Post on 01-Nov-2014
FACULTAD DE INGENIERIA
Formulario de Probabilidad Y Estadística
Nombre: ……………………………………………..
Curso: ………………………………………………..
CAPÍTULO 1
1.1 DISTRIBUCIÓN NORMALSu función densidad es:
Tipificación de Variables z= x−µσ
σ=√npq Desviación típica µ=np media
1.2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVASu función de probabilidad es:
f x (x ; p , r )=(x−1r−1 )(1−p)x−r∗pr
Para enteros x mayores o iguales que r, donde:
(x−1r−1)= ( x−1 )!(r−1 )! ( x−r )!
Su media es:
μ=r∗(1−p)
pSi se cuentan también los r - 1 éxitos. Su varianza en ambos casos es:
σ 2=r∗(1−p)
p2
1.3 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICASi la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es:
Media aritmética
Probabilidad y Estadística Página 1
FACULTAD DE INGENIERIA
1.4 DISTRIBUCIÓN GAMMA
Su función de densidad es de la forma:
Que verifica Γ (α + 1) = αΓ (α), con lo que, si α es un número entero positivo, Γ (α + 1) = α!Su esperanza es α β.Su varianza es α β 2
1.4 DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO
x2=(n−1)(σ2)
σ2
Probabilidad y Estadística Página 2
FACULTAD DE INGENIERIA
CAPITULO 2 PRUEBAS ESTADÍSTICAS
2.2. PRUEBAS DE CHI-CUADRADO
X c2=∑
i=1
k (O i−Ei )2
Ei
H o serechazaría si P≤∝
Grados de libertad
GL=k−p−1 k esel número de intervalospesel número de parámetrosempleados
H o se rechazasi secumple la siguiente desigualdad
X o2>X∝ ,k−p−1
2
2.2 KOLMOGOROV-SMIRNOV
2.2.2.1 Procedimiento para datos simples:
D+¿=max{ in−r i},1<i<n¿
D−¿=max{ri− i−1
n },1<i<n¿
D=max ¿
Probabilidad y Estadística Página 3
FACULTAD DE INGENIERIA
D=∥F t−Fobs∥
Se rechaza si D>=α
Probabilidad y Estadística Página 4
FACULTAD DE INGENIERIA
CPITULO 3 DISTRIBUCIONES EXTREMAS
Si “p” es la probabilidad de que una variable x supere un dado valor “X” en un cierto lapso de tiempo.
Periodo de recurrencia. Si ∅ (x) es la función de distribución, resulta que:
p=1−∅ (x)
La probabilidad de que el evento, ocurra al menos una vez en n años
sucesivos, es conocida como riesgo o falla R, y se representa por:
Capítulo 4 Ajuste De Curvas
4.2.1. Regresión Lineal Simple
Donde β0 es la intersección o término "constante", las Bi(i>0) son los parámetros
respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión.
β1 es la pendiente de la recta
εi Es el error, los valores de j se toman según la cantidad de datos
4.2.2. Mínimos Cuadrados
Probabilidad y Estadística Página 5
FACULTAD DE INGENIERIA
Error del modelo:
A partir de la función L(β0 , β1). Podemos llegar a las siguientes formulas:
Donde el numerador es Sxy
El denominador es Sxx
Varianza
Error
Intervalos de Confianza
Prueba t.
Probabilidad y Estadística Página 6
FACULTAD DE INGENIERIA
Donde H 0, se acepta si:
|t 0|≤t α2,n−2
Constante β0,0.
H 0 : β0=β0,0 H 1: β0≠ β0,0
Donde H 0, se acepta si:
|t 0|≤t α2,n−2
Tabla Distribución T
Método de momentos
Probabilidad y Estadística Página 7
FACULTAD DE INGENIERIA
4.3 ESTIMACION DE PARAMETROS
Dada una variable aleatoria X se define su momento de orden k como αk= E(Xk).
