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Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 1
Actividad III.33 - Ondas de Calor y CalentamientoGlobal
Objetivo
Estudio experimental de ondas de calor. Determinación de la cantante de
difusividad y de la conductividad térmica de un material. Caracterización de las
propiedades térmicas del suelo, penetración de las variaciones térmicas superficiales en
el interior de la Tierra. Estudio de un sistema unidimensional simple, análogo a un
modelo real usado para determinar temperaturas ambientales del pasado remoto, de gran
interés para analizar las posibles causas del calentamiento global.
Introducción
Uno de los desafíos científicos de mayor interés y relevancia en esta primera parte
del tercer milenio, es poder predecir la evolución de la condiciones climáticas del
planeta, y dilucidar con la mayor certeza posible, el origen y las causas del
calentamiento que ha venido ocurriendo en la Tierra durante el último siglo. Nuestra
civilización se desarrolló durante estos últimos milenios, que sucedieron a la última
glaciación, durante ese período la temperatura media de la Tierra era de unos 5ºC más
baja que en la actualidad. La tendencia de las temperaturas de los últimos 50 años indica
que la misma se está elevando a razón de unos 2.5ºC/siglo! De persistir esta tendencia,
en dos siglos habría ocurrido un incremento de temperatura de igual magnitud que la
ocurrida en unos 10000 años, lo cual podría ser una serio amenaza para toda la
humanidad. Es crucial para el futuro de nuestra civilización dilucidar si estas tendencias
térmicas (ver Fig. 1) son consecuencia de la actividad humana o se produce por causas
naturales.1,2 Existe un creciente consenso en la comunidad científica que el incremento
de CO2 en la atmósfera está relacionada con este calentamiento.
Fig.1 Variación de las temperaturas globales, curva roja, referida al eje vertical derecho. En esta figuratambién se muestra la variación de CO2 en la atmósfera, curva azul, referida al eje vertical izquierdo. El
aumento de temperatura en el mundo en el siglo XX fue de unos 2.5 °C/siglo3,4,5
.
2.5 ºC/Siglo
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 2
Hay un creciente consenso que el aumento de CO2 en la atmósfera es
consecuencia del uso intensivo de combustibles fósiles que ha tenido lugar a partir del
inicio de la revolución industrial, más notablemente a partir de la segunda mitad del
siglo XX. Hay fundadas sospechas que el incremento de las temperaturas globales es
consecuencia, en buena medida, de la actividad humana. 5,6
Fig.2 Perfil de temperaturas en función de la profundidad para dos momentos del año, verano e invierno.
La superficie de suelo sigue la temperatura ambiente, pero entre 1 a 2 m la temperatura es representativa
de la estación anterior. De igual modo, las variaciones térmicas de un siglo de oscilación están registradas
en los perfiles térmicos de unos 100m y así sucesivamente. Las líneas rectas representan el gradiente
térmico de la tierra de uno 9.2x10-2°C/m
7,8.
Desde luego también se sabe que existen causas naturales que afectan el clima de la
Tierra, la ocurrencia de la última glaciación es una evidencia de ello. Entre las causas
naturales que pueden afectar el clima de la Tierra tenemos: variaciones en la emisión
energética del Sol; erupciones volcánicas, que con sus cenizas o aerosoles afectan el
balance energético de la Tierra y variaciones en el movimiento de la Tierra alrededor
del Sol. Hay mucha evidencia que indica que la Tierra ha tenido oscilaciones
cuasiperiódicas de cambios climáticos. Milutin Milankovitch (1879-1958) propuso un
modelo astronómico para explicar sus causas. Está teoría se basa en que la Tierra
además de su movimiento de rotación y traslación, se mueve en una orbita elíptica que
tiene una variación en su excentricidad de unos 100 kyr (1 kyr=1000 años). Además el
eje de la Tierra que tiene una inclinación (tilt) de unos 23º, respecto de la norma al
plano de la elíptica, que genera las estaciones del año, el eje de la Tierra tiene una
presesión de unos 26 kyr. Esto es cada 13 kyr las estaciones se invierten o sea a veces
en el sur enero es verano y en la otra parte del ciclo es invierno. Por otro lado, ángulo de
inclinación de la Tierra (respecto de la normal de la elíptica) oscila entre 21.5º y 24.5º
en unos 41 kyr. Como es de suponer estos movimientos presentan acoplamientos entre
ellos que generan los llamados ciclos de Milankovitch que tiene periodos de
aproximadamente 22 kyr, 41 kyr y 98 kyr, en los que se han observado alteraciones
importantes del clima. Esta teoría, no esta libre de criticas y dista de ser una teoría
universalmente aceptada, pero tiene una importante apoyatura observacional.1
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 3
Para poder poner a prueba los modelos de clima es necesario poder determinar las
temperaturas del pasado. Los registros térmicos estándares son confiables a partir de
fines del siglo XIX y para pocos sitios principalmente de Europa. Por lo tanto conocer
temperaturas del pasado se ha transformado en un desafió de gran importancia e interés
científico. Afortunadamente existen varios metidos para estudiar las temperaturas
pasadas. Uno de ellos se basa en la abundancia isotópica del oxigeno (relación 18O/
16O)
en grandes bloque de hielos (Groenlandia, Antártica, etc.). Otro método consiste en
estudiar perfiles térmicos de temperaturas a grandes profundidades. En la Figura 2 se
ilustra como las temperaturas del pasado dejan una clara signatura que permite
caracterizarla.7 En este experimento, estudiaremos un análogo unidimensional que
ilustra gran parte de la física involucrada en este problema.
