Post on 22-Oct-2014
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolum
enAmarilloCelesteVerde
“Escondido”Morado
LilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del Binomio al
Cubo ………..Identidad que ya conoces
yRectángulo
xÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban
algebraicamente.POLINOMIOS
POLINOMIOSSuma limitada de monomios, no semejantes.Ejm.: 4x2y3 + 2x4y2 – x3y
x5 + x3 + 2x + 1
NOTACIÓNUn polinomio cuya única variable es x puede ser representado así: P(x)
Lo cual se lee: “P de x” o “P en x”y significa: polinomio cuya única variable es x.
En general, un polinomio de (n + 1) términos puede ser expresado así:P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ………….. +
a0x0
Donde: x es la variable cuyo mayor
exponente es n. an, an-1, an-2, ……… a0 son los
coeficientes de P(x).
an: coeficiente principal; an 0
a0: término independiente.
GRADO ABSOLUTO (G.A.)Esta representado por el monomio de mayor grado.
P(x) = x7 + x5 + 4GA = 7
P(x, y) = x12y5 + x4y + 4GA = 17
GRADO RELATIVO (G.R.)Esta representado por el mayor exponente de la variable referida.
P(x, y) = 2x3y5 – 4x4y3 – 1y5
GR(x) = 4 , GR(y) = 5
Ejm.:En el siguiente polinomio:
P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa-5
Calcular el valor de “a” si GA = 14
Solución:El grado absoluto es:
a + 1 = 14a = 13
Ejm.: En el polinomio:P(x, y) = 7x2yb+4 – 5x3yb-1 –x2yb+7
Calcular el valor de “b” GRy = 10
Solución:El grado relativo con respecto a “y” es:
b + 7 = 10b = 3
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NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 3 TERCER AÑO
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
1. Colocar verdadero o falso según corresponda:P(x) = 4x4 – 5x6 + 2x2 + 6
I. El polinomio es de grado 4. ( )II. El término independiente es 6. ( )III. La suma de coeficientes es 7. ( )
2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?I. es un monomio de grado 4.
II. P(x) = 5 + 3x2 + x-3 es un polinomio.
III. es un polinomio en Q.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas
3. En el siguiente polinomio:P(x) = x2a+1 + 6x2a+3 – 5x2a+4
Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
4. En el siguiente polinomio:P(x) = 2xa-2 + 6xa-4 + 8xa-6
Calcular el valor de “a”. Si: G.A. = 13
a) 15 b) 14 c) 13d) 10 e) 12
5. En el polinomio:P(x, y) = x2ay4 – 3x2ay6 – x2a
Calcular el valor de “a” G.A. = 20
a) 7 b) 8 c) 10d) 11 e) 14
6. En el polinomio:P(x, y) = x2a+4y – 7xa-5y2 – 8xa-3y2
Calcular el valor de “a” si GRx = 10
a) 4 b) 5 c) 3d) 9 e) 10
7. En el polinomio:P(x, y) = 5x3yb+6 – 4x2yb+2 – x2yb+3
Calcular el valor de “b” GRy = 12
92
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
8. En el polinomio:P(x, y) = axa-4 + 3xay3 + 2ya
Calcular la suma de sus coeficientes. Si GA = 12
a) 10 b) 12 c) 14d) 15 e) 16
9. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:P(x, y) = axa-4yb-2 + bxa+2yb – 4xa-2yb+3
Siendo: GA = 8
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. Calcular el valor de “n” en:
siendo n < 8
a) 6 b) 8 c) 4d) 5 e) 2
11. Determine el GA del polinomio:
Sabiendo que 9 < GR(x) < 14
a) 9 b) 13 c) 16d) 19 e) 21
12. En el siguiente polinomio:P(x, y) = xa+1y2b+3 – xa+3y2b+1 + xa+5y2b-1 – xa+7y2b-3
De donde: GR(x) = 9; GR(y) = 9Calcular el G.A. del polinomio.
a) 3 b) 5 c) 12d) 9 e) 18
13. Determine el mayor grado relativo de una de sus variables:P(x,y) = x3k-1yk+1 + x2k+3y2k+5 + xk+2y3k-4
Sabiendo GA del polinomio es 16.
a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13
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I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
14. En el siguiente polinomio:
Calcular: “n”
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. Del problema anterior señalar la suma de coeficientes:
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 11
TAREA DOMICILIARIA
1. Colocar verdadero o falso según corresponda:P(x) = 3x5 – 2x3 + 3x2 + 7
I. El polinomio es de grado 5. ( )II. El término independiente es 3. ( )III. La suma de coeficientes es 15. ( )
2. La suma de coeficientes del polinomio:P(x) = 4x5 + 5x4 – 6x3 + (7 - n)x + 3n es de 16Señalar el término independiente.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 9
3. En el siguiente polinomio:P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa+4
Calcular el valor de “a” si GA = 13
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
4. En el polinomio:P(x, y) = x2ya + 2x3ya – 5a+5
Calcular el valor de “a” si GA = 8
a) 2 b) 3 c) 1d) 0 e) 4
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I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
5. En el polinomio:P(x, y) = x3ay2 – 2x3ay3 – x3a
Calcular el valor de “a” GA = 9
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. En el polinomio:P(x, y) = x7 – 4x2yb + byb+3
Calcular la suma de coeficientes si GRy = 10
a) 0 b) 1 c) 2d) 6 e) 4
7. En el polinomio:P(x, y) = 6x2yb+3 + 2x3yb+4 + x4yb+5
Calcular el valor de “b” GRy = 15
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
8. En el polinomio:P(x, y) = nxn-3 + 2xny2 + 4yn
Calcular la suma de sus coeficientes si GA = 8
a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 15
9. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:P(x, y) = axa-2yb + bxa+3yb+1 + 3xa-1yb-2
Siendo: GA = 10
a) 3 b) 5 c) 1d) 9 e) 12
10. Calcular el valor de “n” en:
Siendo: n < 15
a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 9
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SUMA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
11. Señalar la suma de coeficientes del polinomio:
a) 19 b) 17 c) 15d) 13 e) 11
12. En el polinomio:
Determine “n”
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
13. Determine el mayor grado relativo de una de sus variables:P(x, y) = x2k+4yk+2 + x2k-1yk+1 + 4xk+2y2k-1
Sabiendo GA del polinomio es 15.
