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AIDER EPNRESUMEN • COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL
Semestre 2019-B Naraya Narváez
0. ÍNDICE
1 Espacio Vectorial Complejo 31.1 Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Forma polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tipos de matrices complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Matriz Conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Matriz Hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Matriz Unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Matriz Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Sistema de ecuaciones lineales con coeficientes complejos . . . . . . 81.4 Operaciones con matrices complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Espacios Unitarios 12
3 Espacio Vectorial Cociente 173.1 Relación binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Digrafo asociado a una relación de equivalencia . . . . . . . 183.2 Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Relación de equivalencia en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . 25
3.4.1 Interpretación ( Relación de equivalencia sobre un espaciovectorial ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 Operaciones suma y producto por escalar . . . . . . . . . . . 293.5 Teoremas de isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Espacio Vectorial Dual 414.1 Cambio de base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Espacio Bidual 48
6 Anuladores de un subespacio (Aniquiladores). 51
7 Subespacios invariantes 58
1
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
8 Isomorfismo inducido 61
9 Notas 67
2
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
1. ESPACIO VECTORIAL COMPLEJO
1.1 Números Complejos
Definición 1Si a y b son números reales, entonces el número a + bi, es un número com-
plejo, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
La forma a + bi de expresar un número complejo se conoce como " formaestandar".
Definición 2: –Plano complejo o plano de Argand–
El plano complejo es una adaptación del plano de coordenadas rectangu-lar. Específicamente el eje horizontal se asocia con la parte real y el eje verticalse asocia con la parte imaginaria.
Re
Im
b
a
|z|
z
Figura 1: Número complejo z = a + ib en el plano complejo, la longitud del vector serepresenta con |z|
1.1.1. Operaciones con números complejos
La suma y la multiplicación de dos numeros complejos
z1 = a + ib z2 = c + id
3
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
se define como:
∗ Suma: z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
∗ Multiplicación: z1 z2 = (a + ib) (c + id) = (ac− bd) + i(ad + bc)
∗ Multiplicación por un escalar: Si α ∈ R, αz1 = α(a + ib) = αa + i(αb)
Definición 3: –Conjugado de un número complejo–
El conjugado de un número complejo z = a + ib se denota z y está dadopor:
z = a− ib.
I Propiedades
∗ z · z = a2 + b2 ∗ z · z ≥ 0 ∗ (z) = z
∗ z · z = 0 ssi = 0
Definición 4: –Módulo de un número complejo–
El módulo de z = a + ib, denotado por |z| está dado por:
|z| =√
a2 + b2
1.1.2. Forma polar de un número complejo
La forma polar de un número complejo no nulo z = a + ib está dada por:
z = r (cos θ + i sen θ)
donde:
∗ r = |z| =√
a2 + b2
∗ a = r cos θ
∗ b = r sen θ
∗ θ = arc tan(
ba
)(argumento de z)
• Producto y división de dos números complejos en forma polar
Dados dos números en forma polar:
z1 = r1 (cos θ1 + i sen θ1) z2 = r2 (cos θ2 + i sen θ2)
el producto y división están dados por:
4
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
∗ z1z2 = r1r2 [cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)]
∗ z1
z2=
r1
r2[cos (θ1 − θ2) + i sen (θ1 − θ2)], para z 6= 0
• Potencia de un número complejo
Teorema 1: –Teorema de DeMoivre′s–Si z = r(cos θ + i sen θ) y n ∈N, entonces :
zn = rn(cos (nθ) + i sen (nθ))
• Raíz n-ésima de un número complejo
Para n ∈ N, el número complejo z = r(cos θ + i sen θ) tiene exactamente nraices distintas, mismas que son obtenidas como:
n√
r[
cos(
θ + 2πkn
)+ i sen
(θ + 2πk
n
)]donde k = 0, 1, . . . , n− 1
1.2 Tipos de matrices complejas
1.2.1. Matriz Conjugada
Definición 5: –Matriz Conjugada–
Sea A ∈ M(C)nxm. Diremos que su conjugada es la matriz A ∈ M(C)nxm talque:
A =(aij)
nxm
es decir, la matriz A contiene contiene el conjugado de cada elemento dela matriz original A.
Ejemplo 1. Dada la matriz:
A =
(2− i −1 + 3i3 + 2i −2i
)
obtenemos A como:
A =
(2 + i −1− 3i3− 2i 2i
)
5
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
I Propiedades
Sean A, B ∈ Cmxn y C ∈ Cnxk, entonces:
∗ A = A
∗ A + B = A + B
∗ AC = A · C
∗ ∀α ∈ R, αA = αA
∗(
A)T
= AT
∗ ∀β ∈ C, βA = β A
∗ Si A es no singular,(
A)−1
= A−1
Demostración.Sean A, B ∈ Cmxn Demostremos que A + B = A + B
Tomemos el elemento ij de la matriz A + B.
(A + B
)ij = aij + bij = aij + bij =
(A)
ij +(
B)
ij
∀i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}. Esto prueba que A + B = A + B.
Demostración.Sean A ∈ Cmxn Demostremos que
(A)T
= AT
Tomemos el elemento ij de la matriz(
A)T .
(A)T
ij =(
aij)T
=(
aji)=(
aTij
)Lo anterior prueba que
(A)T
= AT .
1.2.2. Matriz Hermitiana
Definición 6: –Matriz Hermitiana–Una matriz A ∈ Cnxn se dice hermitiana si:
AT = A
es deciraji = aij ∀i, j
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Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Ejemplo 2. La matriz:
A =
(3 2− i
2 + i 4
)es hermitiana pues
AT =
(3 2− i
2 + i 4
)=
(3 2− i
2 + i 4
)
Todas las matrices simétricas reales son hermitianas, por tanto, pode-mos considerar a las matrices hermitianas análogas de las matrices simétri-cas reales.
I Propiedades
∗ Los términos de la diagonal de una matriz hermitiana son reales.
∗ Toda matriz hermitiana A pude escribirse de la forma A = B+ iC donde B esuna matriz simétrica (B = BT) y C es una matriz antisimétrica (C = −CT).
1.2.3. Matriz Unitaria.
Definición 7: –Matriz Unitaria–Una matriz A ∈ Cnxn, se dice unitaria si:
(AT) · A = A · (AT) = In
Es decir, la matriz A es unitaria cuando: A−1 = AT
Ejemplo 3. La matriz:
A =
√3
3
(1 1 + i
1− i −1
)
(AT) · A =
√3
3
(1 1 + i
1− i −1
)·√
33
(1 1 + i
1− i −1
)
=13
(3 00 3
)=
(1 00 1
)= I2.
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Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
1.2.4. Matriz Normal
Definición 8: –Matriz Normal–Una matriz A ∈ Cnxn se dice normal si:
( AT ) · A = A · ( AT )
Ejemplo 4. La matriz A =
(5− i −1 + i−1− i 3− i
)es normal pues:
( AT ) · A =
(28 −8 + 8i
−8− 8i 12
)= A · ( AT )
• Si A ∈ Cnxn es unitaria, entonces A es normal.
• Si A ∈ Cnxn es hermitiana, entonces A es normal.
1.3 Sistema de ecuaciones lineales con coeficientes complejos
Consideremos el sistema Ax = b con A ∈ Cmxn, x ∈ Cn y b ∈ Cm.
Las técnicas de resolución de sistemas lineales de ecuaciones con coeficientesreales se transfieren de manera directa a los sistemas de ecuaciones lineales com-plejos, para esto, basta hacer uso de la aritmética compleja.
Ejercicio 1. Resuelva el sistema lineal:{(1 + i)x + (2 + i)y = 5(2− 2i)x + iy = 1 + 2i
Solución. x = 0, y = 2− i
1.4 Operaciones con matrices complejas
Sean las matrices:
A =
(2− i −5 + 2i3− i −6 + 2i
)y B =
(2i 0i 1 + 2i
)Halle:
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Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
•(2− i)A =
((4− 1) + (−2− 2)i (−10 + 2) + (5 + 4)i(6− 1) + (−3− 2)i (−12 + 2) + (4 + 6)i
)=
(3− 4i −8 + 9i5− 5i −10 + 10i
)
•BA =
(2i (2− i) + 0 · (3− i) 2i (−5 + 2i) + 0 · (−6 + 2i)
2i (−5 + 2i) + 0 · (−6 + 2i) i (−5 + 2i) + (1 + 2i) (−6 + 2i)
)
=
(2 + 4i −4− 10i6 + 7i −12− 15i
)
•det(A) = (2− i) (−6 + 2i)− (−5 + 2i) (3− i) = 3− i
•A−1 =1
det(A)
(−6 + 2i − (−5 + 2i)− (3− i) 2− i
)=
(−2 17−i
10−1 7−i
10
)
•A · A−1 =
(2− i) (−2) + (−5 + 2i) (−1) (2− i)(
1710 − i 1
10
)+ (−5 + 2i)
(7
10 − i 110
)(3− i) (−2) + (−6 + 2i) (−1) (3− i)
(1710 − i 1
10
)+ (−6 + 2i)
(7
10 − i 110
)=
(1 00 1
)
A la matriz conjugada transpuesta AT se la denota por A∗.
Teorema 2Sea A ∈ Cnxn, una matriz hermitiana, entonces sus valores propios son
números reales.
Demostración. Sea λ un valor propio de A y sea v =
a1 + b1i
...an + bni
su correspon-
diente vector propio asociado.
De modo que Av = λv. Multiplicando a la expresión por v∗ se tiene que:
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Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
v∗Av = v∗λv = λ(v∗v) = λn
∑k=1
(a2k + b2
k)
Por otro lado:
(v∗Av)∗ = v∗A∗(v∗)∗ = v∗Av
Es decir v∗Av es hermitiana de orden 1x1, además v∗Av es real.
De lo anterior, que λ sea un número real.
