Transcript of Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero PROBLEMAS DE GEOMETRÍA Creer que una...
- Diapositiva 1
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Creer que una ciencia existe a partir de determinado
momento o de tal acontecimiento parece una ingenuidad. Sin embargo,
en sus Historias, Herodoto, que vivi en Grecia en el siglo V a. C.,
relata el origen de la geometra indicando como causa de tal origen
el desbordamiento que todos los aos tena el ro Nilo. Esto haca que
se borrasen las lindes de los campos, y obligaba a los tensores de
la cuerda a hacer nuevas mediciones de las tierras. Se cuenta
tambin que el rey Sesostris dividi la tierra entre todos los
egipcios, otorgando a cada uno un rectngulo de igual tamao, con la
intencin de cobrar la renta por medio de un impuesto que sera
recaudado anualmente. Pero cuando el paso del Nilo redujese una
porcin, el sbdito correspondiente deba acudir al rey para
notificarlo. Entonces ste mandaba a sus inspectores, que
controlasen la reduccin del terreno, de manera que el propietario
pagase la parte proporcional del impuesto. De esta forma, me
parece, se origin la geometra, que se difundi ms tarde por la
Hlade. EL ORIGEN DE LA GEOMETRA
- Diapositiva 2
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA PROBLEMAS GEOMTRICOS Cuando un matemtico se tropieza
por primera vez con teoremas como algunos de los que veremos a
continuacin, casi siempre manifiesta admiracin, seguida
invariablemente, de la exclamacin: "Precioso!". No podemos decir
exactamente qu entienden por "precioso" los matemticos. Quiz tenga
que ver con la sorpresa de lo inesperadamente sencillo. Pero todos
los matemticos perciben la belleza de un teorema, o de la
demostracin de un teorema, con la misma claridad con que se aprecia
la belleza de las personas. Por la riqueza de sus aspectos
visuales, la geometra guarda un tesoro de hermosos teoremas y
preciosas demostraciones. Es frecuente que la resolucin de
problemas geomtricos resulte prcticamente trivial atinando a usar
uno de los teoremas fundamentales de la geometra eucldea.
- Diapositiva 3
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA LA GEOMETRA DEL ESPACIO La geometra del espacio
presenta a veces gran dificultad de comprensin, debido a una escasa
visin espacial. En gran parte, esta dificultad es consecuencia de
tener que representar sobre el plano lo que se ve en el espacio.
Por tanto, conviene tener muy claros los elementos fundamentales de
la geometra del espacio, que son el punto, la recta y el plano.
Existen en la actualidad gran nmero de impresionantes grabados, en
los que se explotan magistralmente ilusiones geomtricas, que en
ltimo trmino consisten en la exclusin velada de algunos axiomas de
la geometra eucldea.
- Diapositiva 4
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Hay problemas geomtricos que nos dejan perplejos porque
la respuesta elemental, a menudo se complica de un modo inverosmil.
Veamos algunos ejemplos
- Diapositiva 5
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud
que el radio del crculo, la respuesta es 8 cm. EL RADIO DEL CRCULO
1 Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del crculo.
Solucin
- Diapositiva 6
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de
la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectngulo. Por lo
tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m. EL LADO DEL
ROMBO 2 En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un
estanque de forma rmbica, segn la figura. Cunto mide el lado del
rombo? Solucin
- Diapositiva 7
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA 60. Basta observar de que se trata de un tringulo
equiltero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara. EL NGULO DE
LAS DIAGONALES 3 Cuntos grados mide el ngulo que forman las dos
diagonales de las caras del cubo? Solucin
- Diapositiva 8
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA MN = 6 centmetros. Trazando desde P y Q perpendiculares
al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y
RS=PQ, surge la respuesta. GOLPE DE VISTA 4 Dos circunferencias
secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por
uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos
una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde
corta dicha recta a las circunferencias. Cunto mide MN?