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 13
14. En el siguiente polinomio:
Calcular: “n”a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7
15. Del problema anterior señalar la suma de coeficientes:
a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 16
LA NOCIÓN CLÁSICA DEL POLINOMIO
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NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 4 TERCER AÑO
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Un ejemplo sencillo : Situémonos en el conjunto R, que es del álgebra elemental, y denominemos “x” un número real cualquiera (lo cual, como recordamos, se escribe x R). He aquí un ejemplo de cálculo susceptible de ser efectuado sobre los números como x.
Supongamos que x designa una longitud indeterminada (medida en metros); entonces x2
designará la superficie de un cuadrado de lado x y x3 el volumen de un cubo de arista x.
Imaginemos que una persona compra : Una curda cuya longitud equivale tres veces a la longitud de x, es decir 3x metros y cuyo precio es de 2 soles el metro; esta cuerda cuesta pues :
3x . 2 = 6x soles
Un tablero de contrachapado de superficie 2x2 (en metros cuadrados), al precio de 12 soles el metro cuadrado; por lo tanto, este tablero cuesta 2x2 . 12 = 24x2 soles.
Un tonel de vino de capacidad igual a x3 (en metros cúbicos), al precio de 2 soles el litro (de 2000 soles el metro cúbico, puesto que en un metro cúbico hay 1000 litros); cueste 2000x3 soles.
Después de estas compras, le quedan 50 soles se pide expresar la suma que esta persona tenía inicialmente. Es perfectamente evidente que esta suma depende de x y que no se puede conocer, puesto que x es indeterminado; sin embargo puede expresarse en soles bajo la forma :
50 + 6x + 24x2 + 2000x3 (1)
Una expresión como (1) se denomina polinomio de una indeterminada (la indeterminada es x); se representa con frecuencia por P(x), que se lee “P de x” (P es la inicial de la palabra “polinomio”). Las compras de una segunda persona llevarían a establecer, por ejemplo, el polinomio : P1(x) = 30 + 2x - 15x2 + 50x3
El signo “-” delante de 15x2 significa una deuda equivalente a la suma de 15x2 soles. Para otra persona podría tenerse : P2(x) = 15 – 2x + 2x2, etcétera.
Lo que distingue de los polinomio P, P1, P2, ……, no es la presencia de la indeterminada x a la potencia 1, a la potencia 2, etc., sino el conjunto de coeficientes :
(50 , 6 , 24 , 2000) para el primer polinomio (30 , 2 , -15 , 50) para el segundo polinomio (15 , -2 , 3) para el tercer polinomio
Para terminar, es posible realizar, por supuesto, operaciones con los polinomios como P + P 1 o P . P1.
Estas observaciones no llevarán a una definición algo más general de los polinomios. En lo que sigue, x definirá siempre la magnitud indeterminada sobre la que se calcula, y los coeficientes se indicarán mediante letras minúsculas como a, b, c, … o -para no agotar demasiado aprisa el alfabeto- mediante minúsculas afectadas por un índice, es decir, por un número entero (0, 1, 2, …). Escrito en caracteres pequeños en la parte inferior y a la derecha de una letra : a1 se lee “a uno” o “a índice 1”.
La notación por medio de índices, que ya nos es familiar, atemoriza a veces a los no matemáticos. Sin embargo, no tiene nada de misterioso : simplemente es un medio cómodo de ordenar las letras del alfabeto.
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I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
La Suma o Adición : Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas : a y b.La suma de a y –b es a – b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas : ay – b.
Carácter General de la Suma Algebraica : En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que equivale a una resta en Aritmética.Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor absoluto.Así, la suma de m y –n es m – n, que equivale a restar de m el valor absoluto de –n que es n.La suma de -2x y -3y es -2x – 3y, que equivale a restar de -2x el valor absoluto de -3y que es 3y.
REGLA GENERAL PARA SUMAR Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.
I. SUMA DE MONOMIOS
1. Sumar : 5a, 6b y 8cLos escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a , 6b = +6b y 8c = +8c la suma será:
5a + 6b + 8cEl orden de los sumandos no altera la suma. Así, 5a + 6b + 8c es lo mismo que 5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a.Esta es la Ley Conmutativa de la suma.
2. Sumar : 3a2b , 4ab2 , a2b , 7ab2 y 6b3 Tendremos :
3a2b + 4ab2 + a2b + 7ab2 + 6b3
Reduciendo los términos semejantes, queda :
4a2b + 11ab2 + 6b3
3. Sumar : 3a y -2b
Cuando algún sumando es negativo, suele incluirse dentro de un paréntesis para indicar la suma; así :
3a + (-2b)La suma será :
3a – 2b
4. Suma : 7a , -8b , -15a , 9b , -4c y 8Tendremos :7a + (-8b) + (-15a) + 9b + (-4c) + 87a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8-8a + b – 4c + 8
La Resta o Sustración : Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a – b. en efecto : a – b será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a, y en efecto : a – b + b = a.
Regla General para Restar : Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.
