Post on 04-Jan-2016
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La transformada de Laplace
𝐹 (𝑠 )=𝐿 ¿
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Sea una función definida t ≥ 0 la Transformada de Laplace se denotada o
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
Observaciones:
Se obtiene una función que depende de la variable .
La transformada existe cuando la integral es converge.
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Ejemplos.- Hallar la transformada de:
1.− 𝑓 (𝑡 )=1 ⇒ 𝐿 [1 ]=1𝑠
2 .− 𝑓 (𝑡 )=𝑒𝑎𝑡 ⇒ 𝐿 [𝑒𝑎𝑡 ]= 1𝑠−𝑎
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TEOREMA 1.- Sean las funciones y con transformadas de Laplace y respectivamente, y constantes entonces
𝐿¿
Ejemplos: Hallar la transformada de:
1 .− 𝑓 (𝑡 )= h𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡⇒ 𝐿 [ h𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 ]= 𝑠𝑠2−𝑎2
2 .− 𝑓 (𝑡 )= h𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡⇒ 𝐿 [ h𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 ]= 𝑎𝑠2−𝑎2
5
y
⇒𝐿 [𝑠𝑒𝑛𝑤𝑡 ]= 𝑤𝑠2+𝑤2
y
𝐿 [𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 ]= 𝑠𝑠2+𝑤2
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4.- Calcula la transformada de
unción Gamma
Γ (𝛼 )=0
∞
𝑒−𝑥𝑥𝛼−1𝑑𝑥
PropiedadΓ (α+1 )=𝛼 Γ (α )
Si
⇒ Γ (𝑛+1 )=𝑛 !
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Si ⇒ 𝐿 [𝑡𝑎 ]= Γ (𝑎+1)𝑠𝑎+1
Observación:
𝑎≥0
Si ⇒ 𝐿 [𝑡𝑎 ]= 𝑎!𝑠𝑎+1
Ejemplohallar
1.-
2.-
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Transformada de Laplace inversa
Se lee transformada de Laplace inversa
Ejemplos
1.-
2.-
3.- +
9
Teorema.- si entonces
PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
En consecuencia si se conoce la transformada de , se obtiene la transformada de haciendo una translación sobre el eje s
10
Ejemplo: obtener
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
LUEGO SE OBTIENEN LOS SIGUIENTES RESULTADOS
11
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
12
Si la transformada de Laplace de existe entonces ¿
Luego )
)
En general
)
13
Ejemplo: obtener
1.-
2.-
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN
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Si entonces:
𝐿 [0
𝑡
𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 ]=¿¿
Tomando transformada inversa se obtiene:
=
Se aplica cuando se tiene en el denominador
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Ejemplo: Halle
1.-
2.-
En General
𝐿−1 ¿
TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Si entonces
𝑑𝑑𝑠
𝐹 (𝑠 )=−𝐿 [𝑡𝑓 (𝑡)]
Ejemplo: Halle
1.-
2.- 𝐿¿
3.-
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TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Si y además lim𝑡→ 0
¿ existe entonces
𝐿¿Ejemplo: Halle
1.-
2.-
3.-
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APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANSTES
Ejemplo: Usando el método de transformada de Laplace resolver las siguiente ecuaciones diferenciales
1.-
2 .- ;
2.-
3 .- ;
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APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES NO CONSTANSTES
Ejemplo: Usando el método de transformada de Laplace resolver las siguiente ecuaciones diferenciales
1.-
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
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Definición:
Nota: Es la misma función escalón unitaria pero desplazada hacia la derecha a unidades, el subíndice indica donde se desplaza
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𝐿 [𝜇𝑎(𝑡)]=𝑒−𝑎𝑠
𝑠
Se obtiene
22
Teorema.- si , entonces
SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN
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Nota: el teorema se usa para obtener transformada inversa
Ejemplos: Hallar
1.-
2.-
3.-
CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES
Dados y funciones, la convolución y se denota
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y se define:
( 𝑓 ∗𝑔)(𝑡)=0
𝑡
¿¿
Propiedades:
1.− 𝑓 ∗𝑔=𝑔∗ 𝑓
2 .− 𝑓 ∗ (𝑔+h )= 𝑓 ∗𝑔+ 𝑓 ∗h
3 .− ( 𝑓 ∗𝑔)∗h= 𝑓 ∗(𝑔∗h)
4 .− 𝑓 ∗0=0∗ 𝑓 =0
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¿y su equivalente
𝐿 [ ( 𝑓 ∗𝑔)(𝑡) ]=𝐹 (𝑠)𝐺 (𝑠)
TEOREMA: Dados y dos funciones, cuyas transformadas de Laplace son y respectivamente entonces
Ejemplo: Hallar
1.-
2.-
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Resolver la ecuación integro-diferencial:
1.−𝑑𝑑𝑡 [𝑥 (𝑡)−4
0
𝑡
(𝑡−𝑠¿𝑥(𝑠)𝑑𝑠 ]=𝑒𝑡 ; 𝑥 (0)=1
2 .−𝑦 ′ (𝑡 )+𝑦 (𝑡 )−0
𝑡
𝑦 (θ )𝑠𝑒𝑛 (𝑡−𝜃 )𝑑𝜃=−𝑠𝑒𝑛𝑦 ; y (0)=1