Ajustesdemodelosteóricosadatosexperimentales:elmétododecuadradosmínimos

LucianoA.Masullo

Laboratorio 1(1erCuatrimestre 2018)Departamento deFísica

FacultaddeCienciasExactasyNaturalesUniversidaddeBuenosAires

Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(

Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(

Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.

• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦

Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.

• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦

Asumiendounciertomodeloteórico (p.ej.𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞)¿Cómoencuentrolosparámetrosdelmodelo(p.ej.𝑚y𝑞) quemejor explican* mis datosexperimentales?

*Sedicetambién“quemejorajustana”ydeahívienehablarde“ajuste”

Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.

• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦

Asumiendounciertomodeloteórico (p.ej.𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞)¿Cómoencuentrolosparámetrosdelmodelo(p.ej.𝑚y𝑞) quemejor explican* mis datosexperimentales?

*Sedicetambién“quemejorseajustana”ydeahívienehablarde“ajuste”

Tiene solución analítica

Tiene solución numérica

• Criterio:quiero encontrar lafunción 𝑓 𝑥 queminimicelasuma delas diferencias alcuadrado entrelapredicción 𝑓 𝑥# ylamedición 𝑦#

• Hipótesis adicionales:lavariablealeatoria𝑦 tienedistribucióngaussianaconvalormedio𝑓 𝑥 .Ademáselerrorrelativoen𝑥 esmuchomenorqueelerrorrelativoen𝑦.

• Cuadradosmínimos casolineal:asumocomomodeloteórico𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞, luego

Método decuadradosmínimos

Datos experimentales

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞

𝛿#

Método decuadradosmínimos

Método decuadradosmínimos

Minimización deSenfunción demyq

Método decuadradosmínimos

Minimización deSenfunción demyq

Método decuadradosmínimos

Encontramos losparámetros𝑚 y𝑞queminimizan lasuma cuadráticadelas

diferenciasentreelmodelo ylosdatos

Minimización deSenfunción demyq

Método decuadradosmínimos

Detodas las posibles funciones lineales,lafunción 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞es laque minimiza S

Método decuadradosmínimos

Algunas consideraciones importantes:

• ¿Es mejor unajusteque esté contenidodentro delas barras deerrordetodos lospuntos que uno que no?

• ¿Quérelaciónhayentrelacantidaddepuntosdentrodecuyasbarrasdeerrorpasaelajusteyelerrordelasmediciones?

• ¿Cuántospuntosesperodecada“lado”delarecta?¿Porqué?

ParámetrosdeunMRUVporcuadradosmínimos

• Posición enfuncióndeltiempo

• Velocidad enfunción deltiempo

• Aceleración enfuncióndeltiempo

ParámetrosdeunMRUVporcuadradosmínimos

• Posición enfuncióndeltiempo

• Velocidad enfunción deltiempo

• Aceleración enfuncióndeltiempo

𝑥 𝑡 = 𝑥; + 𝑣;(𝑡 − 𝑡;) +12 𝑎(𝑡 − 𝑡;)A 𝑥((𝑡 − 𝑡;)A) = 𝑥; +

12 𝑎(𝑡 − 𝑡;)ASi𝑣;= 0

lineal

𝑣 𝑡 = 𝑣; + 𝑎(𝑡 − 𝑡;)

𝑎 𝑡 = 𝑎

Limitacionesdelmétodoycriterios

Siempreesesencialevaluarcríticamenteelresultadodeunajuste:

• ¿Essiempreelmejormodeloelquemejorseajustaalosdatos?

• ¿Eselmejormodeloelquemenoshipótesishacesobreelproblema?

• ¿Esrazonableplantearunmodeloqueseajustamuybienperoquenopuedopredecirconrazonamientosyargumentosfísicos?

Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#1)

¿Quéajusteelegirían?¿Porqué?