Ejercicio 2. Encuentre los valores propios de la matriz
A =
3 2− i −3i2 + i 0 1− i
3i 1 + i 0
Solución. El polinomio característico es:
PA(λ) = |A− λI| =
∣∣∣∣∣∣∣3− λ 2− i −3i2 + i −λ 1− i
3i 1 + i −λ
∣∣∣∣∣∣∣= (3− λ)
∣∣∣∣∣ −λ 1− i1 + i −λ
∣∣∣∣∣− (2− i)
∣∣∣∣∣ 2 + i 1− i3i −λ
∣∣∣∣∣− 3i
∣∣∣∣∣ 2 + i λ
3i 1 + i
∣∣∣∣∣= (3− λ)
(λ2 − 2
)− (2− i) (−2λ− 3 + i (−3− λ))− 3i (1 + i (3 + 3λ))
=− λ3 + 3λ2 + 16λ + 12 = 0
Hallamos las raíces:
−λ3 + 3λ2 + 16λ + 12 = 0 =
λ = −1λ = 6λ = −2
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Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Así como las matrices simétricas reales son diagonalizables, las matrices her-mitianas son diagonalizables unitariamente.
Una matriz A ∈ Cnxn es diagonalizable si existe una matriz unitaria P tal que:
D = P∗AP
donde D es una matriz diagonal de orden nxn cuyos elementos de la diagonalcoinciden con los valores propios de A.
Teorema 3Si A ∈ Cnxn es una matriz hermitiana, entonces:
1. Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos sonortogonales.
2. A es diagonalizable unitariamente.
Demostración. Sean los vectores propios v1 y v2, correspondientes a distintos va-lores propios λ1 y λ2 respectivamente.
Se tiene que Av1 = λ1v1 y Av2 = λ2v2
Además
(Av1)∗v2 = v∗1 A∗v2 = v∗1 Av2 pues A es hermitiana
Luegov∗1 Av2 = v∗1λ2v2 = λ2v∗1v2 (1)
Por otro lado
(Av1)∗v2 = (λ1v1)
∗v2 = v∗1λ1v2 = λ1v∗1v2 (2)
Luego de (1) y (2) como λ1 6= λ2, se sigue que:
v∗1v2 = 0
Lo anterior prueba que v1 y v2 son ortogonales.
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Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
2. ESPACIOS UNITARIOS
Sea V un espacio vectorial sobre C es decir (V, C,+, ·).
Definición 9: –Producto Hermítico–Un producto hermítico en V es una función, tal que:
〈 , 〉 : V ×V −→ C
(v1, v2) 7−→ 〈v1, v2〉 = v∗1 v2
y verifica lo siguiente:
1) Es sesquilineal: Para todo v1, v2, v3 ∈ V y α ∈ C.
〈v1 + v2, v3〉 = 〈v1, v3〉+ 〈v2, v3〉
〈v1, v2 + v3〉 = 〈v1, v2〉+ 〈v1, v3〉
〈αv1, v2〉 = α〈v1, v2〉
〈v1, αv2〉 = α〈v1, v2〉
2) Es hermítico: Para todo v1, v2 ∈ V
〈v1, v2〉 = 〈v2, v1〉
3) Es definido positivamente: Para todo v ∈ V, v 6= 0, 〈v, v〉 > 0.
Un espacio unitario es un espacio vectorial sobre C provisto de un pro-ducto hermítico.
Observación. Se sigue que 〈v, v〉 = 0 ssi v = 0.
Ejemplo 5.
1. Sobre V = Cn 〈(z1, . . . , zn), (w1, . . . , wn)〉 =n
∑i=1
zi · wi
2. Sobre V = Cnxn 〈A, B〉 = tr(B∗A)
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Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
3. Sea [a, b] ∈ R un intervalo cerrado sobre CC[a, b], el conjunto de funcionescontinuas f , g : [a, b]→ C,
〈 f , g〉 =∫ b
af (x)g(x)dx
Definición 10: –Norma–Dado un espacio unitario V, definimos la norma de v ∈ V, por
‖v‖ =√〈v1, v2〉
Teorema 4Sea V un espacio unitario, entonces:
1. ‖α · v‖ = |α| ‖v‖, para todo α ∈ C y v ∈ V.
2. Desigualdad de Cauchi-Schawarz: | 〈v1, v2〉 | ≤ ‖v1‖ ‖v2‖, para todov1, v2 ∈ V.
Más aún, se tiene que:
〈v1, v2〉 = ‖v1‖ · ‖v2‖
Ú nicamente cuando el conjunto {v1, v2} es linealmente dependiente.
3. Desigualdad triangular: ‖v1 + v2‖ ≤ ‖v1‖+ ‖v2‖ para todo v1, v2 ∈ V.
Demostración.
1. Sea v ∈ V y α ∈ C
‖αv‖ =√〈αv, αv〉 =
√αα 〈v, v〉 =
√αα√〈v, v〉 = ‖α‖ ‖v‖
2. Si v1 = 0 o v2 = 0 se tiene que 〈v1, v2〉 = ‖v1‖ ‖v2‖ = 0, con lo cual sedemuestra la proposición.
Ahora supongamos que v2 6= 0 y se tiene el siguiente resultado:
0 ≤‖av1 − bv2‖2 ∀a, b ∈ C
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Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
= 〈av1 − bv2, av1 − bv2〉=aa 〈v1, v1〉 − ba 〈v2, v1〉 − ab 〈v1, v2〉+ bb 〈v2, v2〉
|a| =√
aa⇒ =|a|2 ‖v1‖2 − (ba 〈v2, v1〉+ ab 〈v1, v2〉) + |b|2 ‖v2‖2
Ahora tomemos en particular a = ‖v2‖2 y b = 〈v1, v2〉.Así:
0 ≤‖av1 − bv2‖2
= ‖v2‖4 ‖v1‖2 − (‖v2‖2 | 〈v1, v2〉 |2)− ‖v2‖2 | 〈v1, v2〉 |2 + ‖v2‖2 | 〈v1, v2〉 |2
0 ≤‖v2‖2 (‖v2‖2 ‖v1‖2 − | 〈v1, v2〉 |2)
De donde dado que v2 6= 0, se tiene que:
0 ≤ ‖v1‖2 ‖v2‖2−| 〈v1, v1〉 |2
⇒ ‖v1‖2 ‖v2‖2 ≥| 〈v1, v2〉 |2
Y se llega a ‖v1‖ ‖v2‖ ≥| 〈v1, v2〉 |
Ahora bien, remontadas las igualdades
| 〈v1, v2〉 | = ‖v1‖ ‖v2‖
Que equivale a0 = ‖〈av1, bv2〉‖2
Es decirav1 − bv2 = 0
Así, para que se cumpla la igualdad los valores de v1y v2 deben ser lineal-mente dependientes.
3. Tomemos
‖v1 + v2‖2 = 〈v1 + v2, v1 + v2〉= 〈v1, v1〉+ 〈v1, v2〉+ 〈v2, v1〉+ 〈v2, v2〉= ‖v1‖2 + (〈v1, v2〉+ 〈v2, v1〉) + ‖v2‖2
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Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
= ‖v1‖2 + 2Re{〈v1, v2〉}+ ‖v2‖2
Sabemos queRe{〈v1, v2〉} ≤ | 〈v1, v2〉 |
Por tanto
0 ≤ ‖v1 + v2‖2 ≤‖v1‖2 + 2| 〈v1, v2〉 |+ ‖v2‖2
≤‖v1‖2 + 2 ‖v1‖ ‖v2‖+ ‖v2‖2
=(‖v1‖+ ‖v2‖)2
Así‖v1 + v2‖ ≤ ‖v1‖+ ‖v2‖
Definición 11: –Conjunto ortogonal y conjunto ortonormal–
Sea V un espacio unitario y S ⊆ V. Diremos que S es un conjunto ortogonalsi 〈v1, v2〉 = 0, para todo v1, v2 ∈ S tales que v1 6= v2.
Si además ‖v‖ = 1, para todo v ∈ S, diremos que S es un conjunto ortonor-mal.
Teorema 5Sea V un espacio unitario, S ⊆ V es ortogonal y 0 /∈ S, entonces S es
linealmente independiente.
Demostración. Sea V un espacio unitario. Supongamos que S ⊆ V es ortogonal.
Lo que se busca demostrar es que S es lineamente independiente.
Además supongamos que:
S = {x1, . . . , x2}
y existen escalares α1, . . . , αn ∈ C, tales que
α1x1 + . . . + αnxn = 0
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Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Lo que se busca demostrar es que αi = 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}
Entonces para cada i ∈ {1, . . . , n} se tiene que
0 = 〈0, xi〉 =⟨
n
∑j=1
αjxj, xi
⟩
=α1����:0〈x1, xi〉+ . . . + αi 〈xi, xi〉+ . . . + αn��
��:0〈xn, xi〉0 =αi ‖xi‖2
Luego, dado que 0 /∈ S, se tiene que xi 6= 0, por tanto para que se verifique laigualdad debe cumplirse que:
αi = 0 ∀i ∈ {1, . . . , n}
Teorema 6: –Gram-Schmidt–Sea V un espacio vectorial unitario de dimensión finita. Entonces V tiene
al menos una base ortogonal, más aún, si {v1, . . . , vn} es una base ortogonalde V existe una base ortonormal {u1, . . . , un} de V tal que
〈{v1, . . . , vn}〉 = 〈{u1, . . . , un}〉
Teorema 7Sea A ∈ Cnxn. Las siguientes proposiciones son equivalentes.
1. A es unitaria.
2. Las columnas de A forman una base ortonormal de Cn.
3. Las filas de A forman una base ortonormal de Cn.
Demostración. (1⇒ 2)
Sea A una matriz unitaria de Cnxn tal que:
A =(
A1 A2 · · · An
)donde Ai ∈ Cn representa la i-ésima columna de A.
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Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Por hipótesis se tiene que
A∗A = In
A∗A =
A∗1 A1 · · · A∗1 An
A∗2 A1 · · · A∗2 An...
. . ....
A∗n A1 · · · A∗n An
= In
Por tanto:
A∗i Aj =
{1 si i = j0 si i 6= j
3. ESPACIO VECTORIAL COCIENTE
Vamos a estudiar conjuntos (espacios vectoriales) sobre los que se van a definirrelaciones de equivalencia, las mismas que a su vez van a adquirir la estructura delespacio vectorial mediante operaciones de suma y producto por escalar, definidosespecialmente para dichos conjuntos.
3.1 Relación binaria
Una relación binaria R(∼) entre dos conjuntos A y B es una ley o criterio quepermite señalar ciertos pares ordenados en A× B. Las propiedades más frecuentesque puede tener una relación binaria sobre A, es decir, en AxA son:
1) Reflexiva: Si para todo a ∈ A se tiene que (a, a) ∈ R, (a ∼ a), aRa.
