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ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
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Introducción a las ecuaciones diferenciales Una ecuación diferencial es una expresión matemática en la que intervienen derivadas de una o más funciones. De acuerdo con el Teorema Fundamental del Cálculo, se afirma que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Significa que para toda función continua integrable se verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. La aplicación de este teorema a las Ecuaciones Diferenciales implica que es posible obtener una función a partir de la integración de una ecuación diferencial. A este proceso se le denomina la solución de una ecuación diferencial, existiendo diferentes métodos de solución de acuerdo al tipo de ecuación diferencial a resolver. Las ecuaciones diferenciales y su solución representan una de las herramientas fundamentales en el estudio de diversos campos del conocimiento, y en especial en las diversas ramas de la ingeniería: física, mecánica, economía, química, electricidad, electrónica, metalurgia, etc. En lo referente a Ingeniería Química, su aplicación es imprescindible en la solución de problemas en diversos temas: termodinámica, balance de materia y energía, fenómenos de transporte (transferencia de calor, transferencia de masa, transferencia de cantidad de movimiento), cinética química, ingeniería de reactores, operaciones unitarias, diseño de equipos y procesos, control de procesos, optimización, etc. A continuación se ilustran algunos ejemplos de aplicación de las ecuaciones diferenciales que describen modelos físicos en ingeniería, con el propósito de ilustrar algunas de sus diversas aplicaciones. El desarrollo de modelos de aplicaciones en ingeniería a partir de ecuaciones diferenciales requiere del estudio de cada disciplina en particular, y solicita del alumno destreza en el manejo del cálculo diferencia e integral. En realidad, el estudio avanzado en ingeniería requiere que el estudiante desarrolle sólidos conceptos en ecuaciones diferenciales. Por ejemplo: a) En física clásica, la distancia vertical s recorrida por un cuerpo que cae por acción de la gravedad terrestre g durante un tiempo t se describe por la ecuación diferencial:
d s
dtg
2
2
b) El desplazamiento vertical x de una masa m sujeta a un resorte con constante de Hook de elasticidad k se escribe:
md x
dtkx
2
2
c) En fenómenos de transporte, la ecuación de continuidad representa un balance de masa en un elemento diferencial de volumen, teniendo el sistema una densidad y movimiento a velocidad v
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tv( )
d) La denominada Ecuación de Onda se aplica en la teoría electromagnética en relación al fenómeno de propagación de ondas. El concepto parte del análisis elemental del comportamiento vibratorio u oscilatorio de cuerdas:
2
2
22
2
u
tc
u
x
e) La transferencia de calor por conducción en tres dimensiones, en un sistema con conductividad térmica k y temperatura T se describe por:
FHG
IKJ
T
tk T k
T
x
T
y
T
z
22
2
2
2
2
2
f) En un reactor químico, se plantea un balance de masa en un elemento diferencial del sistema, donde se incluye a los términos de acumulación de materia como la derivada de la concentración C en función del tiempo, el transporte convectivo asociado a la velocidad v del fluido, el transporte difusivo J y velocidad de reacción R para el compuesto j:
C
tC R
j
j j jv Jd i
Se debe observar que en el planteamiento de la solución de problemas en ingeniería donde interviene una ecuación diferencial, ésta representa un modelo que describe el comportamiento de las propiedades del sistema, es decir representa un modelo del sistema a nivel diferencial. Una de las tareas más importantes en ingeniería constituye la elaboración y estudio de los modelos diferenciales que describen a los sistemas, y proceder a su solución (es decir, la integración de la ecuación diferencial) para describir al sistema en su totalidad.
Definiciones básicas, terminología y notación de las ecuaciones diferenciales
Por notación, se escribe „y‟ como la variable dependiente y „x‟ como la variable independiente. A la variable dependiente también se le llama función incógnita. En problemas en función del tiempo „t‟ a este se le considera como variable independiente.
Se utilizan otras letras del alfabeto griego y latino, y se describen propiedades físicas normalmente acuerdo a la primera letra de su denominación, T, temperatura, P, presión, r, radio, etc. En cada caso es importante establecer la notación correspondiente e identificar a las variables dependientes e independientes.
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Una ecuación diferencial puede escribirse en diferentes notaciones para las derivadas. Se ejemplifican las notaciones para primera, segunda y tercera derivada:
a) Notación de Liebnitz:
dy
dx
d y
dx
d y
dx, ,
2
2
3
3
b) Notación de Lagrange:
f x f x f x' ( ), ' ' ( ), ' ' ' ( )
c) Nótación de Cauchy ó Jacobi:
D f D f Dx x x, ,2 3
d) Notación de Newton:
y y y
, ,
La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en determinar la función que al derivarse cumpla una determinada ecuación diferencial. Existen métodos específicos para la solución de las ecuaciones diferenciales de acuerdo a su clasificación, por lo que de inicio es importante identificar a las ecuaciones diferenciales de acuerdo a su clasificación.
Clasificación de las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se clasifican en:
a) Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Por ejemplo:
dy
dxx y 3 4 1
d y
dx
dy
dxy
2
23 5 0
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xy y' 23
5
d
dr
tan
d s
dtg
2
2
y y y ex' ' 'b g b g2 35
b) Ecuaciones en derivadas parciales (EDP): aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. En ellas, aplican la notación de la derivación parcial.
z
xz x
z
dy
2
2
22
2
u
tc
u
x
FHGIKJ
C
t
D
rr
C
r
j j j
2
2
2
2
2
2
2
20
T
x
T
y
T
z
Definición de orden y grado de una ecuación diferencial
Una primera derivada se denomina de primer orden, una segunda derivada se denomina de segundo orden, etc. El orden de una ecuación diferencial corresponde a la derivada de mayor orden presente en la ecuación diferencial:
EDO de primer orden y
x y
x y'
1
1
EDO de segundo orden ( ' ' ) 'y y y e x3 22
EDO de tercer orden y y y sen x' ' ' ( ' ' ) ' ( ) 2 2
EDP de primer orden
FHGIKJ
FHGIKJ
z
x
z
x
z
y
z
y
2 2
0
EDP de segundo orden
2
2
2
20
x y
El grado de una ecuación diferencial es el grado de la derivada de mayor orden presente en ella. Se identifica con el exponente que se aplica la derivada de mayor orden:
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EDO de primer orden y primer grado y
x y
x y'
1
1
EDO de primer orden y segundo grado ( ' ) 'y y2 2 1 0
EDO de segundo orden y primer grado y y x' ' ' 3 4 2 2
EDO de segundo orden y tercer grado ( ' ' ) 'y y y e x3 22
EDP de primer orden y segundo grado
FHGIKJ
FHGIKJ
z
x
z
x
z
y
z
y
2 2
0
EDP de segundo orden y primer grado
2
2
2
20
x y
El operador derivada dy/dx es posible descomponerlo en los operadores diferenciales dy, dx, por ejemplo la ecuación diferencial:
dy
dx
M x y
N x y
( , )
( , )
Se puede reordenar como:
M x y dx N x y dy( , ) ( , ) 0
Ejercicios Recomendados:
Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales como ordinarias ó parciales, identificando variables dependientes e independientes, indicando orden y grado:
a) x y xy y2 0' ' ' g)
FHGIKJ
1
r rr
r
b) dy
dxx
dy
dxy exF
HGIKJ
3
2 3
h) cot d d 0
c) y sen x' ' ' ( ) i) ( )D D y ex2 3 2
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d) yT
xxy x
T
y
0 j)
d
dt
d
dt
k2
2
2 2
3
FHGIKJ
e) d y
dxe xx
2
2 cos k) x
z
xy
z
yt
z
txyt
f) ( ) ( )x y dx x y dy 1 2 3 0 l) ( ) lnx D xD y x x x2 2 23 4
Teorema de Existencia y Unicidad de las Ecuaciones Diferenciales
Solución ó Primitiva
Resolver una ecuación diferencial consiste en determinar la función que sujeta a derivación genere la misma ecuación diferencial. Resolver una ecuación diferencial de orden n significa obtener una función con n constantes arbitrarias independientes que al derivarse satisfaga la ecuación diferencial original. A esta función se le denomina primitiva o solución general. Una solución particular de una ecuación diferencial se obtiene de la primitiva otorgando valores definidos a las constantes arbitrarias
Por ejemplo, sea la ecuación diferencial:
d y
dx
3
30
Se observa que al derivar tres veces la siguiente función:
y C x C x C 1
2
2 3
se satisface la ecuación diferencial, por lo que la función se considera solución o primitiva de la ecuación diferencial, y las constantes C1, C2 y C3 siendo arbitrarias engloban al conjunto de posibles soluciones particulares. Sea por ejemplo, para esta misma ecuación diferencial
y x x 3 5 42
La cual al derivarse tres veces también cumple con la ecuación diferencial. Las constantes para ésta no son valores arbitrarios, están bien definidos, C1= -3, C2= +5, C3= -4, y se dice que esta función es una solución particular de la ecuación diferencial.
Teoremas de Existencia y Unicidad:
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Se deben cumplir ciertas condiciones para la solución de una ecuación diferencial, las cuales se enlistan en el Teorema de Existencia y Unicidad:
Sea una ecuación diferencial de la forma y´ = g(x,y) en la que:
a) g(x,y) existe y es continua en la región en la región R de puntos (x,y)
b) g y/ existe y es continua en todos los puntos de R
Entonces la ecuación diferencial admite infinitas soluciones f(x,y,C) = 0, donde C es una constante arbitraria (Existencia), tales que por cada punto de R pasa una y sólo una curva de la familia f(x,y,C) = 0 (Unicidad).
Ejemplo: Sea la ecuación diferencial y´ = y2, determinar la posible existencia de solución. Solución:
Aplicando los teoremas de existencia, tenemos: g(x,y) = y2 ; g/y = 2y
a) g existe y es continua en R,
b) g/y existe y es continua en R, se concluye que para la ecuación diferencial y´ = y2 existe una solución en R tales que por cada par (x,y) en R pasa una y sólo una curva de la familia de la solución.
