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UNIDAD IV

PROBABILIDAD El trmino probabilidad se refiere al estudio de azar y la incertidumbre en cualquier situacin en la cual varios posibles sucesos pueden ocurrir; la disciplina de la probabilidad proporciona mtodos de cuantificar las oportunidades y probabilidades asociadas con varios sucesos. El lenguaje de probabilidad se utiliza constantemente de manera informal tanto en el contexto escrito como en el hablado. Algunos ejemplos incluyen enunciados tales como es probable que el ndice Dow-Jones se incremente al final del ao, existen 50-50 probabilidades de que la persona con posesin de su cargo busque la reeleccin, probablemente se ofrecer por lo menos una seccin del curso el prximo ao, las probabilidades favorecen la rpida solucin de la huelga y se espera que se vendan por lo menos 20 000 boletos para el concierto. En esta unidad, se introducen algunos conceptos de probabilidad, se indica cmo pueden ser interpretadas las probabilidades y se demuestra cmo pueden ser aplicadas las reglas de probabilidad para calcular las probabilidades de muchos eventos interesantes. La metodologa de probabilidad permite entonces expresar en lenguaje preciso enunciados informales como los antes expresados.

1. EXPERIENCIA ALEATORIA Y ESPACIO MUESTRAL

Un experimento es cualquier accin o proceso cuyo resultado est sujeto a la incertidumbre. Aunque la palabra experimento en general sugiere una situacin de prueba cuidadosamente controlada en un laboratorio, se le utiliza aqu en un sentido mucho ms amplio. Por lo tanto, experimentos que pueden ser de inters incluyen lanzar al aire una moneda una vez o varias veces, seleccionar una carta o cartas de un mazo, pesar una hogaza de pan, el tiempo de recorrido de la casa al trabajo en una maana particular, obtener tipos de sangre de un grupo de individuos o medir las resistencias a la compresin de diferentes vigas de acero. El espacio muestral de un experimento denotado por S o por , es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento. Ejemplos: Si se examinan tres fusibles en secuencia y se anota el resultado de cada examen, entonces un resultado del experimento es cualquier secuencia de letras N y D de longitud 3, por lo tanto

= {NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}

Dos gasolineras estn localizadas en cierta interseccin. Cada una dispone de 6 bombas de gasolina. Considrese el experimento en el cual se determina el nmero de bombas en uso a una hora particular del da en cada una de las gasolineras. Un resultado experimental especifica cuntas bombas estn en uso en la primera gasolinera y cuntas estn en uso en la segunda. Un posible resultado es (2, 2), otro es (4, 1) y otro ms es (1, 4). Los 49 resultados en S se

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muestran en la tabla adjunta. El espacio muestral del experimento en el cual un dado de 6 lados es lanzado dos veces se obtiene eliminando la fila 0 y la columna 0 de la tabla y se obtienen 36 resultados.

2. SUCESOS O EVENTOS En el estudio de la probabilidad, interesan no slo los resultados individuales de sino tambin varias recopilaciones de resultados de .

Un evento es cualquier recopilacin (subconjunto) de resultados contenidos en el espacio muestral . Un evento es simple si consiste en exactamente un resultado y compuesto si consiste en ms de un resultado. Podemos combinar sucesos para formar nuevos sucesos, utilizando las diferentes operaciones con conjuntos: AB es el suceso que ocurre si y slo si A o B o ambos ocurren; AB es el suceso que ocurre si y slo si A y B ocurren simultneamente. A , (Complemento de A contrario de A), es el suceso que ocurre si y slo si

A no ocurre.

