8. Distribuciones continuas 1. Transformaciones de variables aleatorias Densidad Distribución...

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8. Distribuciones continuas

1

Transformaciones de variables aleatorias

restoelen

xxxf

0

112/3)(

2

11

11

)1(2/1

10

)( 3

x

x

x

x

xF

2/)()(

2)(

2)(

1 yywyux

xxuy

XXuY

Densidad

Distribución

Transformación o cambio de variable aleatoria

¿Cuál será la función de densidad de probabilidad transformada g(y)?

2

21

)2/(21

)2/(')(')(

)2/()2/()2()()(

yfyFyGyg

yFyXPyXPyYPyG

restoelen

yyyg

0

2216/3)(

2

22

21

]1)2/[(2/1

20

)( 3

y

y

y

y

yG

3

Probemos ahora con una transformación que no sea biyectiva, como:

yywyux

xxuy

XXuY

)()(

)(

)(

1

2

2

yyf

yyf

yyF

yyFyGyg

yFyF

yXyPyXPyYPyG

2

1)(

2

1)(

2

1)('

2

1)(')(')(

)()(

)()()()( 2

4

restoelen

yyyg

0

102/3)(

10

11

00

)(

y

y

yy

y

yG

5

Distribución log-normal Log-N(,)Se trata de la densidad de probabilidad de una variable log x distribuida según una función normal:

XeYNX ),(

yyf

yyFyGyg

yFyXPyePyYPyG X

1)(log

1)(log')(')(

)(log)log()()()(

0;2

)(logexp

1

2

1)( 2

2

yy

yyg

6

7

8

9

Distribución exponencial Exp ()

La distribución exponencial es el equivalente continuo de

la distribución geométrica discreta. Que recordemos era:

...,,,xppxXPpG x 210 ,1)()(

Describe procesos en los que nos interesa saber el

tiempo hasta que ocurre un determinado evento,

sabiendo que el tiempo que puede transcurrir desde

cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un

instante tf, no depende del tiempo transcurrido

anteriormente. 10

Distribución exponencial Exp ()

Ejemplos de este tipo de

distribuciones son: el tiempo que

tarda una partícula radiactiva

en desintegrarse (datación de

fósiles o cualquier materia

orgánica mediante la técnica del

carbono 14) o el tiempo que

puede transcurrir en un servicio

de urgencias, para la llegada de

un paciente.

11

Distribución exponencial Exp ()En un proceso de Poisson donde

se repite sucesivamente un

experimento a intervalos de

tiempo iguales, el tiempo que

transcurre entre la ocurrencia de

dos "sucesos raros" consecutivos

sigue un modelo probabilístico

exponencial. Por ejemplo, el

tiempo que transcurre entre que

sufrimos dos veces una herida

importante (o una coz de burro,

recuerda...) 12

0 ,0 para )( xexf x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

)(

0

0

x

x

e

dxedxxf

Distribución exponencial Exp ()

1

0

dxex xVida media

13

xxtx t eedte 100

Distribución exponencial Exp ()

0,0

0,1)(

x

xexF

x

14

15

16

Tippex de Powerpoint

17

18

20

21

22

23

En instalaciones o aparatos con posibilidad de accidentes graves: centrales nucleares, aviones, coches,... es imprescindible conocer la probabilidad de que éstos acontezcan durante la vida del sistema.

Fiabilidad

25

Definimos la variable aleatoria:

T = tiempo durante el que el elemento funciona satisfactoriamente antes de que se produzca un fallo.

La probabilidad de que el elemento proporcione unos resultados satisfactorios en el momento t se puede definir como la fiabilidad o confiabilidad:

R(t) = P(T > t)

Fiabilidad

26

La infiabilidad Q(t) es la probabilidad de que ocurra un fallo antes del instante t: Q(t) = F(t) = 1 - R(t)

Sea λ(t) la tasa de fallos o averías por unidad de tiempo. Supongamos que un elemento funciona en el instante t. La probabilidad condicional de que se produzca una avería entre el momento t y el t + dt puede escribirse:

)(

)(

)();(

)(

)(

)(

1

)()()(

)(

1

)()(

)()(

)(

)()()|(

ttd

tRLndt

td

tdR

tR

tt

ttRtR

tR

tttR

ttRtR

tR

tQttQtTttTtP

tdttExptR

0)()(

27

La curva de la bañeraCurva típica de evolución de la tasa de fallos

Existencia inicial de dispositivos defectuosos o instalados indebidamente con una tasa de fallos superior a la normal.