Ejemplo: Sea la ecuación diferencial y´ = 3y2/3 con valor inicial y(2) = 0, determinar la posible existencia de solución.
Solución:
Aplicando los teoremas de existencia, tenemos: g(x,y) = 3y2/3 ; g/y = 2/y1/3 a) g existe y es continua en R,
b) g/y existe y es continua en R, excepto para y = 0 Se observa que se cumple el inciso (a) del teorema de existencia, pero no con el inciso (b) para y(2) = 0, que es una condición necesaria a cumplir de acuerdo al enunciado del problema. Por lo tanto, no se puede garantizar la existencia y unicidad para una solución de este problema.
Es importante anotar que el no cumplimiento del teorema de existencia y unicidad no impide integrar la ecuación diferencial y obtener una primitiva con constantes arbitrarias:
dy
ydx
y x C
2 3
1 3
3/
/
z z
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Y es seguro que esta solución puede satisfacer la condiciones de otro planteamiento distinto a la condición inicial y(2) = 0.
Ejemplo: Sea la ecuación diferencial definida como lineal:
dy
dxyP x Q x ( ) ( )
Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en el intervalo x(a,b), determinar la posible existencia de solución. Solución: Reordenando:
dy
dxyP x Q x ( ) ( )
Aplicando los teoremas de existencia, tenemos:
g(x,y) =-yP(x)+Q(x)
g/y = -P(x)
Se concluye que para la ecuación diferencial lineal existe una solución siempre que g(x,y) =-
yP(x)+Q(x) y g/y = -P(x) existan y sean continuas en el región R acotada por x(a,b). Esto se cumple por las propiedades de continuidad de P(x) y Q(x).
Ejercicios recomendados: Aplicar el teorema de existencia y unicidad a las siguientes ecuaciones diferenciales para determinar la posible existencia de una solución única y satisfactoria.
1. ' 2xy y
2. yy x' 0
3. 2 0y y'
4. e y yx y '
5. y e e xy x' 2 3 22
6. y xy' 3
7. xy y' ln 2
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Interpretación geométrica de la solución de las ecuaciones diferenciales. La derivada de una función se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente en cada punto de función. La derivada es una función en sí, y su derivada (es decir la segunda derivada de la función original) corresponde al valor de la pendiente de la recta tangente de la derivada, y así sucesivamente. Esta interpretación geométrica de la derivada es de utilidad en el planteamiento de ecuaciones diferenciales que deben satisfacer determinadas condiciones geométricas. De acuerdo a la geometría analítica, a la función que es solución de una ecuación diferencial le corresponde el trazado de un lugar geométrico o curva; si se habla de la primitiva o solución general, entonces las constantes de integración son arbitrarias y geométricamente corresponde a un conjunto denominado familia de curvas de la solución. Si se habla de una solución particular, geométricamente corresponde a una sola curva, que es a propósito elemento del conjunto de la familia de curvas de la solución primitiva.
Otra aplicación de la interpretación geométrica de la derivada se aplica en la determinación de trayectorias ortogonales en familias de curvas, tema que se trata más adelante. Familia de Curvas Sea una ecuación diferencial y su solución f(x,y,C) que posee y traza un lugar geométrico en el plano; si f(x,y,C) es la primitiva o solución general, entonces existe un conjunto o familia de curvas asociadas a la expresión de f(x,y,C), tal que cada una de ellas satisfacen la ecuación diferencial. Ejemplo: Hallar la ecuación diferencial cuya solución es una función cuya pendiente es igual al doble de la suma de sus coordenadas x, y. Solución: la pendiente de la función que es solución de la ecuación diferencial corresponde al valor de la derivada y´=dy/dx. De acuerdo al enunciado, la pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas, es decir:
dy
dxx y 2( )
La solución primitiva de esta ecuación diferencial es:
y x Ce x 1
2
2
El método de solución se expone en el capítulo correspondiente a EDO reducibles a exactas, por ahora nos interesa observar la familia de curvas trazadas por esta función. La constante C es arbitraria y puede tomar distintos valores. En la figura 1.1 se grafican algunos de los integrantes de la familia de curvas de la solución primitiva:
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Figura 1.1 Familia de curvas de la solución primitiva y x Ce x 1
2
2
Ejemplo: Sea una función tal que las rectas tangentes a ella tienen una pendiente igual a y´ y una ordenada al origen igual a 2xy2. Determinar a) la ecuación diferencial, b) la gráfica de la familia de curvas. Solución: La expresión de una recta es y = mx +b, así
ydy
dxx xy 2 2
Que es la ecuación diferencial solicitada. La solución de esta ecuación diferencial es:
yx
x C
2
El método de solución se expone en el capítulo correspondiente a la solución de EDO de variables separables, por ahora nos interesa observar la familia de curvas trazadas por esta función. De nuevo, la constante C es arbitraria y puede tomar distintos valores. En la figura 1.2a se grafican
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algunos de los integrantes de la familia de curvas de la solución primitiva para valores de C positivos, en la figura 1.2b se grafican para valores de C negativos:
Figura 1.2a Familia de curvas de la solución primitiva yx
x C
2 para C positiva
Figura 1.2b Familia de curvas de la solución primitiva yx
x C
2 para C negativa
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Ejercicios Recomendados Para las siguientes ecuaciones diferenciales, demostrar que la función que le sigue es su solución, y hacer un gráfico de su curva o familia de curvas.
1) xydx x dy
y x C
( )
( )
1 0
1
2
2 2
2) ( ) ( )x y dx x y dy
x xy y C
2 2 3 0
4 32 2
3) xydx x y dy
x y Cx y
( )( )
ln ( )
1 1
1
4) ( )y x dx xydy
x y x C
2 2
2 2 4
0
2
5) cot
cos
dr rd
r C
0
Trayectorias ortogonales
De acuerdo con la geometría analítica, dos rectas son perpendiculares entre sí cuando los valores
de sus pendientes satisfacen m1m2 = -1. Existe un punto de intersección entre ambas rectas, que es un vértice se forma un ángulo de 90° entre ambas rectas.
Se dice que las curvas de las funciones f(x) y g(x) que se intersectan en el punto P, son ortogonales en su punto de intersección cuando las rectas tangentes de ambas funciones en dicho punto son perpendiculares entre sí. Por tanto, en un punto de corte ortogonal entre dos funciones f(x) y g(x) se cumple que las derivadas de ambas funciones satisfacen:
df
dx
dg
dx
FHGIKJ FHGIKJ 1
Ejemplo: Sean dos funciones f(x), g(x), tales que se intersectan en (2,2), como se ilustra en la figura 1.3a. Existe la posibilidad de que el punto de intersección sea un punto de corte ortogonal. Determinar si
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las funciones f y g cumplen con la condición de ortogonalidad en le punto P(2,2), y escribir las expresiones de las rectas tangentes para ambas funciones en dicho punto.
Figura 1.3a Curvas de las funciones f(x) y g(x) que se interceptan en el punto P(2,2)
Solución: Las funciones son:
f x e x( ) 2
3
4
3
3 6
g x e x( ) 1
6
11
6
3 6
Sus derivadas:
f x e x' ( ) 2 3 6
g x e x' ( ) 1
2
3 6
Y la condición de ortogonalidad se cumple:
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f x g x e ex x' ( ) ' ( ) FHG
IKJ 1
22 13 6 3 6c h
Por lo que se puede afirmar que las curvas de las funciones f(x) y g(x) son ortogonales en el punto de intersección (2,2).
Para las rectas solicitadas, estas son a) tangentes a las funciones f y g, b) perpendiculares entre sí, por lo que m1m2 = -1, c) ambas pasan sobre el punto (2,2)
Para la función f x e x( ) 2
3
4
3
3 6, su derivada es f x e x' ( ) 2 3 6
, y se evalúa en (2,2):
m e1
3 0 62 2
De geometría analítica, la expresión de la línea recta: y y m x x 1 1( )
y x
y x
2 2 2
2 2
( )
Para la función g x e x( ) 1
6
11
6
3 6, su derivada es g x e x' ( ) 1
2
3 6, y se evalúa en (2,2):
m e2
3 2 61
2
1
2
De geometría analítica, la expresión de la línea recta: y y m x x 1 1( )
y x
y x
21
22
1
23
( )
Y se comprueba que ambas rectas tangentes a las curvas son perpendiculares entre sí:
m m1 2 2 1 2 1 b gb g/
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Figura 1.3b Curvas de las funciones f(x) y g(x) y de las rectas tangentes y el punto de intersección ortogonal
Trayectorias Ortogonales Para encontrar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas se escribe primero la ecuación diferencial que describe a la familia; la ecuación diferencial de la familia ortogonal se calcula a partir de la condición de ortogonalidad.
Sea dy
dxf x y ( , ) la ecuación diferencial que describe una familia de curvas.
La ecuación diferencial de la familia ortogonal se calcula dy
dx f x y
1
( , )
Ejemplo:
Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas yC
x 1
Solución: La familia de curvas corresponde a hipérbolas, donde C1 es una constante arbitraria, habrá tantas curvas como valores de C1 se asignen.
La ecuación diferencial de esta familia de curvas se obtiene derivando:
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dy
dx
C
x 1
2
Pero C1 = yx Entonces:
dy
dx
y
x
Es decir, de dy
dxf x y ( , ) , se tiene que f x y
y
x( , ) , por lo que la ecuación diferencial de la
familia ortogonal se determina:
dy
dx f x y y x
x
y
1 1
( , ) /
dy
dx
x
y
Esta ecuación diferencial se resuelve por el método de variables separables:
ydy xdx zz
y xC
2 2
22 2
Que también se puede simplificar como y x C2 2
2 donde la constante C2 es arbitraria. En la figura
1.3c se grafican la familia de la función y = C1/x, y la familia de función
y2 - x2 = C2, ortogonales entre sí en sus puntos de intersección.
