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Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Introduccin
Conceptos bsicos, medidas de tendencia central y de dispersin,
probabilidades.
Hablar del mundo de la administracin de los negocios, de la gerencia de las
empresas de produccin de bienes y servicios, o de comercializacin de productos,
es conversar de actividades que generan una gran cantidad de datos estadsticos,
tanto cualitativos como cuantitativos, los cuales deben ser cuidadosamente
coleccionados y ordenados para ser tratados estadsticamente, a fin de generar
informacin valiosa y oportuna para la toma de decisiones.
Cualquier emprendimiento debe sustentarse en un estudio estadstico que permita
evaluar el riesgo.
La descripcin de datos comprende el estudio de: las medidas de ubicacin o de
tendencia central y las medidas de dispersin, lo que conduce a la
comprensin de la forma como estn distribuidos los datos provenientes de una
investigacin, sean estos, datos sin agrupar (datos a granel) o agrupados en una
distribucin de frecuencias.
Las medidas de tendencia central que se estudiarn son: media, mediana y moda;
y las medidas de dispersin: rango, desviacin media y desviacin estndar.
Las medidas de ubicacin o de tendencia central sealan el centro de la
distribucin de los datos, mientras que las medidas de dispersin indican cuan
concentrados o dispersos se encuentran los datos con respecto a un valor central.
Por ejemplo la desviacin estndar nos da la medida de la dispersin respecto de la
media aritmtica, comnmente conocida como media.
La descripcin de datos tambin comprende su presentacin grfica y su
anlisis. Una de las tcnicas estadsticas para representar un conjunto de datos es
el diagrama de tallo y hojas. La descripcin de los datos se complementa con el
clculo de los cuartiles, deciles y percentiles; la elaboracin de los diagramas de
caja y determinacin del sesgo o asimetra de la distribucin de los datos.
El estudio de la probabilidad permite a la estadstica realizar anlisis predictivos
de eventos o situaciones que pueden darse en el futuro, y que podran afectar no
solo el desenvolvimiento de las empresas, sino su supervivencia misma.
Asesora didctica
En la gua de este parcial debe realizar cuatro actividades de aprendizaje.
Para resolver las Actividades de Aprendizaje, inicie su estudio leyendo el
captulo I, Introduccin, pg. 1-6. Del texto gua Estadstica para Administracin y
Economa de Levin, Richard I. y Rubin, David S.
Esto le permitir conocer cules son los objetivos del curso, algo sobre la historia
de la estadstica, su divisin y las caractersticas del texto gua, para que sepa
cmo usarlo.
Es recomendable que destine un cuaderno de trabajo, en el cual usted ir
desarrollando y resolviendo los ejercicios de su gua y tambin los problemas de
autoevaluacin.
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Parcial de estudio: Primero
Del captulo 2, estudie 2.1. Cmo podemos ordenar datos? pp. 8-10. Este
tema permite tener una idea clara sobre las precauciones que debe tener presente
en la recoleccin de datos para un estudio estadstico.
Lea con atencin los ejercicios que se exponen en 2.2. Ejemplos de datos sin
procesar, a continuacin, en su cuaderno de trabajo realice las aplicaciones del
ejercicio 2.2. p. 12., de su texto gua.
Estudie 2.3. Ordenamiento de datos en arreglos de datos y distribuciones de
frecuencias, pp. 12-16, inmediatamente en su cuaderno de trabajo realice los
ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 2.3. p. 16, cuyas soluciones las puede ver
en la p. 19.
Luego de comprender toda la temtica expuesta, podr resolver los ejercicios de la
Actividad de Aprendizaje 1.
Para desarrollar la actividad de aprendizaje 1.1.
Clasificacin de la estadstica, tipos de variables y niveles de medicin.
En este cuadro se presenta un breve resumen sobre la clasificacin de la
estadstica, los tipos de variables y sus niveles de medicin.
Tipos de estadstica
Estadstica descriptiva.
Estadstica inferencial.
Tipos de variables
Cualitativas.
Cuantitativas.
Discretas.
Continuas.
Niveles o escalas de medicin.
De las variables cualitativas.
Nominal.
Ordinal.
De las variables cuantitativas.
De intervalo.
De razn.
Para complementar el estudio de estos temas, lea la siguiente pgina Web:
http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/insIntrod2.htm
Representaciones grficas de datos cualitativos. Los datos cualitativos se
organizan en tablas de frecuencias. Este tema no se encuentra en el texto gua,
pero es importante que lo sepa, por lo que tendr que buscar informacin en otros
textos o en Internet.
Grfica o diagrama de barras. Conjunto de barras separadas que se usa para
representar datos sobre todo cualitativos, que se han resumido en una tabla de
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frecuencias absolutas, relativas o porcentuales. En el eje horizontal se representan
las categoras y en el eje vertical las frecuencias.
Grfica o diagrama de pastel o de tarta. Grfica circular que se usa para
mostrar datos cualitativos de nivel nominal, donde a cada categora le corresponde
un sector circular de rea proporcional a su frecuencia o porcentaje. La suma de
los sectores debe dar 100%. Estas grficas se hacen fcilmente usando el Excel.
Para ampliar sus conocimientos sobre este tema, lea la siguiente pgina Web:
http://www.fisterra.com/mbe/investiga/graficos/graficos.asp
Para resolver la actividad de aprendizaje 1.2.
Estudie 2.4. Construccin de una distribucin de frecuencias, pp. 20-22 de
su texto gua; lea sugerencias y suposiciones en el encabezado de la p. 25 y
luego realice la autoevaluacin ejercicios 2-4, p. 25, cuyas soluciones se
encuentran en la pg. 29.
En el texto se dice que en las aplicaciones de la vida real, donde se manejan
grandes volmenes de datos, para construir las distribuciones de frecuencias se
usan paquetes computacionales. Usted tambin lo puede hacer; sin embargo
conviene que los ejercicios de la gua lo haga a mano, toda vez que de esta forma
se estar preparando para las pruebas.
Estudie 2.5. Representacin grfica de distribuciones de frecuencias, pp.
29-34, aqu se explica lo que es y cmo se construye un histograma, un polgono
de frecuencias y una ojiva o polgono de frecuencias acumuladas. Ver figuras 2-7,
2-8, 2-9, 2-11 y 2-12, pp. 30, 31 y 33.