Introducción: El calor se transfiere básicamente por tres procesos distintos;
conducción, convección y radiación. En la naturaleza, todos los mecanismos de
transmisión intervienen simultáneamente con distintos grados de importancia.
Los líquidos y los gases no son, en general, buenos conductores de calor. Sin
embargo pueden transmitirlo eficientemente por convección. Un calentador de aire
forzado, en el que el aire se calienta y luego se distribuye mediante un ventilador, es un
ejemplo de convección forzada. La convección también ocurre en forma natural
espontánea, por ejemplo, en el aire caliente que se eleva. Las corrientes oceánicas, como
la corriente del Golfo, son un ejemplo de convección natural a gran escala. El viento es
otro ejemplo de convección y el clima, por lo general, es el resultado de corrientes
conectivas de aire. En el caso de la convección natural, en general al rededor del objeto
caliente se forma una capa delgada (capa límite) de aire que es la que por conducción
propaga el calor de la superficie caliente al medio. Es posible escribir el flujo de calor
disipado por convención natural como:
( )esconv
conv TThAdt
dQH −⋅⋅== sup , (1)
donde As es la superficie del cuerpo expuesta al medio, h una constante característica,
coeficiente de convección, que depende del régimen de disipación (laminar, turbulento,
etc.) de la conductividad térmica del medio fluido y el estado de las superficies. Tsup y Tedesignan a las temperaturas de la superficie del cuerpo y del medio fluido
respectivamente (Ver Tabla 1, Apéndice A). Esta ley de enfriamiento de un objeto se
conoce como la ley de enfriamiento de Newton.
La conducción del calor, para problemas unidimensionales, está caracterizada por la
Ley de Fourier:9,10
dx
dTAK
dt
dQP ⋅−== , (2)
aquí P=dQ/dt es la potencia transmitida a través del área A transversal al eje de la
muestra (figura 3), dT/dx es el gradiente térmico y K es la constante de conductividad de
la barra (Ver Tabla 2, Apéndice A).
Fig.3 (a) Transmisión del calor a lo largo de una barra de materia, asilada por los lados laterales, de
longitud l con un extremo caliente (TCaliente) y el otro frío (TFrío). (b) Transmisión de calor a través de un
elemento de materia de espesor infinitesimal dx.
Tcaliente P=dQ/dt TFrío
A
ldx
A(b)(a)
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 4
Si consideramos el elemento infinitesimal ilustrado en la figura 3(b), suponemos que en su
interior hay una fuente de energía, que genera calor a una potencia g por unidad de volumen y
su temperatura es T(x,t). Suponemos además que el único mecanismo de transmisión de calor es
la conducción. Denotamos con ρ y c a su densidad y calor especifico respectivamente.
Aplicando un balance de energía tenemos:
),()()( txgAdxdx
dT
dx
dTAK
dt
dTcAdx
dt
dQ
dxxx
ρρ +
−⋅−==
+
, (3)
la cual puede re escribirse como:
),(2
2
txgx
T
c
K
t
T+
∂
∂⋅
⋅=
∂
∂
ρ, o bien ),(
2
2
txgx
Tk
t
T+
∂
∂=
∂
∂. (4)
Aquí ρ./ cKk = es la difusividad del material, que como vemos depende de la
conductividad térmica, su densidad y calor específico. En el caso tridimensional, esta
expresión puede generalizarse como:
),(),(),( 2 txgtxTk
t
txT+∇=
∂
∂. (5)
Esta es la ecuación fundamental de conducción del calor, con fuentes, en tres
dimensiones, conocida como la Ecuación de Fourier-Biot.11
Análisis teórico: La ecuación fundamental, sin fuentes, en una dimensión puede
escribirse como:11
t
T
kx
T
∂
∂=
∂
∂.
12
2
, (6)
con k (=K/c.ρ).
Modelo I: Consideremos el caso de una barra cuya longitud L sea mucho mayor que su
diámetro 2a. Su extremo izquierdo se encuentra en contacto con una fuente térmica que
tiene una temperatura que varia como:
000
0
0
0000
0 )2
cos()cos()( Ttp
TTtTtT aaa ++=++= φπ
φω , (7)
donde 0
aT es la amplitud de la oscilación térmica alrededor del valor medio T00, ω0=
2π/p0 la frecuencia de la variación térmica, p0 su periodo y φ0 es la fase inicial de la
oscilación. Si 0
aT =0 (Ta=constante) es de esperar que la barra tendrá una temperatura
Tb(x), dada por:
xmTxL
TTTxT e
b ⋅−=−
−= 0000
00
)()( , (8)
donde Te es la temperatura del extremo derecho que suponemos coincide con la
temperatura exterior a la barra (Temperatura ambiente). En este análisis hemos
despreciado las perdidas de calor por otro mecanismo, como ser convección o radiación.
A propósito, este modelo se puede aplicar asimismo a un sistema seminfinito
unidimensional, por ejemplo a la Tierra, donde la fuente de calor esta en la superficie y
es calentada por el Sol.
Volviendo al caso ≠0
aT 0, en estado estacionario, la temperatura media de la barra
vendrá dada por la Ec.(8). Definiendo la temperatura normalizada θ(x,t)=T(x,t)-Tb(x), laEc.(6) se puede escribir como:
tkx ∂
∂=
∂
∂ θθ.