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Figura 1.3c. Familia de curvas ortogonanalesde la función y = C1/x, y de la función y2 - x2 = C2
Ejercicios recomendados Obtenga las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas:
1) y C x 1
2
2) y C e x
1
3) y C x2
1
3
4) 3 4 1x y C
5) yC
x
1
21
6) yx C
1
1
7) y C sen x 1 ( )
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8) y x C x2 2
1
3
9) y eC x 1
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
0dyyM
yNdx
xN
xM
2
2
1
1
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
(VARIABLE SEPARABLE)
No 1
yxedx
dy 43
Desarrollo
dxdy y4x3
0
0
43
43
dydxee
dydxe
yx
yx
044
1)3(
3
1
0
43
4
3
dyedxe
e
dydxe
yx
y
x
Cee yx 43
4
1
3
1
No 2
0dyx1ydxy1 22
Desarrollo
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
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0dyy1
y
x1
dx
22
2
22
2
22
1
11
x
dxxsenarc
xuxu
aa
a
usenarc
ua
du
0dyy2y12
1xsenarc 2
12
Cy
xsenarc
21
1
2
1 21
2
Cxsenarcy1 2
No 2
xyyx1dx
dy
Desarrollo
Por factorización
)1)(1(
)1(11
yx
xyxxyyx
Separación
dxxy
dy
yxdx
dy
)1()1(
)1)(1(
Integración
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Cx
y
dxxy
dy
2
)1(1ln
)1(1
2
Resultado
C2
xxy1ln
2
No 3
0dx)xy4x2(dyyxy6 22
Desarrollo
Factorización, separación e integración
0dx)y42(xdyx6y 22
06ln2
142ln
8
1
0)6()42(
22
22
Cxy
x
xdx
y
ydy
Cxy 22 6ln2
142ln
8
1
Cx6ln4y42ln 22
No 4
2
22
x1
yx
dx
dy
Con condiciones iniciales
2)0( xy
Solución
Por factorización, separación e integración
Tip
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a
utanarc
a
1
ua
du22
Solución general y partícular
Cy
1xtanarcx
2
1
y
1xtanarcx
2
1C
C2
10tanarc0
Cy
1xtanarcx
2
1xtanarcx
y
1
No 5
ey
yyxseny
)2
(
ln
Desarrollo Por factorización y separación
senx
dx
yy
dy
ydxyxdysen
yydx
dyxsen
ln
ln
ln
Integración
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Cxxy
dxxy
y
dy
xsen
dx
yy
dy
cotcsclnlnln
0cscln
0ln
Dxx
y
ee
Cxx
y
Cxx
y
cotcsc
ln
cotcscln
lnln
cotcsc
lnln
y
2x
11
1
2cot
2csc
ln
D
De
)cot)(csc1(ln xxy
2tan
2tan
ln
x
x
y
ey
ee
No 6
1)0(3 xyeedx
dyye yxyx
Desarrollo
dx
e
edy
e
yx
x
y
31
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 23
dxdxeydye
dxe
edx
eydye
xxy
x
x
x
y
4
31
Ce
eyx
xy
4)1(
4
Cálculo de C con condiciones iniciales
4
5
4
110
4)11(
)0(401
C
C
Ce
ee
4
5
4)1(
4
x
xy eeye
No 7
2
yxsen
2
yxseny
Se utiliza una identidad trigonométrica y se simplifica
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 24
22cos2
22cos
2cos
222cos
2cos
2
22cos
2cos
222
22cos
2cos
222
22
ysen
x
dx
dy
ysen
xyxsen
ysen
xyxsen
dx
dy
ysen
xyxsen
yxsen
ysen
xyxsen
yxsen
yxsen
yxsen
dx
dy
Se separan los argumentos en torno a las diferenciales e integra
dx2
1
2
xcos2dy
22
ycsc
dx2
xcos
2
ysen2
dy
C2
xsen2
4
ytanln
No 8
yx1yxy 2
Desarrollo
2
2
2
1
)(1
1
xx
dx
y
dy
dx
dyxxy
dx
dyx
dx
dyxy
Integración
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 25
)1x(x
dx
1y
dy
)1x(x
dx1yln
La integral se resuelve por fracciones parciales
1
1
1)1(
1
B
A
x
B
x
A
xx
C1xlnxln)1x(x
dx
1x
dx
x
dx
)1x(x
dx
Cx
xy
)1)(1(ln
Aplicando antilogaritmos
Cx
xy
eeC
x
xy
)1)(1(
)1)(1(ln
x1
Cx1y
EJERCICIOS PROPUESTOS No 1
0dx)y21(x2dyx6y 22
Solución
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 26
Cx6lny21ln4
1 22
No 2
yxedx
dy 43
Solución por separación y factorización
Cee xy 34
3
1
4
1
No 3
0dx)xy4x2(dyyxy6 22
Solución por factorización y separación
Cxy 22 6ln2
142ln
8
1
No 4
dxxydxxydy x2x
Solución por factorización e integración
0dxxyy
dy x
2
C)1x(y
1yln x
Ecuaciones reducibles a variables separables
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 27
Características inmediatas
No son factorizarables
Se aplica un cambio de variable.
No 1
yx3dx
dy
R = 3x + y
dR = 3dx +dy
Re-arreglando
3dx
dR
dx
dy
0)3(
3
dRdxR
Rdx
dR
Integrando
3RlnCx
C3Rlnx
03R
dRdx
3ln)( RCx ee
Simplificando
33 yxeC x
No 2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 28
1yxyx1dx
dy
yxR
yxR
1
1
2
12
12
dx
dRR
dx
dy
dx
dy
dx
RdR
2
2
2
2
2
2
2
2
R2
R2R
dx
dR
R2
1
R
R2R
dx
dR
R
R2R
dx
dRR2
R
R
R
2R
dx
dRR2
1R
2R
dx
RdR2
R
2R1
dx
RdR2
2RR1dx
RdR2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 29
02
212
02
2
02
2
2
2
2
2
2
dRRR
Rdx
RR
dRRdx
RR
dRRdx
02RR
dR)R2(2dR2dx
2
Solución de la tercera integral por fracciones parciales
1R2R
dRR2
1R
dR
3
1
2R
dR
3
4
R2)B2A()BA(R
R2B2BRAAR
R2)2R(B)1R(A
R21R
B
2R
A
3
4A
3
1
3
3A
3
1B
1Rln3
12Rln
3
4
C1Rln3
22Rln
3
8R2x
C1Rln3
12Rln
3
42R2x
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 30
32
8
32
8
21
1112
2
12
1ln3
22ln
3
82
yx
yxCyxx
R
RCRx
RRRCx
2
821
1112
yx
yxCyxx
No 3
2
2
)yx(
ay
2
2
)yx(
a
dx
dy
1
1
dx
dR
dx
dy
dx
dy
dx
dR
dx
dydx
dx
dR
yxR
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 31
22
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
Ra
dRRdx
Ra
dRRdx
dxR
RadR
R
R
R
a
dx
dR
R
a
dx
dR
R
a
dx
dR
22
2
Ra
adR
a
yxarcaCy
Ca
yxarcayxx
Ca
Rarc
a
aRx
Ra
dRadRdx
tan
tan
tan2
22
2
a
yx
a
Cy
arctan
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 32
PROPUESTOS No 1
)cos( yxdx
dy
Tip: yxR
Solución
)yxcsc()yxcot(Cx
No 2
2)yx(dx
dy
Solución
Cx)yx(tanarc
No 3
)2yx(cos
1
dx
dy2
Tip: 2 yxR
Solución
2y)2yxcot(C
No 4
dy)1y2x2(dx)1yx(
Tip: 2 yxR
Solución
yxlny2xC
No 5
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 33
3y4x3
2y4x3
dx
dy
Tip: yxR 43
dx
dy43
dx
dR
dx
dR
dx
dy
dx
dR
dx
dy
34
1
34
1
4
1
4
1
3
1
3
)3(
1
)3(
8493
3
84
)3(
)3(3
3
843
3
843
3
23
4
1
R
dRdRdx
R
dRdRdx
R
RdR
R
Rdx
dx
dR
R