Solucin
- Diapositiva 9
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA. Cunto mide el ngulo obtuso ABC? A, B y C son los
puntos medios de los lados. 5 Solucin 120. Slo hace falta terminar
de dibujar el hexgono regular ABCDEF. EL NGULO OBTUSO
- Diapositiva 10
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA. En el tringulo issceles ABC el ngulo A mide 50 Cul es
la medida del ngulo x? 6 Solucin Puesto que es issceles: B = C =
(180-A)/2 = 130/2 = 65. Por lo tanto: x= 180-C = 180- 65 = 115. EL
NGULO EXTERIOR
- Diapositiva 11
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera
que un vrtice de uno est siempre en el centro del otro. En qu
posicin el rea comprendida entre los dos cuadrados es la mayor
posible? 7 Solucin El rea comprendida entre ambos siempre es la
cuarta parte de la de un cuadrado. Los tringulos ABC y CDE son
iguales. CUADRADOS QUE SE CORTAN
- Diapositiva 12
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Si el ancho de un marco es igual en sus dos
direcciones, horizontal y vertical, como sucede casi siempre, el
rectngulo constituido por el cuadro completo y el rectngulo de la
tela pintada sern semejentes? 8 Solucin No lo son, puesto que las
fracciones: b/a y (b+2h)/(a+2h) son siempre distintas, salvo en el
caso del cuadrado (a=b). SEMEJANZA DE RECTNGULOS
- Diapositiva 13
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Un hombre quiere enviar por correo un fluorescente que
mide 92 cm. de largo, pero las normas de Correos prohben los
paquetes postales superiores a 55 cm. Cmo podra enviar el objeto
por correo sin romperlo, ni doblarlo ni faltar a las ordenanzas de
Correos? 9 Solucin Puede utilizar para el envo una caja en forma de
cubo de 55 cm. de lado, pues una caja de estas caractersticas tiene
una diagonal de 95 cm. PAQUETE POSTAL
- Diapositiva 14
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA A una circunferencia pueden inscribirse y
circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo
que el rea del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de
superficie, qu rea tiene el cuadrado mayor? 10 Solucin En lugar de
inscribir el cuadrado como mostraba la figura anterior, hagmoslo
girar 45 hasta la posicin que muestra la figura siguiente. Se
observa que el rea del cuadrado mayor es el doble que la del
inscrito; es decir, 8 unidades. SEMEJANZA DE RECTNGULOS
- Diapositiva 15
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Algunas situaciones parecen ir contra la intuicin. Y no
se trata de salir del paso diciendo aquello de que si la realidad
se opone a mis ideas, peor para la realidad. La intuicin, como la
capacidad deductiva, puede ser afinada, educada. Intentamos hacerlo
a travs de los siguientes problemas. EDUCANDO A LA INTUICIN
- Diapositiva 16
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Un sencillo clculo confirma esta situacin sorprendente.
Siendo R el radio de la esfera (la Tierra o la naranja), el cordel
ajustado mide 2 R. Cuando le agregamos un metro, el cordel pasa a
medir 2 R+1. El radio que tiene esta nueva circunferencia, ser (2
R+1)/2. La diferencia de radios nos da la holgura que es: 1/2 =
15'91549... cm. en los dos casos. Deca esto su intuicin? EL CINTURN
DE LA TIERRA 11 Imaginemos un cordel que envuelve como un cinturn
ajustado la Tierra a lo largo del Ecuador. Aadmosle un metro al
cordel. Cun flojo queda ahora? La intuicin indicara que la holgura
que se obtiene es pequesima, ya que el metro agregado representa
muy poco respecto a la circunferencia de la Tierra. Ms inquietante
es pensar que si ajustamos un cordel alrededor de una naranja, y le
agregamos luego un metro, la holgura que se consigue para la
naranja es exactamente la misma que para la Tierra. Ser cierto?
Solucin
- Diapositiva 17
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA La holgura es de 12'5 cm. en ambos casos. EL CORDEL Y
EL CUADRADO 12 Que pasara si la Tierra fuese cuadrada? Solucin Fall
su intuicin?