4.4 Método De Máxima Verosimilitud
La función de Verosimilitud es:
α= ϴ máxima verosimilitud
Probabilidad y Estadística Página 8
FACULTAD DE INGENIERIA
CAPITULO 5. REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA
5.3.4 Correlación Lineal:
5.4.1 Regresión Lineal Simple:
y = a + bx + E
Método de Mínimos Cuadrados:
Error Estándar en la Estimación:
Coeficiente de determinación: Mide la proporción del cambio de y en relación al cambio de x:
5.4.2 Regresión Lineal Múltiple:
Probabilidad y Estadística Página 9
FACULTAD DE INGENIERIA
X ₂₁ +X ₂₂ +X ₂₃+……X ₂n =
Media:
Ecuaciones y Planos de Regresión:Y= a+ b₁X₁ + b₂X₂
∑ Y = aN + b₁∑ X ₁ + b₂∑ X ₂
∑ Y X ₁ = a∑ X ₁ + b₁∑X₁² + b₂∑ X ₁ X₂
∑ Y X ₂ = a∑ X₂ + b₁∑ X ₁ X₂ + b₂∑X₂²
Error típico de Estimación:
Coeficiente de Correlación Múltiple:
5.5 REGRESIÓN NO LINEAL
5.5.3 Regresión Cuadrática
Capítulo 6 Distribuciones para Variables Extremas
DISTRIBUCIONES TEÓRICAS
Probabilidad y Estadística Página 10
b=B=−1 ,194×10−4B=n∑ xi y i−∑ xi∑ y i
n∑ x i2−(∑ xi)
2=5×102985 ,5−3,6×10
4×18 ,728465×5 ,26×108−(3,6×104 )2
=−1 ,194×10−4
A=∑ yi−b∑ x i
n=18 ,72846−(−1 ,194×10−4×3,6×104 )
5=4 ,58933 a=eA=e4 ,58933=98 ,4≈100
y=aebx
%C 14=aebt
y=β0+β1 x+β2 x2+e
FACULTAD DE INGENIERIA
6.2 DISTRIBUCIÓN GUMBEL
Función de densidad
En donde a y b son los parámetros de la distribución.
Estimación de parámetros
Factor de frecuencia:
Donde Tr es el periodo de retorno.
6.2.4 Limites de confianza
Xt ± t(1-a) Se
Donde KT es el factor de frecuencia y t(1-a) es la variable normal estandarizada para una probabilidad de no excedencia de 1-a.
6.3 DISTRIBUCIÓN FRECHET
Probabilidad y Estadística Página 11
FACULTAD DE INGENIERIA
6.4 DISTRIBUCIÓN DE GALTON (LOGNORMAL)
α y β, que son la media y la desviación estándar de los logaritmos de la variable aleatoria.
Para grandes períodos de retorno
Siendo C, una constante arbitraria. 6.4.1 Tipificación de la variable
6.5. Distribución de Galton
Para grandes valores de retorno =
6.5.1. Parámetros estadísticos
Probabilidad y Estadística Página 12
FACULTAD DE INGENIERIA
Coeficiente de variación:
6.5.2. Recta de ajuste
6.5.3. Intervalos de confianza
CAPITULO 7 DISTRIBUCIÓN LOG-PEARSON
Su función de frecuencia es la siguiente:
Para:
Los coeficientes están definidos por:
Probabilidad y Estadística Página 13
FACULTAD DE INGENIERIA
C s=n∑i=1
n
( x−x )3
(n−1 )(n−2)∗s3
RECTA DE AJUSTE:
fórmula de Chow, transformada logarítmicamente:
(a)
Los coeficientes representan el valor medio y la deviación estándar del logarítmico de los datos.
El factor de frecuencia k es función del período de retorno
INTERVALOS DE CONFIANZA:
Puede definirse como:
Xt ± t(1-a) * Se
Donde:
Probabilidad y Estadística Página 14
FACULTAD DE INGENIERIA
Se=1,96S y
√n
Donde Sy es la desviación estándar
Donde µ representa la media de los valores.
PRUEBAS DE HIPOTESIS:
Probabilidad y Estadística Página 15