R
dx
dR
R
RR
dx
dR
R
R
R
R
dx
dR
R
R
R
R
dx
dR
R
R
dx
dR
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 34
4143ln
143ln444
143ln443
143ln443
1)43(ln4)43(
1ln4
CDDyxyx
Cyxyx
Cyxyxx
Cyxyxx
Cyxyxx
CRRx
143
143
143
143ln
1
143ln
yxeC
yxe
yx
yxDyx
yx
Dyx
Dyx
yxDyx
e
e
ee
Solución
1431
yxeCyx
Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 35
No 1
2x
yy
2
2
2x
y
dx
dy2
2
0dydx2x
y2
2
Para comprobar que es homogénea debe cumplirse que
),(),(
&
yxfyxf
yyxx
0dydx2x
y
0dydx2)x(
)y(
22
22
2
2
Solución con el cambio:
xddxdy
vxyx
yv
02
0)(2
0)(2)(
2
2
22
2
2
xddx
vdxxdvdxx
xv
vdxxdvdxx
vx
Solución por separación de variables
02vv
dv
x
dx2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 36
0)1v)(2v(
dv
x
dx
........................... ecuación A
)1v(2v(
dv
12
0
12)(
1)2()1(
112
BA
BA
BABAv
vBvA
v
B
v
A
3
1A
3
1B
1v
dv
3
1
2v
dv
3
1
Cv
vx
Cvvx
Cvvx
Cvvx
v
dv
v
dv
x
dx
eeC
v
vx
2
)1(
1ln2lnln
1ln2lnln3
1ln3
12ln
3
1ln
013
1
23
1
3
)2(
)1(ln
3
3
Cambiando v x = y
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 37
Cxy
xyx
C
x
xy
x
xyx
C
x
y
x
yx
)2(
)(
2
2
1
3
3
3
)(2 3 xyDxxy
No 2
dx)yx(dy)yx(
yx
yx
dx
dy
0dx)yx(dy)yx(
Para determinar si es homogénea se hace el cambio de variable
0dy)yx(dx)yx(
0dy)yx(dx)yx(
0dy)yx(dx)yx(
0dx)yx(dy)yx(
Homogénea de grado 1
Por lo tanto se hace el siguiente cambio de variable
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 38
xddxdy
vxyx
yv
Desarrollo
x
dxd
dvvxdxvx
dvxvxdxxvx
dvvxxdxxvxvvxx
xdvvdxvxxdxvxx
2
22
222
222
1
)1(
0)1()1(
0)()(
0)()(
0))(()(
Cvtanarc1vlnxln
Cvtanarc1vln2
1xln
01v
dv
1v
dv)2(v
2
1
x
dx
0dv1v
)1v(
x
dx
2
2
22
2
x
yarcCxy
x
yarcCxy
Cx
yarc
x
yx
Cvarcvx
tanlnln
tanln
tan1ln
tan1ln
22
22
2
2
2
x
ytanarcxyCln 22
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 39
No 3
PROPUESTOS
No 1
x
ylnyyx
Tips
uxyyyxx
x
y
x
y
dx
dy
ln
Solución
Cxxey 1
No 2
dy)xy2x(dx)xxy3y3( 222
Tips
Solución intermedia
xy
x
C
x
xy
x
y
x
C
x
yx
yx
2
1
11lnln
2
2
2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 40
23
22
2
)(1
)2(
yxx
C
C
x
xxy
x
y
x
xy
x
xy
x
Solución definitiva
23 )( yxCx e xy
x
No 3
yxyyxy 22
dxydyxyx
ydx
dyxyx
dx
dyxy
dx
dyxy
dx
dyxy
dx
dyxy
22
22
22
22
)(
)(
0
Verificación de homogeneidad
0)(
0)()(
0)()))(()((
222
22222
22
dxydyxyx
dxydyxyx
dxyyxdyx
Homogénea de gado 2
Solución
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 41
0)1()(
0)()(
0)())((
0)()))(((
32
3322222
222
22
dvvxdxvx
dvvxxdxxvvxvx
dxvxxdvvdxvxx
dxvxxdvvdxvxxx
xdvvdxdy
0
0)1(
0)1(
3
2
v
dvdv
x
dx
dvv
v
x
dx
dvv
vdx
x
x
eyC
Cey
eey
ey
ee
x
y
x
y
Cx
y
Cx
y
Cx
yy
1
ln
Solución
e xy
Cy
PROPUESTOS
No 1
22 yxyyx
Solución final
222 xyyxC
1
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 42
No 2
x
y
ex
yy
x
y
exC
ln
No 4
0xydx2dy)x3y( 22
Determinación de la homogeneidad
0dx)xy2(dy)x3y(
0dx)xy2(dy)x3y(
0dx)y)(x(2dy))x(3)y((
222
22222
22
Homogénea de grado 2
Reducción a variables separables
xddxdyvxyx
yv
Solución como variables separables
0)(
)3(
0)(
)3(
3
2
3
2
3
2
dvvv
v
x
dx
dxx
x
vv
dvv
)1v)(1v(v
3v
)1v(v
3v 2
2
2
)1v(
CBv
v
A
)1v)(1v(v
3v2
2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 43
0&2&1
)(3
)()1(3
22
22
CBBA
ACvBAvv
vCBvvAv
1v
v2
v
dv3
2
Dxy
y
x
xy
x
y
x
y
x
yx
Dx
ee
Cv
xv
Cvvx
Cdvv
v
v
dv
x
dx
Cv
xv
22
3
2
22
2
3
2
2
3
3
2
3
1ln
2
3
2
2
1
1
1ln
1lnln3ln
)1(
)2(
2
23
2
3
Solución
322 1y
Dxy
No 5
22
22
xxy2y
xxy2y
dx
dy
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 44
0dx)xxy2y(dy)xxy2y( 2222
Determinación de la homogeneidad
0)2()2(
0))())((2)(())())((2)((
22222
2222
dxxxyydyxxyy
dxxyxydyxyxy
Homogénea de grado 2
Transformación a una ecuación de variables separables
xdvvdxdy
xy
0)1()12(
0)()2(
0)2())(2(
0)2)(())(2)((
23223
2222233332
22222222
2222
dxvvvxdvvvx
dxxvxvxxvdvxvxxv
dxxvxxvxdvvdxxvxxv
dxxxvxvxxdvvdxxxvxvx
Integración de la ecuación diferencial
Cdxx
xdv
vvv
vv
3
2
23
2
)1(
)12(
0x
dxdv
)1vvv(
)1v2v(23
2
)1v(
C
1v
BAv
)1v)(1v(
1v2v
)1v)(1v(
1v2v
1v)1v(v
1v2v
)1vvv(
)1v2v(
22
2
2
2
2
2
23
2
CBBAvCAvvv
vCvBAvvv
)()(12
)1()1)((12
22
22
2&0&1 ABC
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 45
)1v(
1
1v
v2
)1v)(1v(
1v2v22
2
0)1()1(
22
v
dv
v
vdv
x
dx
Cv
vxCvvx
1
)1(ln1ln1lnln
22
C
x
xy
x
xyx
x
x
x
y
x
x
x
yx
x
y
x
yx
2
22
2
2
2
2
2
2
lnln
1
1
ln
DeeC
x
xy
x
xyx
2
22
ln
Solución
Dxy
xy
22
No 6
0dy)xlny(lnxdx)xlnyylnyx(
0dyx
ylnxdx
x
ylnyx
Determinación de la homogeneidad
0)ln(ln)lnln(
0)ln(ln)lnln(
&
dyxyxdxxyyyx
dyxyxdxxyyyx
xxxy
Homogénea de grado 1
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 46
Transformación a variables separables
xddxdyvxyx
yv &
0)dvvlnxxdx
0)dvvlnxdx)vlnvvlnv1(x
0)dvvlnxdxvlnxvdx)vlnv1(x
0)xdvvdx(vlnxdxvlnvxx
2
2
2
Cx
y
x
y
x
yx
Cvvvx
Cvvvx
dvvx
dx
lnln
lnln
lnln
0ln
Solución
yxCylnyxln)yx(
Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas
Forma general
0dy)cybxa(dx)cybxa( 222111
Se tienen dos casos posibles, según el valor del determinante de los argumentos
Si 0 entonces la ecuación es reducible a variables separables.
Si 0 entonces la ecuación es reducible a homogénea
No 1
0dy)4yx(dx)2yx(
El sistema de ecuaciones es
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 47
4
2
yx
yx
32
6
12
2
62441
21
24214
12
21111
11
0
0
D
Dy
D
Dx
D
D
D
y
x
y
x
El cambio de variable es
dYdyYyYy
dXdxXxXx
3
1
0
0
Substitución en la ecuación diferencial
0)()(
0)431()231(
dYYXdXYX
dYYXdxYX
Ahora es homogénea. Determinación del orden
0)()(
0)()(
dYYXdXYX
dYYXdXYX
Homogénea de grado 1.