- Diapositiva 18
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Imaginemos un tramo recto de riel, AB, de 500 metros de
largo, aplanado sobre el suelo y fijado en sus dos extremos. Bajo
el calor del verano, el riel se expande 2 metros, provocndole una
joroba. Suponiendo que el riel se arquea en forma simtrica, a qu
altura cree usted que se levanta la joroba en el punto medio? Diez
centmetros? Un metro? Diez metros? 13 Solucin Como la longitud
total del riel es ahora 502 metros, cada mitad tendr 251 metros.
Aunque es evidente que la joroba adoptar una forma curva, podemos
hacernos una idea de la situacin suponiendo que son dos rectas,
articuladas en el punto medio. Bajo esta suposicin obtenemos una
estimacin de la altura x aplicando el teorema de Pitgoras: x 2 =
(251 2 -250 2 ) ===> x = 22 metros. Seguro que su intuicin volvi
a fallar. EL RIEL DILATADO
- Diapositiva 19
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Un puente metlico tiene 1 km. de longitud. Debido al
calor se dilata 20 cm. Si no se hubiese previsto un medio de
absorber esta dilatacin, el puente se levantara formando un
tringulo issceles de altura h. La base sera el puente antes de la
dilatacin. Cunto vale h? 14 Solucin Diez metros. La solucin del
problema es elemental, pero lo que sorprende es la magnitud de
dicha solucin. Se trata de hallar el tercer lado de un tringulo
rectngulo cuya hipotenusa mide 1000'2/2 = 500'1 m. y 500 m. uno de
los catetos. h 2 = (500'1) 2 - (500) 2 ===> h = 10 m. Fall su
intuicin? EL PUENTE SIN DISPOSITIVO DE DILATACIN
- Diapositiva 20
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Calcula el valor de todos los ngulos de la figura
sabiendo que el ngulo 1 vale 70. 15 Solucin El ngulo 2 mide 20. Por
tratarse de un tringulo issceles (dos lados son radios) los ngulos
4 y 5 son iguales. La suma de los ngulos 2, 3 y 4 es 90, pues el
ngulo total abarca el dimetro. De estas dos condiciones se obtiene
que la suma de los ngulos 2 y 4 es igual al ngulo 7. Y el ngulo 7
es igual a dos veces el ngulo 4. De donde el ngulo 2 es la mitad
del ngulo 7. Por tanto el ngulo 7 mide 40, los ngulos 4 y 5 miden
20 cada uno, el ngulo 6 mide 140, el ngulo 7 mide 50 y los ngulos 8
y 9 son rectos. NUEVE NGULOS
- Diapositiva 21
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Supongamos dos circunferencias concntricas. Trazamos
una tangente a la interior que, naturalmente cortar a la exterior
en dos puntos. La distancia entre cualquiera de estos puntos y el
punto de tangencia es 1 m.. Halla el rea de la corona circular que
determinan las dos circunferencias. 16 Solucin Sean R el radio del
crculo mayor y r el radio del crculo menor: r 2 =R 2 -1. rea de la
corona = piR 2 - pir 2 = piR 2 - pi(R 2 -1) =. En cualquier viejo
formulario de la geometra clsica, que tanto se estudiaba hace 50
aos, viene dada directamente la frmula de la corona circular en
funcin de la cuerda del crculo mayor, tangente al menor: A=pi c/2.
Como en nuestro caso c/2=1, tenemos que A=pi 1=pi. REA DE LA CORONA
CIRCULAR
- Diapositiva 22
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Querido Paco: Si se te ocurre poner esta carta frente
al espejo, la leers sin dificultad. Por cierto, que no me explico
la razn de que Leonardo da Vinci escribiera siempre en la forma que
ahora ests viendo. SIMETRA Y REFLEXIN 17 La imagen en un espejo
plano y el objeto reflejado no son iguales, sino simtricos. El
producto de dos reflexiones es la igualdad. Estas dos sencillas
propiedades nos permitirn gastar una pequea broma, cuando
escribamos a un amigo utilizando un papel carbn y dos cuartillas.
