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SOLUCIONARIO 3RA CALIFICADA MA 133
Huacasi Vargas Esteban 20131238E
1. Calcule el volumen del solido acotado por la intersección de los cilindros circulares rectos
x2+ y2=a2 ; x2+ z2=a2
SOLUCIÓN:
Por simetría calculemos el volumen de la porción:
V TOTAL=16V '=16∫0
π2
∫0
a
rcosθ r dr dθ=16 a3
3∫0
π2
cosθdθ=16 a3
3
Por el volumen del prismoide tenemos:
V8
=H6
(S A+SB+4 SR ) → V8
= R6 (R2+0+4 3R2
4 )
El volumen acortado por la intersección de los cilindros es:
V TOTAL=16a3
3
V=163
a3
2. Sea la integral triple I=∭S
(x2+ y2+z2)dz dy dx , siendo
S=( x ; y ; z )∈R3/ x>0 , y>0 ,−√4−x2− y2< z< 12
√4− x2− y2Escriba los límites de la integral en coordenadas rectangulares y coordenadas cilíndricas.
SOLUCION:
Graficando la región en el plazo tridimensional:
I=∭S
(x2+ y2+z2)dz dy dx=∫0
2
∫0
√4− x2
∫−√4− x2− y2
12 √4− x2− y2
(x2+ y2+ z2)dzdy dx
En coordenadas cilíndricas:
Haciendo x=r cosθy=r senθ
z=z → J (r , θ , z )=r dz dr dθ
I=∫0
π2
∫0
2
∫−√4−r2
12 √4−r2
(r2+z2)dz dr dθ
3. Sea un segmento esférico de una base cuya altura mide h y el radio de la superficie que acota la esfera mide R. Exprese el volumen del segmento esférico en coordenadas esféricas, en coordenadas cilíndricas y en coordenadas rectangulares.
SOLUCION:
a. Coordenadas esféricas
Haciendo x=ρ senφ cosθy=ρ senφsenθ
z=ρ cosφ → J (r , θ , z )=ρ2 senφ dzdθ dφ
V=∫0
2π
∫0
sin−1 ( R−hR
)
∫(R−h)sec (arc cos(( R−h
R )))
R
ρ2 senφdρ dφ dθ
b. Coordenadas cilíndricas
Haciendo x=r cosθy=r senθ
z=z → J (r , θ , z )=r dz dr dθ
V=∫0
2π
∫0
√R2−h2
∫R−h
√R2−r 2
r dz dr dθ
c. Coordenadas rectangulares
V= ∫−√R2+h2
√R 2+h2
∫−√R 2+h2−x2
√R2+h2− x2
∫R−h
√ R2+h2− y2
dz dy dx
4. Indique el valor de la siguiente integral I=∬Ω
1( x2+ y2+1)10
dx dy , siendo:
Ω=( x ; y )∈R2/x2+ y2≥1˄ x ≥0˄ y≥0 SOLUCIÓN:
Haciendo x=r cosθy=r senθ
→ J (r , θ )=r dr dθ
Ω¿=0≤r ≤1; 0≤ θ ≤π2
I=I=∬Ω
1( x2+ y2+1)10
dx dy=∫∫Ω¿
rdθ dr(r2+1)10
I=π2∫0
1r dr
(r2+1)10=π4log 2
5. Evalue la siguiente integral ∬R
ex2+ y2+xy dA, siendo
R=( x ; y )∈R2/x2+ y2+xy<1
6. Si f ( x ; y )=esen (x+ y ) y ⅅ¿ [−π ; π ] x [−π ;π ], demuestre que :
1e
≤14π 2
∬ⅅ
f ( x ; y ) dA ≤ e
SOLUCION:
De la propiedad:
Sea f(x,y) funciones continuas sobre una región, si m ≤ f (x , y )≤ M ∀ x , y∈ A
entonces m Aárea ≤∬A
f (x , y )dA ≤ M Aá rea.