2.1 SUCESOS O EVENTOS INCOMPATIBLES

Dos sucesos que no puedan ocurrir simultneamente, reciben el nombre de sucesos incompatibles; para que dos sucesos sean incompatibles, deben carecer de elementos comunes. Por ejemplo, en el caso de la ruleta anterior, son incompatibles los sucesos elementales. El contrario de {1 , 3 } es {2, 4, 5}, para la ruleta del ejemplo anterior. Desde luego, dos sucesos contrarios deben ser incompatibles, pero no basta con ello; adems, la unin de ambos debe dar el espacio muestral. Ejemplo:

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Lncese un dado y obsrvese el nmero que aparece en la cara superior. Entonces el espacio muestral es: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea A el suceso de salir un nmero par, B de salir impar y C de salir primo; A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 3, 5} Entonces: AC = {2, 3, 4, 5, 6} BC ={3, 5} C = {1, 4, 6}

3. APLICACIN FRECUENCIAL

Tres caras de un cubo se han pintado de color azul, dos de color rojo, y se ha dejado una de color blanco. Si vamos lanzando el cubo y anotando el color de la cara sobre la que queda apoyado, cuntas veces saldr cada color? Cul ser su frecuencia relativa? Es razonable pensar que, ya que la mitad de las caras son de color azul, este color aparecer la mitad de las veces que se tire el cubo; la frecuencia relativa del color azul tender a 1/2 si repetimos las tiradas muchas veces. Anlogamente, una tercera parte de las veces saldr de color rojo, y una sexta parte el color blanco; la frecuencia relativa del color rojo tender a 1/3, y la del blanco a 1/6 si los lanzamientos se repiten muchas veces. De este modo, asignando a cada color un nmero que exprese la frecuencia relativa esperada para dicho color, tendremos la siguiente aplicacin:

Azul 1/2 Rojo 1/3 Blanco 1/6

Observa que la frecuencia relativa esperada para cada color es un nmero positivo menor que uno, y que la suma de todas es igual a uno.

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4. PROBABILIDAD

Consideremos la experiencia aleatoria que consiste en lanzar el cubo anterior y anotar el color de la cara sobre la que queda apoyado, el conjunto de resultados posibles o espacio muestral de la experiencia es: {azul, rojo, blanco} Recuerda que un suceso de esta experiencia es un subconjunto del espacio muestral. Ahora queremos precisar, con nmeros adecuados, el mayor o menor grado de confianza que nos merece cada suceso; y este nmero lo obtendremos a partir de las frecuencias relativas a las que parecen tender cada uno de los resultados. La aplicacin que obtengamos recibir el nombre de probabilidad definida en el espacio muestral . El criterio a seguir ser el de asignar a cada suceso el nmero obtenido como suma de las frecuencias relativas esperadas de cada uno de sus resultados.

1 1 10 {azul} . . {rojo} . {blanco}2 3 6

1 1 1 1 1 1{azul,rojo} . {azul,blanco} . {rojo,blanco}2 3 2 6 3 6

1 1 1{azul,rojo,blanco}2 3 6

Observa que, para disponer de un probabilidad definida en un espacio muestral, basta conocer las probabilidades de los suceso elementales. La terna formada por el conjunto , el conjunto S de sus sucesos y la probabilidad p, recibe el nombre de espacio de probabilidad.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD Aparecen para esta aplicacin tres propiedades esenciales:

Con ello, la probabilidad del suceso imposible (conjunto vaco) ser 0, la probabilidad de un suceso elemental ser la frecuencia relativa a la que tienda su nico resultado; y a los dems sucesos, les corresponder la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen.

a) 1)(0 Ap , para cualquier suceso A. b) 1)( p c) Si A y B son dos sucesos incompatibles: )()()( BpApBAp

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Las tres propiedades se toman como axiomas para definir una probabilidad en un espacio muestral finito . Toda aplicacin entre el conjunto de los sucesos de una experiencia aleatoria y los nmeros reales, con estas tres caractersticas, reciben el nombre de probabilidad definida en el espacio muestral correspondiente. Teorema 1: dado un suceso A, entonces: )(1)( ApAp Teorema 2: dados dos sucesos A y B, entonces: )()()( BApApBAp Teorema 3: dados dos sucesos A y B, entonces:

)()()()( BApBpApBAp

4.1 PROBABILIDAD UNIFORME

En algunas experiencias aleatorias, todos los resultados tienen la misma frecuencia relativa esperada, el mismo peso; entonces, los sucesos elementales son equiprobables y la probabilidad se llama probabilidad uniforme. Por ejemplo, si tiramos un dado, cada resultado posible tiene el mismo peso, 1/6 En general, si el espacio muestral tiene n elementos, la probabilidad uniforme de cualquier suceso elemental ser 1/n y la probabilidad de un suceso que conste de m resultados, ser m/n En este caso de sucesos elementales equiprobables, puede indicarse una expresin sencilla par el clculo de la probabilidad de un suceso cualquiera. Si llamamos casos favorables a los elementos de dicho suceso, se tendr:

Ejemplo

Calcula la probabilidad de sacar un as de una baraja, en una sola extraccin. Resolucin. Puesto que en la baraja hay 4 ases (de oros, de copas, de espadas y de bastos) y un total de 52 cartas ser:

4p

52

Tener en cuenta que se trata de probabilidad uniforme

casos favorablesprobabilidad del sucesocasos totales

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4.2 PROBABILIDAD DE EXPERIENCIAS COMPUESTAS

Efectuemos la siguiente experiencia compuesta:

Lanzar una moneda Hacer girar una ruleta. Representemos el lanzamiento de moneda y el giro de ruleta por separado, mediante unos diagramas circulares en los que se ha sealado tantas zonas como resultados posibles, escribiendo en cada zona la frecuencia relativa esperada para el resultado correspondiente.

Cules son los resultados posibles en la experiencia compuesta?. Utilicemos un diagrama de rbol:

= { (cara, a); (cara, b); (cara, c); (cruz, a); (cruz, b); (cruz, c) }

Nuestro objetivo es definir una probabilidad en el conjunto , para lo que necesitamos hallar la probabilidad de cada suceso elemental. Fijmonos, por ejemplo, en el resultado (cara, c). Si repetimos muchas veces la doble prueba, saldr cara aproximadamente la mitad de los casos; y en esta doble prueba, al jugar a la ruleta saldrn las zonas a,b,c cada una con la frecuencia relativa indicada en el grfico. En particular, la zona c saldr la tercera parte de esta mitad del total; ello supone pues, la sexta parte del total. De ah que se asigna al par (cara, c) el nmero: 1/6.

cruz1/2

cara1/2

a1/2

b1/6

c1/3

cara

cruz

1/2

1/2

ab

c

a

b

c

1/2

1/6

1/31/2

1/6

1/3

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4.3 PROBABILIDAD CONDICIONAL DEFINICIN Para dos eventos cualesquiera A y B con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido est definida por:

Las probabilidades asignadas a varios eventos dependen de lo que se sabe sobre la situacin experimental cuando se hace la asignacin. Subsiguiente a la asignacin inicial puede llegar a estar disponible informacin parcial pertinente al resultado del experimento. Tal informacin puede hacer que se revisen algunas de las asignaciones de probabilidad. Para un evento particular A, se ha utilizado P(A) para representar la probabilidad asignada a A; ahora se considera P(A) como la probabilidad original no condicional del evento A. En esta seccin, se examina cmo afecta la informacin de que un evento B ha ocurrido a la probabilidad asignada a A. Por ejemplo, A podra referirse a un individuo que sufre una enfermedad particular en la presencia de ciertos sntomas. Si se realiza un examen de sangre en el individuo y el resultado es negativo (B = examen de sangre negativo), entonces la probabilidad de que tenga la enfermedad cambiar (deber reducirse, pero no a cero, puesto que los exmenes de sangre no son infalibles). Se utilizar la notacin P(A | B) para representar la probabilidad condicional de A dado que el evento B haya ocurrido. B es el evento condicionante. Por ejemplo, considrese el evento A en que un estudiante seleccionado al azar en su universidad obtuvo todas las clases deseadas durante el ciclo de inscripciones del semestre anterior. Presumiblemente P(A) no es muy grande. Sin embargo, supngase que el estudiante seleccionado es un atleta con prioridad de inscripcin especial (el evento B). Entonces P(A | B) deber ser sustancialmente ms grande que P(A), aunque quiz an no cerca de 1. Ejemplo En una planta se ensamblan componentes complejos en dos lneas de ensamble diferentes, A y A'. La lnea A utiliza equipo ms viejo que A', por lo que es un poco ms lenta y menos confiable. Suponga que en un da dado la lnea A ensambla 8 componentes, de los cuales 2 han sido identificados como defectuosos (B) y 6 como no defectuosos (B'), mientras que A' ha producido 1 componente defectuoso y 9 no defectuosos. Esta informacin se re sume en la tabla adjunta:

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No obstante, si el componente seleccionado resulta defectuoso, entonces el evento B ha ocurrido, por lo que el componente debe haber sido 1 de los 3 de la columna B de la tabla. como estos 3 componentes son igualmente probables entre ellos mismos una vez que B ha ocurrido, No obstante, si el componente seleccionado resulta defectuoso, entonces el evento B ha ocurrido, por lo que el componente debe haber sido 1 de los 3 de la columna B de la tabla. Como estos 3 componentes son igualmente probables entre ellos mismos una vez que B ha ocurrido, La probabilidad condicional est expresada como una razn de probabilidades incondicionales. El numerador es la probabilidad de la interseccin de los dos eventos, en tanto que el denominador es la probabilidad del evento condicionante B. Un diagrama de Venn ilustra esta relacin.

Dado que B ha ocurrido, el espacio muestral pertinente ya no es S pero consta de resultados en B; A ha ocurrido si y slo si uno de los resultados en la interseccin ocurri, as que la probabilidad condicional de A dado B es proporcional a P(A n B). Se utiliza la constante de proporcionalidad 1/P(B) para garantizar que la probabilidad P(B | B) del nuevo espacio muestral B sea igual a 1.

4.4 PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES El clculo de una probabilidad posterior P(Aj | B) a partir de probabilidades previas dadas P(Ai) y probabilidades condicionales P(B | Ai) ocupa una posicin central en la probabilidad elemental. La regla general de dichos clculos, los que en realidad son una aplicacin sim- ple de la regla de multiplicacin, se remonta al reverendo Thomas Bayes, quien vivi en el siglo XVIII. Para formularla primero se requiere otro resultado. Recurdese que los eventos A1, . . . , Ak son mutuamente excluyentes si ninguno de los dos tiene resultados comunes.

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5. LEY DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Sean A1, . . . , Ak eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos. Entonces para cualquier otro evento B,

6. TEOREMA DE BAYES

Sean A1, A2, . . . , Ak un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos con probabilidades previas P(Ai) (i = 1, . . . , k). Entonces para cualquier otro evento B para el cual P(B) > 0, la probabilidad posterior de Aj dado que B ha ocurrido es

La transicin de la segunda a la tercera expresin en formula del teorema de Bayes se apoya en el uso de la regla de multiplicacin en el numerador y la ley de probabilidad total en el denominador. La proliferacin de eventos y subndices en esta frmula puede ser un poco intimidante para los recin llegados a la probabilidad. Mientras existan relativamente pocos eventos en la reparticin, se puede utilizar un diagrama de rbol como base para calcular probabilidades posteriores sin jams referirse de manera explcita al teorema de Bayes. INDEPENDENCIA La definicin de probabilidad condicional permite revisar la probabilidad P(A) originalmente asignada a A cuando despus se informa que otro evento B ha ocurrido; la nueva probabilidad de A es P(A | B). En los ejemplos, con frecuencia fue el caso de que P(A | B) difera de la probabilidad no condicional P(A), lo que indica que la informacin B ha ocurrido cambia la probabilidad de que ocurra A. A menudo la probabilidad de que ocurra o haya ocurrido A no se ve afectada por el conocimiento de que B ha ocurrido, as que P(A | B) = P(A). Es entonces natural considerar a A y B como eventos independientes, es decir que la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de que el otro ocurra. Definicin Los eventos A y B son independientes si P(A | B) = P(A) y son dependientes de lo contrario.