En la p. 34, se muestra la figura 2-13, en la que se explica la forma como se lee
informacin en la ojiva o menos.
En su cuaderno de trabajo, realice los ejercicios de de autoevaluacin de ejercicios
2.5, p.38, cuyas soluciones se encuentran en la p. 41.
En la p. 42, lea el artculo: estadstica en el trabajo
En la p. 45, lea el tema: repaso del captulo, donde se hallan las definiciones de los
trminos introducidos en el captulo 2.
Como elaborar una distribucin de frecuencias:
El texto gua no profundiza mayormente en este tema, por esta razn aqu se
detallan los pasos para construir una distribucin de frecuencias.
Para el efecto, supongamos que se tiene una muestra de 34 calificaciones de la
asignatura de Estadstica Descriptiva, en la que la calificacin ms baja fuese 8 y la
ms alta 38 sobre 40 puntos.
Siga los siguientes pasos:
1. Determinar el nmero K de clases.
Algunos autores recomiendan el uso de frmulas que dependen del tamao de la
muestra (nmero n de datos). Una de estas frmulas establece que: nk2 , donde
k es el nmero de clases. En el ejemplo n = 34 observaciones: 3426 , entonces se tiene k = 6 es la cantidad ptima de clases.
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2. Determinar el ancho del intervalo o amplitud de clase (i).
Para ello se puede usar la frmula:
K
LHi
Donde H es el dato mayor, L el dato ms pequeo. (H L) es el rango.
En este caso: L = 8, H = 38 y k = 6, entonces: 0.56
838i .
Si sale un valor exacto un entero con decimales, se debe escoger un nmero
mayor.
3. Calcular los lmites de cada clase.
En este curso trabajaremos con intervalos semiabiertos, en los que el lmite
superior del intervalo no forma parte de l, sino que se incluye en el intervalo de la
clase que le sigue.
En el ejemplo se han elegido los siguientes lmites para las clases: [7, 12), [12,
17), [17, 22), [22, 27), [27, 32), [32, 40), con lo que la distribucin queda ms o
menos centrada.
( 7 es 1 unidades menor que el dato ms pequeo y 40 es 2 unidades mayor que el
dato ms grande)
4. Determinar las frecuencias.
Se contabiliza el nmero de elementos de cada clase. Para evitar errores de conteo,
se debe ordenar los datos de menor a mayor en un arreglo, esto puede hacer
usando Excel, si lo hace manualmente, use la tcnica de tallo y hojas.
Para resolver la actividad de aprendizaje No 1.3. Que se refiere al tema:
Medidas de tendencia central.
Estudie 3.1. Estadstica sumaria, pp. 58-60 de su texto gua. Estadstica para
Administracin Y Economa de Levin, Richard I. y Rubin, David S. El tema inicia
dando una idea de lo que es tendencia central, dispersin, sesgo y curtosis.
Estudie 3.2. Una medida de tendencia central: La media aritmtica, pp. 60-
65, aqu aprender a diferenciar entre estadsticos y parmetros, a calcular la
media aritmtica de una poblacin y la media aritmtica de una muestra de datos
no agrupados.
Tambin aprender a calcular la media aritmtica de datos agrupados en una
distribucin de frecuencias. Tenga presente que en este caso intervienen las
frecuencias y los puntos medios o marcas de clase. Adems conocer cuales son las
ventajas y desventajas de la media aritmtica.
Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.2, cuyas solucionas las
encuentra en la pg. 69.
Estudie 3.3. Una segunda medida de tendencia central: La media
ponderada, pp. 69-71; analice los ejemplos y la explicacin, resuelva los
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ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.3, p. 72, cuyas soluciones se hallan en
las pginas 73-74.
Estudie 3.5. Una cuarta medida de tendencia central: La mediana, pp. 77-81,
aqu aprender a calcular la mediana de datos no agrupados y de datos agrupados.
Para calcular la mediana de datos agrupados use la frmula [3-8] ver p. 80.
Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.5, p. 81. Cuyas soluciones
las encuentra en la p. 83.
Estudie 3.6. Una medida final de tendencia central: La moda, pp. 84-86; aqu
aprender a calcular la moda de datos no agrupados y agrupados. Lea tambin las
ventajas y desventajas de la moda y la comparacin de la media, mediana y moda.
Advertencia, en la figura 3-8 (b), p. 86 hay que corregir, intercambie los nombres
de la media y la moda. Luego resuelva ejercicios de autoevaluacin de ejercicios
3.6, p. 87, sus soluciones se hallan en la p. 89.
Referencia rpida de contenidos y frmulas para el desarrollo de la
actividad de aprendizaje.
Medidas de tendencia central de datos no agrupados
Media
Media poblacional N
x
Media muestral n
xx
Media ponderada w
wxxw los w son los pesos
Mediana Para encontrar la mediana de datos no agrupados, primero hay que ordenar los datos:
Si el nmero de datos es impar, la mediana es el dato central.
Si el nmero de datos es par, la mediana es la semisuma de los dos
datos Centrales. Moda Es el valor ms frecuente de los datos. Puede haber ms de una moda.
Medidas de tendencia central de datos agrupados Media aritmtica
n
Xfx
Frmula en la que:
X = punto medio o marca de clase. f = frecuencia
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Mediana
)(2 wf
Fan
LMedianam
m
Donde:
mL
= lmite inferior de la clase de la mediana
Fa = frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase de la mediana.
mf
= frecuencia de la clase que contiene a la mediana Moda Se la puede aproximar por el punto medio de la clase modal.
Un valor ms preciso se obtiene aplicando la siguiente frmula:
wdd
dLmoModa
21
1
Donde:
Lmo = lmite inferior de la clase modal
1d
= (frecuencia de la clase modal) (frecuencia de la clase que le antecede)
2d
= (frecuencia de la clase modal) - (frecuencia de la clase que le sigue)
w = es el ancho del intervalo de clase.
Para resolver la actividad de aprendizaje No 1.4. Que se refiere a las medidas
de dispersin:
Estudie 3.7. Dispersin. Por qu es importante. pp. 89-90; aqu comprender
la importancia de determinar la dispersin o variabilidad de los datos, su uso en el
anlisis financiero y en control de calidad.