I. RESTA DE MONOMIOS 1. De -4 restar 7
Escribimos el minuendo -4 con su propio signo y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado y la resta será :
-4 – 7 = -1
En efecto : -11 es la diferencia porque sumada con el sustraendo 7 reproduce el minuendo -4 :
-11 + 7 = -4
2. Restar 4b de 2aEscribimos el minuendo 2a con su signo y a continuación el sustraendo 4b con el signo cambiado y la resta será :
2a – 4b
En efecto : 2a – 4b es la diferencia, porque sumada con el sustraendo 4b reproduce el minuendo :
2a – 4b + 4b = 2a
3. Restar 4a2b de -5a2b
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I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Escribo el minuendo -5a2b y a continuación el sustraendo 4a2b con el signo cambiado y tengo :
-5a2b - 4a2b = -9a2b-9a2b es la diferencia, porque sumada con el sustraendo 4a2b reproduce el minuendo :
-9a2b + 4a2b = -5a2b
4. De 7 restar -4Cuando el sustraendo en negativo suele incluirse dentro de un paréntesis para indicar la operación, de este modo distinguimos el signo – que indica la resta del signo – que señala el carácter negativo del sustraendo. Así :
7 – (-4) = 7 + 4 = 11
El signo – delante del paréntesis está para indicar la resta y este signo no tiene más objeto que decirnos, de acuerdo con la regla general para restar, que debemos cambiar el signo al sustraendo -4. Por eso a continuación del minuendo 7 escribimos +4.
5. De 7x3y4 restar -8x3y4
Tendremos :7x3y4 – (-8x3y4) = 7x3y4 + 8x3y4
= 15x3y4
6. De - ab restar - ab
Tendremos :
- ab – (- ab) = - ab + ab
= ab
Carácter General de la Resta Algebraica : En Aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta algebraica tiene un carácter más general, pues puede significar disminución o aumento.Hay restas algebraicas, como las de los ejemplos 4 y 5 anteriores, en que la diferencia es mayor que el minuendo.Los ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar una cantidad negativa equivale a sumar la misma cantidad positiva.
16. Si el polinomio es de 4º grado. Hallar “m” : P(x) = x1+m + x2+m + x3+m
a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4
17. Sumar los siguientes monomios : M(x, y) = ax2y3z5
N(x, y) = bx2y3z4 Indicar su coeficiente :
a) a + b b) az5 + bz c) a – bd) az5 – bz4 e) az5 + bz4
18. Indicar cuál de las siguientes sumas de monomios es correcta :I. 3x2 + 2x2 + bx2 = 7x2 , b > 30II. 7x2 + 2x2 + 5x3 = 14x3
III. 3x2 + 5x3 + 7x4 = 15x9
a) Sólo I b) Sólo II c) I y IId) I y III e) Ninguna
19. Si al sumar los siguientes monomios ax2y3 + bx2y3 resulta 2cx2y3. Indicar :
A =
a) 1 b) 2 c) cd) 3 e) 2c
20. Se tiene : M(x) = 3x2 + 2x + 1 N(x) = 7x2 + 2x + 3Se sabe que : 2M(x) + 3N(x) = ax2 + bx + c. Indicar : a + b + c
a) 10 b) 28 c) 38d) 48 e) 58
21. Del grafico, relacionar A con B
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
ax3y2 + 7x3y2
8x2 + mx2 + nx2
2x3y3 + px3y3
A
x2
3x3y3
ax3y2
B
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
22. Indicar la suma de cada una de las siguientes sumas de monomios :
I. 3x2y + 5xy2 + 7x2y + 5x3 + 20xy2 + 3xy2 + 7x2y
II. 8ab + 7a2b + 22ab2 + 50ab + 3a2b + 4ab2 + 3ab
III. 3m3 + 3k2 + 5pm2 + 20m3 + 32k2 + 7mp2 + 8pm2 + 2m3
IV. 3p2y + 5px2 + 7p2y + 5x2p + 10px2
+ 13p2y + 7x2p
23. Dados los polinomios : P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x + 3Hallar :
E =
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
24. Sean los términos : t1 = 7 x2m-5 , t2 = 5 xm+3 , se sabe que : t1 + t2 =
pt2. Indicar el calor de 2m + 1
a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19
25. Si al polinomio : P(x) = 3x2y3 + 5xm+3y4
se le resta 2x8y4 el grado disminuye. Indicar el valor de “m”.
