Post on 09-Apr-2017
Fresco
Tema 6.1 (1): Matrius
1. Nomenclatura i classificaci2. Operacions amb matrius3. El rang d'una matriu4. Matrius inverses5. Equacions matricials
1. Nomenclatura i classificaci
p10 1,2,3,4,5
element
Matrius iguals: mateixa dimensi i elements coincidents.
columna
fila
Dimensi: m x n
Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nulla, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular.
Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu identitat o unitat (I).
p12 6,7,8,9
Matriu transposada At: S'obt de canviar les files per les columnes.
Si A = (aij), aleshores At = (aji)
p13 E6,10
Noms en les matrius quadrades:
-Matrius simtriques: A = At, per tant aij = aji
-Matrius antisimtriques: -A = At, per tant -aij = aji
p13 E7 i 11
2. Operacions amb matrius
p14 E8, E9, 12, 13 i 14
Suma i resta: A + B = C, essent cij = aij + bij
Multiplicaci per un nombre: k A = C, essent cij = k aij
Multiplicaci d'una matriu fila per una matriu columna:
p15 E10, E11, 15 i 16
El resultat t tantes files com files t el primer factor (el primer mana)
2. Operacions amb matrius
Multiplicaci de dues matrius:
p16 17, 18, 19, E12, 20full a part: 44,45,46,49,51,52,54,60,61
-Noms podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona.-La resultant t tantes files com la primera i tantes columnes com la segona.-Atenci: en general, NO es presenta la propietat commutativa.
3. El rang d'una matriu
El rang d'una matriu s el nombre de files no nulles linealment independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes.
Exemples:
Rang(A) = 1
Rang(B) = 2
Rang(C) = 2
Ja que F1 = -2F2 + F3
No s immediat!
MTODE DE GAUSS
Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota la diagonal. El rang ser el nombre de files no nulles.
Mtode de Gauss per calcular el rang d'una matriu:
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila
F3 F1
Canvi fila
2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files
2F3 F2
Rang(A) = 2
2 files no nulles
p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
4. Matrius inverses
Noms poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en qu sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars.
-Propietats:
p20 E16, 25!, 26, 27
4. Matrius inverses
Trobar la matriu inversa: el mtode de Gauss-Jordan.
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i aix successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
F2 2F1
F3 + F2
F1 F2
F2 - 5F3
F1 + 7F3
1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i aix successivament fins que quedi una matriu diagonal.
F3 + 3F1
F2 2F1
F3 + F2
F1 F2
F2 - 5F3
F1 + 7F3
2n pas: Quan la matriu inicial est en format diagonal, la transformem en la matriu identitat.
- F2
1/2F1
- F3
p21 28, 29
5. Equacions matricials
a) Tipus AX = B
Identitat
b) Tipus XA = B
Identitat
c) Tipus AX + B = C
Identitat
p22 SF, 30, 31, 32, 33, operaci sele10