Estudie 3.8. Rangos. Medidas de dispersin tiles. pp. 91-93, aqu aprender
a calcular las tres medidas, llamadas medidas de distancia, estas son: rango, rango
interfractil y rango intercuartil. Realice los ejercicios de autoevaluacin de
ejercicios 3.8, p. 94 sus soluciones se hallan en la p. 95.
Estudie 3.9. Dispersin. Medidas de dispersin promedio. pp. 96-103, aqu
aprender a calcular la varianza y la desviacin estndar de una poblacin y de una
muestra, para datos no agrupados y para datos agrupados. Se dar cuenta que en
uno y otro caso, las frmulas que se usan son diferentes.
Revise con atencin los dos ejemplos desarrollados en las pp. 101 y 102 y resuelva
los dos ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.9, pp. 103-104.
Estudie 3.10. Dispersin relativa: El coeficiente de variacin. pp. 107-108,
aqu aprender a comparar la dispersin de las distribuciones de datos usando el
coeficiente de variacin.
Realice los ejercicios de autoevaluacin de ejercicios 3.10. p. 108, sus soluciones se
encuentran en la p. 112.
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Estudie 3.11. Anlisis exploratorio de datos (AED), pp. 112-113, aqu se
explica una tcnica til en el anlisis exploratorio de datos, que consiste en la
elaboracin del diagrama de tallo y hoja, lea cules son sus ventajas y revise con
atencin el ejemplo que se expone en la p. 113.
Como preparacin para la primera evaluacin, lea repaso del captulo, pp. 118-
119:
Aqu se dan las frmulas para calcular las medidas de dispersin
Medidas de dispersin o variabilidad para datos no agrupados:
Rango = valor ms grande valor ms pequeo (Rango = H L )
Varianza
Varianza poblacional: N
x2
2
Varianza muestral: 1
2
2
n
xxs o
1
22
2
n
xnxs
La segunda frmula de la varianza muestral es una frmula directa, esta exige un menor nmero de operaciones de clculo, por lo que recomiendo su uso.
Desviacin estndar, es la raz cuadrada de la varianza.
Desviacin estndar poblacional 2
22
N
x
N
x
Desviacin estndar muestral 11
222
n
xnx
n
xxs
En general se trabaja con la desviacin estndar de la muestra, a no ser que se indique lo
contrario. Medidas de dispersin o variabilidad para datos agrupados:
Amplitud de variacin o rango
AV = lmite superior de la clase ms alta lmite inferior de la clase ms baja.
Desviacin estndar
11
222
n
xnXf
n
xXfs
Donde:
X = punto medio o marca de clase. f = frecuencia.
x = media aritmtica. Observacin
Las frmulas de las medidas de dispersin de datos agrupados son diferentes de las que se emplean con datos sin agrupar.
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Dispersin relativa Coeficiente de variacin
De la poblacin: )100(vC
De la muestra: )100(x
svC
Coeficiente de asimetra o sesgo, denominado coeficiente de Pearson.
s
MedianaMediaCA
)(3
Cuartiles, deciles y centiles:
Para calcular la posicin de un cuartil, decil o percentil se usa la frmula.
100
1C
nLc
Una vez calculada la posicin del percentil, proceda a calcular el percentil conforme
se explica en los ejemplos 1 y 2. (No confunda la posicin del centil o percentil con
su valor)
Ejemplo 1
Para la posicin del primer cuartil Q1 use C = 25, para el tercer cuartil Q3 use
C= 75 (Q1 = C25; Q3 = C75 ), en algunos textos en vez de C se usa P, as
P25
Para calcular la posicin de un decil, por ejemplo D3 use C = 30; para el decil 7
D7 use C = 70
Si Lc es entero el centil es el dato de la posicin Lc
Si Lc no es entero, por ejemplo si L25 = 7.62, el centil o percentil 25 se
encontrar a 0.62 de la distancia entre el sptimo y el octavo dato, Su valor se
calcula del siguiente modo: C25 = Q1 = Dato7 + 0.62(Dato8 Dato7)
En el clculo de los cuartiles, recuerde por ejemplo que el primer cuartil Q1 es
aquel valor que es mayor o igual que el 25% de los datos y menor o igual que el
75% de ellos.
Ejemplo 2
Calcular el primer y tercer cuartiles de los siguientes datos:
8.4 8.8 9.2 10 11.3 12.5 12.9 13.6 14 15
Solucin:
En este caso: n = 10, para Q1 C = 25 y para Q3 C = 75
75.2100
25)110(25L Es la posicin de Q1, mientras que su valor es:
Q1 = Dato 2 + 0.75 (Dato 3 Dato 2)
2.93.08.8)8.82.9(75.08.81Q
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De igual manera:
25.8100
75)110(75L Es la posicin de Q3, mientras que su valor es:
Q3 = Dato 8 + 0.25 (Dato 9 Dato 8)
7.131.06.13)6.1314(25.06.133Q
La mediana es 2Q se calcula del mismo que los otros cuartiles.
Diagrama de caja
El diagrama de caja permite visualizar la simetra o la asimetra de una distribucin
de datos.
Para construir un diagrama de caja se requieren 5 valores: La media, la mediana, el
dato menor o mnimo, el dato mayor o mximo y el primero y tercer cuartiles.
Rango intercuartlico
Es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil: 13 QQlicoIntercuartRango
Ejemplo 3.
Suponga que en el servicio de entrega a domicilio de cierta pizza, el tiempo mnimo
de entrega es de 15 minutos, que el tiempo mximo es de 40 minutos, que la
mediana es 25 minutos y que los cuartiles son: 5.3220 31 QQ minutos.
a) Calcular el rango intercuartlico.
b) Trazar el diagrama de caja y en base a este indique si la distribucin de los datos
es o no simtrica.
Solucin:
a) Rango intercuartlico = 32.5 20 = 12.5
b) El diagrama de caja es el que se muestra a continuacin.
Las lneas que van desde el mnimo a Q1 y desde Q3 al mximo se denominan
bigotes.
El diagrama muestra que:
1. El bigote izquierdo es ms corto que el derecho.
2. Que Q1 est ms cerca de la mediana que Q3
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Comentario
Se observa que: la cola el bigote de la derecha es ms largo que el de la
izquierda, y tambin la distancia entre la mediana y 3Q
es mayor que la distancia
entre 1Q y la mediana, lo que indica que la distribucin de los datos es asimtrica, con sesgo positivo.