Transformación a ecuación de variables separables
XdvvdXdY
vXYX
Yv
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 48
2
22
222
21
)1(
0)1()21(
0)()(
0))(()(
d
X
dX
dvvXdXvvX
dvvXXdXXvvXvXX
XdvvdXvXXdXvXX
0)12(
)1(2
2
12
vv
dvv
X
dX
12
22
122
)12(ln
22
2
2
12
)12(
12lnln
212lnln2
12ln2
1ln
22
CX
Y
X
YX
CvvX
DvvX
CDDvvX
CvvX
eeDvvX
Solución
122 2 CXYXY
Se retorna a las variables originales
3
1
yY
xX
DCyxxyxy
Cxxxyxyyy
Cxxxyxyyy
Cxxyy
14842
)12662296
)12()33(296
)1()1)(3(2)3(
22
22
22
22
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 49
Solución
Dyxxyxy 84222
No 2
2
2
)1yx(
)2y(2y
dx)2y(2dy)1yx(
)1yx(
)2y(2
dx
dy
22
2
2
0dy)1yx(dx)2y(2 22
21
22
11
20
31
33
11
12
111
10
0
0
D
DyD
D
DxD
D
y
y
xx
dYdyYyYy
dXdxXxXx
2
3
0
0
0)(2
0)123()22(2
22
22
dYYXdXY
dYYXdXY
Comprobación de homogeneidad
0)(2
0)(2
0)()(2
&
2222
2222222
22
dYYXYXdXY
dYYXYXdxY
dYYXdXY
YYXX
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 50
Es homogénea de grado 2
Transformación a variables separables
XdvvdXdYvXYX
Yv
0)21()(
0)2()22(
0))(2(2
0)()(2
0)()()(2
2332
32333222222
222222
222
22
dvvvXdXvvX
dvvXvXXdXvXvXvXvX
vdXXdvvXvXXdXvX
vdXXdvXvXdXvX
vdXXdvXvXdXXv
Separación e integración
0)(
)21(
0)(
)21(
3
2
3
2
3
2
dv
vv
vv
X
dX
dvvv
vvdX
X
X
)vv(
)v2v1(2
2
ACvBAvvv
vCBvvAvv
vvv
CBv
v
A
vv
vv
vv
vv
vv
vv
)(12
))(()1(12
)1(1)1(
12
)1(
12
)(
)12(
22
22
2
22
2
2
2
3
2
2&01&1 CBABA
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 51
)1v(
dv2
v
dv2
eDvX
ee
varcXvC
varcCvX
varcCvX
CvarcvX
Cv
dv
v
dvX
X
dx
varc
varcXvC
tan2
tan2ln
1
1
1
2
1
tan2ln
tan2lnlnln
tan2lnln
tan2lnln
)1(2
Retornando a las variables originales
DeDY X
Yarc tan2
La solución definitiva es
eyD x
yarc
3
2tan2)2(
No 3
dx)5xy2(dy)4yx2(
4yx2
5xy2
dx
dy
0dy)4yx2(dx)5xy2(
42
5252
yx
yxxy
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 52
23
66104
42
51
13
3385
14
25
34112
21
0
0
D
DyD
D
DxD
D
y
y
xx
dYdyYyYy
dXdxXxXx
2
1
0
0
Transformada a homogénea
0)2()2(
0)4222()5142(
0)4)2()1(2()5)1()2(2(
dYYXdXXY
dYYXdXXY
dYYXdXXY
0)2()2(
0)2()2(
0))()(2())()(2(
dYYXdXXY
dYYXdXXY
dYYXdXXY
La ecuación es homogénea de grado uno
Transformar a una ecuación de variables separables
XddXdYvXYX
Yv
0)2()1(
0)2()(
0))(2()2(
22
222
dvvXdXvX
dvvXXdXXvX
vdXXdvXvXdXXXv
Solución de la ecuación diferencial
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 53
Cv
vvX
Cv
vvX
v
dv
v
vdvX
dvv
v
X
dX
1
1ln
2
21ln
2
1ln
1
1ln
)1(2
121ln
2
1ln
01
21
2
2
1ln
01
2
2
2
22
2
Dv
vvX
D
v
v
vX
ee
C
v
v
vX
C
v
v
vX
2
222
2
22
1
1
)1(ln
2
22
)1(
)1)(1(
1
1
)1(
1
1
)1(ln
2
22
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 54
XYDXY
XYDXYXY
XYDYXYXY
XYDXYY
X
XYD
X
YXY
X
XYD
X
YXY
X
XYD
X
Y
X
XYx
X
YD
X
Y
X
YX
vDvvX
3
23
22
2222
2
2
2
222
2
2
2
222
22
2
222
22
2
22
2222
)(
)()(
1))((
1
1
1
1
111
)1()1)(1(
Retornando a las variables originales
12)12( 3 xyDxy
Solución
3()1( 3 xyDxy
No 4
0dy)4y(dx)2yx(
Criterio para conocer si es reducible a variables separables u homogénea
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 55
41
4404
40
21
21
2242
14
12
10110
11
4
2
0
0
D
DyD
D
DxD
D
y
yx
y
y
xx
Es reducible a homogénea
dYdyYyYy
dXdxXxXx
4
2
0
0
0)(
0)44()242(
0)4)4(()2)4()2((
YdYdxYX
dYYdXYX
dYYdXYX
0)(
0)(
YdYdxYX
YdYdXYX
Homogénea de grado 1
Transformar a ecuación de variables separables
XddXdYvXYX
Yv
0)1(
0)(
0))(()(
22
22
dvvXdXvvX
dvvXdXXvvXX
vdXXdvvXdXvXX
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 56
Cv
arcvvX
va
dvdv
vv
vX
dvvv
v
X
dX
dvvv
vdX
X
X
3
12tan
3
2
2
11ln
2
1ln
2
1
1
)12(
2
1ln
0)1(
0)1(
2
222
2
22
Cx
y
arcxyxy
Cx
y
arcx
y
x
yx
Cx
y
arcarcx
y
x
yx
x
y
X
Y
3
1)2
4(2
tan3
22424ln
3
1)2
4(2
tan3
21)
2
4()
2
4(2ln
3
1)2
4(2
tan3
1tan1)
2
4()
2
4(ln
2
12ln
2
4
22
22
2
PROPUESTAS A REDUCIBLES A HOMOGENEAS
Tips: Reducir a homogéneas, determinar el grado de homogeneidad, transformar a variables separables, resolver, volver a las variables originales y presentar el resultado
No 1
dx)1yx2(dy)1y2x(
1y2x
1yx2
dx
dy
Solución
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 57
Cyxyxyx 22
No 2
0dy)1yx(dx)2x2(
Solución
1xlnC1x
y2
x
yln
3
12
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS
Tienen el formato
0),(),( dyyxNdxyxM
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 58
Condición de exactitud
x
N
y
M
Ejercicios
No 1
02
2
2
dy
y
xdx
y
xex
exactax
N
y
M
y
xx
yx
x
yx
y
x
x
N
y
x
y
yx
y
yx
y
y
x
y
e
y
M x
22
2
2
2
2
2
1
22
11
22
12
0
2
)(
)(2
2
2
2
2
2
yCy
xeu
yfx
yeu
xxy
xeu
xy
xeu
xMu
x
x
x
x
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 59
Cfy
f
y
x
dy
df
y
x
y
uN
dy
df
y
yx
y
e
y
u x
0
1
2
2
2
2
2
Solución
Cy
xex
2
Método alternativo propio para ingeniería química
No 2
y
y
x
x
x
x
x
y
y
x
x
x
yyxxxy
xe
Cyy
xx
y
xe
000
00
220
2
20
2
)2
(
0
20
2
0
20
20
20
2
10
120
20
2
0
0
)()(1
y
xeC
y
xe
Cy
x
y
x
y
x
y
xee
Cyyxxxy
ee
xx
xx
xx o
Condiciones iniciales
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 60
0
200
y
xeCI
x
Solución
Cy
xex
2
No 3
01221 2223
dy
yx
yxxydx
yx
xyy
Solución
2
322
2
232
)(
1224
)(
)1)(1()23)((
yx
yyxxy
y
M
yx
xyyxyyyx
y
M
2
322
2
222
)(
1224
)(
)1)(122()42)((
yx
yyxxy
x
N
yx
yxxyxyyyx
x
N
exactaesx
N
y
M
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 61
yxxyx
xyyxyu
xyxyx
xy
yx
yu
xyx
xyyu
xMu
lnln
1
1
23
23
23
yxxyu
yxyxyxyyxyu
yxyx
xyxyyxyu
yxxyx
yyyxyu
ln
lnlnln
lnln
ln1ln
2
323
323
23
Integrando N con respecto de “y”
yyxyx
yx
yxyx
yxyxyyxv
yyx
yyx
yxy
yx
yxv
yyx
yxxyv
00
30
20
0
30
200
00
20
0
2
0
0
2
002
12
2222
122
122
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 62
yxyxv
yxyxyxyxv
yxyxxyxyxxyxyxv
02
0
020
20
20
0030
200
30
20
20
ln
ln22
lnln22ln22
Límites de u entre x y x0
yxyxyxxyu 02
02 lnln
Límites de v entre y y y0
000200
20 lnln yxyxyxyxv
Cyxxy
yxyxCI
yxyxyxxyvu
ln
ln
lnln
2
00200
00200
2
Solución
Cyxxy ln2
No 4
0dyy
x2xtany3dx
y
x3x4xsecy
3
32
2
2323
Método corto
3
222
3
222
y
x6xsecy3
x
N
y
x6xsecy3
y
M
Son exactas
Integración de M
xMu
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 63
dy
ydf
y
xxy
y
uN
yfy
xxxyu
xfy
xxxyu
xy
xxxyu
)(2tan3
)(tan
)(3
3
4
4tan
34sec
3
32
2
343
2
343
2
2323
Determinación de f(x)
Cf0dy
df
dy
df
y
x2xtany3
y
x2xtany3
3
32
3
32
Cy
xxxtany
3
343
No 5
0222222
dyy
y
e
yx
ydx
y
e
yx
x xx
Prueba de que es exacta
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 64
22
322
223
22
121
22
)(
))(1()2()(2
1
)(
y
e
yx
xy
y
M
yeyyxxy
M
y
ye
y
yxx
y
M
x
x
x
22
322
22
322
2
21
22
)(
01
)2()(2
1
)2(1)(
y
e
yx
xy
x
N
ey
xyxyx
N
x
y
x
e
yx
yxy
x
N
x
x
x
exactaesx
N
y
M
Integración
xMu
y
eyxu
y
eyxu
dxey
dxyxxu
xy
e
yx
xu
x
x
x
x
21
22
21
22
21
22
22
)(
21
)(
2
1
1)(
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 65
22
122
02
2
122
0
22
122
0
22
122
0
22
122
00
0
0
2
12
1
222
1
2)(
2)(
yy
eyx
y
eyxv
yyyyeyyxyv
yyy
e
yx
yv
yy
e
yx
yN
xx
x
x
x
Integrar entre límites
yy
xx
0
0
02
0
2
12
0
2
022
122
0
21
22
02
122
00
0
)()(
yy
eyxy
y
eyxv
y
e
y
eyxyxu
xx
xx
2
0
0
2
12
0
2
0
2
0
0
2
12
0
2
022
122
0
0
yy
eyxCI
yy
eyxy
y
eyxvu
x
xx
Solución
Cyy
eyx
x
221
22 )(
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 66
