Algebra. (I. Electronica)-Modelo A-Enero-2010

Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.

Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.

Ejercicio 1 Si las filas de la matriz L de la factorizacion A = LU son (1, 0, 0), (2, 1, 0),(3, 4, 1), las transformaciones elementales hechas en A para obtener U son:A) F2 F2 2F1, F3 F3 3F1 y F3 F3 4F2; B) F2 F2 + 2F1, F3 F3 + 3F1y F3 F3 + 4F2; C) F1 F2 2F1, F2 F2 3F3 y F3 F2 4F3; D) Ningunade las anteriores.

Ejercicio 2 Si {x, y, z} es un sistema no libre de vectores no nulos de R3, es ciertoque: A) Para generar el mismo subespacio de R3 que genera {x, y, z} son necesariosdos de los tres vectores; B) Cualquiera de los tres es combinacion lineal de los otrosdos; C) Al menos uno es combinacion lineal de los otros; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 3 En la base estandar, las aplicaciones lineales de R2 en R2: fA(x1, x2) =(x1, 2x2) y fB(x1, x2) = (x1 x2,x1 + x2) verifican que las filas de la matriz asociadaa fA fB son: A) Iguales a las de la matriz asociada a fB fA; B) (1,1) y (2, 2);C) (1,2) y (1, 2); D) Ninguna de ellas.

Ejercicio 4 Si J es a matriz de Jordan de una matriz, A, cualquiera, se verifica: A)Los elementos de J que estan encima de la diagonal principal son siempre 1; B) Si elnumero de valores propios distintos es igual al rango de A, entonces J es diagonal; C)Los elementos que estan encima de la diagonal no pueden ser 0; D) Ninguna de lasanteriores.

Ejercicio 5 Cada elemento gij de G matriz de Gram asociada al producto escalar en R3 con la base B = {e1, e2, e3} es: A) El producto escalar estandar ei.ej; B)El producto escalar ei ej; C) La norma de ei ej; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 6 Si Q(x) = xtAx es la expresion analtica de la forma cuadratica, la ima-gen del vector x Rn es: A) Un vector de Rn; B) Una matriz; C) Un escalar; D)Ninguna de ellas.

ProblemaSabiendo que U1 = {(x1, x2, x3)|x1 + x2 + x3 = 0} y U2 = (1, 2, 3) son subespacios deR3, se pide:A)(2ptos.) Unas ecuaciones parametricas y cartesianas de U1 + U2 y de U1 U2.B)(2ptos.) Explicar si U1 + U2 es suma directa o no, y, si lo es, encontrar una descom-posicion del vector (0,0,-6) como suma de un vector de U1 y otro de U2.

Solucion Ejercicio 1 La solucion correcta es A.Vease el ejemplo 6 del documento MN-EcuacionesLineales.

Solucion Ejercicio 2 La solucion correcta es C.

Vease el ejercicio 26 de Ejercicios resueltos de MATEMATICAS-I.

Solucion Ejercicio 3 La solucion correcta es B.

Vease el ejercicio 63 de Ejercicios resueltos de MATEMATICAS-I.

Solucion Ejercicio 4 A) y C) son falsas: Si todos los valores propios son difer-entes la matriz de Jordan coincide con la matriz diagonal.La solucion correcta es B.Vease el captulo 3.5 de Fundamentos de matematicas: MATEMATICAS-I.

Solucion Ejercicio 5 La solucion correcta es B.Vease la pagina 2 del documento Producto escalar.

Solucion Ejercicio 6 La solucion correcta es C.

Vease el ejercicio 177 de Ejercicios resueltos de MATEMATICAS-I.

Solucion problemaA) (2pts.)Paso de las ecuaciones cartesianas de U1 a unas parametricas:

x1 = x2 =

x3 = x1x2x3

= 101

+ 011

Paso de las ecuaciones parametricas de U2 a unas cartesianas:

U2 = (1, 2, 3)

x1 = x2 = 2x3 = 3

{x2 = 2x1x3 = 3x1

Ecuaciones cartesianas de U1 U2:x1 + x2 + x3 = 0

x2 = 2x1x3 = 3x1

x1 = x2 = x3 = 0 U1 U2 = {(0, 0, 0)}.

Como Dim(U1 U2) = 0, Dim(U1 + U2) = 3 y R3 = U1 + U2, que no tiene ecuacionescartesianas.

B) (2ptos)La suma es directa y la descomposicion pedida es unica:Las soluciones obtenidas al resolver el sistema

006

= 101

+ 011

+ 12

3

son: = 1, = 2, = 1y los vectores pedidos son:(1, 2,3) de U1 y (1,2,3) de U2.