a) 0 b) 1 c) 2d) 6 e) 5
26. Se realizan las siguientes sumas de términos semejantes : pxa + qxb + rxc =
5pqrxb. Indicar M =
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 6
27. Hallar la expresión equivalente más simple de :A =
a) x + y b) x/y c) x – yd) 1 e) 1/5
28. En la siguiente adición de monomios :
mxa + x4-a = bxb-3. Indicar :
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
29. Indicar la suma de los siguientes monomios y polinomios :
a. x3 + xy2 + y3 , -5x2y + x3 – y3 , 2x3 – 4xy2 – 5y3
b. -7m2n + 4n3 , m3 + 6mn2 – n3 , -m3 + 7m2n + 5n3
c. x4 – x2 + x , x3 – 4x2 + 5 , 7x2 – 4x + 6
d. a4 + a6 + 6, a5 – 3a3 + 8 , a3 – a2 – 14e. x5 + x – 9 , 3x4 – 7x2 + 6 , -3x3 – 4x +
5f. a3 + a , a2 + 5 , 7a2 + 4a , -8a2 – 6g. x4 – x2y2 , -5x3y + 6xy3 , -4xy3 + y4 ,
-4x2y2 – 6h. xy + x2 , -7y2 + 4xy – x2 , 5y2 – x2 +
6xy , -6x2 – 4xy + y2
i. a3 – 8ax2 + x3 , 5a2x – 6ax2 – x3 , 3a3 – 5a2x – x3 , a3 + 14ax2 – x3
j. -8a2m + 6am2 – m3 , a3 – 5am2 + m3 , -4a3 + 4a2m – 3am2 , 7a2m – 4am2 – 6
k. x5 – x3y2 – xy4 , 2x4y + 3x2y3 – y5 , 3x3y2 – 4xy4 – y5 , x5 + 5xy4 + 2xy5
l. a5 + a6 + a2 , a4 + a3 + 6 , 3a2 + 5a - 8 , -a5 – 4a2 – 5a + 6
m. a4 – b4 , -a3b + a2b2 – ab3 , -3a4 + 5a3b – 4a2b2 , -4a3b + 3a2b2 - 3b4
n. m3 – n3 + 6m2n , -4m2n + 5mn2 + n3 , m3 – n3 + 6mn2 , -2m3 – 2m2n + n3
o. ax – 3ax-2 , 5ax-1 + 6ax-3 , 7ax-3 + ax-4 , ax-1 – 13ax-3
p. ax+2 – ax + ax+1 , -3ax+3 – ax-1 + ax-2 , -ax + 4ax+3 – 5ax+2 , ax-1 – ax-2 + ax+2
q. a2 + ab - b2 , a2 - ab +
b2 , - a2 + ab - b2
r. x2 - y2 + xy , - xy - x2 +
y2 , xy - x2 + y2
100
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
s. a3 - ab2 + b3 , a2b - ab2 – 2b3 ,
a3 – a2b - b3
TAREA DOMICILIARIA
1. Si el polinomio es de 5º grado. Hallar “p” : P(x) = x1+p + x2+p
+ x4+p
a) 0 b) 2 c) 3d) 1 e) 4
2. Sumar los siguientes monomios : M(x) = 3x3y3 N(x) = 5x3y2
a) 8 b) 3y + 5y2 c) 3x3 + 5y2
d) 5y3 e) 3y2
3. Indicar cuál de las siguientes sumas de monomios es correcta :
I. 3x5 + 6x5 + 7x5 = 16x15
II. ax3y2 + bx3y2 + cx3y2 = (a + b + c)x3y2
III. mx2 + nx3 + px3 = (m + n + p)x8
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Ninguna
4. Si al sumar los siguientes monomios mx2
+ nx2 resulta px2. Calcular : E =
a) 1 b) 2 c) 3d) p e) 2p
5. Se tiene : P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x + 3Se sabe que : P(x) + 2Q(x) mx + n. Hallar : m + n
a) 1 b) 2 c) 10d) 20 e) 21
6. En el siguiente grafico, relacionar las sumas de A con los resultados de B.
7. Indicar la suma de cada una de las siguientes sumas de monomios.
I. 3ab + 5a2b + 7ab + 3a2b + 4ab2 + 7ab2 + 21a2b
II. mn2 + mn + m2n + 3mn + 4mn2 + 5n2m + 7nm2
III. 4pq + 7p2q + 10pq2 + 8p3 + 33p2q + 16pq + 18p3
IV. 3p2y + 22xy2 + 21xy + 3xy2 + 22p2y + 35xy
8. Dados los polinomios : M(x) = 3x + 27 N(x) = 18x + 3
Hallar : E =
a) 50 b) 51 c) 52d) 53 e) 54
9. Sean los términos : t1 = x5+n , t2 =
x12 se sabe que : t1 + t2 3t1. Indicar el valor de n + 1
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
10. Si al polinomio : Q(x) = 5x2 + 7x3 + 8xm+5
se le resta 2x10 el grado absoluto disminuye. Indicar el valor de : E =
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
11. Se realizan las siguientes sumas de términos semejantes : axm + bxn + cxp =
7abcxp. Indicar E =
a) 2 b) 4 c) 6d) 7 e) 9
12. Hallar la expresión equivalente más simple de : E =
101
3mx2 + 5x2
5xy + mnxyax2y + bx2y
A
2xy8x2y7x2
B
I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
a) 2y/x b) 2 c) 1d) 3x/y e) 2x/y
13. En la siguiente adición de monomios :
xa + x6-a = bxb-2. Hallar : (a + b + c)
a) 14 b) 12 c) 10d) 20 e) 24
14. Sumar :
a. m , nb. m . –nc. -3a , 4bd. 5b , -6ae. 7 , -6f. -6 , 9g. -2x , 3yh. 3x + x3 , -4x2 + 5 , -x3 + 4x2 – 6i. x2 – 3xy + y2 , -2y2 + 3xy – x2 , x2 +
3xy – y2
j. a2 – 3ab + b2 , -5ab + a2 – b2 , 8ab – b2 – 2a2
k. -7x2 + 5x – 6 , 8x – 9 + 4x2 , -7x + 14 – x2
l. a3 – 4a + 5 , a3 – 2a2 + 6 , a2 – 7a + 4m. –x2 + x – 6 , x3 – 7x2 + 5 , -x3 + 8x – 5n. a3 – b3 ,5a2b – 4ab2 , a3 – 7ab2 – b3
o. x2 + xy , xy + y2
p. a2 + ab , - ab + b2 , - ab - b2
q. x2 + xy , - xy + y2 , - xy + y2
r. x2 - y2 , - xy + y2 , xy +
y2
102
POLINOMIOS
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
1. POLINOMIOEs una suma limitada de monomios no semejantes. En esta suma se puede incluir alguna constante.
Ejemplos:Ejemplos: 5x + x2 4xy – 5xz + 4 – 3x2
3xw + x 4x2y + yz4 – 3 2w2 + 5 3x2y3 – 8xy3
-3y5 + 2x – 1 -5 – 10x2 – x
2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOSPara sumar o restar polinomios debemos recordar que:
“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 138
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 6 PRIMER AÑO
RecuerdaRecuerdaUn monomio es una expresión que une parte variable y parte
constante mediante la multiplicación.