Ejercicios propuestos
No 1
0dy)3xy(dx)1yx(
Tip es exacta Solución
Cy32
yxyx
2
x 22
REDUCIBLE A EXACTAS
Ejercicios
No 1
0)1(
11
322
dy
y
xdx
yx
y
Comprobación de exactitud
x
N
y
M
yx
x
yxx
N
yxy
y
y
y
xy
M
22
2
1
)1(
1
)1(
1)1(
)1(
32)1(3
2
Criterios para factor integrante de un sola variable
ey
ex
dyy
M
x
N
M
dxx
N
y
M
N
1
1
)(
)(
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 67
x
y
x
y
x
x
x
N
y
M
N
y
x
yx
x
N
y
M
N
yxx
N
y
M
yyxx
N
y
M
2
)1(1
)1(1
2
1
)1(1
)1(
22
1
)1(
22
)1(
1
)1(
32
2
2
2
2
2
22
El factor integrante es función de x
2lnln222 2
xeeeexx
x
dxdx
x
0)1(1
322
32
22
dy
y
xxdx
y
x
x
yx
Criterio de exactitud
2
2
2
2
)1(
32
)1(
32
y
xx
x
N
y
xx
y
M
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 68
)1(
)1(3
3
22
1
32
)1(
32
32
22
2
2
y
xyxu
y
xxyu
xxy
xxyu
xy
xxyu
xMu
)1(
)1(
32
2
32
y
xyxv
yy
xxv
)1()1(
)1()1(
0
3
000
23
00
2
0
3
020
32
y
xyx
y
xyxv
y
xyx
y
xyxu
)1(
)1()1()1(
)1()1()1()1(
0
3
000
2
0
3
000
23
03
2
0
3
000
23
00
2
0
3
020
32
y
xyxCI
y
xyx
y
x
y
xyxvu
y
xyx
y
xyx
y
xyx
y
xyxvu
Resultado
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 69
C)1y(
xyx
32
Resultado
No 2
0)cos()cos( dyxxysenxdxxsenxxy
Comprobación de exactitud
x
N
y
M
xxsenxxyx
N
xy
M
coscos
cos
No son exactas
Determinación del factor integrante de una variable
1cos
cos1
?cos
cos1
coscoscos
xsenxxy
xsenxxy
y
M
x
N
M
xxysenx
xsenxxy
x
N
y
M
N
xxsenxxyxx
N
y
M
0)cos()cos(
)(
dyxxeysenxedxxsenxexye
eey
yyyy
ydy
Criterio de exactitud
xsenxexyexeexyxxsenxex
N
xsenxexyexexsenxexyeey
M
yyyyy
yyyyyy
coscoscos)cos(
coscoscos)(
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 70
senxexxeysenxeu
xxsenxexdxyeu
xxsenxexyeu
xMu
yyy
yy
yy
cos
cos
)cos(
yyy
yy
yy
xexsenxeyev
yexxyyesenxv
yxxeysenxev
cos)(
cos
cos
La integral de cada función tomando límites es
000000000
0000
coscos
coscos
000 xexsenxesenxeyxexsenxesenxyev
senxexxeysenxesenxexxesenxyeu
yyyyyy
yyyyyy
La suma de ambas funciones es
00000
00000
cos
coscos
000
000
xexsenxesenxeyCI
xexsenxesenxeysenxexxesenxye
yyy
yyyyyy
Resultado
Csenxxxysenxey )cos(
Ejercicios propuestos
No 1
0)2(2
)2(1 2
dyey
y
xdxey xx
Respuesta
Cyey
x x
)2(2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 71
No 2
0ln22
dy
y
xxedxye yy
Respuesta
Cxyxey 22 ln
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES
Caso 1:
dxxQCy
xQyxPdx
dy
eeePdxPdxPdx
)(
)()(
Caso 2:
dyyQCx
yQxyPdy
dx
eeePdyPdyPdy
)(
)()(
Ejercicios
No 1
ysenxxcosxcosy 2
Se despeja la derivada:
xyxy
xyx
senxy
x
senxyxy
cos)(tan
coscos
coscos
Desarrollo
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 72
xcos)x(Q
xtan)x(P
xdxxxx
Cy
xxeee
xxdxxdx
coscoscos
1
cos
cos
1sec
seclntantan
)xcossenx2(4
1x
2
1x2sen
4
1x
2
1
xdxcos2
xcossenx2
1x
2
1
xcossenx
2
1x
2
1
xcos
1
xcos
Cy
No 2
)1x(22xx
y3y
2
)1(2)(
2
3)(
2
xxQ
xxxP
Desarrollo
𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−
3𝑑𝑥𝑥2−𝑥−2
)1x)(2x(
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 73
3)B2A()BA(x
3B2BxAAx
3)2x(B)1x(A
31x
B
2x
A
11
32
0
BA
BA
BA
dx
1x
2x)1x()2(
2x
1x
2x
1xCy
2
)2x(dx)2x(
2
2
)2x()2(
2x
1x
2x
1xCy
2
)2(
])2)[(1( 2
x
Cxxy
No 3
xeyyx x ln2
dxxQCy
xQyxPdx
dy
eeePdxPdxPdx
)(
)()(
Se despeja la derivada
x
x
x
e
x
y
dx
dy x ln2
Desarrollo
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 74
x
x
x
xexQ
xxP
ln)(
2)(
2ln222
2ln22
2 1
x
x
eee
eee
xx
dxdx
x
xx
dxdx
x
xx
xxx
x
x
exe
edxexxe
vdxdu
dxdvxu
vduuvudv
1
x
dx
2
x
2
xlnx 22
2
2
ln
2xv
x
dxdu
xdxdvxu
xdx2
1
2
xlnx2
2
dxxxlnxx
1
x
Cy
dxxx
xln
xx
1
x
Cy
21
x
22
2x
22
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 75
2
x
2
1
2
xlnx 22
2
22
22 4
1ln
2
11xxxxe
xx
Cy xx
No 4
0senxdydxsenxxcosy5
Se despeja la derivada y se da formato
Desarrollo
1)x(Q
xcot5)x(P
51lnln5cot5
5
senx
senxsenxxdxeee
dxsenxsenx
1
senx
Cy 5
55
senxxxx
senxsenxsenx
4cos2cos212
2cos1
225
5
xcos
3
xcos2xcos
senx
1
senx
Cy
dx)senx(xcos)senx(xcos2senxsenx
1
senx
Cy
53
55
42
55
1cos5
01cos5
senx
xy
dx
dy
dx
dy
senx
xy
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 76
xsen
xcos5
1
3
xcos2xcosC
y5
53
No 5
x2xy2dx
dy 2
Desarrollo
x2x)x(Q
2)x(P
2
eee
eeee
xdxPdx
x
xdxPdx
22
2
22 1
21
22222
1
2
1
2
2222
1
2
I
dxxxe
I
xdxxexexe
Cy
dxxexxxexe
Cy
vduuvudv
evdxdu
edvxu
exeI
x
x
xx
2
22
22
1
2
22
1
22
2
2
122
xedvxu
xexxeI
xevdxdu 2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 77
2
1
2
122
1
2
2
2
12222
2
1
2
1
2
xxxexexe
Cy
xexxexexxexexe
Cy
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
22
222222
xxCey
exexeexCey
x
xxxxx
1224
1 22 xxCey x
No 6
0dyyx2xyydx x Formato utilizado 𝑑𝑥/𝑑𝑦 + 𝑃(𝑦)𝑥 = 𝑄(𝑦) Desarrollo
y
y
y
ey
yx
dy
dx
ey
xxy
dy
dx
y
ye
y
x
y
xy
dy
dx
)2(
2
02
yeyQ
y
yyP
)(
2)(
2
2ln
ln2222
y
e yyy
yyy
dydydy
ydydy
y
y
ee
eeeeee
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 78
yyyyy
yyy
yyyy
eyeeyy
e
y
Ceex
dyyey
e
y
Cex
dyeyey
e
y
Cex
2222
22
22
22
2
22
2
122
22
22
yyey
e
y
Cex y
yy
122
2
22
yyy
e
y
Cex
yy
Solución
22 2
111
2 yy
e
y
Cex
yy
No 7
0dy1ycosxysenydxcos 32
Desarrollo
seny
ysecycotx
dy
dx
ysenycos
1
seny
ycosx
dy
dx
ysenycos
1
ysenycos
ycosx
dy
dx
2
2
22
3
seny
ysec)y(Q
ycot)y(P
2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 79
seny
seny
ee
eee
senyydy
senysenyydy
lncot
lnlncot 11
ytanycscycscCx
ydysecycscycscCx
senydyseny
ysecycscycscCx
2
2
ycos
seny
seny
1ycscCx
Solución
ysecycscCx
Ejercicios propuestos No 1
xsecxtanydx
dy
Solución
xcos
xCy
No 2
xeyxdx
dyx 3)13(
Solución
xx
ex
Cey 3
3
No 3
yy
y
ee
ex
dy
dx
21
Utilizar
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 80
yy
y
ee
eyQ
yP
21)(
1)(
Solución
yyyy eeCex ln
ECUACIONES TIPO BERNOULLI
Ecuaciones diferenciales reducibles a lineales
Tienen el formato y esquema de solución siguiente
dxxQnCy
n
n
yxQyxPdx
dy
eeePdxnPdxnPdxnn
n
)1()1()1(1 )()1(
0
1
)()(
No 1
)x21(yyx2yx 2232
Desarrollo
22
)221(2
2
)221(22
yx
xxy
dx
dy
x
xyxyy
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 81
eeeeex
xxdxdxxPdxn
n
x
xxQ
xxP
2
2
222)2()21()1(
2
2
21)(
2)(
eeeex
xxdxPdxn 2
2
2
22)1(
dxxex
xxexCey
222
2
221)21()21(
dxedx
x
e xx
2
1
2
22
I1 se resuelve por partes
dxex
e
dxxexx
e
x
xv
dxxdv
dxxedvv
xx
xx
xx
2
2
2
2
22
2
)2(1
1
1
2
1
1
1
2
dxeedxex
e xxx
22
2
22
x
eeCey
xxx
2
221
Solución
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
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x
Cey
x 11 2
No 2
)senxxcosx(yxcosysenxy2 3
Desarrollo
dxexQneCey
yxQyxPdx
dy
PdxnPdxnPdxnn
n
)1()1()1(1 )()1(
)()(
senx
senxxxy
senx
xy
dx
dy
2
)cos(3
2
cos
3n
senx2
senxxcosx)x(Q
xcot2
1
senx2
xcos)x(P
senxeeeee
senxsenxxdxxdxxdx 11lnlncotcot
2
12cot
2
1)31(
dx
senx
1
senx
senxxcosx
2
31senxCsexy n1
senx
dxdx
xsen
xcosx
dxxsen
senxdx
xsen
xcosx
1
2
22
senx
1
1
xsenvdxdu
xdxcosxsendvxu
vduuvudv
1
2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 83
dxsenx
1
senx
1x1
senx
x
senx
dx
senx
dx
senx
x
xCsenxy
senx
xsenxCsenxy
2
31
Solución
xCsenxy
12
No 3
dy)x3yxxy(dx)3y(y 222
Tiene el formato y solución siguiente
dyeyQneCex
xyQxyPdy
dx
PdynPdynPdynn
n
)1()1()1(1 )()1(
)()(
)x3yxxy(dy
dx)3y(y 222
Desarrollo
2
)3(
3)(
)3(
3)(
