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5.7. Aplicaciones de las transformaciones lineales
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5.7. Aplicaciones de las transformaciones linealesSea de
A
y
B
conjuntos no vacos arbitrarios. Supongamos que a cada elemento
A
se le asigna un nico elemento de
B.
La coleccin de tales asignaciones se
denomina una aplicacin y el por:
aplicacin de A en B . El conjunto B , su codominio.
conjunto
A
se llama el
Una aplicacin
f
de
dominio de la A en B se denota
f :ABEscribimos elemento
f (a), ledo f de a, para representar el elemento de B que f asigna a A. Recibe el nombre de valor de f en a o imagen de a bajo f .
al
El trmino funcin se usar como sinnimo de aplicacin, aunque algunos autores reservan la palabra funcin para designar las aplicaciones de valores reales o complejos, es decir, las que aplican a un conjunto en Consideremos una aplicacin
R
o
C.
f : A B . SI A es cualquier subconjunto de A, f (A ) denota el conjunto de imgenes de A ; y si B es cualquier subconjunto de B , f ( 1)(B ) denota el conjunto de elementos de A cuyas imgenes estn en B : f (A ) = {f (a) : a A }Llamamos a de y
f 1 (B ) = {a A : f (a) B }y a
f (A )
la imagen de
A
f 1 (B )
B.
En particular, el conjunto de todas las
imagen inversa o primagen imgenes, o sea, f (A), se conocela
como la imagen (o recorrido) de A cada aplicacin
f.
f : A B le corresponde el subconjunto de A B dado por {(a, f (a)) : a A}. Este conjunto se denomina el grco de f . Se dice que dos aplicaciones f : A B y g : A B son iguales, escrito f = g , si f (a) = g(a) para todo a A, esto es, si tienen el mismo grco. As pues, no distinguiremos entre una funcin y su grco. La negacin de f = g se escribe f = g y es laproposicin: Existe un
aA
para el cual
f (a) = g(a).
A veces la echa arbitrario
con barra se utiliza para denotar la imagen de un elemtno x A bajo una aplicacin f : A B , escribiendo
x f (x)