Para resolver la actividad de aprendizaje 1.5
Estudie el captulo 4 del texto gua Estadstica para Administracin y Economa de
Levin, Richard I. y Rubin, David S.: Probabilidad I: Ideas Introductorias.
Lea 4.1 Historia y relevancia de la teora de la probabilidad, p. 128., esto le
permitir conocer la historia del estudio de las probabilidades y sus aplicaciones.
Estudie 4.2 Terminologa bsica en probabilidad, pp. 129-130, aqu encontrar
lo que es un evento, un experimento, un espacio muestral, cuando se habla de
eventos mutuamente independientes, qu es una lista colectivamente exhaustiva.
Del ejercicio 4.2, p. 130. Y en su cuaderno de trabajo realice los dos ejercicios de
autoevaluacin, cuya solucin la encuentra en la p. 131 y responda a las preguntas
sobre conceptos bsicos 4-5 y 4-6.
Estudie 4.3 Tres tipos de probabilidad, pp. 131-134, clsica o a priori, basada
en frecuencias y subjetiva; lea tambin las sugerencias y suposiciones de la p. 134.
Del ejercicio 4.3, p. 134, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-3 y 4-4, cuyas
soluciones se hallan en las pp. 136-137.
Estudie 4.4 Reglas de probabilidad, pp. 137-141, aqu encontrar definiciones y
reglas para calcular la probabilidad marginal, la regla de la adicin para eventos
mutuamente excluyentes, la regla de la adicin para eventos que no son
mutuamente excluyentes y el uso de diagramas de Venn, que permiten relacionar
las probabilidades con la teora de conjuntos.
Del ejercicios 4.4, p. 141, en su cuaderno de trabajo realice los ejercicios de
autoevaluacin 4-5 y 4-6 cuyas soluciones las encontrar en la p. 143.
Estudie 4.5 Probabilidades bajo condiciones de independencia estadstica,
pp. 143-148. Aqu aprender que existen tres tipos de probabilidades que se
presentan bajo la independencia estadstica: marginal, conjunta y condicional,
frmulas que se usan para su clculo y ejemplos.
De ejercicios 4.5, pp. 148-149, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-7 y 4-8,
cuyas soluciones se hallan en la p. 150.
Para la aplicacin de la parte conceptual, realice los ejercicios de conceptos bsicos
4-24, 4-25, 4-26 y 4-27.
Estudie 4.6 Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadstica, pp.
151-155. Aqu aprender que, las probabilidades bajo condiciones de dependencia
estadstica son: Condicional, conjunta y marginal; y las frmulas que se usan para
su clculo.
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De ejercicios 4.6, p. 156, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-9, 4-10; sus
soluciones se hallan en las pp. 157-158. Realice tambin los ejercicios de conceptos
bsicos 4-33, 4-34 y 4-35.
Estudie 4.7 Revisin de las estimaciones anteriores de probabilidades:
teorema de Bayes, pp. 158-162.
Aqu aprender que es una probabilidad revisada o a posteriori y la forma como se
calcula.
De Ejercicios 4.7, p. 163, realice los ejercicios de autoevaluacin 4-11 y 4-12; y
tambin el 4-43 de conceptos bsicos.
En las pp. 168-169 lea el repaso del captulo 4 y las ecuaciones (frmulas)
introducidas en este captulo.
Para resolver actividad de aprendizaje 1.5, lea con atencin la siguiente
ayuda.
Aqu se dan definiciones, frmulas y ejemplos que le servirn como una referencia
rpida para el estudio y desarrollo de su tarea.
Enfoques de probabilidad
Probabilidad objetiva
Probabilidad Clsica: posibles casos de nmero
)(
favorablessosnumerodecaEP
Probabilidad emprica: nesobservaciodetotalnmero
pasadoeleneventounocurrioquevecesdenmeroEP )(
Donde: E significa evento o suceso, y )(EP se lee probabilidad de que ocurra el evento E.
Probabilidad subjetiva: Se asigna en base a la experiencia y buen criterio
Ejemplo de probabilidad clsica:
Si se lanza al aire una moneda equilibrada, cul ser la probabilidad de que se
obtenga una cruz o cara:
a) Cruz es: P(cruz) = 1/2 porque 1 de las 2 alternativas.
b) Cara es: P(cara) = 1/2 porque 1 de las 2 alternativas.
Ejemplo de probabilidad emprica:
Suponga que en un experimento se realizan 1000 ensayos y se produjo un evento
E en 200 ocasiones. Cul es la probabilidad de que en un ensayo cualquiera se
produzca el evento E?
R: P(E) =200/1000 = 1/5 = 0.20
Espacio muestral:
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, es decir es el
conjunto universo de ese experimento; a este conjunto se suele representarse
mediante la letra S o con el smbolo .
Ejemplos:
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Parcial de estudio: Primero
1. El espacio muestral del lanzamiento de una moneda es: S= cs, donde s=sello y
c = cara
2. El espacio muestral en el lanzamiento de un dado es: S = 6,5,4,3,2,1
3. El espacio muestral en el lanzamiento de dos monedas es
S = ),(),,(),,(),,( ccscsscs
4. Si en una urna hay 5 bolas rojas, 3 blancas y 4 azules y se saca al azar dos
bolas, el espacio muestral es el siguiente:
S = ),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,( aabaraabbbrbarbrrr
Relacin entre la probabilidad y la teora de conjuntos
El estudio de las reglas de probabilidad est estrechamente relacionado con la
teora de conjuntos, para ello se asimila un evento con un conjunto. En conjuntos En probabilidades U = Conjunto universo S = Espacio muestral. A = Subconjunto de U E = Evento
= Conjunto vaco = Evento nulo
A= Complemento de A E = Evento contrario de E
AAUAUA
Axiomas de Kolmogorov 1. P(E) 0 La probabilidad de un evento es un nmero comprendido entre 0 y 1 2. P(S) = 1 La probabilidad del espacio muestral es 1 3. P(E1 E2 En) = P(E1) + P(E2)+ +P(En) donde E1, E2,, son eventos mutuamente
excluyentes.