La siguiente carta se la mand a un amigo mo. Sabe Vd. lo que le
pone? Solucin
- Diapositiva 23
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Cul tiene una superficie mayor, un tringulo con lados
5, 5, 6 o uno con lados 5, 5, 8? 18 Solucin Tienen la misma rea.
Ambos pueden dividirse por la mitad para dar lugar a dos tringulos
3, 4, 5. TRINGULOS ORIGINALES
- Diapositiva 24
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA En el tringulo ABC, rectngulo en A, la hipotenusa a=10,
el cateto b=8 y el cateto c=6. Hallar en 30 segundos el valor de la
mediana AM. 19 Solucin Basta recordar que todo tringulo rectngulo
puede inscribirse siempre en un crculo cuyo dimetro CB=a=10 es la
hipotenusa, as que AM=radio=5. EL VALOR DE LA MEDIANA
- Diapositiva 25
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Una esfera pesa 40 kg. Se la coloca suavemente dentro
de un cilindro lleno de agua en el cual entra exactamente. Despus
de esta operacin, el cilindro y su contenido pesan 20 kg ms. Cul es
el volumen del cilindro? Cul es la densidad de la esfera? 20
Solucin El volumen de la esfera es los 2/3 del volumen del cilindro
en el cual aquella puede inscribirse: 4/3piR 3 = 2/3(2piR 3 ).
Cuando la esfera se hunde en el cilindro desaloja los 2/3 del agua
contenida en ese cilindro. El aumento de peso es, pues, el peso de
la esfera (40 kg) menos los dos tercios del peso del agua contenida
inicialmente en el cilindro, lo cual, en kilos, es igual a los dos
tercios del volumen del cilindro, expresado dicho volumen en
decmetros cbicos. 20 = 40 - 2/3V ===> V=30 dm 3 El volumen de la
esfera es V'=2/3V=20 dm 3 y su densidad es 40/V'=2. LA ESFERA HUECA
Y EL GEMETRA SAGAZ
- Diapositiva 26
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Un vendedor de billares tiene como insignia de su
negocio dos esferas desiguales, slidas y hechas de la misma madera.
La mayor pesa 27 kg y la pequea 8 kg. El comerciante se propone
volver a pintar las insignias. Con 900 gramos de pintura pinta la
esfera mayor. Cuntos gramos necesitar para pintar la pequea? (La
cantidad de pintura necesaria es proporcional a la superficie que
hay que pintar) 21 Solucin Los volmenes y, por lo tanto, los pesos
son proporcionales a los cubos de los radios. Las superficies y,
por lo tanto, las cantidades de pintura son proporcionales a los
cuadrados de los radios. Sean R y r los radios de las dos esferas,
x el peso en gramos de la pintura necesaria para pintar la esfera
pequea. r 3 /R 3 =8/27 luego r/R=2/3 r 2 /R 2 =x/900=4/9 x=400
gramos. LAS ESFERAS PINTADAS
- Diapositiva 27
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Catalina ha desafiado a sus amigos a hacer algo que
parece totalmente imposible: Coger un libro, girarlo un ngulo de
180, volverlo a girar otros 180 y que el libro quede formando un
ngulo de 90 con su posicin inicial. Ser posible realizar lo que
dice Catalina? 22 Solucin Girar primero el libro 180 alrededor del
lado vertical opuesto al lomo, y a continuacin otros 180 alrededor
de una recta que forme 45 con el eje anterior. En general, un giro
de 180 alrededor de un cierto eje, seguido por otro giro de 180
alrededor de otro eje que forme un ngulo con el primero, resulta
ser equivalente a una rotacin de ngulo 2 alrededor de un eje
perpendicular a los dos primeros y que pasa por su punto de
interseccin. GIROS, POSIBLES O IMPOSIBLES?