12
2
, (9)
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 5
ya que 0/ 22 =∂∂ xTb . Esta es una ecuación lineal que puede resolverse por separación de
variables.12 Su solución para condiciones de borde periódicas, para x=0 de período p0, puede
escribirse como:13,14
( ) ( ) ( )0000000000 )(cos)/exp(cos)exp(, φεµφεωεθ +−−=+−−= tvxxAxtxAtx , (10)
esta expresión representa la ecuación de una onda atenuada que se propaga hacia la derecha con
velocidad v0. Aquí µ0 representa la distancia de penetración de la onda. Reemplazando (9) en (8)
obtenemos:
πωεµ
kpk ⋅=== 0
00
0
21. (10)
y
000 /2/4 pkpkv ππ == , ondaLongkp .24 00 === πµπλ . (11)
Las constantes A0 y φ0 dependen de las condiciones de borde del problema. El parámetro µ0
= π/kp ⋅ tiene las unidades de longitud y es indicativo de la longitud a la penetra la onda
térmica, λ es la longitud de onda. A medida que el período p0 de la onda es mayor, mayor será
la penetración de la onda térmica. Así mismo la onda térmica penetra más cuando mayor sea la
difusividad del material (k). Este resultado explica porque las variaciones diarias de temperatura
sólo penetran en el suelo a sólo uno 20 cm (con ktierra ≈3.8 m2/s y p0=24 h resulta µ0≈10 cm, λ
≈60 cm)16, en cambio las variaciones anuales (p0=365 días) penetran el la tierra hasta unos 4 o 5
m (µ0≈2 m y λ≈8 m)7, las temperaturas asociadas a la última era glacial ( p0≈10 000 años)estarían entre unos 200 a 300m de profundidad (ver Fig.4). Este fenómeno de las ondas térmicas
de poseer una penetración que depende de la frecuencia o periodo de la onda, tiene un
equivalente electromagnético (para ondas que se propagan en conductores) y se conoce
genéricamente como efecto piel. Extrapolando esta idea, se puede inferir que variaciones
seculares de temperaturas, penetrarán más profundamente en la tierra. De este modo el estudio
de los perfiles térmicos a distintas profundidades nos puede brindar información de los cambios
de temperaturas ocurridos en el pasado remoto. Más específicamente, Más específicamente,
supongamos que en la Ec.(9) φ0=0, esto significa que comenzamos a la medición cuando la
temperatura es máxima en la superficie (x=0). De la Ec. (9) vemos que para y un tiempo
posterior τ=p0/2, a una profundidad x= λ tendremos una temperatura:
)0,0(043.0/)0,0(),2/( θθτλθ π ⋅≈= −e . (12)
Fig.4 Variación de la longitud de penetración de las ondas térmicas, µ0, en distintos materiales. Se ve que
en la tierra las variaciones diarias se atenúan en unos 50cm, las anules en pocos metros y las seculares en
algunos cientos de metros.
Penetracion de onda de calor
0
1
10
100
1,000
10,000
0 1 10 100 1,000 10,000 100,000
Período (años)
λλ λλ0 (
m)
Aluminio
Cobre
Tierra seca
Hielo (0°C)
Agua
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 6
Por lo tanto, midiendo la temperatura en la profundidad, x= λ/2, podemos inferir la
temperatura de la superficie a un tiempo pasado (p0/2), más específicamente a esta
profundidad la temperatura será un 4.3 % de su valor en la superficie, en el tiempo pasado
τ = p0/2. Este es un resultado de inmenso valor para inferir las temperaturas del pasado, ya
que estudiando los perfiles térmicos de perforaciones en la tierra y en los hielos podemos
reconstruir las temperaturas del pasado.1,7
En la Figura 4, se observa la variación de la
longitud de penetración de las ondas térmicas, µ0, en distintos materiales como función del
periodo p0.
Modelo II (tema opcional): Consideremos ahora el caso en que la variación de la
fuente térmica colocada en el extremo izquierdo sea periódica pero no senoidal. Por el
teorema de Furrier, esta señal se puede descomponer en una seria de la forma:15
( ) ( )0cos,0 φωθ ntAtx n
n
n −== ∑ , (13)
y
( ) ( ),cos,02
0
00
0
tntxp
A
P
n ωθ ⋅== ∫ (14)
donde p0=2π/ω0 es el periodo de la onda periódica. Usando el método de separación de variable
y superposición, la solución de la Ec.(8) se puede escribir en este caso como:
( ) ( )0cos)exp(, φεωεθ nxtxAtx nnn
n
n +−−=∑ , (15)
o bien:
( ) ( )0)(cos)/exp(, φεµθ nxtvxAtx nnn
n
n +−−=∑ , (16)
donde
0vnvn
nn ⋅==
ε
ω, con pkpkv /2/40 ππ == . (17)
Estos últimos parámetros dan una idea la velocidad de penetración de las armónicas (n >1)
respecto de la fundamental (n=1). Las constantes ωn, y εn se obtienen reemplazando la Eq.(13)
en (8).
0
2ω
πω ⋅== n
p
nn (18)
y
n
nn
n
k µµ
ωε
1
2 0
=== . (19)
Las constantes An y φ0 dependen de la condiciones de borde del problema. Nótese que las ondas
armónicas (n >1) tiene una penetración µn=µ0/n, menor que la fundamental. De este modo, a
cierta distancia del origen (x=0), donde esta la fuente térmica que impone la condición de
periodicidad, la onda térmica estará dominada por la onda fundamental, mientras que las
armónicas se irán atenuando progresivamente a medida que x aumente. Esto significa que a
cierta distancia del origen o a cierta “profundidad” la onda térmica estará dominada por una
onda senoidal cuya frecuencia será la fundamental, independientemente de la forma de la forma
de la señal térmica para x=0.