2
)3(
)3(
)3(
3
n
yy
yyyQ
yyyP
xyy
yyx
yydy
dx
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 84
eee y
dy
y
dydy
yydy
yy
3)3(
3
)3(
3)21(
Solución de las integrales I:
1B
1A3A3
BA0BA
33A)BA(y
3By3AAy
3By)3y(A
33y
B
y
A
3
13lnln3
yyyy
y
dy
y
dy
eee
y
yy
y
yyy
dy
y
dy
yy
dy
eeee3
)3(13lnln
3)3(
3)21(
dy
y
3y
)3y(y
yy)21(
3y
y
3y
Cyx
321
Solución de las integrales
dyy
yy2
3
yln2
y
y
dydyy
2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 85
yln
2
y
3y
y
3y
Cyx
21
Solución
3y
ylny2
yCy
x
3
1
No 4
2
32
3x
e
x
yyy
x
Desarrollo
223
223
yx
xe
x
yy
yx
xe
x
yy
2
3)(
1)(
2
n
x
exQ
xxP
x
3
lnln3 1))2(1(
3
xeee
xxx
dx
3lnln33
))2(1( xeeexx
x
dx
dxxx
e
xx
Cy
x3
233
)2(.1
3))2(1(
1
1
3
1
3
xdxexdxe x
x
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 86
x
x
evdxdu
dxedvxu
vduuvudv
xxxxx
exedxexexdxe
xx exe3
1
3
1
xx
xx
exexx
Cy
exexx
Cy
3
13
3
1
3
13
33
3
33
3
Solución
3
3
x
exeCy
xx
No 5
23
1
233
1323
yy
xy
dx
dy
xydx
dyy
2y3
1
3
x
3
yy
Desarrollo
2
3
1)(
3
1)(
yn
xxQ
xP
ee
eeex
dx
xdxdx
3)21(
3)21(
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 87
dxxexxexCey
3
)1()21(21
dxedxxeCey xxx
x
3
33
xx evdxedv
dxduxu
x
x
x
x
x
xx
xxxxx
xxxxx
e
e
e
e
e
xeCey
eeexeeCey
edxexeeCey
3
3
3
Solución
23 xCey x
No 6
33 xx2yxyy
33 xx2yxydx
dy
Donde
3
32)(
)(
n
xxxQ
xxP
eeee
eeeeex
xxPdxn
xx
xPdxPdxn
22
22
222)1(
222)31()1(
dxexdxxeeCey
dxexxeCey
xxxx
xxx
2222
222
32
32
22
2)2(
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 88
22
2
2
22
2
xx
x
x
exevduuv
xedvxdxdu
evxu
121
21
2
12
1
2
2
3
2
3
2
2
222222
22222
xCey
eexeeeCey
edxexeeeCey
x
xxxxxx
xxxxx
Solución
11 2
2
2
xCey
x
Ejercicios propuestos
No 1
0xyyxy2 2
Donde
1
2
1)(
2
1)(
n
xQ
xxP
Tal que
x
xxdxx
dxx
Pdxn
xxdxx
dxx
Pdxn
eeeee
eeee
1lnln2
12
2
1)11()1(
ln2
12
2
1)11()1(
1
Solución
xlnxCxy2
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 89
No 2
3y
1yyx
Solución
1Cxy 44
No 3
2
xcosysenxyyy
33
Donde
3
2
cos)(
1)(
n
xsenxxQ
xP
Solución
xeeCey
xxx cos21 222
2
No 4
3
2
x
y4
x
y2y
Solución
2
2
x
1Cx
y
1
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 90
PROBLEMAS RESUELTOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON: “La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T y la temperatura del aire To”.
)( oTTkdt
dT
TO = temperatura ambiente
Mediante el método de separación de variables
okt
kto
CktTT
o
TCeT
CeTT
dTkTT
dT
ee o
ln
Problema 1 Una taza de café a una T=92°C se introduce a una habitación con una temperatura ambiente de 25°C, transcurridos 10 min, la taza de café tiene una temperatura de 75°C. ¿Calcular la temperatura que se tendrá después de 20 min?. Calcular el tiempo en el cual la taza de café tendrá una temperatura de 30°C
CC
C
Ce
CTt
k
67
2592
2592
920
)0(
2567 kteT
5067
256775
75min10
10
)10(
k
k
e
e
CTt
1min029.010
67
50ln
67
50ln10
67
50ln10ln
k
kke
2567 029.0 teT
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 91
2567
?min20
)20(029.0
eT
Tt
Solución
C51.62T
029.0
67
5ln
67
5lnln
567
256730
?30
029.0
029.0
029.0
t
e
e
e
tCT
t
t
t
min49.89t
Problema 2 Un motor se ha sobrecalentado y alcanzado una temperatura de 400°C, para probar si sus partes se deterioran se introduce en ese instante en un frigorífico que se encuentra a 3°C. Transcurridos 15 min se mide su temperatura, y esta es 350°C. Calcule el tiempo en el cual el motor tendrá una temperatura de 220°CSi se necesita que el motor alcance la temperatura de 25°C ¿en que tiempo se realizará esto?
3400
3400
4000
)0(
C
Ce
TCeT
CTt
k
o
kt
C397C
o
kt TCeT
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 92
397
347ln)15(
ln397
347ln
397
347
3973350
3397350
350min15
15
)15(
)15(
)15(
k
e
e
e
eC
CTt
k
k
k
k
15
397
347ln
k
31097.8 k
3397220
3397
)1097.8(
)1097.8(
3
3
t
t
e
eT
3
3
1097.8
397
217ln
t
t1097.8397
217ln
min33.67t
3
3
)1097.8(
)1097.8(
)1097.8(
1097.8
397
22ln
)1097.8(397
22ln
ln397
22
339725
3397
3
3
3
t
t
e
e
eT
t
t
t
min50.322t
Problema 3
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 93
Una sustancia al colocarse en aire, cuya temperatura es de 20°C, se enfría de 100°C a 60°C en 10 min. Hallar la temperatura después de 40 min.
CkteoTT
CKtoTT
dtkoTT
dT
oTTdt
dT
ln
ktCoTT
aTktCeT
C100T0t
CC
C
C
CkC
80
20100
20100
20)0(100
oTkteT 80
C60Tmin10t
)10(8040
)10(802060
20)10(8060
ke
ke
ke
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 94
10
80
40ln
)10(80
40ln
)10(
80
40
k
k
ke
1min69.0 k
20)40(069.080
069.080
eT
oTteT
C25T
Problema 4 Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la temperatura del aire es de 10°F. Después de medio minuto el termómetro marca 50°F y al minuto marca 36.6°F. Hallar la temperatura inicial de la habitación.
CkteoTT
ktoTT
dtkoTT
dT
oTTkdt
dT
ln
ktCeoTT
aTktCeT
F50Tmin2
1t
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 95
CRECIMIENTO DE POBLACIÓN
“El crecimiento de una población es exponencial”
CktP
tkP
dP
kPdt
dP
Pdt
dP
ln
kt
CKtP
CeP
ee
ln
Problema 1 El crecimiento de las amibas en el organismo del ser humano. A un paciente se le hizo un análisis gastro-intestinal y se determinó una población de 7x106 de amibas. Después de 15 días se repitió el análisis y se determinó que la población de éstas se había triplicado. ¿En que tiempo la población será 5 veces mayor a la inicial?
)0(6
6
107
1070
kCeP
Pt
6107C
15
107
1021ln
)15(107
1021ln
107
1021
1071021
6
6
6
6
)15(
6
6
)15(66
k
k
e
e
k
k
0732.0k
0732.0
6107
61035ln
0732.06107
61035ln
0732.0610761035
tt
t
dias22t
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 96
Problema 2 Cierto día y con un fuerte dolor de cabeza el redactor de un reglamento fue a visitar al médico y los estudios practicados determinaron que las neuronas estaba disminuyendo. La primera prueba indicó que el número de neuronas fue de 1x106. Después de 20 días y de haber aprobado el reglamento, se comprobó que había disminuido el 2% de las neuronas. Determinar el tiempo en el cual sólo quedarían vivas el 60% de ellas.
ktCeP
)0(6
6
101
1010
kCe
neuronasPt
6101C
980000P
neuronaslasde%98Pdías20t2
20
101
980000ln
)20(101
980000ln
101
980000
101980000
6
6
)20(
6
)20(6
k
k
e
e
k
k
31001.1 k
teP31001.16101
5100.6)6.0(1000000
te31001.165 101100.6
t3
6
5
1001.1101
100.6ln
3
6
5
1001.1
101
100.6ln
t
diast 76.505
Problema propuesto
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 97
Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en un instante cualquiera con una rapidez proporcional al número de pobladores en dicho instante. Si la población de una ciudad aumenta en 40 años de 40000 a 90000 habitantes. Encontrar la población al cabo de 60 años.
ktCP
PROBLEMAS DE MEZCLADO EN TANQUES
Problema 1 Un tanque contiene inicialmente 50 galones de agua pura, en el tiempo t=0 entra al tanque una salmuera que contiene 2 lbs de sal disuelta por galón con un gasto volumétrico de 3 gal/min. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación. Una vez uniforme, ésta sale simultáneamente del tanque con la misma rapidez (con el mismo gasto). ¿Qué cantidad de sal se encuentra dentro del tanque después de 25 min?