En el problema:
e−1≤esen (x+ y )≤e
4 π 2e−1≤esen ( x+ y )≤4 π 2e
→e−1
4 π2≤ esen (x+ y ) ≤
e4 π2
7. Use la definición de la integral doble, para evaluar la integral doble:
∬R
( x2+ y ) dxdy
siendo R=¿
SOLUCION:
Sea f una función de dos variables definida sobre una región cerrada R del plano xy. Entonces
la integral doble de f sobre R, denotada por ∬R
F(x , y)se define como:
∬R
f ( x , y )dA= lim‖P‖→0
∑k=1
n
f (xk¿ , yk
¿)∆ Ak
∆ x=1−04
=14
∆ y=2−02
=1∆ A=14
S4,2=14∑i=1
4
∑j=1
2
f (Pij)=14 ( 9764 + 33
64+ 10364
+ 4164
+ 5764
+ 12164
+ 10564
+ 8164 )=2.5
8. Sea 𝕋 la transformación definida por la regla de correspondencia
( x ; y ; z )=T (u ; v ; w )= (u2+v ;u−v ;w )y sea 𝔼 el tetraedro con vértices (0;0;0) , (0;1;0) y (1;0;0).Dibuje las regiones de integración en los dos casos y encuéntrese el volumen de (𝔼).
SOLUCION:
Calculamos el jacobiano:
J (u , v , w )=|∂ x∂ u
∂ x∂ v
∂ x∂ w
∂ y∂ u
∂ y∂ v
∂ y∂ w
∂ z∂ u
∂ z∂ v
∂ z∂ w
|=|2u 1 01 −1 00 0 1|=2u+1
Expresamos el volumen en coordenadas rectangulares:
V=∭Ω
dzdy dx=∫0
1
∫0
1− x
∫0
1−x− y
dz dy dx=16
Usando la transformación planteada:
V=∫
∫
∫
16(2u+1)dw dv du
9. Calcule el volumen del solido acotado por las superficies:
x2
a2+ y2
b2+ z2
c2=1 , x2
a2+ y2
b2= z2
c2
Fundamente su respuesta.
SOLUCION:
S1: x2
a2+ y2
b2+ z2
c2=1
S2 :x2
a2+ y2
b2= z2
c2
De S1∩S2: z=c √22
Proyectamos al plano x-y:
V=∭Ω
dzdy dx=8∫0
a√2
∫0
b√2− x2
a2
∫c √22
c √1− x2
a2−
y2
b2
dz dydx=¿
10.¿Cuál es la geodésica sobre la superficie esférica? Fundamente su respuesta.
La distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una esfera tiene como valor:
ds=√(dx)2+(dy)2+(dz )2
Haciendo x=ρ senφ cosθy=ρ senφsenθ
z=ρ cosφ →J (r , θ , z )=ρ2 senφ dzdθ dφ
En la expresión:
(ds )2=(d ρ)2+ ρ2(dθ)2+ρ2 sen2φ (dφ)2
Siendo la geodésica la menor distancia entre dos puntos, mantendremos constante el radio ρ, por tanto dρ=0.
Entonces el elemento de línea sobre la superficie de la esfera está dado por:(ds )2=ρ2(dθ)2+ρ2 sen2φ (dφ)2
ds=ρ√(dθ)2+sen2φ (dφ)2
s= ρ∫1
2
√( dθdφ
)2
+sen2φ dφ
Siendo s la distancia entre 2 puntos de una superficie esférica, usaremos la expresión de Euler del cálculo variacional siendo la función:
F=√( dθdφ
)2
+sen2φ
Usaremos la notación: θφ=dθdφ
→ F=√θφ2+sen2φ
En la 2da forma de Euler:
√θφ2+sen2φ−θφ
∂∂θφ
√θφ2+sen2φ=K=cte .sen2φ=K √θφ
2+sen2φ
Reordenamos:dφdθ
= K csc2θ
√1−K csc2θ
Despejando para φ y llevando a cabo la integración obtenemos la siguiente relación:
φ=sin−1[ ctg(θ)α ]+cSiendo α 2=1−K2
K2
ctg (θ )=α sen (φ−c )