Propiedades de las probabilidades
1. 0)(P
2. 0 P(E) 1
3. 1)()()()()(1)( SPAAPAPAPAPAP
4. Si )()( BPAPBA
5. )()()()( BAPBPAPBAP )
Diagramas de Venn Conjunto Universo
Conjunto A
Complemento de A es la parte del universo que no es A Conjuntos A y B disjuntos
Conjuntos A y B secantes o Solapados
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Reglas de probabilidad
Regla especial de adicin
Se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos Para un par de eventos A, B: P(A o B) = P(A) + P(B) Para tres eventos A, B, C : P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C) En el ejemplo de las 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules, calcular la probabilidad de que al sacar una bola de la urna esta sea: a) Roja o Blanca: P(roja o blanca) = P(roja) +P(blanca) = 3/10 + 2/10 =
b) Blanca o azul: P(blanca o azul) =P(blanca) + P(azul) = 2/10 + 5/10 = 7/10
Regla general de la adicin
Se aplica para calcular la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento que no sean mutuamente excluyentes. (la frmula es vlida tambin para eventos mutuamente
excluyentes dado que P(A y B) = 0 ) Para los eventos A, B: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) Ejemplo: Un estudiante est tomando Algebra y Castellano, si la probabilidad de que apruebe algebra es 0.75, la de que apruebe Castellano es 0.9 y la probabilidad de que apruebe Algebra y Castellano es 0.70. Se pregunta cual es la probabilidad de que apruebe
Algebra o Castellano.
P(A o C) = P(A) + P(C) P(A y C) = 0.75 + 0.90 - 0.70 = 0.95
Para resolver estos problemas debe realizar un diagrama de Venn como el de la
figura.
Regla especial de la multiplicacin
Se aplica para calcular la probabilidad conjunta de ocurrencia de eventos
independientes.
Para dos eventos A y B: P(A y B) = P(A) P(B) Para tres eventos A, B y C: P(A y B y C) = P(A) P(B) P(C) Ejemplo: Se lanza un dado por dos ocasiones, cul es la probabilidad de que en los dos lanzamientos caiga en 3?
P(3, 3) = P(3) P(3) = (1/6) (1/6) = 1/36 Obsrvese que el resultado del segundo lanzamiento es independiente del
primero.
Probabilidad condicional
Es la probabilidad de que ocurra un evento B, dado que ya ocurri un evento A. o tambin
la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ya ocurri el evento B. Esto se escribe:
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
)(
)B ()/(
AP
yAPABP
)(
B)y ()/(
BP
APBAP
Si se cumple que )()/( APBAP los eventos o sucesos A y B son estadsticamente
independientes
Regla general de la multiplicacin
Se aplica para calcular la probabilidad conjunta de eventos dependientes, es decir, cuando la ocurrencia de uno de ellos est condicionada a la ocurrencia del otro. P(A y B) = P(A) P(B/A) o tambin P(A y B) = P(B) P(A/B)
Estas frmulas y las de la probabilidad condicional estn relacionadas, ya que las unas se obtienen de las otras mediante despejes.
Tomemos el ejemplo de las 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules y supongamos que se desea calcular la probabilidad de que al sacar una bola y luego otra, la primera sea roja y la segunda blanca:
P(R y B) =15
1
90
6
9
2
10
3)/()( RBPRP
Obsrvese que la probabilidad de que la primera vez salga roja es 3 /10, pero al haber sacado una roja ahora nos quedan en total 9 bolas, de las cuales 2 son blancas. Calculemos ahora la probabilidad de sacar una bola roja y una azul: Como no se indica el orden tendremos que:
P(R y A) = P(R, A) + P(A, R) =3
1
9
3
10
5
9
5
10
3
Tabla de contingencia o matriz de probabilidad Los problemas de probabilidades se resuelven fcilmente usando una tabla de contingencia o
matriz de probabilidad, en ella se pueden leer las probabilidades a priori y las probabilidades conjuntas o de interseccin. Adems permite calcular fcilmente las probabilidades de la unin de eventos y las condicionales, tal como se ilustra a continuacin. Ejemplo: El personal que labora en una empresa est formado por hombres y mujeres que
trabajan en las siguientes secciones: Gerencia, Profesional y Tcnica, cuyos datos se resumen en la siguiente tabla:
Seccin
Gnero
Hombre Mujer
Gerencia Profesional Tcnica
8 24 50
3 16 35
Complete esta tabla de contingencia y luego suponiendo que se elige al azar un empleado
calcule las siguientes probabilidades. a) La probabilidad de que sea mujer. b) La probabilidad de que sea hombre y trabaje en la seccin tcnica c) La probabilidad de de que trabaje en Gerencia o en la seccin profesional d) La probabilidad de que trabaje en gerencia, dado que sea mujer.
e) La probabilidad de que sea hombre dado que trabaje en la Seccin tcnica. Solucin: A la tabla de los datos le aadimos una fila y una columna para los totales parciales de las filas y de las columnas. En la celda del extremo inferior derecho se coloca el total horizontal y vertical.
Seccin
Gnero Total Hombre Mujer
Gerencia
Profesional
8
24
3
16
11
40
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Tcnica 50 35 85
Total 82 54 136
a) P(Mujer) = 54/136 b) P(Hombre y Tcnica) = 50/136 c) P (Gerencia o Profesional) = P(Gerencia) + P(Profesional) = 11/136 + 40/136 = 51/136 d) P(Gerencia/ Mujer) = 3/54 En la columna de MUJER vemos que 3 de las 54 trabajan en
gerencia. Tambin se puede aplicar la frmula de la probabilidad condicional.
54
3
136/54
136/3
)(
)()/(
MujerP
MujeryGerenciaPMujerGerenciaP
e) P(Hombre/ Tcnica) = 50/85 En la fila TECNICA se ve que 50 de los 85 tcnicos son
hombres.
Aplicando la frmula:
17
10
85
50
136/85
136/50
)(
)()/(
TecnicaP
TecnicayHombrePTecnicaHombreP
Explicacin del teorema de Bayes En la siguiente grfica sea S el espacio muestral y sean
los eventos 4321 ,,, AAAA mutuamente excluyentes
y colectivamente exhaustivos, de modo que:
4321 AAAAS
Y sea el evento B tal que:
)()()()( 4321 BABABABAB
Entonces la probabilidad de que ocurra B viene dada por:
)()()()()( 4321 ByAPByAPByAPByAPBP ; luego:
)/()()/()()/()()/()()( 44332211 ABPAPABPAPABPAPABPAPBP
Esta es la probabilidad total de que ocurra B.
