Post on 27-Jan-2016
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PROBABILIDADES
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¿Por qué probabilidades?
n Característica del entorno en el cual se toman decisiones: incertidumbre
n Probabilidad es el lenguaje para describir y tratar la incertidumbre
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El lenguaje puede ser ambiguo....
Asigne probabilidades numéricas que cada una de las siguientes frases:
Probabilidad Es muy probable que ocurra ________
Es posible que ocurra ________
Es poco probable que ocurra ________
Es casi imposible que ocurra ________
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Experimentos o fenómenos aleatorios
Son experimentos o fenómenos que dan lugar a varios resultados, sin que se pueda predecir con certeza cuál de éstos va a ser observado en cada realización del mismo.
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Ejemplos
§ Número de accidentes de tránsito ocasionados por el exceso de velocidad en un día, en la ciudad de Lima.
n Número de personas que acudirán a un supermercado en la próxima hora.
n La inflación del próximo mes.
n Tipo de cambio bancario (para compra de dólares).
n Ingreso mensual por venta de refrigeradoras.
n Tiempo, en minutos, que tardará un vuelo Lima – Cajamarca.
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Espacio muestral: Ω
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplos:
1. Lanzar un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Extraer al azar un naipe: Ω ={1T, 2T, 3T, ..., 13D}
(52 posibles resultados)
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Espacio muestral: Ω
3. Plantar dos tipos de semillas y observar si cada una germina o no: Ω = {GG, NG, GN, NN}
4. Evaluar artículos en una línea de producción hasta encontrar el primer defectuoso: Ω = {D, BD, BBD, BBBD, ...}
5. Observar tiempo de vida útil de una batería (en horas): Ω=[0, T]
6. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos : Ω ={LLL, LLN, LNL, NLL, LNN, NLN, NNL, NNN}
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Los espacios muestrales pueden ser:
Ø Discretos finitos: Ejemplos: 1, 2, 3, 6
Ø Discretos infinitos: Ejemplo 4
Ø Continuos: Ejemplo 5
Tipos de espacio muestral
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Eventos
Ø Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral Ω.
Ø Al realizar un experimento, diremos que el evento A ocurre si el resultado obtenido es un elemento del evento.
Ø Ø es el evento imposible y Ω es el evento siempre cierto.
Ø Ac ocurre si A no ocurre
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Ejemplo
Experimento aleatorio: Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos:
n Espacio muestral Ω={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
n En Ω se definen los siguientes eventos: A = La suma de puntos es múltiplo de 5 = {5, 10, 15} B = La suma de puntos es mayor o igual que 12 = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
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Tipos de eventos
§ Evento elemental o simple: Se llama así a cada uno de los elementos del espacio muestral Ω
§ Evento conjunto: Formado por dos o más eventos simples.
§ Evento contrario o complemento del evento A: Ac Ac está formado por todos los elementos del espacio muestral Ω que no pertenecen a A
§ Evento imposible: Ø § Evento seguro o siempre cierto: Ω
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Operaciones con eventos
Ø Union : A∪B = {w∈ Ω / w∈A ∨ w ∈B}
La unión se lee: Al menos uno de los dos eventos A o B ocurren
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Operaciones con eventos
Intersección : A∩B = {w∈ Ω / w∈A ∧ w ∈B}
La intersección se lee: Ambos eventos A y B ocurren a la vez Si A∩B = Ø, decimos que A y B son mutuamente
excluyentes (A y B no ocurren a la vez)
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Operaciones con eventos
La diferencia se lee: Ocurre A y no ocurre B
Diferencia: A - B = {w∈ Ω / w∈A ∧ w∉B} A – B = A∩Bc
A B
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Algebra de Eventos
1) A∪ A = A A∩ A = A2) A∪B = B ∪ A A∩B = B ∩ A3) A∪ Ac =Ω A∩ Ac =∅4) A∪∅ = A A∩∅ =∅
5) A∪Ω =Ω A∩Ω = A6) Ωc =∅ ∅c =Ω (Ac )c = A7) A∩ (B ∪C ) = (A∩B )∪ (A∩C ) A∪ (B ∩C ) = (A∪B )∩ (A∪C )8) (A∪B )c = Ac ∩B c (A∩B )c = Ac ∪B c
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Ejemplo
Alberto y Bruno deben asistir a una reunión de negocios.
Definamos los eventos: A = Alberto asiste a la reunión
y B = Bruno asiste a la reunión
Describa en términos de A y B los eventos siguientes:
o C = Alguno de los dos asiste a la reunión
o D = Ambos asisten a la reunión
o E = Sólo Alberto asiste a la reunión
o F = Solamente uno asiste a la reunión
o G = Ninguno asiste a la reunión
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Ejemplo
n Dados los n eventos A1, A2, …,An se define: n A = al menos uno de los eventos Ai ocurre
n B = todos los eventos Ai ocurren a la vez
A = Aii=1
n
= A1∪A2∪A3∪...∪An
B = Aii=1
n
= A1∩A2∩A3∩....∩An
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Ejercicio
Un inspector revisa un proceso de producción de tres etapas. Cada una de las etapas puede o no haber concluido satisfactoriamente. Definamos los eventos Ai = la etapa i del proceso concluyó satisfactoriamente, i = 1,2,3. Describa en términos de los eventos Ai : § B = Las tres etapas concluyeron satisfactoriamente. § C = Por lo menos una de las etapas del proceso concluyó
satisfactoriamente. § D = Solo la etapa 3 concluyó satisfactoriamente § E = Solo dos etapas concluyeron satisfactoriamente.