- Diapositiva 28
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA El borde de un embalse es una circunferencia perfecta.
Un pez empieza en un punto del borde y nada en direccin norte 600
metros, lo que le devuelve al borde. Nada entonces en direccin
este, llegando al borde despus de recorrer 800 metros. Cul es el
dimetro del embalse? 23 Solucin Mil metros. El pez describe un
ngulo recto con su trayectoria. Un ngulo recto, con su vrtice en la
circunferencia de un crculo, intersecta la circunferencia en los
extremos de un dimetro. El dimetro es, por tanto, la hipotenusa de
un ngulo recto con lados 600 y 800 metros. EL EMBALSE Y EL PEZ
- Diapositiva 29
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Un poste mide 32 palmos de altura. Un da lo parte un
rayo. El trozo roto queda apoyado en el suelo formando un tringulo
de 16 palmos de base. A qu altura se parti el poste? 24 Solucin x +
16 = (32-x); x=12 palmos. EL POSTE ROTO
- Diapositiva 30
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Se trata de trazar una lnea continua a travs de la red
cerrada de la figura, de modo que dicha lnea cruce cada uno de los
16 segmentos que componen la red una vez solamente. La lnea
continua dibujada no es, evidentemente una solucin del problema, ya
que deja un segmento sin cruzar. Se ha dibujado solamente a fin de
hacer patente el significado del enunciado del problema. 25 Solucin
El problema no tiene solucin. En efecto, cada uno de los tres
rectngulos mayores de la figura tiene un nmero impar de segmentos.
Como cada vez que se cruza un segmento se pasa de dentro a fuera
del rectngulo o viceversa, quiere decirse que en los tres debe de
haber una terminacin de la lnea en su interior para que la lnea
cruce el nmero impar de segmentos una sola vez, y como hay tres
rectngulos mientras que la lnea continua no tiene ms que dos
extremos, la solucin del problema es imposible. EL CRUCE DE LA
RED
- Diapositiva 31
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Un ciudadano de Konigsberg (Prusia) se propuso dar un
paseo cruzando cada uno de los siete puentes que existen sobre el
ro Pregel una sola vez. Los dos brazos del ro rodean a una isla
llamada Kneiphof. Cmo debe cruzar los puentes para realizar el
paseo? 26 Solucin Euler (1707-1783) demostr que el paseo es
imposible. Veamos su demostracin. Los siete puentes estn tendidos
entre cuatro regiones de tierra: A, B, C y D. De A sale 5 puentes;
de B, 3; de C, 3, y de D, 3. El paseo sale de una regin y podr
terminar en ella misma o en otra. Habr siempre, al menos, dos
regiones que no sern comienzo ni final del paseo. O sea, cada vez
que se entra en ellas debe salirse de ellas. De cada una de esas
dos regiones debera partir un nmero par de puentes. Ya se ha dicho
que de las regiones parten 5, 3, 3 y 3 puentes, impares todos.
Conclusin: El paseo es imposible. LOS 7 PUENTES DE KONIGSBERG
- Diapositiva 32
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA En la figura tenemos dos sobres ligeramente diferentes
ya que el segundo tiene una lnea ms, que marca la doblez de cierre.
Es posible dibujar cada uno de los sobres sin levantar el lpiz del
papel, y sin pasar ms de una vez por el mismo trazo? 27 Solucin
Aunque el segundo parece el ms complicado de dibujar, la realidad
es que puede dibujarse en las condiciones estipuladas. El primero
en cambio, no. Todo vrtice en el que concurren un nmero impar de
lneas ha de ser comienzo o fin del trazado, ya que si no, por cada
entrada ha de haber un salida. En la segunda figura, en los vrtices
inferiores ocurre esto, luego uno puede ser comienzo y el otro fin
del dibujo. (Ver figura) En el primer sobre son cuatro los vrtices
en los que concurren un nmero impar de lneas; como no puede haber
ms que un fin y un comienzo, es imposible dibujarlo en las
condiciones propuest DIBUJANDO SOBRES.