Esta tasa de fallos elevada va disminuyendo con el tiempo hasta alcanzar un valor casi constante.

Fallos normales o aleatorios. El comportamiento de la tasa es constante durante esta etapa y los fallos son debidos a las propias condiciones normales de trabajo de los dispositivos o a solicitaciones ocasionales superiores a las normales.

La tercera etapa de fallos de desgaste es debida a la superación de la vida prevista delcomponente cuando empiezan a aparecer fallos de degradación como consecuencia del desgaste. Se caracteriza por un aumento rápido de la tasa de fallos.

28

Si la tasa de fallos o averías por unidad de tiempo es constante: λ(t) = λ, tendremos que la fiabilidad es:

tdttExptR

0)()(

)()()(0

tExpdttExptRt

una densidad de probabilidad exponencial.Esta fórmula de fiabilidad se aplica a todos los dispositivos que han sufrido un rodaje apropiado que permita excluir los fallos iniciales, y que no estén afectados aún por el desgaste (la zona plana de la bañera).

29

En 1951 Weibull propuso que la expresión empírica más simple capaz de ajustar a una gran variedad de datos reales:

tdttExptR

0)()(

00

0)()(

ttExptR

ttdtt

t

0

1

0

0

)(

1)(

ttExp

tttf

ttExptF

0

1

tty

r

30

Distribución de Weibull W(r, )

rXYExpX /1)(

11

/1

)()(')(')(

)()()()()(

rr

Xrr

XYY

rX

rrY

ryyfryyFyGyg

yFyXPyXPyYPyG

0;)( 1 yeryygryr

31

Función generatriz de momentos

dxxfeeEtg

xXPeeEtg

txtX

ii

txtX i

)(][)(

)(][)(

...!3!2

1

)(...!3!2

1][)(

3

3

2

2

1

33

22

mt

mt

tm

dxxfxt

xt

txeEtg tX

0

)(

t

k

k

k dttgd

m

Discreta

Continua

32

Función característica

dxxfeeEt

xXPeeEt

itxitX

ii

itxitX i

)(][)(

)(][)(

Observemos que:

dttexf itx )(21

)(

a partir de la anti-transformada de Fourier de la función característica obtenemos la densidad de probabilidad.

33

Desarrollando en Taylor la función característica alrededor de t = 0:

...!

...!2

1)( 22

2

1 kk

k

tmki

tmi

timt

...!

)0(...

!2)0(''

)0(')0()()(

2 kk

tk

ttt

kkkk

k

kitXkk

k

k

itX

itX

itX

miXiEdtd

eXiEdttd

miXiEeXiEt

imiXEiXeEt

eEt

][)0(

][)(

...

][)0(''][)(''

][)0('][)('

1)0(][)(

222222

1

0

)(1

t

k

k

kk dttd

im

34

ite

itdxe

dxeedxxfeeEt

xitxit

xitxitxitX

0

)(

0

)(

)(][)(

1)0('][

)0('

)()(' 2

iXE

i

iti

t

222222

222

2

2

3

2

112])[(][

2)0(''][

2)0(''

)(2

)(''

XEXE

iXE

i

iti

t

Calculemos la esperanza y la varianza de la distribución exponencial.

35

Sean {X1, X2, ... , XN } n variables aleatorias independientes

con funciones características {1(t), 2(t), ... , N(t) }, e

Y = X1+ X2+ ... + XN.

Entonces:

n

iiY tt

1

)()(

Ejemplo:

Sean X1 = Exp(), X2 = Exp() ... , Xn = Exp() n variables aleatorias independientes. ¿Cómo se distribuye Y = X1+ X2+ ... + Xn?

nn

kY

k

ititt

nkit

t

1

)(

...,,2,1;)(

36

Distribución de Erlang Er(n, )

00,;)(

)( 1

xnexn

xf xnn

n

n

nun

n

n

unn

xitnn

xnn

itxitxitX

itn

itndueu

itn

duit

eit

u

ndxex

n

dxexn

edxxfeeEt

)()(

1

)()(

1

)(

1

)()(

)()(][)(

0

1

0

1

0

)(1

1

37

40

41

42

43

44