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Regla de la multiplicacin Con frecuencia la naturaleza de un experimento sugiere que dos eventos A y B deben suponerse independientes. Este es el caso, por ejemplo, si un fabricante recibe una tarjeta de circuito de cada uno de dos proveedores diferentes, cada tarjeta se somete a prueba al llegar y A = {la primera est defectuosa} y B = {la segunda est defectuosa}. Si P(A) = 0.1, tambin deber ser el caso de que P(A | B) = 0.1; sabiendo que la condicin de la segunda tarjeta no informa sobre la condicin de la primera. El siguiente resultado muestra cmo calcular P(A _ B) cuando los eventos son independientes. A y B son independientes si y slo si

7. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Que A denote el evento en que la siguiente solicitud de asesora de un consultor de software estadstico tenga que ver con el paquete SPSS y que B denote el evento en que la siguiente solicitud de ayuda tiene que ver con SAS. Suponga que P(A ) = 0.30 y P(B) = 0.50.

a. Por qu no es el caso en que P(A) + P(B) = 1? b. Calcule P(A'). c. Calcule P(A U B). d. Calcule P(A' n B').

2. Una caja contiene 220 tornillos iguales, de los cuales 80 son producidos por

la mquina A, 60 por la mquina B, 50 por la mquina C y 30 por la mquina D. Si se elige un tornillo al azar de la caja, determinar:

a) Cul es la probabilidad que el tornillo elegido haya sido producido por

las mquinas A o C? b) Cul es la probabilidad que el tornillo elegido haya sido producido por

las mquinas A y D?.

3. Una tienda de departamentos vende camisas sport en tres tallas (chica, mediana y grande), tres diseos (a cuadros, estampadas y a rayas) y dos largos de manga (larga y corta). Las tablas adjuntas dan las proporciones de camisas vendidas en las combinaciones de categora.

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a. Cul es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa mediana estampada de manga larga?

b. Cul es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa estampada mediana?

c. Cul es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga corta? De manga larga?

d. Cul es la probabilidad de que la talla de la siguiente camisa vendida sea mediana? Que la siguiente camisa vendida sea estampada?

e. Dado que la camisa que se acaba de vender era de manga corta a cuadros, cul es la probabilidad de que fuera mediana?

f. Dado que la camisa que se acaba de vender era mediana a cuadros, cul es la probabilidad de que fuera de manga corta? De manga larga?

4. Cada vez que se recibe un lote de llantas, un inspector de calidad adopta la

siguiente poltica: extrae dos llantas una despus de otra y sin restitucin, si al menos una de ellas es defectuosa revisa todo el lote. Si se recibe un lote de 50 llantas y se sabe que en l hay tres llantas defectuosas. Cul es la probabilidad que al aplicar la poltica de revisin se tenga que revisar todo el lote?

5. Un empresario tiene una mquina automtica en su fbrica que produce

tapas para lapiceros. con su pasada experiencia ha comprobado que si la mquina se ajusta en forma apropiada, la mquina producir un 90 % de tapas aceptables, mientras que si su acondicionamiento no es adecuado, slo producir un 30 % de tapas aceptables. El empresario tambin ha observado que el 75 % de los acondicionamientos se hace en forma

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correcta. Si la primera tapa producida es aceptable, qu probabilidad existe que el acondicionamiento se haya hecho correctamente?

6. Un laboratorio somete a los choferes que cometen accidentes de trnsito a

un test de dosaje etlico. Se ha determinado que:

Cuando un chofer est ebrio, el test proporciona resultado positivo en el 95 % de los casos.

cundo el chofer no est ebrio, el test proporciona resultado negativo en el 94 % de los casos.

El 2 % de los conductores que cometen accidentes manejan ebrios.

Cul es la probabilidad que el chofer est ebrio dado que el resultado fue positivo?