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Fundamentos de
Probabilidades
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Modelo Probabilístico
ü Experimento aleatorio Observar el resultado de un negocio ü Espacio muestral {E, F} E: éxito, F: fracaso ü Eventos {E}, {F}, {E,F}, Φ ü Probabilidad
Asignación de un número entre 0 y 1 a cada evento. Este número
cuantifica la posibilidad de ocurrencia del evento
Improbable
Probable
Cierto
Imposible
0.5
0
1
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Fundamentos de probabilidades
Conceptualmente existen tres maneras de determinar la posibilidad de ocurrencia de un evento:
§ Probabilidad clásica
§ Probabilidad frecuentista
§ Probabilidad subjetiva
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§ Supone que el espacio muestral Ω es finito y que cada uno de sus eventos elementales es igualmente probable.
§ La probabilidad del evento A, se denota P(A), y está dada por:
Probabilidad clásica
)()(
ºº)(
Ω=
Ω=
nAn
deelementosdeNAdeelementosdeNAP
10/8/13 23
Ejemplo
n Se lanza un dado, encontrar la probabilidad de que salga: n A = un punto n B = un número par n C = un número menor que 5 n D = un número par y menor que 5 n E = un número par o menor que 5
10/8/13 24
Solución n El espacio muestral
n Sale un punto
n Sale un número par
n Sale un número menor que 5
6)(}6,5,4,3,2,1{ =Ω→=Ω n
63)(3)(}6,4,2{ =→=→= BPBnB
( )611)(}1{ =→=→= APAnA
64)(4)(}4,3,2,1{ =→=→= CPCnC
10/8/13 25
… sigue solución
n Sale un número par y menor que 5
n Sale un número par o menor que 5 62)(2)(}4,2{ =→=→=∩= DPDnCBD
65)(5)(}6,4,3,2,1{ =→=→=∪= EPEnCBE
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Ejemplo
§ Se sabe que en determinada urbanización viven 120 familias, de las cuales 90 son propietarias y el resto inquilinas. Si se escoge una familia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea inquilina?
§ Evento A = la familia seleccionada es inquilina
P(A) = n(A)n(Ω)
=N ºde familias inquilinasN º total de familias
=30120
= 0,25
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Ejemplo
Se entrevistó a 3500 clientes de una empresa de telefonía celular que adquirieron un paquete promocional que permitía llamar ilimitadamente a otros dos celulares de la misma empresa durante tres meses. La siguiente tabla muestra la distribución de los clientes entrevistados por sexo y por su intención de renovar el paquete promocional.
Sí renueva
No renueva
Masc.
1000
900
Fem.
1200
400
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… sigue ejemplo
Si se selecciona al azar uno de los clientes entrevistados, calcule la probabilidad de que el cliente seleccionado:
a) A = Sea mujer
b) B = Tenga intención de renovar el paquete promocional
c) C = Sea hombre y no tenga intención de renovar el paquete promocional.
d) D = Sea mujer o no tenga intención de renovar el paquete promocional.
Sí renueva
No renueva
Masc.
1000
900
1900
Fem.
1200
400
1600
2200
1300
3500
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§ La probabilidad de ocurrencia de un evento se determina por observación de la proporción de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado (frecuencia relativa).
n Si un experimento se realiza un número n muy grande de veces y si en nA de ellos ocurre el evento A, la probabilidad de A es:
Probabilidad frecuentista
nnAP A
n ∞→= lim)(
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Ejemplo
Se lanza un dado. Ω = {1,2,3,4,5,6} A = {1}
n nA fA = nA / n10 2 0,2100 15 0,151000 168 0,16810000 1661 0,1661↓ ↓
∞ P(A) = 0,16667 ≈1/ 6
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Ejemplo
n De un almacén donde hay miles de cajas de cereal de avena, se extraen al azar 500 cajas y se observa que 8 de ellas presentan algún defecto. Aproximar la probabilidad de que una caja de cereal de avena del almacén sea defectuosa.
A = {caja presenta algún defecto}
n = 500, nA = 8
fA = 0.016 P(A) ≈ 0.016
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Probabilidad subjetiva
n Es la valoración que hace un individuo de las posibilidades de obtener un resultado, basado en su experiencia, opinión personal y análisis que él hace de la situación particular que se evalúa (estado de información de una persona).
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Ejemplos
n La probabilidad de que apruebe el curso de Estadística es ……
n La probabilidad de que mi negocio genere utilidades este año es …..
n Mi probabilidad de conseguir un empleo mejor al actual antes de fin de año es ……
n La probabilidad de que Perú clasifique para el mundial de fútbol del 2018 es ……