Y ¿Qué es un polinomio?
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN
Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión interior no
cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un signo de colección la
expresión interior cambia de signo.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
Ejemplos:Ejemplos:
(3x + 2) + (2x + 5) = 3x + 2 + 2x + 5 = 5x + 7
polinomio polinomio términos semejantes
(8x + 4) - (5x + 2) = 8x + 4 - 5x - 2 = 3x + 2
términos semejantes
(2x + 3) - (5x - 1) = 2x + 3 - 5x + 1 = -3x + 4
(-5xy + 3) - (5xy – 1 – x2) = -5xy + 3 - 5xy + 1 + x2 = x2 + 4
¡ Ahora tu !¡ Ahora tu !
(4x + 5) + (3x + 2) =
(5x - 5) + (4x - 7) =
(3w - 7) – (w - 1) =
(x2 + 5x) – (x2 – 4x) =
(2x + 3x3y) + (4x + 2x2 y + y3) =
(3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) =
“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”139
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
¿Sabías que?¿Sabías que?El prefijo poli significa
varios, es decir, polinomio significa varios monomios.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
I. Opera (suma o resta) los siguientes polinomios
16. (x + 2) + (2x + 1) =
17. (3w + 5) + (4w + 4) =
18. (4x2 + 2) + (5x2 + 3) =
19. (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) =
20. (9y3 + y) + (3y3 + y) =
21. (3x + 2) – (x + 1) =
22. (5w + 4) – (2w + 2) =
23. (8z2 + 5) – (4z2 + 2) =
24. (7y3 + 9y) – (2y3 + 4y) =
25. (10x4 + 3x) – (5x4 + 2x) =
II. Opera los siguientes polinomios:
26. (2x2 + 3x) + (3x2 - x) =
27. (5x2 – 4x) + (2x2 – 3x) =
28. (3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) =
29. (4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) =
30. (8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) =
31. (3x2 + 4x) – (2x2 - x) =
32. (4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) =
33. (5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) =
34. (9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) =
35. (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) =
III. Resuelve los siguientes problemas
36. Si: A = 3x2 + x – 7B = 8x2 – 5x – 10C = 5x2 + 3x - 1
Hallar: A + B – C
a) 6x2 – 7x - 16 d) 6x2 – 7x b) 6x2 – 7x – 15 e) 6x2 + 7x - 16c) 6x2 – 7x + 16
37. Si: A = w3 – 8w + 4B = 2w2 – 4w
Hallar: A – 2B
a) w3 + 4w2 - 4 d) w3 – 4w2 – 2 b) w3 – 4w2 + 4 e) w3 + 4w2 + 4 c) w3 – 4w2 – 4
38. Si: A = -8x2y + 3xy – 3y3
B = 4y3 – 7x2y + 2xyHallar: 2A – 3B
a) 5x2y + 18y3 d) 5x2y – 18y3
b) 5x2y – 18y2 e) 5xy – 18y3
c) 5xy2 – 18y3
39. Si: (3x + 4) + (5x - 2) = mx + nHallar: m – n
a) 9 b) 8 c) 6d) 7 e) 5
40. Si: (mx + n) – (-3x - 2) = 10x – 2Hallar: m + n
a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 3
TAREA DOMICILIARIA Nº 6
I. Opera los siguientes polinomios
1. (2x + 4) + (3x + 7) =
2. (4w + 3) + (2w + 1) =
3. (5z2 + 4) + (4z2 + 2) =
“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 140
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO
4. (7y4 + 3y) + (8y4 + 4y) =
5. (3x + 4) – (2x + 1) =
6. (4w + 8) – (3w + 2) =
7. (10z2 + 3) – (5z2 + 2) =
8. (9y3 + 4y) – (8y3 + 2y) =
9. (3x2 + 4x) + (2x2 – 2x) =
10. (5w2 – 3w) + (w2 - w) =
11. (-3z3 + z - 1) – (2z3 – 2z - 1) =
12. (8y3 + 2y + 4) – (-7y3 – 2y) =
13. (-5x4 – x2) – (2x4 – x2 + 4) =
“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”141
DIVISIÓN ALGEBRAICA
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
II. Resuelve los siguientes problemas
14. Si: (2x + 4) + (3x - 8) = mx + nHallar: m + n
a) -1 b) 1 c) 0d) 5 e) 4
15. Si: A = -2x – 5B = 4x2 – 3x + 2
Hallar: 3A - 2B
a) -8x2 - 19 d) 8x2 + 19b) -8x2 + 19 e) -8x - 19c) 8x2 - 19
VEREMOS LOS CASOS:
1 Monomio entre monomio
Para dividir dos monomios solo dividimos parte constante entre parte constante y parte variable entre parte variable.
Así:
Ejemplo 1
Efectuar: 15x4y5 2x2y
= 7 . 5 x2y4
Obs.:
i)
ii)
Ejemplo 2
Calcular:
p – 2 8n – 2n (4k + 3) – (2k + 5) p – 2 6n 4k + 3 – 2k +
5 p – 2 6n 2k + 8
exp. “x” exp. ”y” exp. ”z”
2 Polinomio entre monomio
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 200395
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 4 TERCER AÑO
Recuerda:
Los exponen- tes
quedarían
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Así:
Ejemplo 1 Efectuar:
Cada:
i)
ii) = -5x3z-2
iii)
Luego:La Rpta. será:
Ejemplo 1
Calcular:
i)
ii)
iii)
Luego:La Rpta. será:
-7x4y-nz3-q – 6x4-2py2nz8-2q + x7y5zq+2
3 POLINOMIO ENTRE POLINOMIO
Para poder dividir un polinomio entre polinomio. Generalmente de una variable (División Euclidiana) se utilizan métodos prácticos como Horner, Ruffini con la finalidad que verifique la siguiente identidad.