7. Componentes de cierto tipo son enviados a un distribuidor en lotes de diez.

Suponga que 50% de dichos lotes no contienen componentes defectuosos, 30% contienen un componente defectuoso y 20% contienen dos componentes defectuosos. Se seleccionan al azar dos componentes de un lote y se prueban. Cules son las probabilidades asociadas con 0, 1 y 2 componentes defectuosos que estn en el lote en cada una de las siguientes condiciones? a. Ningn componente probado est defectuoso. b. Uno de los dos componentes probados est defectuoso. [Sugerencia:

Trace un diagrama de rbol con tres ramas de primera generacin correspondientes a los tres tipos diferentes de lotes.]

8. En una gasolinera, 40% de los clientes utilizan gasolina regular (A1), 35%

usan gasolina plus (A2) y 25% utilizan premium (A3). De los clientes que utilizan gasolina regular, slo 30% llenan sus tanques (evento B). De los clientes que utilizan plus, 60% llenan sus tanques, mientras que los que utilizan premium, 50% llenan sus tanques.

a. Cul es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina plus y

llene el tanque (A2 n B)? b. Cul es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque?

9. En el ejercicio 8, considere la siguiente informacin adicional sobre el uso de

tarjetas de crdito:

El 70% de todos los clientes que utilizan gasolina regular y que llenan el tanque usan una tarjeta de crdito.

El 50% de todos los clientes que utilizan gasolina regular y que no

llenan el tanque usan una tarjeta de crdito. El 60% de todos los clientes que llenan el tanque con gasolina plus

usan una tarjeta de crdito.

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El 50% de todos los clientes que utilizan gasolina plus y que no llenan el tanque usan una tarjeta de crdito.

El 50% de todos los clientes que utilizan gasolina premium y que llenan

el tanque usan una tarjeta de crdito. El 40% de todos los clientes que utilizan gasolina premium y que no

llenan el tanque usan una tarjeta de crdito. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos para el siguiente cliente que llegue (un diagrama de rbol podra ayudar). a. {Plus, tanque lleno y tarjeta de crdito} b. {Premium, tanque no lleno y tarjeta de crdito} c. {Premium y tarjeta de crdito} d. {Tanque lleno y tarjeta de crdito} e. {Tarjeta de crdito} f. Si el siguiente cliente utiliza una tarjeta de crdito, cul es la

probabilidad de que pida premium?

10. La costura de un avin requiere 25 remaches. La costura tendr que ser retrabajada si alguno de los remaches est defectuoso. Suponga que los remaches estn defectuosos independientemente uno de otro, cada uno con la misma probabilidad.

a. Si 20% de todas las costuras tienen que ser retrabajadas, cul es la

probabilidad de que un remache est defectuoso? b. Qu tan pequea deber ser la probabilidad de un re- mache

defectuoso para garantizar que slo 10% de las costuras tienen que ser retrabajadas?

11. Considere el sistema de componentes conectados como en la figura adjunta.

Los componentes 1 y 2 estn conectados en paralelo, de modo que el subsistema trabaja si y slo si 1 o 2 trabaja; como 3 y 4 estn conectados en serie, qu sub- sistema trabaja si y slo si 3 y 4 trabajan. Si los componentes funcionan independientemente uno de otro y P(el componente trabaja) = 0.9, calcule P(el sistema trabaja).

1

12. Una compaa de exploracin petrolera en la actualidad tiene dos proyectos

activos, uno en Asia y el otro en Europa. Sea A el evento en que el proyecto asitico tiene xito y B el evento en que el proyecto europeo tiene xito. Suponga que A y B son eventos independientes con P(A) = 0.4 y P(B) = 0.7.

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a. Si el proyecto asitico no tiene xito, cul es la probabilidad de que el europeo tambin fracase? Explique su razonamiento.

b. Cul es la probabilidad de que por lo menos uno de los dos proyectos tenga xito?

c. Dado que por lo menos uno de los dos proyectos tiene xito, cul es la probabilidad de que slo el proyecto asitico tenga xito?