A) Si suponemos que la condiciones de borde, para x=0, es una señal cuadrada de periodo p, y
amplitud θ0, o sea:
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 7
( ) ( ) ( ))(cos
4cos,0 00
00 φω
π
θφωθ +
=+= ∑∑
==
tnn
ntAtimparn
n
imparn
n (20)
con
nAn
4 0
π
θ= para n = impar y An=0 para n par, (21)
aquí, φ0 es la fase inicial de la onda, que depende de las condiciones iniciales, o sea el valor deθ(0,0).
B) Similarmente si suponemos que las condiciones de borde, para x=0, es una señal triangular
de periodo p y amplitud θ0, tenemos:
( ) ( ) ( ))(cos
4cos,0 002
00 φω
π
θφωθ +
=+= ∑∑
==
tnn
ntAtimparn
n
imparn
n (22)
con
2
04
nAn
π
θ= para n = impar y An=0 para n par. (23)
Combinando (21) con (13) obtenemos:
( ) ( )02
0 cos)exp(
4, φεωε
π
θθ nxtx
ntx nnn
imparn
+−−
= ∑
=
. (24)
C) En el caso que el elemento generador de calor sea una resistencia, dado que al
encender la misma lo que se genera es un flujo de calor constante H0=dQ/dt, hacia la
barra, por la ecuación de conducción de calor, aplicada al extremo de la barra conectada
al calefactor, tenemos: H0=-K.A.dTa/dt. Aquí Ta es la temperatura del extremo de la
barra adyacente a la fuente de calor. Si suponemos que H0 es una función cuadrada,
como: .d Ta/dt = -H0 /(K.A), podemos suponer que Ta(t)será una función triangular. Por
lo tanto la condición que mejor se aproxima a la realidad es la onda triangular, Ec.(24).
Fig.5 Variación de la temperatura de una barra a distintas profundidades x, como función del
tiempo normalizado t/p0, para dos valores de la conducción térmica de la barra. A medida que la
conducción térmica disminuye, la onda térmica se atenúa más rápidamente. Además la onda se
Barra Al L(m)=0.8 T0(s)=180 Nmax=20 Diam(cm)=1.5 K(w/mk)=250
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5
t(s)/T0
T [
ºC]
T(x(m)=0,t)
T(x(cm)=7,t)
T(x(cm)=10,t)
T(x(cm)=15,t)
T(x(cm)=20,t)
T(x(cm)=30,t)
Barra Al L(m)=0.8 T0(s)=180 Nmax=20 Diam(cm)=1.5 K(w/mk)=120
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5
t(s)/T0
T [
ºC]
T(x(m)=0,t)
T(x(cm)=7,t)
T(x(cm)=10,t)
T(x(cm)=15,t)
T(x(cm)=20,t)
T(x(cm)=30,t)
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 8
va atrasando y las componentes de orden superior (n>1) van atenuándose rápidamente. Estos
gráficos se obtuvieron usando la Ec.(24).
En todos los casos es importante observar el comportamiento del termómetro más
cercano al calefactor y verificar cual es la condición de borde que mejor describe el
sistema en estudio. Un modo de simular el efecto de que el calefactor tiene una masa
finita, consiste en definir la coordenada x (que se usa en las Ec.(24)) como:
0xxx real δ+= , (25)
donde xreal es la posición medida del termómetro y δx0 un parámetro que se ajusta de
modo tal que la Ec.(24) reproduzca los valores medidos de la temperatura para el
termómetro más cercano al calefactor.
Es interesante notar que los máximos de temperatura Tmax para una dada profundidad (x)
ocurrirán cuando el valor de coseno sea igual a 1. O sea:
( ) )/exp(
4)exp(
40
0
2
0 µπ
θε
π
θθ xx
nx n
imparn
max −
≈−
= ∑
=
, (26)
Fig.6 Perfiles de la temperatura de una barra a distintas profundidades para distintos tiempos,
suponiendo una condición de temperatura periódica en su extremo izquierdo (x=0) de periodo
p0=180 s. Las distintas curvas correspondes a distintos tiempo normalizados t/p0. El panel
superior corresponde a K=250 w/m.k y el panel inferior a K=120 w/m.k. Estos gráficos se
obtuvieron usando la Ec.(24).
esto es consecuencia de que los términos asociados a n>1 se atenúan a distancias cada vez
menores, por lo tanto, para una barra metálica, a unos pocos centímetros del extremo en
contacto con el calefactor, la expresión (25) es una buena aproximación y no indica un
posible modo de medir k, se determina la amplitud de la onda térmica, θmax(xi), en función dela profundidad xi (posición de termómetro i). Si el grafico de ln(θmax(xi)/θmax(x1)) en función
Barra Al L(m)=0.8 T0(s)=180 Nmax=20 Diam(cm)=1.5 K(w/mk)=120
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35x (m)
T(t
) [º
C]
0.00
0.10
0.20
0.50
0.60
0.85
Barra Al L(m)=0.8 T0(s)=180 Nmax=20 Diam(cm)=1.5 K(w/mk)=250
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35x (m)
T(t
) [º
C]
0.00
0.10
0.20
0.50
0.60
0.85
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 9
de xi es lineal de la pendiente, ec.(25), podemos determinar k, x1 es la posición del
termómetro más cercano al calefactor.