D(x) d(x) . q(x) + R(x)
Grado D(x) > Grado d(x)
Donde:i. D(x) : Dividendoii. d(x) : Divisoriii. q(x) : Cocienteiv. R(x) : Residuo o Resto
Nota:v. R(x) = 0 División Exactavi. R(x) 0 División Inexacta
MÉTODO DE HORNERSe sigue los siguientes pasos:
a) Se completan y ordenan los polinomios dividendo y divisor.
b) Si dibujas dos líneas. Una horizontal, otra vertical que se corten a un extremo.
c) Sobre la línea horizontal se colocan los coeficientes del dividendo con todo su signo (obviar el +).
d) En el casillero intersección se coloca el primer coeficiente del divisor.
e) El lado de la línea vertical se colocan los demás coeficientes del divisor, pero cambiado de signo.
f) Se cierra el diagrama con una línea horizontal.
ESQUELETO
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
96
Observa que se divide
cada término del polinomio
entre el monomio.
Se conoce
Se desea calcular
Ojo: Para poder dividir los polinomios dividendo (D(x)) y divisor (d(x))
deben estar completos y ordenados y si falta
algún término se completa con ceros.
Nota: La cantidad de lugares que tiene el residuo es igual al grado del divisor contar de derecha a izquierda.
Cociente Residuo
(-1)
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Ejemplo 1
Dividir:
D(x) = 9x4 + 0x3 + 2x2 + 6x – 8
d(x) = 3x2 + x – 2
q(x) = 3x2 – x + 3 R(x) = x - 2
DIVISIÓN D(x) y d(x)
D(x) =d(x) =
D(x) =d(x) =
D(x) =d(x) =
D(x) =d(x) =
I. En los siguientes casos dividir e indicar el coeficiente resultante:
41.
Rpta.: ………………………………………
42.
Rpta.: ………………………………………
43.
Rpta.: ………………………………………
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 200397
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
2 lugares porque el grado del divisor es 2
3 9 0 2 6 -8
-1 -3 6
2 1 -2
-3 6
3 -1 3 1 -2
x2 x T.I x T.I
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
44.
Rpta.: ………………………………………
45.
Rpta.: ………………………………………
II. En los siguientes casos dividir e indicar la suma de coeficientes:
46.
Rpta.: ………………………………………
47.
Rpta.: ………………………………………
48.
Rpta.: ………………………………………
49.
Rpta.: ………………………………………
50. Dividir: 3x2m+3n+4py2q+3p-4+5x2m+4n-3py5p+4q
Entre: 5xm+2yp+q+3
Rpta.: ………………………………………
III. Dividir (utilizando Método de Horner) indicar el cociente [q(x)] y el resto [R(x)]
51.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
52.
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
98
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
53.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
54.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
55.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
TAREA DOMICILIARIA Nº 4
I. Dividir los siguientes monomios:
30.
Rpta.: ………………………………………
31.
Rpta.: ………………………………………
32.
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 200399
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Rpta.: ………………………………………
33.
Rpta.: ………………………………………
34.
Rpta.: ………………………………………
II. Hallar el cociente en cada uno de los siguientes casos:
35.
Rpta.: ………………………………………
36.
Rpta.: ………………………………………
37.
Rpta.: ………………………………………
38.
Rpta.: ………………………………………
39.
Rpta.: ………………………………………
III. Dividir utilizando Método de Horner e indicar el cociente y el residuo.
40.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
100
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003101
DIVISIÓN EUCLIDIANA
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
41.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
42.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
43.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
44.
q(x) = ………………………………………
R(x) = ………………………………………
Como estudiamos en la semana anterior la División Euclidiana es aquella que se realiza con polinomios de una variable. Así teníamos los métodos de división:
4 MÉTODO DE HORNER
Ejemplo:
Dividir:
q(x) = 3x2 – 2x + 2R(x) = 10x - 11
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
100
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 5 TERCER AÑO
4 12 -17 17 2 -9
3 9 -3
-1 -6 2
6 -2
3 -2 2 10 -11
x2 x T.I x T.I
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
5 MÉTODO DE RUFFINI
Se utiliza cuando el divisor es mónico y de primer grado.
d(x) = x + b b 0
Ejemplo
Dividir:
q(x) = 2x4 – 6x3 + 3x2 – 9x + 7R(x) = -13
6 TEOREMA DE RENÉ DESCARTES(TEOREMA DEL RESTO)
Este teorema tiene por finalidad hallar el resto de una división sin efectuar la división.
Se siguen los siguientes pasos:i) Se iguala el divisor a cero.
ii) Se despeja una variable.iii) Se reemplaza el valor o equivalente
de esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario.
Ejemplo 1
i) x + 1 = 0ii) x = - 1iii) Se reemplaza:
R = 8(-1)2003 + 13(-1)2 + 1999R = -8 + 13 + 1999R = 2004
Ejemplo 2
i) x2 + 1 = 0ii) x2 = - 1
iii) Observo que:D(x) = 2(x2)2x + 3(x2)(x) + 3x – 6Reemplazando: x2 = - 1R(x) = 2(-1)2x + 3(-1)(x) + 3x – 6R(x) = 2x – 3x + 3x – 6R(x) = 2x - 6
56. Al efectuar la siguiente división:
Indicar su cociente.
a) x2 – 2x – 3 b) x2 + 2x + 3 c) x2 - 1d) x2 + 2x e) x2 + x - 3
57. Indicar la suma de coeficientes del cociente de dividir:
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003101
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Dividendo
Cociente
1 Lugar
Resto
x + b = 0
-b
x4 x3 x2 x T.I
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
a) 2 b) -4 c) 8d) 0 e) -2
58. Calcular m + n si la división:
Es exacta:
a) 5 b) 37 c) -21d) -12 e) -20
59. Calcular A + B si al dividir:(12x4 – 7x3 – 2x2 + Ax + B) entre (3x2 – x + 3)
El residuo es 4x + 3.