De la probabilidad condicional sabemos que:
)(
)B ()/(
AP
yAPABP
)(
B)y ()/(
BP
APBAP
De aqu se tiene que:
)()/()()/()( APABPBPBAPAyBP
Es decir:
)()/()()/( APABPBPBAP
Si ahora suponemos que P(A1) es una probabilidad a priori, P(B/A1) es la probabilidad condicional de que ocurra B dado que ocurri A1; y pensemos que se quiere calcular la
probabilidad a posteriori de que ocurra A1 dado que ocurri B, simplemente despejemos P(A1/B); segn la frmula anterior.
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
)(
)/()()/( 111
BP
ABPAPBAP
Donde P(B) es la probabilidad total de B, sustituyendo P(B) en el denominador se obtiene la frmula del Teorema de Bayes.
)/()()/()()/()()/()(
)/()()/(
44332211
111
ABPAPABPAPABPAPABPAP
ABPAPBAP
Reglas de conteo
1.- Frmula de la multiplicacin
Si hay m formas de realizar una cosa y n formas de hacer otra, habrn mxn
formas de realizar ambas en conjunto. Esta regla se extiende a 3, 4 ms
acciones.
Ejemplo: Un joven tiene 3 pares de zapatos, 4 pantalones y 5 camisas. De
cuantas maneras puede vestirse?
N = 3x4x5 = 60 (puede vestirse de 60 formas)
Ejemplo: De cuantas maneras puede usted colocar 4 libros en un estante?
El libro que va a colocar en primer lugar puede elegir de 4 maneras, le quedan 3
libros, entonces el que va a colocar en la segunda posicin puede elegirse de 3
maneras; le quedan 2 para la tercera posicin; y una vez colocado el tercero le
queda 1 para la cuarta posicin; es decir: No de formas = 4x3x2x1 = 24 = 4!
2.- Permutaciones: !)(
!Pr
rn
nn Nos da el nmero de arreglos de r objetos
tomados de un grupo de n objetos. Un arreglo se diferenciar de otro por el orden
de sus elementos, por ejemplo ab y ba son diferentes.
Ejemplo: Cuantos nmeros de 2 cifras se pueden escribir usando los dgitos 1, 2 y
3 bajo la condicin de que no haya dgitos repetidos.
6!)23(
!323P
Los nmeros de dos cifras construidos con los dgitos 1, 2 y 3 son efectivamente 6,
tal como usted puede ver: 12 13 21 23 31 32
3.- Combinaciones: !)(!
!
rnr
n
r
nnCr
Las combinaciones son arreglos de r objetos tomados de un grupo de n objetos,
donde no importa el orden de ellos.
Ejemplo: Con los dgitos 1, 2 y 3, cuantas sumas diferentes se puede tener, tomando dos a dos, bajo la condicin de que no haya dgitos repetidos. Observe que en este caso no importa el orden porque por ejemplo las sumas 1+2 y 2+1 son las mismas, entonces el nmero de sumas distintas son:
3!1!2
!3
2
323C
Ejemplo: Cuantas combinaciones de dos letras se pueden formar con las letras A, B, C y D?
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
6!212
!234
!2!2
!424
xx
xxC
Estas combinaciones son: AB AC AD BC BD y CD.
Obsrvese que como combinacin AB y BA es la misma, pero no como
permutacin.
Actividades de aprendizaje
Actividad de aprendizaje 1.1.
Planteamientos
Problema 1
La siguiente distribucin de frecuencias representa el nmero de das en
que los empleados de la Compaa Industrial E.J. Wilcox estuvieron
ausentes a causa de enfermedad, durante un ao.
Numero de das ausentes
Nmero de empleados
0 hasta 3 5
3 hasta 6 12
6 hasta 9 23
9 hasta 12 8
12 hasta 15 2
TOTAL 50
a. Suponiendo que lo anterior es una muestra. Cul es su tamao?
(0.25 puntos)
b. Cul es el punto medio de la primera clase?(0.25 puntos)
c. Elabore el histograma (0.5 puntos)
d. Debe obtenerse un polgono de frecuencias. Cules son las
coordenadas en la grfica para la primera clase? (0.5 puntos)
e. Elabore un polgono de frecuencias (0.5 puntos)
f. Interprete la tasa de ausentismo de los empleados utilizando ambas
grficas. (0.5 puntos)
Problema 2
El Departamento de Agricultura de Nebraska tiene los siguientes datos que
representan el crecimiento mensual( en pulgadas) de muestras de maz
recin plantado:
0.4 1.9 1.5 0.9 0.3 1.6 0.4 1.5 1.2 0.8
0.9 0.7 0.9 0.7 0.9 1.5 0.5 1.5 1.7 1.8
a. Organice los datos en un arreglo descendente. (0.25 puntos)
b. Construya una distribucin de frecuencias relativas utilizando intervalo
de 0.25 (0.25 puntos)
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
c. A partir de lo que ha hecho hasta este punto. qu conclusiones puede
sacar acerca del crecimiento en la muestra? (0.5 puntos)
d. Construya una ojiva que le ayude a determinar que fraccin del maz
creci a una tasa mayor que una pulgada por semana. (0.5 puntos)
e. Cul fue la tasa de crecimiento semanal aproximada del elemento
medio del ordenamiento de datos? (0.5 puntos)
Objetivos
Construir representaciones grficas de datos cualitativos.
Ordenar datos cuantitativos en listas o arreglos ordenados en forma
ascendente o descendente, medidas de dispersin.
Orientaciones
didcticas
Para resolver el problema 1, lea las pginas que se encuentran al final de
la gua correspondiente al libro Estadstica para Administracin y Economa
de Lind, Marchall y Mason, captulo 2.
Para resolver el problema 2, debe haber ledo los temas 2.2 y 2.3 del texto
gua.
Criterios de
evaluacin
Usa escalas y leyendas en los ejes y traza correctamente el diagrama de
barras.