2) Simétrica: Si para todo a ∈ A y b ∈ A, entonces si (a, b) ∈ R entonces(b, a) ∈ R.
3) Transitiva: Si para todo a, b, c ∈ A se tiene que: Si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R,entonces (a, c) ∈ R.
4) Antisimétrica: Si para todo a, b ∈ A se tiene que: Si (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ Rentonces a = b.
Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia siverifica las propiedades 1, 2 y 3.
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Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Una relación sobre un conjunto A se dice que es de orden si verificalas propiedades 1, 2, 3 y 4.
Ejemplo 6. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y la relaciónR dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 3), (4, 4)}
Verifique que siR es de equivalencia
• Reflexividad: en efecto para todo x ∈ A, (x, x) ∈ R, pues (1, 1) ∈ R,(2, 2) ∈ R, (3, 3) ∈ R y (4, 4) ∈ R.
• Simetría: Veamos que si (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R.
Tenemos que (1, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R.
Además (3, 4) ∈ R y (4, 3) ∈ R.
Por tanto para todo x, y ∈ A, se tiene que si (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R, esdecir,R es simétrica.
• Transitividad: Se tiene que:
(1, 1) ∈ R y (1, 2) ∈ R ⇒(1, 2) ∈ R(1, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R ⇒(1, 1) ∈ R(1, 2) ∈ R y (2, 2) ∈ R ⇒(1, 2) ∈ R
...
(3, 3) ∈ R y (3, 4) ∈ R ⇒ (3, 4) ∈ R
Así, para todo a, b, c ∈ A se tiene que: Si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, entonces(a, c) ∈ R. Por tantoR es transitiva.
De todo lo anteriorR es de equivalencia.
3.1.1. Digrafo asociado a una relación de equivalencia
El digrafo asociado a una relación de equivalencia R tiene algunas caracterís-ticas que lo distinguen:
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Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
1) ComoR es reflexiva cada vértice tiene un bucle.
2) La simetría implica que si existe un arco desde a hasta b, también exista unarco desde b hasta a.
3) La transitividad implica que si existe un camino desde a hasta b, entonces-debe existir un arco desde a hasta b.
Ejemplo 7. El digrafo asociado aR del ejemplo anterior:
A/R 1((��2hh qq
3((11 4hh RR
Ejemplo 8. Sea el conjunto
Q3[x] = {p(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0/a3, a2, a1, a0 ∈ R∧ a3 6= 0}
Conocemos que Q3[x] no es un subespacio vectorial. pues no se verifica la clau-sura de la suma.
Si p(x) = a3x3 ∈ Q3[x] y q(x) = −p(x) ∈ Q3[x].
p(x) + q(x) /∈ Q3[x]
Ahora, si para todo p, q ∈ Q3[x] se define la relación:
R : p ∼ q si y solo sidpdx
=dqdx
Pruebe si ∼ es de equivalencia.
• Reflexividad:
Sea p ∈ Q3[x]. Queremos demostrar que p ∼ p
Demostración. Dado quedpdx
=dpdx
entonces p ∼ p.
19
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
• Simetría:
Sean p, q ∈ Q3[x] tales que p ∼ q. Queremos demostrar que q ∼ p
Demostración. Se tiene quedpdx
=dqdx
, lo que es lo mismo, por la propiedadsimétrica de la igualdad, que:
dqdx
=dpdx
es decirq ∼ p
• Transitiva:
Sean p, q, r ∈ Q3[x] tales que (p ∼ q) ∧ (q ∼ r) Probemos que p ∼ r
Demostración.
(p ∼ q) ∧ (q ∼ r) ≡dpdx
=dqdx∧ dq
dx=
drdx
⇒dpdx
=drdx
≡p ∼ r
De dondeR es de equivalencia.
3.2 Clases de equivalencia
Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cada a ∈ A,llamaremos clase de equivalencia de a, al conjunto formado por todos los los ele-mentos de A que están relacionados con él. La notaremos [a], a,Ra.
[a] = {x ∈ A : (x, a) ∈ R}
Observese que la clase de equivalencia de un elemento a nunca esvacia, pues la reflexividad deR implica que a ∈ Ra
20
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Ejemplo 9. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4}yR = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3)}.
[1] = {1, 2}
[3] = {3, 4}
[2] = {1, 2}
[4] = {3, 4}
Observación. Observese que [1] = [2] y [3] = [4] por tanto, existen solo dosclases de equivalencia relacionados a A yR.
Ejemplo 10. En el ejemplo 8 vimos queR es de equivalencia sobre sobre Q3[x].Ahoraencontremos la clase de equivalencia para p(x) = −3x + 3− 2x2 + x3
[p(x)] ={q(x) : (q(x), p(x)) ∈ R}
= {q(x) :dqdx
= −3− 4x + 3x2}
= {q(x) : q(x) =∫−3− 4x + 3x2dx}
= {q(x) = −3x− 2x2 + x3 + c, c ∈ R}
Las clases de equivalencia de p la conforman todos los polinomios de tercer gradoque tienen la misma pendiente de p, para todo x ∈ R.
x
y
c = 0
c > 0
c < 0
21
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Teorema 8SeaR una relación de equivalencia sobre el conjunto A. Entonces:
1) [a] = [b] ssi a ∼ b.
2) Si [a] 6= [b], entonces [a] ∩ [b] = ∅
Demostración. 1)
⇒) Supongamos que [a] = [b].Lo que se busca demostrar es que (a, b) ∈ R
Como a ∈ [a] y b ∈ [b], entonces, a ∈ [b], por tanto
(a, b) ∈ R
⇐) Supongamos que (a, b) ∈ R (1).Lo que se busca demostrar es que [a] = [b]
Sea x ∈ A. Suponemos x ∈ [a], entonces
(x, a) ∈ R (2)
Lo que se busca demostrar es que x ∈ [b]
Luego, porqueR es transitiva, de (2) y (1):
(x, b) ∈ R
Lo que implica que x ∈ [b], es decir [a] ⊆ [b].
De forma análoga se muestra que [b] ⊆ [a].
Así [a] = [b].
Demostración. 2)
Supongamos que [a] 6= [b].Lo que se busca demostrar es que [a] ∩ [b] = ∅.
22
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Supongamos por contradicción que [a]∩ [b] 6= ∅, es decir, existe x ∈ A tal que:
x ∈ [a] ∧ x ∈ [b]
es decir (a, x) ∈ R y (x, b) ∈ R.
Por tanto (a, b) ∈ R. Así, por lo demostrado anteriormente
[a] = [b]⇒⇐
Obsérvese que de todo lo anterior se sigue que cualquiera de los elementosque componen una clase de equivalencia puede elegirse como representante de laclase.
Teorema 9Si R es de equivalencia sobre un conjunto A, entonces la familia de todas
las clases de equivalencia de los elementos de A producen una partición.
Demostración. Dado que, cada clase de equivalencia de a es subconjunto de A elconjunto de todas ellas será una familia de subconjuntos de A.
Veamos que en efecto es una partición de A.
1) [a] 6= ∅, ∀a ∈ A.
Sabemos que, dado que R es de equivalencia, (a, a) ∈ R, por tanto a ∈ [a]∀ a ∈ A.
2) [a] 6= [b]⇒ [a] ∩ [b] = ∅.
Se tiene por el teorema anterior.
3)⋃
a∈A{[a]} = A
x ∈⋃
a∈A{[a]} =⇒ ∃a ∈ A : x ∈ [a] =⇒ x ∈ A pues [a] ⊆ A, ∀a ∈ A
Así⋃
a∈A{[a]} ⊆ A.
23
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Por otra parte
x ∈ A =⇒ x ∈ [x] =⇒ x ∈⋃
a∈A{[a]}.
Así A ⊆⋃
a∈A{[a]}.
Por tanto:A =
⋃a∈A{[a]}
3.3 Conjunto Cociente
Dada una relación de equivalencia sobre un conjunto A, llamaremos al con-junto cociente al formado por todas las clases de equivalencia, lo notaremos A/R,indicando así que es el conjunto A partido por la relación de equivalenciaR.
A/R = {[a] : a ∈ A}
Ejemplo 11. Determine el conjunto cociente A/R siendo R la relación de equi-valencia del ejemplo 6.
Solución.
A/R = {{1, 2}, {3, 4}}
Teorema 10Dada una partición de un conjunto A, puede definirse en él una relación
de equivalenciaR tal que el conjunto cociente A/R coincida con la particióndada.
Ejemplo 12. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y {{1}, {2, 3, 4}} una partición de A.Determine la relación de equivalenciaR correspondiente a A.
Solución. Si tomamos los subconjuntos de la partición como las clases de equiva-lencia tenemos:
[1] = {1} [2] = {2, 3, 4}
24
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Teniendo en cuenta la definición de clases de equivalencia y que R es una re-lación de equivalencia se sigue que:
[1] = {1} ⇒ (1, 1) ∈ R.[2] = {2, 3, 4} ⇒ (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4) ∈ R.
Por tanto
R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
Ejercicio 3. Dado A = {1, 2, 3, 4} y la relación de equivalencia:
R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
Comprobar que A/R es:
A/R = {{1}, {2, 3, 4}}
Y pruebe que A/R es una partición de A.
3.4 Relación de equivalencia en un espacio vectorial
Sea E un espacio vectorial y F un subespacio vectorial. de E, la relación deequivalencia de x ∈ E se define como:
x ∼ y⇐⇒ (x− y) ∈ F, con y ∈ E
Probemos que la relación ∼ es de equivalencia.
• Reflexiva:
Sea x ∈ ELo que se busca demostrar es que x ∼ xSe tiene que x− x = OE ∈ F (por def de subespacio vectorial.)
de donde x ∼ x.
25
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
• Simétrica:
Sean x, y ∈ E tales que x ∼ y (1)Queremos demostrar que y ∼ x.
De (1) se tiene que (x− y) ∈ F.
Luego se tiene que −(x − y) ∈ F (por definición de subespacio vectorial.).Entonces:
y− x ∈ F
∴ y ∼ x
• Transitiva:
Sean x, y, z ∈ E tales que x ∼ y (1) y ∼ z (2).Queremos demostrar que x ∼ z
De (1) y (2) por la definición de ∼ se tiene que:
x− y ∈F
y− z ∈F
Luego (x− y) + (y− z) ∈ F
Así, se sigue que (x− z) ∈ F
De donde x ∼ z
Por todo lo anterior la relación ∼ es de equivalencia.
