resto de extraer la raíz cuadrada de 4 2 3x 20x x 20x 4 .
A) -2 B) 1 C) 0 D) 2 E) -3
85. Determine “ab”, si la raíz cuadrada de 4 3 216x 32x 24x ax b es exacta.
A) -8 B) -4 C) -2 D) 2 E) 4
86. Si al extraer la raíz cuadrada del polinomio
4 3 2P x a 3 x b 2 x 13x 9x 5
se obtiene un residuo igual a
P x 5x 1 . Halle el valor de a b .
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
87. Al racionalizar la expresión
3
1A
5 3 2 8 27 125
el denominador resultante es A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
88. Racionalizara la siguiente expresión 3
6
3
3 9 y de cómo respuesta su
nuevo denominador. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
89. Racionalizar 20
E7 6 14 21
A) 7 6 21 14
B) 7 14 6 21
C) 7 14 6 21
D) 7 21 6 14
E) 7 6 21 14
90. Si 0 y se cumple la
siguiente igualdad
7
6 8 27 6
.
Calcule .
A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49