a) -4 b) 8 c) -6d) 4 e) 5
60. Hallar A/B si al dividir:
El residuo es 7x + 44
a) 4 b) 5 c) 6d) 12 e) 9
61. Si la división es exacta en:
Determinar: m – n
a) 18 b) 20 c) 22d) 25 e) 26
62. Luego de dividir, indicar el coeficiente del término independiente del coeficiente:
a) -6 b) 8 c) 2d) 10 e) 23
63. Hallar la suma de coeficientes del cociente de dividir:
a) -2 b) 5 c) 2d) 1 e) 4
64. Indicar la suma de coeficientes del cociente de efectuar:
a) -40 b) -10 c) -22
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
102
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
d) -52 e) 22
65. Encuentra el término independiente del cociente de dividir:
a) b) c) d) e) 1
66. Calcular “m” si la división es exacta:
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
67. Si el residuo de la división (3x6 – x2 + 3x - a) entre (x - 1) es 2. ¿Cuál debe ser el valor de “a”?
a) 0 b) 2 c) 3d) -1 e) -2
68. Hallar el resto:
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 10
69. Hallar el resto en:
a) 6x b) 0 c) 4xd) 2x e) 3x + 7
70. Hallar el resto en:
a) 3 b) 5 c) 2d) 6 e) 19
TAREA DOMICILIARIA Nº 5
45. El residuo de dividir:(8x5 + 5x2 + 6x + 5) entre (4x2 – 2x + 1)
a) 2x + 1 b) 2x – 1 c) 8x + 4d) 4x + 1 e) 3x + 2
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003103
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
46. Indicar el término independiente del cociente de dividir:(2x4 – 7x3 + 10x2 – 4x - 3) entre (2x2 – x + 3)
a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) N.A.
47. Calcular (A + B) si la división es exacta:
a) 2 b) 0 c) 5d) 4 e) N.A.
48. Hallar m + n + p si la división es exacta:
a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) N.A.
49. Calcular (a – b) si la división:
Deja como resto: 4x + 5
a) 33 b) 16 c) 15d) 10 e) 23
50. Si al dividir:(12x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D) entre (2x2 – x + 3)
Se obtiene un cociente cuyos coeficientes disminuyen en 1 y arroja un residuo R(x) = 7x + 9Calcular: A + B + C + D
a) 70 b) 62 c) 64d) 68 e) 82
51. Efectuar:
Dar como respuesta el término independiente de cociente.
a) 203 b) 100 c) 205d) 200 e) 202
52. Indicar el cociente al dividir:
a) 2x3 + 3x2 – 4x + 5b) 2x3 + 3x2 – 4x - 5c) 2x3 - 3x2 + 4x - 5d) 2x3 - 3x2 – 4x + 5
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
104
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
e) 4x3 + 6x2 – 8x + 10
53. En el siguiente cuadro de Ruffini calcula la suma de los números que debemos escribir en los casilleros.
a) 33 b) 32 c) 26d) 31 e) 27
54. Indicar el término independiente del cociente luego de dividir:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
55. Calcular “m” si la división:
Es exacta:a) 6 b) 3 c) 8d) 9 e) -5
56. Calcular el resto al dividir:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
57. Hallar el resto en:
a) 3 b) 5 c) 2d) 6 e) 9
58. Al dividir:
Da como resto:
a) -6 b) 7 c) 1d) 4 e) 9
59. Si: R(x) es el resto de dividir:
Hallar: R(-1)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003105
PRODUCTOS NOTABLES IINIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 3
TERCER AÑO
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Lo calculaban usando áreas:
Para demostrarlo debemos recordar.
En el cuadrado: su área será:Área = (a + b)2 …………. 1
CuadradoPero además:
Área = A + B + C + D CuadradoPor recordatorio:
A = a2 C = abB = b2 D = ab
Área Cuadrado = a2 + b2 + ab + ab
De 1
(a + b)2 = a2 + b2 + ab + ab
ORDENANDO Y REDUCIENDO
Veamos algunos Productos Notables mas:
7 BINOMIO AL CUBO
Ejemplo: (x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2(2) + 3(x)(2)2 +
23
= x3 + 6x2 + 12x + 8
(x - 5)3 = (x)3 – 3(x)2(5) + 3(x)(5)2 – (5)3
= x3 – 15x2 + 75x - 125
a B a3 3a2
b3ab
2 b3 a3+3a2b+3ab2
+b3
x Y x3 x3+3x2y+3xy2
+y3
2m N2 n3
3x2 Y
2c D2
(a + b3) = a3 + b3 + 3ab (a + b)
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
106
PRODUCTOS NOTABLES II
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerp
o GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarill
oCelest
eVerde“Escondido”Morad
oLilaRojo
amarillo
celeste
verdelila
marrónmorad
orojo
EJERCICIOS DE
APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del Binomio al
Cubo ………..