3.4.1. Interpretación ( Relación de equivalencia sobre un espacio vectorial ).
El espacio cociente puede ser entendido de la siguiente forma sobre el espacioR2.
Sea F un subespacio vectorial generado por un solo vector v ∈ R, es decirF = 〈v〉. Se considera el espacio cociente R2/F a las clases de equivalencia de un
26
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
vector u ∈ R2 tal que:
[u] ={x ∈ R2 : u− x ∈ F}={x ∈ R2 : x = u + s, para algún s ∈ F}={u + s : s ∈ F}
Siendo el espacio cociente de todas las clases de equivalencia :
R2/
F = {[u] : u ∈ R2}
Tomemos v = (3, 2)F = span(v)
Sea u = (−1, 2), [u] = {u + s : s ∈ F}
[(−1, 2)] ={(−1, 2) + α(3, 2) : α ∈ R}[(−1, 2)] ={(3α− 1, 2 + 2α) : α ∈ R}
Si restamos un vector de [u] con otro de [u] el vector resultante está en F .El espacio cociente contiene todos los vectores paralelos al espacio vectorial F.Además:
[u] = {u + s : s ∈ F} = u + F
2
3x
y
vu
Ejemplo 13. Sea E = R2 y F = {(x, y) ∈ E : 2x − y = 0}, obtenga las clases deequivalencia para (u1, u2) ∈ E.
27
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Solución. Sean v = (v1, v2) ∈ E y w = (w1, w2) ∈ E.Por tanto:
v ∼ w⇐⇒ v− w ∈ F
⇐⇒ (v1 − w1, v2 − w2) ∈ F
⇐⇒ 2(v1 − w1) = (v2 − w2)
Por tanto[u] = {z : z = (z1, z2) | 2(u1 − z1) = u2 − z2}
Ahora supongamos que u = (4,−3). Interprete geométricamente [u].
[u] ={(v1, v2) ∈ R2 : 8− 2v1 = −3− v2}={(v1, v2) : 11− 2v1 = −v2}
[u] ={(v1, 2v1 − 11)}
El cual no es un subespacio vectorial, pues 0 /∈ [u].
Se observa que las clases de equivalencia de un vector u no es más que las rec-tas paralelas a F y que contienen el extremo del vector u ∈ E.
Además
[0E] = {(v1, v2) ∈ R2 : 2v1 − v2 = 2(0)− 0 = 0} = F
El conjunto [u] = u + F es llamado el coset (co-conjunto) de F en E.
El conjunto de todas las clases de equivalencia de F en E es denotado por
E/F = {v + F | v ∈ E}
y se lee " E mod F" y es llamado el espacio cociente de E módulo F.
Ahora queremos hacer del conjunto E/F un espacio vectorial, y para ello te-nemos que construir operaciones de suma y multiplicación por escalares
28
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
3.4.2. Operaciones suma y producto por escalar
� Operación Suma:
Si x, x′, y, y′ son elementos de E tales que x ∼ x′ e y ∼ y′, entonces:
(x + y)− (x′ + y′) = (x− x′) + (y− y′) ∈ F
Así que x + y ∼ x′ + y′
Por tanto, se sigue que hay una función + : E/F × E/F → E/F , tal que cadavez que x, y son elementos de E se tiene que:
[x] + [y] = [x + y]
O equivalentemente:
(x + F) + (y + F) = (x + y) + F
� Operación Producto por un escalar:
Si x e y son elementos de E tales que x ∼ y y λ es un escalar entonces:
λx ∼ λy
Pues λx · λy = λ(x · y) ∈ F.
Esto implica que existe una operación • : K× E/F → E/F , tal que cada vezque λ ∈ K y x ∈ E, se tiene que
λ[x] = [λx]
O equivalentementeλ(x + F) = (λx) + F
Ambas operaciones están definidas de buena forma, es decir no dependen dela elección del representante.
29
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
El conjunto E/F junto con las operaciones " +" y " •", y el cuerpo K
forman un espacio vectorial, denominado " espacio vectorial cociente".
Ejercicio 4. Demostrar que el "espacio vectorial cociente" es un espacio vecto-rial con las operaciones de suma y producto por escalar definidas previamen-te.
Demostración.
• Conmutativa: Sean u, v ∈ E/F .Lo que se busca demostrar es que u + v = v + u
Como u, v ∈ E/F existen x, y ∈ E tales que
u = [x] v = [y]
Entonces
u + v = [x] + [y] =[x + y]
=[y + x] Pues E es un espacio vectorial.
=[y] + [x]
=v + u
Como se quería.
• Asociativa: Sean u, v, w ∈ E/F .Queremos demostrar que (u + v) + w = u + (v + w)
Como u, v, w ∈ E/F entonces existen x, y, z ∈ E tales que
u = [x] v = [y] w = [z]
Además
(u + v) + w =([x] + [y]) + [z]
=[x + y] + [z]
=[(x + y) + z]
=[x + (y + z)] Pues E es un espacio vectorial
30
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
=[x] + [y + z]
=[x] + ([y] + [z])
=u + (v + w)
• Existencia del neutro aditivo: Sea u ∈ E/F .Lo que se busca demostrar es que ∃v ∈ E/F tal que u + v = u.
Existen x, y ∈ E tales que:
u = [x] v = [y]
Tomemos y = 0E, donde 0E es el elemento neutro de la suma en E.Entonces
u + v =[x] + [y]
=[x + y]
=[x + 0E]
=[x] Neutro aditivo en E
=u
Por tanto, tomando v = [0E] se tiene lo requerido. Entonces el elementoneutro aditivo de E/F es [0E].
• Existencia del inverso aditivo: Sean u ∈ E/F .Lo que se busca demostrares que ∃v ∈ E/F tal que u + v = [0E].
Como u, v ∈ E/F , entonces existen x, y ∈ E tales que
u = [x] v = [y]
Tomemos a y como el inverso aditivo de x, es decir, y = −x, este existepues E es un espacio vectorial.
u + v =[x] + [y]
=[x + y]
=[x + (−x)]
31
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
=[0E] Inverso aditivo en E
Como se quería demostrar.
• Distributiva I del producto: Sean u, v ∈ E/F y α ∈ K.Lo que se busca demostrar es que α(u + v) = αu + αv.
Como u, v ∈ E/F , entonces existen x, y ∈ E tales que
u = [x] v = [y]
Además
α(u + v) =α([x] + [y])
=α[x + y]
=[α(x + y)]
=[αx + αy]
=[αx] + [αy]
=α[x] + α[y]
=αu + αv
Como se quería demostrar.
• Distributiva II del producto
Sean v ∈ E/F y α, β ∈ K.Lo que se busca demostrar es que (α + β)v = αv + βv.
Como v ∈ E/F , entonces existe y ∈ E tal que
v = [y]
Además
(α + β)v =(α + β)[y]
=[(α + β)y]
=[αy + βy]
=[αy] + [βy]
32
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
=α[y] + β[y]
=αv + βv
Como se quería demostrar.
• Asociativa del producto Sean v ∈ E/F y α, β ∈ K.Lo que se busca demostrar es que α(βv) = (αβ)v.
Como v ∈ E/F , entonces existe y ∈ E tal que
v = [y]
Además
α(βv) =α(β[y])
=α[βy]
=[α(βy)]
=[(αβ)y]
=(αβ)[y]
=(αβ)v
Como se quería demostrar.
• Elemento neutro del producto.Sean v ∈ E/F .Lo que se busca demostrar es que ∃α ∈ K tal que αv = v.Como v ∈ E/F , entonces existe y ∈ E tal que
v = [y]
Además, notemos que
1 · v =1 · [y]=[1 · y]=[y]
=v
Así tomando α = 1 ∈ K se verifica lo requerido.
33
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Proposición 1. Sea E un espacio vectorial. y F ⊆ E subespacio vectorial. setiene que para x, y ∈ E.
[x] = [y] ssi x ∼ y
Equivalentemente, dados u, u′ ∈ E, se tiene que:
u + F = u′ + F ssi u− u′ ∈ F
Demostración.Supongamos que u + F = u′ + F, de donde u ∈ u + F. Además u ∈ u′ + F, portanto, existe w ∈ F, tal que u = u′ + w, es decir, u− u′ = w ∈ F.
Recíprocamente supongamos que u− u′ ∈ F, sin pérdida de generalidad va-mos a mostrar que u ∈ u′ + F.
De la hipótesis, existe w ∈ F tal que
u− u′ = w
De modo queu = w + u′
Es deciru ∈ u′ + F
Proposición 2. La función
π : E −→ E/Fx 7−→ [x] = x + F
es una aplicación lineal sobreyectiva cuyo nucleo es precisamente el subes-pacio F.
Demostración. Linealidad.
Sean x, y ∈ E. Lo que se busca demostrar es que π(x + y) = π(x) + π(y)
π(x + y) = (x + y) + F = (x + F) + (y + F) = π(x) + π(y)
34
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Sea x ∈ E y λ ∈ K Lo que se busca demostrar es que π(λx) = λπ(x).
π(λx) = (λx) + F = λ(x + F) = λπ(x)
Así π es una función lineal
Demostración. Sobreyectividad.
Por definición:
img(π) ={w ∈ E/F : w = π(v), para v ∈ E}={w ∈ E/F : w = v + F, para v ∈ E}={v + F : v ∈ E}=E/F
∴ π es sobreyectiva.
Demostración. ker(π) = F.
ker(π) ={x : π(x) = [0]}={x ∈ E : x + F = 0 + F}={x ∈ E : x− 0 ∈ F}={x ∈ F} = F
La función π es conocida como la proyección canónica de E en E/F .
Corolario 1. Sea E un espacio vectorial. Todo subespacio de E es el núcleo deuna aplicación lineal de dominio E.
Demostración. Sea G subespacio vectorial de E entonces la proyección
π : E→ E/G
es una aplicación lineal y ker(π) = G.
35
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Corolario 2. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita y F un subespaciovectorial de E, entonces:
dim(E/F
)= dim(E)− dim(F)
Demostración. Puesto que π : E→ E/F es una aplicación lineal, se tiene que :
dim(E) =dim(ker(E)) + dim(img(E)))
dim(E) =dim(F) + dim(E/F
)
de donde:dim
(E/F)= dim(E)− dim(F)
3.5 Teoremas de isomorfismos
Nuestro objetivo es probar los llamados teoremas de isomorfismos de Noether,que son fundamentales en la manipulación de los espacios cociente.