Usa leyendas en el diagrama de pastel.
Lee e interpreta los resultados.
Actividad de aprendizaje 1.2.
Planteamientos
Problema 1
Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las
calificaciones finales de los estudiantes que acuden a su seminario. El
promedio de tareas tendr un valor del 20% de la calificacin del
estudiante; el examen semestral, 25%; el examen final, 35%; el artculo
de fin de semestre, 10%, y los exmenes parciales, 10%. A partir de los
datos siguientes, calcule el promedio final para los cinco estudiantes del
seminario.
Estudiantes Tareas Parciales Artculo Ex.
semestral Ex.
Final
1 85 89 94 87 90
2 78 84 88 91 92
3 94 88 93 86 89
4 82 79 88 84 93
5 95 90 92 82 88
(0.5 puntos).
Problema 2
Considere la siguiente informacin acerca de la cantidad de empleos no
agrcolas (en miles de trabajadores) durante marzo de 1992 en Estados
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Unidos, incluyendo Puerto Rico y las Islas Vrgenes:
Alabama 1639 Montana 299,3
Alaska 235,5 Nebraska 730,6
Arizona 1510 Nevada 638,4
Arkansas 951,1 New Hampshire 466,5
California 12324,3 New Jersey 3390,7
Colorado 1552,7 New Mexico 583,3
Connecticut 1510,6 New York 7666,4
Delaware 335,2 North Carolina 3068,3
Distrtito de Columbia 667
North Dakota 271
Florida 5322,8 Ohio 4709,9
Georgia 2927,1 Oklahoma 1196,9
Hawaii 546,3 Oregon 1245,6
Idaho 400,4 Penrisylvania 4992,1
Illinois 5146,2 Rhode Island 413,2
Indiana 2496,3 South Carolina 1494,6
Iowa 1229,2 South Dakota 295,6
Kansa 1108,3 Tennessee 2178,6
Kentucky 1474,8 Texas 7209,7
Lousiana 1617,5 Utah 752,2
Maine 500 Vermont 244,8
Maryland 2037,3 Virginia 2792,4
Massachusetts 2751,6 Washington 2165,8
Michigan 3828,9 West Virginia 622,1
Minnesota 2117,1 Wisconsin 2272,1
Mississippi 940,9 Wyoming 198
Missouri 2275,9 Puerto Rico 842,4
Islas Virgenes 42,4
Fuente: Sharon R. Cohany, Employment Data, en Monthly Labor Review 115(6), junio de 1992: 80-82.
a) Organice los datos en diez clases mutuamente excluyentes de igual
ancho. (0.5 puntos).
b) Determine las frecuencias absolutas y relativas que caen dentro de
cada clase. (0.5 puntos).
c) Son estos datos discretos o continuos? (0.5 puntos).
d) Construya una distribucin y una ojiva de frecuencias acumuladas
menor que para la distribucin de frecuencias relativas del inciso b). (0.5 puntos).
e) Con base en la ojiva del inciso d, qu fraccin de los estados tiene un
nivel de empleo no agrcola mayor a los tres millones? (0.5 puntos).
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Objetivos
Construir distribuciones de frecuencias centradas y representar las
distribuciones de datos mediante grficas.
Orientaciones
didcticas
El problema 1, es una aplicacin de la media ponderada.
Para resolver el problema 2 debe haber estudiado los temas 2.4 y 2.5 del
texto gua.
Puede ampliar sus conocimientos buscando informacin en el Internet,
para el efecto puede digitar: Estadstica descriptiva o tambin Agrupacin
de datos en intervalos.
Importante: En este curso trabajaremos con intervalos
semiabiertos, vea el ejemplo de la Ayuda 1.2
Criterios de
evaluacin
Construye distribuciones de frecuencias en forma correcta.
Calcula frecuencias relativas.
Traza histogramas, polgonos de frecuencia y ojivas usando escalas
adecuadas.
Lee resultados en la Ojiva O menos u O ms.
Actividad de aprendizaje 1.3.
Planteamientos
Problema 1
Los siguientes datos representan las edades de los pacientes admitidos en
un pequeo hospital el da 28 de febrero de 1996:
85 75 66 43 40
88 80 56 56 67
89 83 65 53 75
87 83 52 44 48
Datos no agrupados
a) Construya una distribucin de frecuencias con clases 40-49, 50-59,
etctera. .(0.5 puntos)
b) Calcule la media de la muestra a partir de la distribucin de
frecuencias. .(0.5 puntos)
c) Calcule la media de la muestra a partir de los datos sin procesar. .(0.5
puntos)
d) Compare los incisos b) y c) y comente su respuesta. .(0.5 puntos)
Problema 2
Para la siguiente distribucin de frecuencias, determine:
a) La clase de la mediana.(0.5 puntos)
b) El nmero de elemento que representa la mediana. (0.5 puntos)
c) El ancho de los pasos iguales en la clase de la mediana.(0.5 puntos)
d) El valor estimado de la mediana para estos datos .(0.5 puntos)
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Clase Frecuencia Clase Frecuencia
100-149.5 12 300-349.5 72
150-199.5 14 350-399.5 63
200-249.5 27 400-449.5 36
250-299.5 58 450-499.5 18
Objetivos
Calcular medidas de tendencia central de datos sin agrupar y de datos
agrupados.
Establecer la diferencia entre las frmulas y procedimientos de clculo
que se emplean con en uno y otro caso.
Orientaciones
didcticas
El problemas 1 se refieren a las medidas de tendencia central de datos
no agrupados.
El problema 2, es una aplicacin de las medidas de tendencia central de
datos agrupados.
Las frmulas a aplicarse en cada ejercicio se encuentran en la ayuda
1.3.
Criterios de
evaluacin
Conoce el propsito, significado y propiedades de las medidas de tendencia
central.
Calcula las medidas de tendencia central de datos no agrupados y
agrupados.
Diferencia las frmulas que se usan con datos sin agrupar y con datos
agrupados.
Actividad de aprendizaje 1.4.
Planteamientos
Problema 1
Segn datos tomados del SRI (Servicio de Rentas Internas), los siguientes
datos representan las declaraciones trimestrales de impuestos por ventas
(en miles de dlares), de 25 negocios establecidos en una ciudad del
Ecuador, correspondientes al perodo que finaliz.