Nota: que la mezcla sea ideal indica que la concentración dentro del tanque es la misma
Cantidad de sal en cada momento = ENTRADA - SALIDA
SS
EE
CGvS
CGvE
SEdt
dx
min
lbs
650
3
50
36
50min3
2
min3
x
dt
dxx
dt
dx
gal
lbsxgal
gal
lbsgal
dt
dx
GvE = 3 gal/min
CE = 2 lbs/gal
GvS = 3 gal/min CS = x lbs/50 gal
50 gal
H2O
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 98
dttQCx eee
PdtPdtPdt)(
6)t(Q
50
3)t(P
ee
eet
dt
tdt
50
3
50
3
50
3
50
3
0
50
3
50
3
50
3
50
3
50
3
50
3
100
50
3
3
50)6(
ttt
ttt
eeCex
tdeeCex
10050
3
t
Cex
Solución numérica
saldecantidad0x0t
100
1000 50
)0(3
C
Ce
100100 50
3
t
ex
?xmin25t
100100 50
)25(3
ex
lbs68.77x
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 99
Problema 2 Un tanque contiene inicialmente 50 galones de salmuera en donde se han disuelto 10 lbs de sal. Se bombea salmuera dentro del tanque a razón de 5 gal/min, con una concentración de 2 lbs de sal/galón. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación y se descarga simultáneamente a razón de 3 gal/min. ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque después de 60 min?
min
gal2
min
gal3
min
gal5
SE
t2gal50V
10t250
x3
dt
dx
t250
x310
dt
dx
galt250(
lbsx
min
gal3
gal
lbs2
min
gal5
dt
dx
10)t(Q
t250
3)t(P
23250ln250ln
2
3
250
2
2
3
23
250ln250ln2
3
250
2
2
3
250
250
1
23
23
t
t
eeee
eee
ttdtt
ttdtt
GvE = 5 gal/min
CE = 2 lbs/gal
CS = x lbs/(50+2t) gal
50 gal
H2O
10lbs
GvS = 3 gal/min
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 100
t2502
t250
Cx
25
t250
t250
5
t250
Cx
td2t2502
10
t250
1
t250
Cx
23
25
23
23
23
23
23
t4100
t250
Cx
23
lbs10x0t
)0(4100
)0(250
C10
23
31820C
5090C
50
C10010
23
23
t4100
t250
31820x
23
?xmin60t
240100
170
31820x
)60(4100)60(250
31820x
23
23
lbs64.325x
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 101
Problema 3 Un tanque de 100 lts está lleno con salmuera que contiene 60 kg de sal disuelta. Entra agua en el tanque con un gasto de 2 lts/min, y la mezcla que se encuentra uniforme mediante agitación sale a la misma velocidad. ¿Cuanta sal queda en el tanque después de una hora?
0lts100
kgx
min
lts2
dt
dx
0min100
kgx2
dt
dx
min100
kgx2
dt
dx
0)t(Q
100
2)t(P
ee
eetdt
tdt
100
2
100
2
100
2
100
2
tdeeCex
ttt
100
2
100
2
100
2
)0(
100
2t
Cex
kg60x0t
60
60 100
)0(2
C
Ce
H2O
GvE = 2 lts/min
GvS = 2 lts/min CS = x kg/100 lts
100 lts
60 kg
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 102
100
2
60
t
ex
)60(100
2
60
ex
kg07.18x
PROBLEMA 4
En el tanque hay 378 lts de salmuera que contiene 23 kg de sal disuelta entra agua en el tanque a razón de 11.5 lts/min y la mezcla sale en igual cantidad. La concentración dentro del tanque se mantiene uniforme mediante agitación. ¿Qué cantidad de sal queda en el tanque al cabo de una hora? Si a la salida del tanque el gasto volumétrico fuera de 9 lts/min ¿Cuál será la cantidad de sal después de 30 min?
SEdt
dx
0min378
5.11
min378
5.110
378min5.11
min
5.110
kgx
dt
dxkgx
dt
dx
lts
kgxltslts
lt
kg
dt
dx
0)t(Q
378
5.11)t(P
H2O
GvE = 11.5 lts/min
GvS = 11.5 lts/min
378 lts
23 kg sal
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 103
ee
eetdt
tdt
378
5.11
378
5.11
378
5.11
378
5.11
tdeeCex
ttt
378
5.11
378
5.11
378
5.11
)0(
378
5.11 t
Cex
kg3x0t
23C
min60hr1
)60(378
5.11
23
ex
kg70.3x
Problema 5 Examine el esquema y la solución propuesta y proponga un texto para el problema
min
lts5.2
min
lts9
min
lts5.11Gv
SEdt
dx
H2O
GvE = 11.5 lts/min
GvS = 9 lts/min
378 lts
23 kg sal
378
t5.11
23x
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 104
0lt
kg0
min
lts5.11E
0t5.2lt378
kgx
min
lts9S
0t5.2378
x9
dt
dx
0)t(Q
t5.2378
9)t(P
5.29
5.29
5.29
5.29
)5.2378(
)5.2378(
1
5.2378ln5.2378ln5.2
9
5.2378
5.2
5.2
9
5.2378
9
5.2378ln5.2378ln5.2
9
5.2378
5.2
5.2
9
5.2378
9
t
t
eeee
eeee
ttdtt
dtt
ttdtt
dtt
)0(
t5.2378
1
t5.2378
Cx
5.29
5.29
259
)378(2323&0 Ckgxt
101037218284.4 C
5.29
10
)30(5.2378
1037218284.4x
Por lo que
kg98.11x
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Problema 6 Un tanque contiene originalmente 100 galones de agua limpia. En un tiempo t = 0, salmuera que contiene ½ libra de sal por galón, fluye al interior del tanque a una rapidez de 2 galones por minuto y la mezcla homogenizada abandona el tanque con la misma. ¿Qué cantidad de sal hay en 2 minutos
SEdt
dx
150
x2
dt
dx
50
x21
dt
dx
min50
lbx2
gal50
lbx
min
gal2S
min
lb
min
gal2
gal
lb2
1E
dttQCx eee
PdtPdtPdt)(
eeetdtPdt
50
2
50
2
1)t(Q
50
2)t(P
½ lb/ galón
GvE = 2 gal/min
GvS = 2 gal/min CS = x lb/50 gal
100 gal
H2O
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 106
eeetdtPdt
50
2
50
2
ttt
ttt
eeCex
tdeeCex
50
2
50
2
50
2
50
2
50
2
50
2
2
50
2550
2
t
Cex
lb2
1x0t
252
1 )0(50
2
Ce
5.24C
255.24
255.24
)10(50
2
50
2
ex
ext
57.8x
Problema 7 Un gran tanque que está lleno con 100 galones de agua en el cual se disuelven 10 libras de sal, una salmuera que contiene 0.5 libras de sal por galón, se bombea dentro del tanque con una rapidez de 4 galones por minuto. ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque después de 10 min?
t
x
dt
dx
galt
lbxgalgal
gal
lb
dt
dx
2100
43
2100min
4
min
65.0
3t2100
x4
dt
dx
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 107
1)t(Q
t2100
4)t(P
42100ln2100ln42100
42100
4
4
42100ln2100ln42100
42100
4
2100
2100
1
2100
4
4
t
t
t
eeee
eeee
ttt
dtdt
t
ttt
dtdt
t
5
t2100
2
3
t2100
1
t2100
Cx
tdt21002
3
t2100
1
t2100
Cx
5
44
4
44
3.0t2100
t2100
Cx
10
3t2100
t2100
1
t2100
Cx
4
5
44
lb10x0t
0.5 lb/ galón
GvE = 6 gal/min
GvS = 4 gal/min
CS = x lb/(100+2t)gal
100 gal
+
10 lb sal
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 108
30100
C10
3.0)0(2100)0(2100
C10
4
3010100C
2000C
3.0)10(2100
)10(2100
2000x
3.0t2100t2100
2000x
4
4
999.35x
REACCIONES QUÍMICAS
Se basan en la ley de acción de masas.
En un sistema a volumen constante y temperatura constante, la velocidad de una reacción química es proporcional a las masas activas de las sustancias reactantes.; es decir, la velocidad con la cual una reacción se lleva acabo, depende de la cantidad de los reactivos presentes que aún no han reaccionado. La velocidad de reacción es la cantidad de materia que esta siendo transformada por unidad de tiempo, por unidad de volumen de reacción.
Reacción unimolecular
KtCAKAdt
dA
productosA
CktAdtkA
dAkdt
A
dA
kAdt
dAkA
dt
dA
dt
odA
dt
dP
AoAP
baPproductosbBaA
ln
)(
ktCeADkteAeln
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COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 109
Problema 1 Supóngase que una reacción química se desarrollo de acuerdo a la ley anterior. La mitad de la sustancia A, ha reaccionado al finalizar 10 seg. Encuéntrese ¿En cuanto tiempo se transforman 9/10 de la sustancia?
ktCeA
0AA0t
0
)0(
AC
CeA ko
Kt0AA
0A2
1Aseg10t Condiciones finales
)10(
)10(
0
0
)10(00
2
1
2
1
2
1
k
k
k
e
eA
A
eAA
segk
k
e k
10
2
1ln
102
1ln
ln2
1ln 10
10693.0 segk
teAA 0693.00
teAA 0693.000
10
1
1seg0693.0
10
1ln
t
ECUACIONES DIFERENCIALES E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.
COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS Página 110
segt 22.33
Problema 2 La sustancia química A se transforma en otra sustancia B. la velocidad de formación B varia en forma directamente proporcional a la cantidad de A presente en cada instante. Si inicialmente se hallan presentes 10 kg de A y en una hora 3 kg se han formado de B. ¿Qué cantidad de B se ha formado después de 2.5 hrs?
ktCeA
10100 CAt
k
e k
10
7ln
107 )1(
3566.0k
)5.2(3566.0
3566.0
10
10
eB
eB t
9.5B