Teorema 11: –Primer teorema de isomorfismo–Sea f : E→ F una aplicación lineal de espacios vectoriales sobre K , enton-
ces:E/
ker( f ) ∼= img( f )
Es decir, existe una aplicación isomorfa f : E/ ker( f ) → img( f ) tal quef ◦ π = f , donde π : E→ E/ ker( f ). Definimos la aplicación:
f : E/H −→ Gu + H 7−→ f (u)
Donde G = img( f ) y H = ker( f ).
Ef //
π��
F
E/
ker( f )
f
;; f ◦ π = f
36
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Demostración. 1. Verifiquemos que f está bien definida.
Supongamos queu + H = v + H u, v ∈ E
Entonces:u− v ∈ H
De modo que
f (u− v) = 0⇔ f (u)− f (v) = 0
⇔ f (u + H) = f (v + H)
Pues u− v ∈ ker( f ) además de la linealidad de f y la definición de f
2. Verifiquemos que f es una aplicación lineal.
Sean u + H, v + H ∈ E/H , de donde se tiene:
f [(u + H) + (v + H)] = f [(u + v) + H]
= f (u + v)
= f (u) + f (v) pues f el lineal
= f (u + H) + f (v + H)
Sean u + H ∈ E/H , de donde se tiene que:
f [λ(u + H)] = f [(λu) + H] = f (λu) = λ f (u) = λ f (u + H)
Por lo tanto es una aplicación lineal.
3. Ahora probemos que f es inyectiva.
Sea f (u + H) = 0, entonces f (u) = 0 por tanto u ∈ ker( f ) = H, de donde:
u + H = 0 + H
Además,ker( f ) = 0 + H = [0]
37
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Con lo que se concluye que es inyectiva, pues f es inyectiva ssi ker( f ) = 0.
4. Finalmente mostremos que f es sobreyectiva.
Para ello mostremos que img( f ) = G:
img( f ) ={w ∈ G : w = f (x + h), x + h ∈ E/H }={w ∈ G : w = f (x), x ∈ E}= img( f )
Teorema 12
Dado un espacio vectorial E de dimensión n y F un subespacio vectorialde E cuya base es B1 = {w1, . . . , wr}, con r ≤ n, el conjunto
B1 ∪ {ur+1, . . . , un}
Es base de E ssi el conjunto {[ur+1], . . . , [un]} es base de E/F .
Teorema 13: –Segundo teorema de isomorfismo–
Sea E un espacio vectorial., además F y G subespacios de E, entonces:
F + G/F ∼= G/F ∩ G
Demostración.
Seanf : G −→ F + G
x 7−→ x
una aplicación lineal y
g : F + G −→ (F + G)/
F(y + x) 7−→ (y + x) + F
una aplicación lineal.
38
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
g es válida para todo y ∈ F y x ∈ G, entonces:
g ◦ f : G → (F + G)/
F
es una aplicación lineal
ker(g ◦ f ) ={w ∈ G : g ◦ f (w) = [0]}={w ∈ G : g(w) = [0]} = {w ∈ G : w + F = 0 + F}={w ∈ G : w− 0 ∈ F} = {w ∈ G : w ∈ F}=G ∩ F = F ∩ G
∴ ker(g ◦ f ) = F ∩ G
img(g ◦ f ) ={[x + y] ∈ (F + G)
/F : g( f (z)) = [x + y] , z ∈ G
}={[x + y] ∈ (F + G)
/F : g(z) = [x + y] , z ∈ G
}={[x + y] ∈ (F + G)
/F : [z] = [x + y] , z ∈ G
}={[x + y] ∈ (F + G)
/F : x + y− z ∈ F , z ∈ G
}={[x + y] ∈ (F + G)
/F : w = x + y− z , w ∈ F, z ∈ G
}={[x + y] ∈ (F + G)
/F : x + y = z + w , w ∈ F, z ∈ G
}={[x + y] ∈ (F + G)
/F : x + y ∈ F + G
}=(F + G)
/F
Haciendo uso del primer teorema de isomorfismo, se tiene que:
G/
ker(g ◦ f ) ∼= img(g ◦ f )
es decir G/(F ∩ G) ∼= (F + G)
/F . Como se quería.
W1 + W2
W1 W2
W1 ∩W2
W2/
W1 ∩W2∼=W1 + W2
/W1
W1/
W1 ∩W2∼=W1 + W2
/W2
39
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Teorema 14: –Tercer teorema de isomorfismo–Sea E un espacio vectorial, además F y G subespacio vectorial. de E tales
que F ⊆ G ⊆ E. Entonces: (E/F)/(G/F
) ∼= E/G
Ejemplo 14. Dada la aplicación lineal:
T : R3 −→ R2
(x, y, z) 7−→ (2x− z, y + 3z)
Muestre que: R3/
ker(T) ∼= R2.
(u1, u2) ∈ img(T) ⇔ ∃(x, y, z) ∈ R3 : 2x− z = u1 ∧ y + 3z = u2
⇔(2x− z, y + 3z)
⇔x(2, 0) + y(0, 1) + z(−1, 3)
⇔x(2, 0) + y(0, 1)− z2(2, 0) + 3z(0, 1)
⇔〈{(2, 0), (0, 1)}〉 = R2
(x, y, z) ∈ ker(T)⇔T(x, y, z) = 0
⇔(2x− z, y + 3z) = (0, 0)
⇔(x,−6x, 2x)
⇔〈{(1,−6, 2)}〉
∴ T es sobreyectiva y, por el primer teorema de isomorfismo, R3/
ker(T) ∼= R2.
Halle una base de R3/
ker(T) : Definamos
B1 = {(1,−6, 2), (1, 0, 0), (0, 1, 0)}
Así como B1 es base de R3 (se verifica fácilmente) y B2 = {(1,−6, 2)} es basede ker(T), B3 es base una de R3
/ker(T) que, por el teorema 12, es:
40
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
B3 = {[1, 0, 0], [0, 1, 0]}
Así existef : R3
/ker(T) −→ R2
(x, y, z) + ker(T) 7−→ (a, b)
R3 T //
π��
R2
R3/
ker(T)
f
??
4. ESPACIO VECTORIAL DUAL
Dados dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo campo K.
El conjunto
L(E, F) = {T : E→ F : T es una aplicación lineal}
provisto de las operaciones
� Suma punto a punto:
+ : L(E, F)×L(E, F) −→ L(E, F)(S, T) 7−→ S + T
donde (S + T)(v) = S(v) + T(v) ∀v ∈ E.
� Producto punto a punto:
• : K×L(E, F) −→ L(E, F)(β, S) 7−→ βS
donde (βS)(v) = βS(v) ∀v ∈ E.
forma un espacio vectorial.
41
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Proposición 3. Sean E y F, dos espacios vectoriales de dimensión finita donde:
dim(E) = n y dim(F) = m
Además sean B1 y B2, dos bases ordenadas, de E y F respectivamente.
La aplicación lineal:
φ : L(E, F) −→ Kmxn
f 7−→ [ f ]B1B2
es un isomorfismo de espacios vectoriales.
En particular, el espacio vectorial L(E, F) tiene dimensión finita y
dim(L(E, F)) =dim(E) · dim(F)
=n ·m
Ahora, vamos a estudiamos un caso particular del espacio vectorial L(E, F),donde consideramos:
F = K
es decir estudiaremos el espacio vectorial L(E, K).
Definición 12Dado un espacio vectorial E sobre un campo K. Una aplicación lineal
T : E → K se denomina funcional lineal de E. Es decir, T es una aplicaciónlineal de E si verifica:
T(αu + v) = αT(u) + T(v), ∀u, v ∈ E y α ∈ K
Ejemplo 15. a) La traza es un funcional lineal en el espacio de matrices Knxn.
Tr : Knxn −→ K
A 7−→ Tr(A) =n
∑i=1
aii
b) Sean A, B ∈ Knxn y α ∈ K se tiene que:
Tr(αA + B) =n
∑i=1
(α aii + bii)
42
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
=αn
∑i=1
aii +n
∑i=1
bii
=αTr(A) + Tr(B)
Dado un intervalo cerrado [a, b] ⊆ R y C[a, b] el espacio de funciones conti-nuas en [a, b]. La aplicación:
ϕ : C[a, b] −→ R
f 7−→∫ b
af (t)dt
es un funcional lineal en C[a, b].
Definición 13Dado un espacio vectorial E sobre el campo K; se define el espacio dual de
E, denotado por E∗, como el conjunto de todos los funcionales lineales de E,es decir:
E∗ = L(E, K)
Proposición 4. Sea E un espacio vectorial. sobre K.
a) Si E tiene dimensión finita, entonces E∗ tiene dimensión finita, y ade-más:
dim(E∗) = dim(E)
b) Si dim(E) = n y B = {v1, . . . , vn} es una base de E, entonces para cada1 ≤ i ≤ n, existe exactamente un funcional lineal φi : E → K tal quepara 1 ≤ j ≤ n:
φi(vj) = δij =
{1 si i = j0 si i 6= j
Donde B∗ = {φ1, φ2, . . . , φn} es una base de E∗.
Llamaremos a B∗ la base dual asociada a la base B de E.
Demostración. a) Lo primero es consecuencia inmediata del isomorfismo existenteentre L(E, F) y Kmxn, si dim(E) = n y dim(F) = m.
43
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
dim(E∗) = dim(L(E, K)) = dim(E) · dim(K) = dim(E) · 1 = dim(E)
b) φ1 : E→ K
φ1(v1) = 1
φ1(v2) = 0
...
φ1(vn) = 0
φ2 : E→ K
φ2(v1) = 0
φ2(v2) = 1
...
φ2(vn) = 0
· · · φn : E→ K
φn(v1) = 0
φn(v2) = 0
...
φn(vn) = 1
Ahora mostremos que B∗ es una base de E∗.
Sea αi ∈ K para 1 ≤ i ≤ n tales que
α1φ1 + . . . + αnφn = 0
Entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n, se tiene que:
(α1φ1 + . . . + αnφn)(vi) = 0
por tanto αi = 0. Lo cual muestra que el conjunto B∗ es li.