Proyecto 1 – Propiedades térmicas del suelo16
Un problema de mucha importancia práctica en muchos campos es comprender las
propiedades térmicas del suelo. En agricultura, es importante conocer la temperatura a
la que se encuentran las semillas para su correcta germinación y crecimiento. También
en ingeniería es impotente conocer las variaciones térmicas del suelo. En particular
tanto los gasoductos como oleoductos no deben estar sometidos a grandes variaciones
térmicas, ya que por su longitud las variaciones de longitudes pueden ser grandes y
afectar su estructura. Para estudiar las propiedades térmicas del suelo, se propone medir
la temperatura a diversas profundidades como función del tiempo, a lo largo de uno o
dos días. Para este experimento es conveniente elegir días despejados de gran amplitud
térmica. Se sugiere colocar varios termómetros, conectados a un sistema de adquisición
de datos por computadora. Es conveniente tener un sensor que registre la temperatura
ambiente a, uno o dos cm del suelo. El más profundo no debería superar unos 20 cm.
Los sensores térmicos pueden ser termistores, termocuplas, Pt100, o sensores basados en
circuitos integrados como los LM35.17
� Comience la adquisición de datos, midiendo las temperaturas a una tasa de
aproximadamente 1 medición por minuto,
� Con los datos obtenidos a lo largo de uno o dos días completos, graficar para cada
termómetro (xi) la temperatura en función del tiempo.
� Para cada sensor, determine la amplitud térmica ∆T=(Tmax-Tmin) para un díacompleto, y grafique ∆T como función de la profundidad x, en escala lineal y
semilogarítmica. Si observa una dependencia exponencial, como la que predice la
Ec.(24), determine µ0 a partir de sus datos. Estime el valor de la difusividad del
suelo y compare con los valores los valores tabulado. Para un suelo seco k= 3.81
m2/s ( K= 1.2 w/m.k, ρ= 2500 kg/m3
y c= 1260 J/kg.k), Ver Apéndice A.
� A partir de la posición temporal de los máximos de dos termómetro, 1 y 2,
determine el intervalo de tiempo ∆t12 en que cada uno alcanza su máximo. A partir
de estos datos estime la velocidad de propagación de las ondas de calor en el suelo
v0 = (x2-x1)/∆t12 para los distintos pares de termómetros usados y obtenga el mejor
valor de v0 y k y sus respectivas incertezas. Compare su valor con el predicho por el
modelo teórico, Ec.(11). Un método mejor de obtener el valor promedio de v0
Equipamiento recomendado: tres o más termómetros conectados a un sistema de adquisición de datos
por computadora.
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 10
consiste en graficar la posición de cada termómetro xi como función de defasaje ∆t1ide cada uno de ellos respecto del primero (el que está en la superficie 1). Si los datos
se alinean, la pendiente será el mejor valor de v0.
� Usando todos los datos medidos de T(x,t), con el modelo descrito por la Ec.(16),
intente ajustar sus datos con esta expresión teórica. Varíe el valor de la constante k
hasta obtener el mejor ajuste de los datos posible. Discuta la bondad del modelo
propuesto. En el apéndice A se proveen datos de conductividades y difusividades de
distintos materiales. (Los datos de las Ref. 11, se indican en el archivo Soil_2k1.xls,
hoja=Datos_ref)
� Usando el modelo descrito por la Ec.(16), intente describir los datos de temperatura
en función de profundidad para el ciclo anual (verano invierno) usando los datos de
la Fig. 1, ref. 4. (Los datos de las Ref. 4, se indican en el archivo Soil_2k1.xls,
hoja=Datos_ref). En el mismo grafico represente los datos experimentales, y los
teóricos. ¿Qué puede concluir de estos gráficos respecto al modelo propuesto?
� (Análisis avanzado - opcional) Usando todos los datos medidos de T(x1,t)=
temperaturas de la superficie, con el modelo descrito por la Ec.(13), determine los
primeros 5 o 7 coeficiente de Fourier An para describir la temperatura de 1 día.
Usando estos coeficientes y la expresión (15), intente ajustar sus datos medidos con
esta expresión teórica. Varíe el valor de la constante k hasta obtener el mejor ajuste
de los datos posible. Discuta la bondad del modelo propuesto.
Proyecto 2 – Estudio de conducción y convección
Para este experimento se propone usar al menos dos barras metálicas de unos 60 cm a 1
m de longitud y de diámetro entre 5 mm a 2 cm una longitud de unos 50 a 70 cm. El
arreglo experimental propuesto consiste en disponer de dos recipientes de poliuretano
expandido (telgopor) de ½ a 1 litro, los envase de helado pueden servir muy bien para
este experimento. Realice perforaciones a los lados de dichos recipientes de modo de
introducir las barras uno 4 o 5 cm dentro de los mismos y selle con epoxy como se
indica en la Fig. 6.
Fig.6 Arreglo experimental, barra metálica de cobre o acero inoxidable. Los recipientes de los extremos
actúan como reservorios de calor. Un termómetro o termocupla mide la temperatura de la barra en
función de la posición x.
En cada uno de los recipientes mantenga la temperatura lo más constante posible, por ejemplo colocando
hielo en la parte fría y haciendo hervir el agua en la caliente. Controle la temperatura en cada uno de los
x
xx
ºC
Te= Temperatura ambiente
L
T≈100ºC T≈0ºC
Equipamiento recomendado: Al menos dos barras metálicas de unos 60 cm a 1 m de longitud
y de diámetro entre 5 mm a 2 cm una longitud de unos 50 a 70 cm. Dos termómetros
estándares (alcohol o mercurio). Un termómetro basado en un termistor o termocupla. Dos
recipientes de poliuretano expandido (telgopor) de ½ a 1 litro
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 11
reservorios. Con un termómetro basado en un termistor, o termocupla, controle la temperatura en un
punto cercano a la fuente caliente, pero unos 5 a 10 cm de ella.