7.9 11.7 10.8 11.4 9.2
12.9 11.1 9.1 12.8 10.0
9.8 11.1 10.3 11.1 9.9
12.4 5.4 7.2 11.3 13.1
14.5 9.1 9.6 11.1 10.2
Con estos datos sin agrupar realizar los siguiente:
a) Calcular el rango. (0.5 puntos)
b) Calcular la media y la mediana. (0.5 puntos)
c) Calcular el primer y tercer cuartiles. (0.5 puntos)
d) Trazar un diagrama de caja. ((0.5 puntos)
e) Comente sobre la forma de la distribucin de los datos. (0.5 puntos)
f) Calcular la desviacin estndar (0.5 puntos)
g) Calcular el coeficiente de variacin.(0.5 puntos)
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Problema 2
Encuentre la media y la desviacin estndar de las siguientes
distribuciones binomiales: (1.0 punto)
a) n =16, p= 0.40.
b) n =10, p =0.75.
Problema 3
Los siguientes datos representan el nmero de cheques en dlares
rechazados de una muestra tomada en 23 bancos, firmados por clientes
que depositan directamente y que mantienen un saldo promedio de $1000.
260 200 210 250 200 250
300 150 290 180 180 220
280 200 220 250 200 300
300 200 250 150 250
a) Elaborar un diagrama de tallo y hoja para estos datos (0.5 puntos)
b) Alrededor de que valor, si lo hay, se encuentran concentrados los
valores de los cheques rechazados? Explique su respuesta. (0.5
puntos)
Objetivo
Calcular las medidas de dispersin: rango, varianza, desviacin estndar y
desviacin relativa para describir como se dispersan los datos, analizando sus limitaciones y bondades de cada uno de ellos.
Orientaciones didcticas
Para resolver el problema 1 debe haber estudiado los temas 3.7 y 3.8,
adems lea la ayuda 1.4.
Para resolver el problema 2, debi haber estudiado el tema 3.9 del texto
gua y sus ejemplos.
Para resolver el problema 3, debe primero estudiar el tema 3.11 del texto
gua. pp. 112-114
Criterios de evaluacin
Calcula el rango, percentiles (cuartiles) aplicando las frmulas en forma
correcta.
Calcula las medidas de dispersin de datos no agrupados y agrupados.
Usa correctamente las frmulas pertinentes a cada situacin.
Traza diagramas de caja e interpreta en forma correcta la simetra o
asimetra o sesgo de las distribuciones de los datos.
Usa el teorema de Chebychev para medir la concentracin de los datos
alrededor de la media.
Conoce lo que es la desviacin relativa y para qu sirve.
Actividad de aprendizaje 1.5.
Planteamientos
Problema 1 (0.5 puntos)
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Hay 52 cartas en una baraja americana
Cul es la probabilidad de que la primera carta que se saque sea una de
espadas?
Problema 2 (0.5 puntos)
La probabilidad de un suceso A es 1/3, la de B es 2/4 y la de la
interseccin 3/8. Calcule:
a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.
b) La probabilidad de que no suceda A.
c) La probabilidad de que no ocurra ni A ni B.
d) La probabilidad de que no ocurra A o bien no ocurra B.
Problema 3 (0.5 puntos)
Se lanza un solo dado
Cul es la probabilidad que caiga un ``dos``?
Problema 4
La tienda de departamentos Friendly ha sido objeto de muchos robos
durante el ltimo mes; pero, debido al aumento en las medidas de
seguridad, se ha detenido a 250 ladrones. Se registr el sexo de cada
ladrn; tambin se anot si se trataba de un primer delito o era
reincidente. Los datos se resumen en la siguiente tabla.
Sexo Primera ofensa Reincidente
Hombre 60 70
Mujer 44 76
104 146
Suponga que se elige al azar un ladrn detenido, calcule:
a) la probabilidad de que el ladrn sea hombre. (0.3 puntos)
b) la probabilidad de que sea la primera ofensa, dado que es hombre. (0.3 puntos)
c) la probabilidad de que sea mujer, dado que es reincidente. (0.3puntos)
d) la probabilidad de que sea mujer, dado que es la primera ofensa. (0.3 puntos)
e) la probabilidad de que sea hombre y reincidente.(0.3 puntos)
Objetivos
Comprender que son las probabilidades de eventos mutuamente
excluyentes, dependientes e independientes mediante el estudio de los
principios tericos y sus reglas para el clculo de las probabilidades de
dichos eventos.
Orientaciones
didcticas
Los problemas contienen el clculo de probabilidades simples y
probabilidad acumulada, ver conteo y clculo de probabilidades.
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Puntaje por actividad
El tutor de la asignatura
Tambin se incluye probabilidades conjuntas y condicionales con eventos
dependientes e independientes, se calculan fcilmente a partir de la tabla de contingencias. Ver aplicacin del teorema de Bayes. Ver AYUDA.
Criterios de
evaluacin
Conoce las frmulas de conteo y las aplica en forma correcta.
Conoce los fundamentos de las probabilidades.
Calcula probabilidades de eventos mutuamente excluyentes, de eventos
dependientes e independientes aplicando las frmulas pertinentes.
Organiza e interpreta datos de una matriz de contingencia.
Construye diagramas de rbol.
Aplica la regla de Bayes para calcular probabilidades revisadas o a
posteriori.
Formato de
entrega
Archivo de Microsoft Office.
Enviar a
Enve las actividades de aprendizaje a travs de la plataforma, mediante la
seccin Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser:
Formato: G1.Apellido.Apellido.Nombre.Estad.descriptiva
Preguntas o
dudas
Enve sus preguntas o dudas a travs de la plataforma: Utilice la seccin
Enviar correo y marque el nombre de su tutor.
Actividades de aprendizaje
Puntaje
Actividad de aprendizaje 1.1. 4.5
Actividad de aprendizaje 1.2. 3.0
Actividad de aprendizaje 1.3. 4.0
Actividad de aprendizaje 1.4. 5.5
Actividad de aprendizaje 1.5. 3.0
Suman 20
En caso de que para el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, frmulas, esquemas o
grficos, estos sern incluidos como parte del examen
o en un anexo.
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
Nombre de la asignatura: Estadstica Descriptiva CADM
Parcial de estudio: Primero
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