Sea ψ ∈ E∗, tomemos el elemento
τ = ψ(v1)ψ1 + . . . + ψ(vn)ψn
entonces si 1 ≤ i ≤ n.
τ(vi) =(ψ(v1)ψ1 + . . . + ψ(vn)ψn)(vi)
=ψ(vi)
De donde τ = ψ y como τ ∈ 〈{ψ1, . . . , ψn}〉 se ha verificado que B∗ genera aE∗.
Ejemplo 16. Sea E = R2 y B = {(1, 5), (−2, 3)} una base de E. Halle la base delespacio E∗,B∗.
44
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Supongamos que B∗ = {φ1, φ2}, donde:{φ1(v1) = 1φ1(v2) = 0
y
{φ2(v1) = 0φ2(v2) = 1
Además si (x, y) ∈ E, entonces:
(x, y) = α(1, 5) + β(−2, 3), α, β ∈ R
equivalentemente:(x, y) = (α− 2β, 5α + 3β)
Así {α− 2β = x5α + 3β = y
De lo cual resolviendo el sistema obtenemos:
⇒ α =3x + 2y
13β =
y− 5x13
De donde:(x, y) =
3x + 2y13
· v1 +y− 5x
13· v2
Además:
φ1(x, y) =φ1
(3x + 2y
13· v1 +
y− 5x13
· v2
)=
3x + 2y13 ���
�:1φ1(v1) +
y− 5x13 ���
�:0φ1(v2)
=3x + 2y
13
Realizando un proceso análogo para φ2 tenemos que:
φ2 =y− 5x
13
Asíφ1 : R2 −→ R
(x, y) 7−→ 3x + 2y13
φ2 : R2 −→ R
(x, y) 7−→ y− 5x13
Entonces: B∗ ={
3x+2y13 , y−5x
13
}
45
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
4.1 Cambio de base Dual
Proposición 5. Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial E, defi-nidos sobre K, y sea B∗ = {φ1, φ2, . . . , φn} su base dual, para v ∈ E y ψ ∈ E∗
se verifica que:
v =n
∑i=1
φi(v)vi y ψ =n
∑j=1
ψ(vj)φj
Demostración.
• Para v ∈ E, existen escalares αi para 1 ≤ i ≤ n, tales que:
v = ∑i∈N
αivi (1)
aplicando φj a la expresión anterior se tiene que, para 1 ≤ j ≤ n.
φj(v) = φj
(∑
i∈N
αivi
)= ∑
i∈N
αiφj(vi) = αj
reemplazamos en (1), se tiene:
v = ∑i∈N
φi(v)vi
además [v]B = (φ1(v), φ2(v), . . . , φn(v))
• Para ψ ∈ E∗, existen escalares βi, para 1 ≤ i ≤ n tales que:
ψ = ∑i∈N
βiφi (2)
Aplicando la igualdad a vj, para 1 ≤ j ≤ n, se tiene que:
ψ(vj) =
(∑
i∈N
βiφi
)(vj)
=β1����*
0φ1(vj) + . . . + β j�
���*1
φj(vj) + . . . + βn����*
0φn(vj)
=β j
46
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Así reemplazamos en (2), se tiene que:
ψ =n
∑i=1
ψ(vi)φi
Y además [ψ]B = (ψ(v1), ψ(v2), . . . , ψ(vn))
Teorema 15Sea B = {v1, v2, . . . , vn} y C = {u1, u2, . . . , un} dos bases del espacio vec-
torial E, definido sobre K y sea B∗ = {φ1, φ2, . . . , φn} y C∗ = {ψ1, ψ2, . . . , ψn},sus respectivas bases duales. Entonces si la matriz cambio de base de B a C esM = (mij), la matriz de cambio de base de C∗ a B∗ es MT = (mji).
Teorema 16Sea E, un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, F un subespacio
de E y u ∈ E\F (E\F se refiere a E "quitado" F). Entonces existe un funcionallineal ϕ de E∗ tal que
ϕ(u) = 1 y ϕ(w) = 0 ∀w ∈ F
Demostración.
Supongamos que dim(E) = n y dim(F) = m con m ≤ n.
Sea {v1, v2, . . . , vm} una base de F, por tanto:
u /∈ span({v1, v2, . . . , vm})
De donde :S = {v1, v2, . . . , vm, u}
Es linealmente independiente. Además, podemos extender S hasta obtener unabase de E.
{v1, . . . , vm, u, vm+2, . . . , vn}
Posteriormente, definimos el funcional ϕ : E→ K mediante la siguiente regla:
47
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
ϕ
(n
∑i=1
βivi
)︸ ︷︷ ︸
∈E
= βm+1
En otras palabras definamos ϕ en los elementos de la base de la siguiente manera:
ϕ(v1) = 0, ϕ(v2) = 0, . . . , ϕ(u) = 1 = βm+1, . . . , ϕ(vn) = 0
Y luego extendemos ϕ a todo el espacio E por linealidad, entonces:
ϕ(u) = 1 y ϕ(w) = ϕ
(m
∑i=1
γivi
)=
m
∑i=1
γi ϕ(vi) = 0 ∀w ∈ F
Proposición 6. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita definido sobreK y u ∈ E\{0}, entonces existe ϕ ∈ E∗ tal que ϕ(u) 6= 0.
Demostración. En el teorema anterior tomando F = {0}.
Proposición 7. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita sobre K y u ∈ Etal que:
ϕ(u) = 0 ∀ϕ ∈ E∗
entonces u = 0.
Demostración.Suponemos que u 6= 0, entonces por la proposición anterior se tiene que ϕ(u) 6= 0para algun elemento ϕ ∈ E∗, lo cual es una contradicción.
5. ESPACIO BIDUAL
Definición 14Sea E un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, su espacio bidual
E∗∗ se define como (E∗)∗. En otras palabras, E∗∗ consiste en los funcionaleslineales E∗ −→ K, y las operaciones lineales en E∗∗ están definidas punto apunto.
48
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Es decir, para cada u ∈ E, existe un funcional
φu : E∗ −→ K
ϕ 7−→ φu(ϕ) = ϕ(u)
E∗∗ = L(E∗, K).
Fácilmente se verifica que φu es una aplicación lineal, de manera que φu ∈ E∗∗.
Ejemplo 17. En el espacio R3 al vector u =
2−13
le corresponde el funcional
lineal φu ∈ (R3)∗∗ definido por:
φu(ϕ) = ϕ(u) = ϕ
2−13
Si ϕ(x1, x2, x3) = −7x1 + 5x2 + 2x3, entonces
φu(ϕ) = −7(2) + 5(−1) + 2(3) = −13
Teorema 17: –Teorema de la reflexividad o Isomorfismo Canónico–Sea E un espacio vectorial de dimensión finita sobre K. Entonces la aplica-
ción:Θ : E→ E∗∗
que envía un vector u ∈ E al funcional Θu ∈ E∗∗ definido por:
Θu : E∗ −→ K
ϕ 7−→ Θu(ϕ) = ϕ(u)
es un isomorfismo de E en E∗∗. Se llama: "isomorfismo canónico de E sobreE∗∗"
49
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Demostración.
1) Lo que se busca demostrar es que Θ es una aplicación lineal Θ ∈ E∗∗.
Sean u, v ∈ E y ϕ ∈ E∗ entonces
Θu+v(ϕ) = ϕ(u + v) =ϕ(u) + ϕ(v) ϕ ∈ E∗ ∴ es lineal.
=Θu(ϕ) + Θv(ϕ)
=(Θu + Θv)(ϕ)
Además, si λ ∈ K
Θλu(ϕ) = ϕ(λu) = λϕ(u) = λΘu
es decir Θλu = λΘu.
2) Lo que se busca demostrar es que Θu es una aplicación lineal .Sean ϕ, ψ ∈ E∗ y λ ∈ K, entonces:
Θu(λϕ + ψ) =(λϕ + ψ)(u)
=λϕ(u) + ψ(u)
=λΘu(ϕ) + Θu(ψ)
3) Lo que se busca demostrar es que Θ es inyectiva.Es decir debemos mostrar que ker(Θ) = 0.Puesto que:
ker(Θ) ={u ∈ E : Θ(u) = 0}={u ∈ E : ∀ϕ ∈ E∗∗, Θu(ϕ) = 0}={u ∈ E : ∀ϕ ∈ E∗∗, ϕ(u) = 0}={0} por la proposición 7.
Por tanto, Θ es inyectiva.
4) Lo que se busca demostrar es que Θ es sobreyectiva.
50
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Sabemos que:
dim(E) = dim(ker(Θ)) + dim(img(Θ)) (1)
Además:
dim(E∗∗) = dim(L(E∗, K)) = dim(E∗) = dim(L(E, K)) = dim(E)
Así:dim(E∗∗) = dim(E) (2)
Por otro lado en la anterior demostración obtuvimos que dim(ker(Θ)) = 0,reemplazando este resultado en (1) se sigue que:
dim(E) = dim(img(Θ)) (3)
Luego por transitividad entre (2) y (3) se tiene que:
dim(img(Θ)) = dim(E∗∗)
Tomando en cuenta que img(Θ) es un subespacio vectorial de E∗∗, se con-cluye que:
img(Θ) = E∗∗
Por tanto, Θ es sobreyectiva.
∴ Θ es un isomorfismo.
Este teorema proporciona un isomorfismo especial, pues dado u ∈ E pode-mos conocer Θu ∈ E∗∗, caso que no sucede en E∗.
6. ANULADORES DE UN SUBESPACIO (ANIQUILADORES).
Ahora nos encontramos interesados en relacionar los subespacios de E conciertos subespacios de E∗. Para ello, dado un subespacio F de E consideraremosel conjunto de todas las ecuaciones lineales (funcionales) que se anulan en F yveremos que se tiene una estructura de subespacio vectorial.
51
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Definición 15Sea E un espacio vectorial de dimension finita sobre K y sea G un subcon-
junto de E. El anulador de G se define como el conjunto de todos los funcio-nales lineales E→ K que se anulan en todos los elementos de G.
G◦ = {ϕ ∈ E∗ : ∀w ∈ G, ϕ(w) = 0}
El conjunto G◦ es un subespacio de E∗:
1) G◦ 6= ∅
2) Si ϕ, ψ ∈ G◦ =⇒ (ϕ + ψ) ∈ G◦.