���� Cuando la temperatura deje de variar con el tiempo, habremos alcanzado un régimen
estacionario. En estas condiciones, mida la temperatura de cada una de las barras usada en
función de la posición x.
���� Para cada barra grafique la temperatura T(x) como función de x. En el mismo grafico, trace la
curva correspondiente al modelo teórico, Ec.(A7), Ver apéndice A. Varié el parámetro α ydetermine el valor de mismo que mejor reproduzca sus datos experimentales.
���� Usando los valores de conductividad de tablas (apéndice B) estime el mejor valor del coeficiente
de convección h para las barras en el aire. Compare su valor con los valores de tabla.
���� Discuta la bondad del modelo para reproducir sus datos y para cada caso indique la relevancia
del fenómeno de convección en cada tipo de barra usada.
Proyecto 3 – Ondas de Calor
Para este experimento se propone usar una barra metálica de unos 60 cm a 1 m de longitud y
de diámetro entre 1 a 2 cm. Uno de los extremos se reduce con un torno de modo que pueda
conectase al calefactor de un soldador de estaño estándar. Se realizan perforaciones de unos 5 a
8 mm de profundidad de modo de insertar en ellos los sensores de temperatura. A distancias de
unos 4 a 5 cm sobre el largo de la barra. En estas perforaciones se colocan los sensores de
temperaturas conectados a un sistema de adquisición de datos conectados a una computadora. El
calefactor puede ser encendido de modo periódico. Es conveniente disponer de unas tres o más
barras de características geométricas similares pero de distintos materiales. Una de ellas es
conveniente que sea de un metal cuyas propiedades térmicas sean bien conocidas, de modo de
poder usarla como banco de prueba del método experimental propuesto. Los sensores térmicos
pueden ser termistores, termocuplas, Pt100, o sensores basados en circuitos integrados como los
LM35.17 En la Fig. 6 se muestra un diagrama esquemático del experimento.
Las posiciones de los sensores térmicos, xi, nos indican la coordenada o “profundidad” a
la que medimos la temperatura. Es conveniente elegir un periodo p de excitación de la
fuente térmica entre unos 100 a 500 s.
Fig.7 Arreglo experimental, barra metálica de unos 60 a 1 m y de diámetro de aproximadamente 1 cm,
conectada a un calefactor que puede ser encendido de modo periódico.
� Elija un período, p0, de excitación y comience a ciclar la fuente térmica hasta que se
observe que se encontró una situación estacionaria. Esto significa que la temperatura
media de cada termómetro se mantiene constante. Operacionalmente, se puede
Calefactor
Interruptor
Termómetros
conectados a una PC
Barra metálica
Fuente de
potencia
Equipamiento recomendado: Al menos dos barras metálicas de unos 60 cm a 1 m de longitud
y de diámetro entre 5 mm a 2 cm una longitud de unos 50 a 70 cm. Al menos tres termómetros
conectados a un sistema de adquisición de datos por computadora.
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 12
verificar si la barra llegó al estado estacionario graficando las temperaturas máximas
Tmax(x) y Tmin(x) en función de x. Si la relación entre estas variables es lineal, esto es
indicativo que estamos en condiciones estacionarias.
Temperaturas en función de t
-5
0
5
10
15
20
25
- 5 10 15 20t
T(°
C)
x=x 1
x=x 2
x=x 3
T min
T max
Fig.8 Variación de la temperatura de distintos termómetro en distintas posiciones (xi), como función del
tiempo. Nótese que los valores máximos y mínimos se alcanzan en distinto tiempo ti.
� Comience la adquisición de datos, midiendo las temperaturas a una taza de
aproximadamente 1 a 5 mediciones por segundo, asegurándose de medir al menos
unos 5 ciclos completos.
� Con los datos obtenidos, graficar para cada termómetro (xi) la temperatura en
función del tiempo y verifique si se llegó a una situación estacionaria. En estas
condiciones la señal oscila manteniendo los mismos máximos, mínimos y valor
medio.
� Graficar para cada termómetro su valor medio temporal <T(x)>(≈0.5(Tmax+ Tmin)) ygraficar como función de x. Si la relación es lineal, obtener los parámetros T00
y m
de la relación (8), Tb(x)=T00-m.x. Una vez determinada esta expresión, calcular la
temperatura normalizada θ(x,t)=Tmedida(x,t)-Tb(x),
� En condiciones estacionarias, graficar la temperatura máxima θmax (observada paracada termómetro i en la posición xi) como función de la posición xi, en escala lineal
y semilogarítmica. ¿Qué pude concluir a cerca de la dependencia de θmax(x) confunción de x?. Si la dependencia es exponencial, usando la expresión (26),
determine µ0 para cada una de las barras estudiadas y a partir de esta información,
usando la expresión (10) determine la difusividad k y la conductividad K de cada
barra.
� A partir de la posición temporal de los máximos de dos termómetro, 1 y j, determine
el intervalo de tiempo ∆tj1 en que cada uno alcanza su máximo. A partir de estos
datos estime la velocidad de propagación de las ondas de calor en el suelo v0 = (xj-
x1)/∆tj1 para los distintos pares de termómetros usados y obtenga el mejor valor de
v0 y k y sus respectivas incertezas. Compare su valor con el predicho por el modelo
teórico, Ec.(11). Un método mejor de obtener el valor promedio de v0 consiste en
graficar la posición de cada termómetro xi como función de defasaje ∆tj1 de cadauno de ellos respecto del primero (el que está en la superficie 1). Si los datos se
alinean, la pendiente será el mejor valor de v0.