- Diapositiva 33
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Un vrtice es impar si de el parten un nmero impar de
caminos. Un vrtice es par si de el parten un nmero par de caminos.
El problema es imposible si en la red hay ms de dos vrtices
impares. Es posible: a) Cuando todos los vrtices son pares, y
entonces el punto de partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay
ms de dos vrtices impares, y entonces el recorrido comienza por uno
de ellos y termina en el otro. 28 Solucin EN GENERAL: DE UN SOLO
TRAZO, POSIBLE O IMPOSIBLE? Se pueden dibujar de un solo trazo los
de la fila superior. Es imposible para los de la fila
inferior.
- Diapositiva 34
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se
muestra en la figura. Usando solamente geometra elemental (no
trigonometra) demostrar que el ngulo C es igual a la suma de los
ngulos A y B. 29 LOS TRES CUADRADOS.
- Diapositiva 35
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA 29 Solucin 1: La siguiente construccin muestra la
solucin del problema LOS TRES CUADRADOS
- Diapositiva 36
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA 29 Solucin 2: Esta otra construccin tambin muestra la
solucin del problema. Los tringulos APO y OQR son semejantes, por
lo que los ngulos A y O son iguales. Y como C=B+O, C=B+A. LOS TRES
CUADRADOS.
- Diapositiva 37
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA 29 Solucin 3. Usando trigonometra: tgA=1/3, tgB=1/2,
tgC=1. tg(A+B) =... = 1 = tgC. Luego A+B=C. LOS TRES
CUADRADOS.
- Diapositiva 38
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Una ventana cuadrada mide 1 metro de lado. Como estaba
orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuy su tamao a la
mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana segua teniendo
forma cuadrada y tanto su anchura como su altura seguan siendo de 1
metro. Puede Vd. dar una explicacin de tan extrao fenmeno? 30
Solucin La siguiente figura muestra la solucin. VENTANA DIVIDIDA EN
DOS.
- Diapositiva 39
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Dos monedas idnticas A y B parten de la posicin que
indica la figura. La moneda B permanece en reposo, mientras que la
A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posicin
inicial. Cuntas vueltas habr dado la moneda A? 31 Solucin La moneda
A da dos vueltas. No se lo cree Vd.? Tome las dos monedas y lo
comprobar. MONEDAS IGUALES DANDO VUELTAS.
- Diapositiva 40
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Dos monedas distintas A y B parten de la posicin que
indica la figura anterior. La moneda B permanece en reposo,
mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que
vuelve a su posicin inicial. Cuntas vueltas habr dado la moneda A?
La moneda A mvil tiene un dimetro cuatro veces ms pequeo que el
dimetro de la moneda fija B. 32 Solucin.......... MONEDAS DISTINTAS
DANDO VUELTAS.
- Diapositiva 41
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Tenemos un posavasos circular y una servilleta
cuadrada. Hallar el centro del posavasos con la ayuda nicamente de
la servilleta y un lpiz. 33 Solucin Colocamos uno de los vrtices de
la servilleta sobre cualquiera de los puntos de la circunferencia
del posavasos. El ngulo definido por ABC es un ngulo recto, luego
el segmento AC es un dimetro de la circunferencia. Trazamos con un
lapicero la lnea AC y repetimos la misma operacin eligiendo como B
cualquier otro punto del permetro del posavasos. Una vez trazado el
segundo dimetro ya est hallado el centro de la circunferencia.
POSAVASOS Y SERVILLETA.