3) Si ϕ ∈ G◦ y λ ∈ K =⇒ (λϕ) ∈ G◦
Demostración.
1) Tomemos el funcional:
0E∗ : E −→ K
x 7−→ 0E∗(x) = 0K
fácilmente se verifica que 0E∗ ∈ G◦; por tanto, G◦ 6= ∅.
2) Si ϕ, ψ ∈ G◦ Queremos demostrar que (ϕ + ψ) ∈ G◦.
Por definiciónϕ(w) = 0 ∧ ψ(w) = 0 ∀w ∈ G
ϕ : E→ K ψ : E→ K
Además(ϕ + ψ)(w) = ϕ(w) + ψ(w) = 0 ∀w ∈ G
De donde, ϕ + ψ ∈ G◦.
3) Si ϕ ∈ G◦ y λ ∈ K Queremos demostrar que (λϕ) ∈ G◦
Por definiciónϕ(w) = 0 ∀w ∈ G
Además(λϕ)(w) = λ(ϕ(w)) = λ · 0 = 0
de donde λϕ ∈ G◦.
52
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Teorema 18Sea E el espacio vectorial sobre K de dimensión finita y sea F un subespa-
cio de E. Entonces,dim(E) = dim(F◦) + dim(F)
Demostración. Suponemos que dim(E) = n y que dim(F) = m con m ≤ n .Sea C = {v1, v2, . . . , vm} una base de F y sean vm+1, vm+2, . . . , vn ∈ E tales que:
B = {v1, v2, . . . , vm, vm+1, . . . , vn} es una base deE.
Además, suponemos que B∗ = {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn} es la correspondiente basedual en E∗.Entonces, para cada m + 1 ≤ i ≤ n se verifica lo siguiente:
ϕi(v1) = 0, . . . , ϕi(vm) = 0
Por tanto, los funcionales ϕi, con m + 1 ≤ i ≤ n se anulan sobre todo F. Puestoque si x ∈ F.
x =n
∑j=1
β jvj de donde, ϕi(x) = ϕi
(n
∑j=1
β jvj
)=
n
∑j=1
β j ϕi(vj) = 0
Pues1 ≤ j ≤ m y m + 1 ≤ i ≤ n
.En consecuencia,
{ϕm+1, ϕm+2, . . . , ϕn} ⊆F◦.
⇒ span({ϕm+1, ϕm+2, . . . , ϕn}) ⊆F◦ (1)
Ahora, probemosF◦ ⊆ span({ϕm+1, . . . , ϕn})
Sea ψ ∈ F◦ y tomando en cuenta que B∗ es una base de E∗, entonces existenescalares βi ∈ K tales que:
ψ =n
∑i=1
βi ϕi
53
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Por la proposición cambio de base dual se tiene que:
βi = ψ(vi), para 1 ≤ i ≤ n
Ahora, el conjunto {v1, v2, . . . , vm} es una base de F y ψ ∈ F◦ de donde,
ψ(vj) = 0 , para 1 ≤ j ≤ m
En consecuencia, para 1 ≤ j ≤ m se tiene que que Bj = 0, por tanto:
ψ =n
∑i=m+1
βi ϕi
es decirψ ∈ span({ϕm+1, . . . , ϕn}) (2)
Así por (1) y (2) se tiene
span({ϕm+1, . . . , ϕn}) = F◦ (3)
Dado que el conjunto C = {ϕm+1, . . . , ϕn} es una parte de la base B∗, C es lineal-mente independiente y por (3) , se concluye que C es una base de F◦.
Como C = {ϕm+1, . . . , ϕn} es una base de F◦ , con card(C) = n− m, se con-cluye que:
dim(F◦) = n−m = dim(E)− dim(F)
Como se quería demostrar.
Proposición 8. Dado un espacio vectorial E sobre K, de dimensión finita ydos subespacios F y G de E. Entonces:
1) E◦ = {0E∗} 4) (G + F)◦ = F◦ ∩ G◦
2) {0E∗}◦ = E 5) (F ∩ G)◦ = F◦ + G◦
3) Si F ⊆ G entonces G◦ ⊆ F◦
54
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Demostración.
3) Supongamos que F ⊆ G y sea ϕ ∈ G◦
Demostremos que ϕ ∈ F◦ ≡ ∀x ∈ F, ϕ(x) = 0
ϕ(y) = 0 ∀y ∈ G (1)
Como (1) se cumple para todo y ∈ G, por hipótesis se cumple para todo x ∈ F,así:
ϕ(x) = 0 ∀x ∈ F
Como se quería.
4) Conocemos que F ⊆ F + G y G ⊆ F + GLo que se busca demostrar es que (F + G)◦ = F◦ ∩ G◦
Usando 3) se tiene que
(F + G)◦ ⊆ F◦ y (F + G)◦ ⊆ G◦
De donde(F + G)◦ ⊆ F◦ ∩ G◦
Ahora probemos que F◦ ∩ G◦ ⊆ (F + G)◦
Si ϕ ∈ F◦ ∩ G◦ y sea x ∈ (F + G), por tanto existe u ∈ F y v ∈ G tal que
x = u + v
Ahora
ϕ(x) =ϕ(u + v)
=ϕ(u) + ϕ(v) = 0
De donde ϕ ∈ (F + G)◦.
Ejemplo 18. Sea F = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y− z = 0}. Halle una base para F◦.
F ={(x, y, x + 2y) : x, y ∈ R} = {x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2) : x, y ∈ R}=〈{(1, 0, 1), (0, 1, 2)}〉
55
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Es claro que los vectores son li, por tanto B = {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} es una basede F, además sabemos que:
dim(R3) = dim(F) + dim(F◦)
Por tanto dim(F◦) = 1.
Si extendemos B a una base de R3:
B = {(1, 0, 1)︸ ︷︷ ︸e1
, (0, 1, 2)︸ ︷︷ ︸e2
, (0, 0, 1)︸ ︷︷ ︸e3
}
Si B∗ = {φ1, φ2, φ3} correspondiente a B, entonces B̂ = {φ3} es base de F◦.
Donde:φ3(1, 0, 1) =0
φ2(0, 1, 2) =0
φ1(0, 0, 1) =1
Para x ∈ F, existe escalares α y β tales que:
x = αe1 + βe2
Además φ3(x) = φ3(αe1 + βe2) = 0.
Ahora, sea (x, y, z) ∈ R3, existen escalares α1, α2, α3 ∈ R tales que:
(x, y, z) =α1(1, 0, 1) + α2(0, 1, 2) + α3(0, 0, 1)
(x, y, z) =(α1, α2, α1 + 2α2 + α3)
De donde:∗ α1 =x
∗ α2 =y
∗ α3 =z− 2y− x
Así (x, y, z) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2) + (z− 2y− x)(0, 0, 1)
Además
φ3(x, y, z) =φ3(x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2) + (z− 2y− x)(0, 0, 1))
56
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
=x����:0
φ3(e1) + y����:0
φ3(e2) + (z− 2y− x)����:1
φ3(e3)
=z− 2y− x
Así B̂ = {φ3}, conφ3 : R3 −→ R
(x, y, z) 7−→ z− 2y− x
Definición 16Sea E un espacio vectorial de dimensión finita sobre K y sea H ⊆ E∗ subes-
pacio vectorial. El anulador de H, denotado por H◦, se define como el conjun-to:
H◦ = {x ∈ E : ϕ(x) = 0, ∀ϕ ∈ H}
Es posible definir H◦ como un subconjunto del espacio bidual E∗∗, pero yase conoce que E∗∗ se puede identificar con E, mediante el isomorfismo canóni-co de E en E∗∗, por lo que resulta más cómodo definir H◦ como un subespaciode E.
Teorema 19: –Anulador de un anulador de un subespacio vectorial–
Sea E un espacio vectorial de dimensión finita sobre K y sea F un subes-pacio propio de E, entonces
(F◦)◦ = F
Demostración. ⇒) Suponemos que x ∈ (F◦)◦ y demostremos que x ∈ F.(Por reducción al absurdo).Supongamos que x /∈ F además que dim(E) = n y dim(F) = m con m ≤ n .Sea B = {v1, v2, . . . , vm} es una base de F, por tanto el conjunto {v1, v2, . . . , vm, x},es linealmente independiente .Con el fin de obtener una base de E podemos extender el conjunto de vectoreslinealmente independientes.
B1 = {v1, v2, . . . , vm, x, vm+2, . . . , vn}
Así B1 es base de E y su correspondiente base dual es:
B∗ = {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm, ϕm+1, ϕm+2, . . . , ϕn}
57
Naraya Narváez Complementos de Álgebra Lineal
Donde se verifica lo siguiente:
ϕm+1(v1) = ϕm+1(v2) = . . . = ϕm+1(vm) = 0
Es decir, ϕm+1 ∈ F◦. Ahora como x ∈ (F◦)◦, se tiene que :
ϕm+1(x) = 0
Lo cual contradice el supuesto, ya que por construcción se sigue que :
ϕm+1(x) = 1
De donde:(F◦)◦ ⊆ F
La segunda contenencia se deja como ejercicio para el lector.
Proposición 9. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita sobre K y sea Fun espacio vectorial de E, además sea B∗ = {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn}, una base de F◦.Entonces
F ={v ∈ E : ϕ1(v) = 0∧ ϕ2(v) = 0∧ . . . ∧ ϕm(v) = 0}=
⋂ϕ∈B∗
ker(ϕ)
7. SUBESPACIOS INVARIANTES
Definición 17Sea E un espacio vectorial sobre K y T : E→ E una aplicación lineal (endomor-fismo). Un espacio invariante para T es un subespacio F de E tal que :
T(F) ⊆ F
Es decir, si x ∈ F, entonces T(x) ∈ F.
58
Complementos de Álgebra Lineal Naraya Narváez
Ejemplo 19. Sea T : R3 → R3 definida mediante .