� Usando estas expresiones, Eqs (19) y (20), comparar las predicciones de ese modelo
con los datos medidos. Ajustar los datos experimentales con esta expresión y
obtener el mejor valor de la constante µ0 = π/kp ⋅ y una estimación de su error.
� Determine el mejor valor de k y estime su error.
� Usando los datos de los máximos (Tmax) para una dada barra, excitada con diversos
períodos p, de ser adecuado el modelo descrito por la Ec. (16), el gráfico de
t3
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 13
Tmax/θmax como función de z= π// px debería tener una dependencia exponencial
común para todos los datos de distintos periodos. Usando sus datos experimentales,
grafique Tmax/θ0 en función de z en escala semilogarítmica y discuta la validez de
esta hipótesis. De verificarse esta hipótesis, obtenga el valor de k para esta barra y
estime su error. ¿Cómo se compara este valor con los obtenidos anteriormente y los
valores de tabla?
� A partir de sus resultados experimentales, determine la velocidad de propagación v0
de las ondas térmica para los distintos periodos usados. Grafique kv /2
0 como
función de 1/p0. ¿Qué puede concluir de este gráfico?
� Discuta como se atenúan las ondas térmicas para ondas excitadoras de distintas
frecuencias usando sus datos experimentales.
� Para la barra de propiedades térmicas conocida, compare el valor obtenido para k
con los valores tabulados para esta misma cantidad. ¿Qué puede concluir de este
análisis?
� Usando todos los datos medidos de T(x,t), usando el modelo descrito por la Ec.(17),
intente ajustar los datos medidos con esta expresión teórica. Varíe el valor de la
constante k hasta obtener el mejor ajuste de los datos posible. Discuta la bondad del
modelo propuesto.
� Repita este análisis para todas las barras que tenga disponible y compare sus
resultados con los obtenidos por otros compañeros para sistemas similares.
Apéndice A
Estudio de una barra metálica con enfriamiento lateral debido a la convección
Convección libre- Ley de Newton: Para un cuerpo que se encuentra a una temperatura
T(t) en un medio fluido a una temperatura Te, su enfriamiento es consecuencia de la
conducción a través del fluido y el movimiento del mismo. Este proceso combinado se
llama convección y es en general un proceso muy complejo. Si embargo una
aproximación útil de este proceso viene descripta por la ley de Newton:
))(( TetTAhdt
dQP s
convconv −⋅== , (A1)
donde As es la superficie del cuerpo y h es el coeficiente de transferencia de calor por
convección. Si existen ventiladores la convección es forzada, en caso contrario la
convección se denomina natural o libre. En la Tabla 1 se indican valores aproximados
para h.11
Consideremos una barra de longitud L y radio a. Si los efectos de convección no son
despreciables, realizando un balance de energía en un elemento infinitesimal, tenemos:
Fig.7 Balance de energía para un elemento infinitesimal de volumen de una barra.
( ) )),((),(
esdxxxTtxThAxTxTKA
t
txTxAc −−∂∂−∂∂−=
∂
∂+
δρ (A2)
o bien,
P(x+dx)=-K A dxx
dxdT+
P(x+dx)=-K A x
dxdT
Pconv=-h As (T-Te)
T, ρ, c
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 14
)),((),(
2
2
eTtxTAc
Perh
x
T
c
K
t
txT−
⋅−
∂
∂+=
∂
∂
ρρ. (A3)
Aquí Per(=2π.a) es el perímetro de la superficie y As (Per.δx) es la superficie lateral deelemento en análisis. Definiendo k=K/cρ y β=h.Per/cρA, y θ(x,t)=T(x,t)-Te, tenemos:
),(),(
2
2
txx
kt
txθβ
θθ⋅−
∂
∂+=
∂
∂. (A4)
En condiciones estacionaria ( 0/ =∂∂ tθ ):
),(),( 2
2
2
txtxkx
θαθβθ
⋅=⋅=∂
∂. (A5)
Para una barra de sección circular y radio a, tenemos:
aK
h
A
Per
K
hk
2/2 === βα . (A6)
Consideremos una barra cuyo extremo izquierdo está a una temperatura fija Ta y su
extremo derecho está a otra temperatura Tb, resolviendo (A4) tenemos:
)sinh(
)sinh()(
)sinh(
))(sinh()()(
L
xTT
L
xLTTTxT ebeae
α
α
α
α ⋅−+
−−+= . (A7)
Es útil definir el Número de Biot (Bi) como el cociente entre los efectos convectivos a
los conductivos en un cuerpo:
2
2 4
2
a
a
K
h
A
Per
K
h
PerK
Ah
conducciónporcalordeFlujo
convecciónporcalordeFlujoBi α===
⋅
⋅== . (A7)
Fig.8 Efecto de la convección en una barra de cobre en aire (panel superior Bi=9 10-5) y de aceroinoxidable en agua(panel inferior Bi=2.3 10
-2), ambas en estado estacionario y diámetro 1.5 cm. La línea
continua gruesa es la solución (A4) teniendo en cuenta la convección y conducción. La línea fina es el
resultado de desprecia la convección. Se ve claramente que cuando Bi<<1 depreciar la convección es una
aproximación razonable, en caso contrario el efecto de la convección es importante. La temperatura
externa es de 25°C.