Posic

ión(m

m)

Posic

ión(m

m)

Tiempo(ms)Tiempo(ms)

Estosdatosajustan exactamenteigual debien auna misma funciónlineal𝑦 = 3𝑥 + 0,5

Tabladecuatro conjuntosdedatos

Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21

Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#2)

Tabladecuatro conjuntosdedatos

Estosdatosajustan exactamenteigual debien auna misma funciónlineal𝑦 = 3𝑥 + 0,5

Loscuatro conjuntosdedatosgraficados

Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21

I II

III IV

Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#2)

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:

“Chicuadrado”

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:

“Chicuadrado”

𝑘 = 10

𝜒A

Distribución deprobabilidad de𝜒A

• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:

“Chicuadrado”

Distribución deprobabilidad de𝜒A

𝑘 = 10

𝜒A

• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada

• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:

“Chicuadrado”

Distribución deprobabilidad de𝜒A

𝑘 = 10

𝜒A

• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada

• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)

• 𝐸(𝜒A) = 𝑘

• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:

“Chicuadrado”

Distribución deprobabilidad de𝜒A

𝑘 = 10𝐸(𝜒A)

𝐸(𝜒A) +2𝑆𝐷(𝜒A)

𝜒A

• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada

• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)

• 𝐸(𝜒A) = 𝑘

• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:

“Chicuadrado”

• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada

• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)

• 𝐸(𝜒A) = 𝑘

• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘

• Elvalorde𝜒A esunamedida(no laúnica)delaprobabilidad dequelosdatos{𝑦#}provengandeunfenómeno físicoconmodelo teórico𝑦 = 𝑓(𝑥),esdecir,𝜒A esuna medida delaverosimilitud delmodelooajuste

Distribución deprobabilidad de𝜒A

𝑘 = 10𝐸(𝜒A)

𝐸(𝜒A) +2𝑆𝐷(𝜒A)

𝜒A

¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?Posic

ión(m

m)

Tengo 10mediciones yquiero evaluar laverosimilituddemimodelo teórico

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A

Tiempo(ms)

¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?Posic

ión(m

m)

Tiempo(ms)

Tengo 10mediciones yquiero evaluar laverosimilituddemimodelo teórico

𝜒A = 7,42

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A

¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?

𝑘 = 10

𝜒A = 7,42

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A

𝜒A

¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?

𝑘 = 10

𝜒A = 7,42

𝜒A = 7,42 estácontenidoenelintervalo𝐸(𝜒A) ± 𝑆𝐷(𝜒A),eraunresultadoesperable

Resultados poco probables Resultados más probables Resultados poco probables

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A

𝜒A

𝑘 = 10

¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?

𝜒A = 22

𝜒A = 22 estáafueradelintervalo𝐸(𝜒A) ± 2𝑆𝐷(𝜒A),es unresultadopoco esperable dadoelmodelo teórico

Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A

𝜒A

𝜒A reducidoSepuededefinirenformaanálogaal𝜒A ,un𝜒Areducido :

• Sirveparaindependizarelvalormediodelacantidaddemediciones𝑘

• Elprograma Origincomputa 𝜒APQR envezdel𝜒A

• “Cuadradosmínimos”esunmétodo(noelúnico)quesirveparaencontrarlosparámetrosquemejorseajustanalosdatosexperimentalesdadounmodeloteórico

• Sibien es unmétodo poderosoymuyútil,hayque tener cuidado yevaluarlosresultados delosajustes concriterio ysinperder devistalafísica delexperimento

• 𝜒A esunestadístico (yunavariablealeatoria)quedaunamedida(nolaúnica)delaverosimilituddelajusteefectuadoalosdatosexperimentales

Resumen

𝑘 = 10

Extra:Testdehipótesisyp-valor

¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?

• Recordemos que laintegraldeladensidad deprobabilidad da1

• Sedefineelvalorpcomo laprobabilidaddeobtener unconjunto demedicionescomo elque obtuve omás extremo(menosprobableaún)dadaunaciertahipótesisomodelo

• Sesuele*tomarvalorp<0,05(que asuvez defineun𝜒A umbral)pararechazarunmodelo (oaceptarelcontrario)

• Elvalorpdeterminaelniveldesignificacióndeladiscrepanciadelmodeloconlosdatos

𝜒A = 22

*Laelección esarbitraria ydehechoactualmente hayunfuertedebateenelámbitodelascienciasbiomédicas, verporejemplo:S.Wellek “Acritical evaluation ofthe current ‘p-value controversy’”, Biometrical Journal, 59,5(2017)

𝜒A

valorp