T(x, y, z) = (2x− 5y− 3z,−x− 2y− 3z, 3x + 15y + 12z)
Estudie cuales de los siguientes subespacios son invariantes:a) w1 = 〈{(3, 0,−2), (1,−2, 4)}〉b) w2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 5y + 2z}
Analicemos el caso a) por definición de w1 se tiene que:
w1 = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = α(3, 0,−2) + β(1,−2, 4), α, β ∈ R}
⇒
3α + β = x−2β = y
−2α + 4β = z
De lo cual resolviendo el sistema se tiene que:
W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 3z + 2x + 7y = 0}
Notemos que existe una matriz A tal que T(x, y, z) = A(x y z)T :
donde, A =
2 −5 −3−1 −2 −33 15 12
Sea (α1, α2, α3) ∈ w1
T(α1, α2, α3) =
2 −5 −3−1 −2 −33 15 12
α1
α2
α3
T(α1, α2, α3) = (2α1 − 5α2 − 3α3,−α1 − 2α2 − 3α3, 3α1 + 15α2 + 12α3)
Por hipótesis tenemos que β = (β1, β2, β3) ∈ w1 si:
2β1 + 7β2 + 3β3 = 0 (∗)
Analicemos si T(α1, α2, α3) ∈W1, es decir debemos verificar que se cumpla (∗).
2(2α1 − 5α2 − 3α3) + 7(−α1 − 2α2 − 3α3) + 3(3α1 + 15α2 + 12α3)
= 6α1 + 21α3 + 9α3
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= 3(2α1 + 7α2 + 3α3)
= 3(0) = 0⇒ Por (∗) y porque (α1, α2, α3) ∈ w1
∴ w1 es invariante
Se realiza un procedimiento análogo para el literal b) y se llega a que W2 esinvariante.
Proposición 10. Sea E, un espacio vectorial. sobre K y T : E → E un endo-morfismo. Entonces los siguientes espacios son invariantes.
1) E 3) ker(T)
2) {0E} 4) img(T)
Demostración.
1) Demostremos que T(E) ⊆ E
Por definición de T se tiene que img(T) ⊆ E, si x ∈ E, entonces T(x) ∈img(T) por tanto T(x) ∈ E.
2) Demostremos que T(0E) ⊆ E
Si x ∈ {0E}, entonces x = 0E = 0K · v, con v ∈ E. Además
T(x) = T(0E) = T(0K · v) = 0KT(v) = 0E
3) Demostremos que T(ker(T)) ⊆ ker(T)
Si x ∈ ker(T), entonces T(x) = 0E ∈ ker(T)
4) Demostremos que T(img(T)) ⊆ img(T)
Si x̂ ∈ img(T), entonces existe x ∈ E tal que
T(x) = x̂ ∈ img(T)
∴ T(x) ∈ img(T)
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8. ISOMORFISMO INDUCIDO
Si F es un espacio invariante para T, podemos considerar la aplicación S : F →F, que envía cada vector x de F a su imagen por T, esta aplicación es un endomor-fismo de F, el " endomorfismo inducido" por S en F.
Proposición 11. Sea E un espacio vectorial sobre K y T : E→ E. Supongamosque
E = F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fn
donde Fi, 1 ≤ i ≤ n son subespacios invariantes para T, con dimensionesdiferentes de 0. Si {v1, v2, . . . , vk} es base de F1, {vk+1, . . . , vk+k2} es base deF2, etc. Y consideremos la base de E
B = {v1, v2, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+k2 , . . . , vn}
formada por la unión de las bases de los subespacios.
Entonces la matriz asociada a T en la base B es de la forma:
[T]BB =
A1 0 · · · 0
0 A2 · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · An
es decir, una matriz diagonal por bloques, donde Ai es el resultado de
aplicar el isomorfismo inducido por T sobre Fi
T : Fi −→ Fi
x 7−→ Aix
Si en la proposición anterior consideramos subespacios de dimensión 1, esdecir dim(Fi) = 1 para 1 ≤ i ≤ n resulta que la matriz asociada al endo-morfismo T, es diagonal.
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Esto nos lleva de forma natural a considerar subespacios invariantes de di-mensión 1.
Supongamos que Fi = 〈w〉, con w ∈ E, w 6= 0. Además T es un endomorfismode E, entonces:
T(w) ∈ Fi
Es decir, existe un escalar λ ∈ K tal que:
T(w) = λw
Lo cual nos lleva a las siguientes definiciones:
Definición 18: –Valor propio asociado a una transformación lineal–
Sea T un endomorfismo sobre E y λ ∈ K. Se dice que λ es un valor propioasociado a T si existe un vector v ∈ E tal que:
T(v) = λ v
En este caso se dice que v es un vector propio de T asociada al valor propio λ.
Observación. Puede haber más de un vector propio asociado a un mismo valorpropio.
Definición 19: –Valor propio asociado a una matriz asociada–
Sea A ∈ Knxn, se dice que λ es un valor propio de A, si existe v ∈ Knx1 nonulo (v 6= 0) tal que:
A(v) = λ v
Proposición 11. –Asociación de ambas definiciones de valor propio–Sea T un endomorfismo de E y B una base de E, además, sea:
A = [T]BB
Y sea λ ∈ K, entonces λ es un valor propio de T sí y solo sí λ es un valorpropio de T.
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Definición 20: –Polinomio característico–Sea A ∈ Knxn, se define el polinomio característico de A como:
PA(λ) = det(A− λI)
Teorema 20Loa valores propios de A coinciden con las raíces del polinomio característico,es decir
0 = det(A− λI)
Demostración.
Av = λv ⇔ Av− λIn(v) = 0
⇔ (A− λIn)v = 0 (1)
Dado que por definición v 6= 0, entonces para que (1) no tenga soluciones trivia-les, se debe verificar que :
det(A− λI) = 0
Definición 21Sea T un endomorfismo en E y B una base de E, además:
A = [T]BB
Se define el polinomio característico de T como:
PT(λ) = PA(λ) = |A− Iλ|
La definición de polinomio característico de T ∈ L(E, E), tal y como seha presentado, depende de la base escogida en E. Sin embargo, esta ambi-güedad desaparece notando que si dos matrices son semejantes, entoncessus polinomios característicos coinciden. En particular dos matrices seme-jantes tienen igual determinante, igual traza y los mismos vectores propios.
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Definición 22: –Matrices semejantes–
Las matrices A y B son semejantes si existe una matriz NO SINGULAR P,tal que:
P · A = B · P ⇐⇒ A = P−1BP
Observación.
E E
x
[x]B
B
C
[x]C
[T(x)]B = [T]BB [x]B
B
C
[T(x)]C = [T]CC [x]C
T
[I]CB [I]BC =([I]CB
)−1
[T]CC
[T]CC = [I]BC [T]BB [I]CB
Son semejantes
Son sus inversas
Suponemos que A y B son semejantes , es decir existe P invertible tal que:
A = P−1BP
Luego:|A− λI| = |P−1BP− λ(P−1P)| = |P−1(B− λI)P|
Como:det
(P−1
)=
1det(P)
Entonces:
|P−1(B− λI)P| = |P−1||B− λI||P| = |B− λI|
Por tanto:|A− λI| = |B− λI|
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Así A y B tienen los mismos polinomios característicos y por tanto mismosvalores propios.
La siguiente proposición muestra el primer criterio de diagonaliza-ción, es decir una condición cuya verificación implica la existenciade una base respecto de la cual la representación matricial del endo-morfismo considerado es diagonal.
Proposición 12. Sea T un endomorfismo en E. Supongamos que λ1, λ2, . . . , λn
valores propios distintos de T y sean u1, u2, . . . , un sus vectores propios corres-pondientes, entonces el conjunto:
{u1, u2, . . . , un} es li
Demostración. Por contradicción supongamos que el conjunto {u1, u2, . . . , un} eslinealmente dependiente, además supongamos que existe k < n tal que {u1, u2, . . . , uk}es linealmente independiente, por tanto:
uk+1 ∈ 〈{u1, u2, . . . , uk}〉
entonces existen escalares αi ∈ K diferentes de 0 tales que:
uk+1 = α1u1 + α2u2 + . . . + αkuk (1)
Aplicando T a ambos lados :
T(uk+1) = α1T(u1) + α2T(u2) + . . . + αkT(uk)
Como uk+1 es un vector propio asociado a algún valor propio λk+1 ∈ K, entonces:
λk+1uk+1 = α1λ1u1 + α2λ2u2 + . . . + αkλkuk (2)
Multiplicando (1) por λk+1, se tiene:
λk+1uk+1 = α1λk+1u1 + α2λk+1u2 + . . . + αkλk+1uk (3)
Restando (2) y (3), se sigue que:
0 = α1(λ1 − λk+1)u1 + α2(λ2 − λk+1)u2 + . . . + αk(λk − λk+1)uk
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Por hipótesis sabemos que
λi − λk+1 6= 0 ∀ 1 ≤ i ≤ k
Además por definición de vector propio:
ui 6= 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n
Así se concluye que:
α1 = α2 = . . . = αk = 0 ⇒⇐
Proposición 13. Sea T un endomorfismo en E, donde dim(E) = n. Si T poseen valores propios distintos en K, entonces T es diagonalizable.
Demostración. Por la proposición anterior, el conjunto de vectores vi para 1 ≤ i ≤n correspondiente a los valores propios λi de T, forman un conjunto li, es decir:
B = {v1, v2, . . . , vn} es li
Y comocard(B) = n
B es una base de ESi tomamos Fi = 〈{vi}〉, para 1 ≤ i ≤ n, se tiene que:
E = F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fn
Donde dim(Fi) = 1.
Por el resultado inicial de este capitulo, se tiene que la matriz asociada a T esdiagonal por bloques, donde cada bloque es una , matriz de orden :
dim(Fi)x dim(Fi) = 1x1
Por tanto la matriz asociada a la transformación es diagonal.
Proposición 14. Sea T un endomorfismo sobre E, entonces T es diagonaliza-ble ssi es la suma directa de distintos subespacios propios de E.
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Sea λ un valor propio de T, llamaremos al subespacio formado por to-dos sus vectores propios asociados como el subespacio propio asociado aλ.
Proposición 15. Sea T un endomorfismo sobre E, donde dim(E) = n, y seanλ1, λ2, . . . , λk para k < n, valores propios distintos de T.
Se tiene que T es diagonalizable si y solo si se verifica
dim(E) =k
∑i=1
dim(Eλi )
donde Eλi es el subespacio vectorial. de E asociado a λi
Eλi = {v ∈ E : T(v) = λi v}
9. NOTAS
• Las notas fueron parte del curso de Complementos de Álgebra dictado en elsemestre 2019-B.
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