- Diapositiva 42
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Consideremos un cubo de lado 1. Tomemos dos vrtices
opuestos por una diagonal mxima del cubo. Cada uno de estos dos
vrtices opuestos est rodeado de tres vrtices cercanos que forman un
tringulo. Es fcil ver que los dos planos definidos por estos dos
tringulos son paralelos. Sin hacer clculos, cul es la distancia
entre los dos planos? 34 Solucin La diagonal es perpendicular a los
planos en cuestin y forma ngulos iguales con todas las aristas del
cubo, por lo que la proyeccin de una cualquiera de stas sobre
aqulla es constante. Luego, sin ms que dibujar la figura, se
concluye que la distancia entre los dos planos es 1/3 de la
diagonal EL CUBO Y LOS PLANOS.
- Diapositiva 43
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Tenemos cuatro crculos iguales de radio 1. Uniendo los
centros obtenemos un cuadriltero irregular. Cunto mide el rea
sombreada? 35 Solucin La misma que uno de los crculos, es decir,
PI. La suma de los ngulos de un cuadriltero es 360. Cada sector
sombreado cubre una parte de un crculo cuya rea depende del ngulo
correspondiente. Los cuatro ngulos cubrirn un rea igual a la de un
crculo completo. CUATRO CRCULOS IGUALES.
- Diapositiva 44
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Unos pintores estn pintando las paredes interiores de
una catedral. A una ventana circular de un metro de dimetro le
aadieron dos lneas tangentes y dos semicrculos cerrando la figura.
Qu rea tiene la figura sombreada? 36 Solucin Un metro cuadrado. Es
el rea de un cuadrado de un metro de lado. LOS PINTORES DE LA
CATEDRAL.
- Diapositiva 45
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA En la figura adjunta, cunto mide B? 37 Solucin B puede
tener cualquier valor. Sean x e y las dos partes en que se divide
B, x la mayor. x/6 = B/10 x = 6B/10 y/6 = B/15 y = 6B/15 Como B =
x+y. Sustituyendo: B = 6B/10 + 6B/15; o bien: B = 3B/5 + 2B/5.
Igualdad que siempre se cumple para cualquier valor de B. MUY
ELEGANTE
- Diapositiva 46
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA En la figura adjunta el tringulo rectngulo tiene el
vrtice en centro del cuadrado. Cul es el rea de la parte sombreada?
38 Solucin Observe que los tringulos sombreados de la figura son
iguales por ser el tringulo rectngulo. El rea de la sombra es la
cuarta parte del rea del cuadrado. Es decir, 36/4 = 9. LA SOMBRA
DESCONOCIDA
- Diapositiva 47
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Probar que cada mediana de un tringulo es menor que el
promedio de los lados adyacentes. En la figura adjunta, probar que
x < (a+b)/2. 39 Solucin Slo hay que repetir un tringulo igual al
primitivo, opuesto por la base, como se muestra en la figura
adjunta. Es evidente que la diagonal de un cuadriltero no puede ser
mayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo por dos la
diagonal queda la mediana del tringulo, que por tanto no puede ser
igual o mayor que la semisuma de los mismos lados. LA MEDIANA ES
MENOR
- Diapositiva 48
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Las reas rayadas de la luna y el tringulo, son iguales?
40 Solucin. S, son iguales. Veamos: (AB) 2 = R 2 + R 2 = 2R 2 rea
del cuadrante = PiR 2 /4 rea del tringulo = R 2 /2 rea del segmento
de arco AB = PiR 2 /4 - R 2 /2 rea de la luna = Pi(AB) 2 /8 - (PiR
2 /4 - R 2 /2) = PiR 2 /4 - PiR 2 /4 + R 2 /2 = R 2 /2. LA LUNA Y
EL TRINGULO
- Diapositiva 49
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Un tringulo equiltero y un hexgono regular tienen
permetros iguales. Si el hexgono tiene una superficie de 6 m 2., qu
rea tiene el tringulo? 41 Solucin La simple observacin de la figura
muestra la solucin. EL HEXGONO Y EL TRINGULO
- Diapositiva 50
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. Cunto vale el
rea del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios
de los lados del cuadrado? 42 Solucin La simple observacin de la
siguiente figura muestra que el rea del cuadradito es la quinta
parte del rea del cuadrado. Es decir, 20 cm 2. REA DEL
CUADRADITO
- Diapositiva 51
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA La longitud del rectngulo ABCD es 8 y su anchura 3.
Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos
E y F. Cunto vale el rea del tringulo BEF? 43 Solucin Los tringulos
AEB, BEF y FCB tienen la misma rea pues tienen la misma altura e
iguales bases. As pues, cada uno la tercera parte del rea del
tringulo ABC, es decir: rea del tringulo BEF = 1/3 1/2 8 3 = 4.
RECTNGULO, DIAGONAL Y TRINGULO
- Diapositiva 52
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA El crculo 1, cuya rea es 4, pasa por el centro del
crculo 2 al que es tangente. Cul es el rea del crculo 2? 44 Solucin
rea(2)/rea(1) = Pi R 2 /Pi r 2 = (2r) 2 /r 2 = 4. Entonces: rea(2)
= 4 rea(1) = 4 4 = 16. LOS DOS CRCULOS
- Diapositiva 53
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Cul es el rea de la zona sombreada de la figura? 45
Solucin Es la cuarta parte del rea del cuadrado: 16/4 = 4. LA ZONA
SOMBREADA
- Diapositiva 54
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA En un prado cuadrado de 100 metros de lado, hay cuatro
cabras. Cada una atada a una esquina del prado con una cuerda de 50
metros, lo que permite comer una cierta parte de la hierba del
prado, quedando en el centro un trozo que ninguna de ellas alcanza.
El propietario, tras vender tres de las cabras, alarg la cuerda de
la que quedaba en una de las esquinas, de tal forma que el rea
sobre la que poda pastar era equivalente al rea sobre la que
pastaban anteriormente las cuatro. Qu longitud le dio a la cuerda?
46 LAS 4 CABRAS DEL PRADO
- Diapositiva 55
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA 46 Solucin LAS 4 CABRAS DEL PRADO El rea utilizada por
las cuatro es un crculo de radio 50 m., es decir S=Pi 50. La que
queda sola ha de pastar sobre un cuadrante de crculo cuya
superficie sea la misma: Pi x/4 = Pi 50 ===> x=100 m. Justamente
la longitud del campo.
- Diapositiva 56
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Dado un tringulo ABC, encontrar un punto cuya suma de
distancias a los vrtices sea mnima. 47 Solucin FERMAT: EL CENTRO
DEL TRINGULO Se construye un tringulo equiltero sobre cada lado del
tringulo ABC. Uniendo los vrtices de esos tres tringulos obtenemos
un punto de interseccin que cumple la condicin requerida.
- Diapositiva 57
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Dadas tres circunferencias iguales, tangentes dos a
dos, calcula el rea encerrada entre las tres. 48 Solucin LAS TRES
CIRCUNFERENCIAS
- Diapositiva 58
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA El radio del crculo inscrito en un tringulo rectngulo
mide 3 cm., y el del circunscrito, 5 cm. Cunto vale la suma de los
catetos del tringulo? 49 Solucin LA SUMA DE LOS CATETOS 16 cm. Haga
la figura correspondiente y lo ver.
- Diapositiva 59
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA La zona sombreada representa un lago. Cul es la
superficie del lago? Los terrenos que lo limitan son cuadrados. 50
Solucin LA SUPERFICIE DEL LAGO El lago es un tringulo rectngulo.
Para hallar su rea, basta saber la longitud de los catetos: rea =
5x12/2 = 30 m.
- Diapositiva 60
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA Trazando las diagonales del cuadriltero se observa la
propiedad inmediatamente. BONITA PROPIEDAD 51 Demostrar que uniendo
los puntos medios de los lados de un cuadriltero se obtiene un
paralelogramo. Solucin
- Diapositiva 61
- Alejandro Garca Piedrafita y Sergio lvarez Mesonero PROBLEMAS
DE GEOMETRA 52