Cu (aire) L(m)=0.8 K(W/mc)=401 h(w/m2c)=10 L(cm)=80 Tex(°C)=25
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80x(cm)
T [
ºC]
T_cond(X)
T(x) [°C]
Barra Acero Inox (agua) L(m)=0.8 K(W/mc)=16.2 h(w/m2c)=100 L(cm)=80
Tex(°C)=25
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80x(cm)
T [
ºC]
T_cond(X)
T(x) [°C]
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 15
En general hay bastante incerteza en el valor de h (un 10% es característico), en la
práctica se considera que los efectos convectivos son despreciables respecto de los
conductivos si Bi<0.01. En la Figura 8 se representan la variaciones de temperatura para
una barra de cobre (buen conductor) en aire y una de acero inoxidable (mal conductor)
en agua, ambas de radio a =1cm. Vemos que el segundo caso no es posible despreciar
los efectos de la convección.
Estado transitorioConsideremos una barra de longitud L y radio a, que originalmente está a una
temperatura descripta por la función F(x), la temperatura externa es Te y Ti es otra
temperatura de referencia. Definimos los siguientes parámetros adimensionales:
ei
e
TT
TtxTtx
−
−=
),(),(θ
LxX /= (A8)2/ Lkt=τ
Con estos cambios de variables, la Ec.(6) se puede escribir como:
2
2),(
X
X
∂
∂=
∂
∂ θ
τ
τθ. (A9)
Consideremos una barra de buena conductividad de modo que los efectos de convección
puedan ser despreciados (Bi<<1) y cuyo diámetro sea mucho menor que su longitud,
suponiendo que para t=0 la temperatura de la misma viene descripta por la función F(x),
que tiene una transformada de Fourier dada por:
∫∞
∞−
⋅= νννdfxF exj
)()( . (A8)
con
∫∞
∞−
−⋅= dxxFf e
xjν
πν )(
2
1)( . (A9)
ωνωννω
ddgftxT eexjtj
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
⋅⋅⋅⋅= )()(),( . (A10)
Resolviendo la Ec.(6) por separación de variables,18 tenemos:
αββπ
βααddftxT ee
xjtk
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−⋅−⋅=
)()( 2
)(1
),( . (A10)
o también
∫∞
∞−
⋅−−⋅
⋅= ββ
π
βdf
kttxT e
tkx )4/()( 2
)(2
1),( . (A11)
Apéndice B.
Tabla 1 – Coeficiente de convección
Tipo h[w/m2ºC]
Convección libre en gases 2 - 25
Convección libre en líquido 10 - 1000
Convección forzada en gases 25 - 250
Convección forzada en líquido 2500 - 105
Ondas de Calor y Calentamiento global – S. Gil UNSAM 2008 16
Conductividades y difusividades: de distintos materiales.19 Más información se puede
obtener de la Ref. 7 y http://www.engineeringtoolbox.com/thermal-conductivity-d_429.html
Tabla 2 – Conductividad térmica y coeficiente de difusividad
Material
ConductividadDifusividad
K(W/mºC) k(m2/s)x106
Plata 429 177.6
Diamante 2300 149.0
Oro 317 127.0
Cobre 401 113.0
Aluminio 237 97.5
Bronce
(Cu63%,Zn37%)109 33.6
Hierro 80.2 22.8
Aire (g) 0.026 21.559
Bronze
(Cu89%,Sn11%)52 16.1
Mercurio (liq) 8.54 4.7
Acero
Inoxidable(25°C)16.2 4.03
Tierra seca 1.5 2.778
Saladar (Salt-Marsh) 0.61 0.157
Suelo (seco) 2.5 0.47
Hielo 1.97 1.2
Expanded polystyrene 0.033 1.1
Suelo (seco) 1.5 0.52
Ladrillo 0.72 0.52
Vidrio 0.78 0.34
Fibra de Vidrio 0.043 0.23
Agua (LIQ) 0.613 0.14
Madera (Roble) 0.17 0.13
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Change. Carbon Dioxide Information Analysis Center, Oak Ridge National Laboratory, U.S.
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Assessment Report: Climate Change 2007 http://www.wmo.int/pages/partners/ipcc/index_en.html6 R. A. Muller, G. J. MacDonald, Ice Ages and Astronomical Causes: Data, Spectral Analysis, and
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11 Y.A. Cengel, Heat transfer, a practical approach, ( The Mc Graw-Hill Co. NY 2003)
12 M. R Spiegel, Advanced Mathematics for Engineers and Scientists, (McGraw Hill, N.Y. 1980)
13 A. Bodas, V. Gandía, and E. López-Baezab , “An undergraduate experiment on the propagation of
thermal waves,” J. Phys., 66, (6), 528, (1998)14 M. C. Sullivan and B. G. Thompson, “An experiment on the dynamics of thermal diffusion,” J.
Phys., 76, (7), 637, (2008)15 Hwe P. Hsu, Applied Fourier Analysis ( Int. Thompson, NY, 1984)
16 G. McIntosh and B.S. Sharratt, “Thermal Properties of soil,” The Phys. Teach. 39, 458-460 (2001).
17 National semiconductor Precision Centigrade Temperature Sensor (LM 35)
http://www.national.com/mpf/LM/LM35.html18 L. A. Pipes and L. R. Harvill, Applied Mathematics for Engineers and Physicists (McGraw-Hill,
New York, 1970), 3rd ed19Tablas muy completas pueden encontrarse en: The Engineering ToolBox:
http://www.engineeringtoolbox.com/material-properties-t_24.html