Identidad que
ya conoc
esy
Rectángulo
xÁrea =
x . yÁrea =
x2
xx
Cuadrado
a + babababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los
producto
s notables, pero no lo calculaba
n algebraicamente.POLINOMIO
S
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde
“Escondido”
MoradoLilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE
APLICACIÓNK = 3
Observa esta otra
forma del
Binomio al
Cubo ………..Identidad
que ya conoces
yRectángu
lox
Área = x . y
Área = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto
ya conocían los produc
tos notabl
es, pero no lo
calculaban
algebraicame
nte.POLINOMI
OS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”MoradoLilaRojoamarillocelesteverdelilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesyRectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xxCuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”MoradoLilaRojoamarillocelesteverdelilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesyRectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xxCuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenA
marilloCelesteVerde
“Escondido”Morado
LilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE
APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad
que ya conoces
yRectángulo
xÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya
conocían los
productos
notables, pero no
lo calculaba
n algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenA
marilloCelesteVerde
“Escondido”
MoradoLilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE
APLICACIÓNK = 3
Observa esta otra
forma del
Binomio al
Cubo ………..Identidad
que ya conoces
yRectángul
ox
Área = x . y
Área = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto
ya conocía
n los product
os notables, pero no lo
calculaban
algebraicamen
te.POLINOMIO
S
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”MoradoLilaRojoamarillocelesteverdelilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesyRectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xxCuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”MoradoLilaRojoamarillocelesteverdelilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesyRectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xxCuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenA
marilloCelesteVerde
“Escondido”Morado
LilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE
APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad
que ya conoces
yRectángulo
xÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya
conocían los
productos
notables, pero no
lo calculaba
n algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVol
umenAmarilloCelesteVerde
“Escondido”Morado
LilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS
DE APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del Binomio al
Cubo ………..Identidad que ya
conocesy
Rectángulox
Área = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban
algebraicamente.
POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumen
AmarilloCelesteVerde
“Escondido”Morado
LilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del
Binomio al Cubo ………..Identidad que ya
conocesy
Rectángulox
Área = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los productos
notables, pero no lo
calculaban algebraicamen
te.POLINOMIO
S
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarillo
CelesteVerde
“Escondido”Morado
LilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del
Binomio al Cubo ………..
Identidad que ya conoces
yRectángulo
xÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los productos
notables, pero no lo calculaban algebraicamente
.POLINOMIOS
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
(a – b3) = a3 – b3 – 3ab (a – b)
Se denominan semidesarrolladas.Se utiliza generalmente para problemas tipo:
Ejemplo 1
Si: a + b = 4 ab = 5Calcular: a3 + b3
(a + b)3 = (4)3 (Se eleva al cubo)a3 + b3 + 3ab (a + b) = 64a3 + b3 + 3(5)(4) = 64a3 + b3 + 60 = 64a3 + b3 = 4
Ejemplo 2
Si:
Calcular:
(Se eleva al cubo)
8 BINOMIO POR TRINOMIO
Es de la forma.
Ejemplo:
(x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23
= x3 + 8
(x + 5)(x2 – 5x + 25) = x3 + 53
= x3 + 125
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
x + y x2 – xy + y2 =
=
=
=
x2 + y3 x4 – x2y3 + y6 =
Ejemplo: (x - 3)(x2 + 3x + 9) = x3 - 33
= x3 - 27
(x - 7)(x2 + 7x + 49) = x3 - 73
= x3 – 343
a – b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
x – y x2 + xy + y2 =
=
=
=
a2 - b3 a4 + a2b3 + b6 =
Si: a + b + c = 0a3 + b3 + c3 = 3abc
Ejemplo:
Reducir: , si: a + b + c =
0
como a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003107
Cuerpo
GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCeles
teVerde“Escondido
”MoradoLilaRojo
amarillo
celeste
verdelila
marrón
moradorojoEJERCICIOS
DE APLICACIÓN
K = 3Observa
esta otra forma del
Binomio al
Cubo
………..
Identidad que ya
conocesy
Rectángulo
xÁrea = x .
yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya conocía
n los productos notable
s, pero no
lo calculaban
algebraicamente.
POLINOMIOS
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc
x + y + z = 0 =
=
(a - 1) + b + c = 0 =
(a - b)+(b - c)+(c – a) = 0 =
=
=
=
71. Si: a + b = 4 ab = 5Calcular: a3 + b3
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
72. Si:
Calcular:
a) 10 b) 20 c) 18d) 12 e) 11
73. Si: a – b = 2 y ab = 1Hallar:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
74. Si: a2 + b2 = 6; ab = 1. (a > b)Calcular: N = a3 – b3
a) 7 b) 12 c) 13d) 8 e) 14
75. Multiplicar:
a) x3 b) x4 c) x6
d) x9 e) x10
76. Efectuar:
a) 1 b) 10 c) 2d) 8 e) 1
77. Si: ab = 3; a3 + b3 = 28Hallar: a + b
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
78. Reducir la expresión K si:K = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – (x - 3)(x2 + 6x +
9)
a) 37 b) 36 c) 38d) 35 e) 39
79. Si: a + b + c = 0Reducir:
a) 1 b) 3 c) -3d) -1 e) 4
80. Si: a + b = 5 ab = 6Hallar: a3 + b3
a) 35 b) 30 c) 45d) 50 e) 100
81. Reducir:
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
108
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAl
turaVolumenAmarilloCelesteVerde
“Escondido”Morado
LilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del
Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conoces
yRectángulo
xÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.
POLINOMIOS
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
a) 1 b) x + y c) x6 – y6
d) -1 e) 3
82. Si se cumple que:(3n - 1) (9n + 3n + 1) = 728
Indicar el valor de: n
a) 5 b) 2 c) 3d) 6 e) 1
83. Si:
Calcular:
a) 100 b) 120 c) 116d) 110 e) 135
84. Hallar el valor numérico de:E = (x2 + 3)(x4 – 3x2 + 9) – (x4 + 3x2 + 9)
(x2 - 3)Para:
a) 50 b) 51 c) 52d) 54 e) 58
85. Si: a + b + c = 0Hallar:
a) 3 b) 0 c) 2d) 4 e) 1
TAREA DOMICILIARIA Nº 3
60. Si: a + b = 3 ab = 3Calcular: a3 + b3
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) N.A.
61. Si:
Calcular:
a) 40 b) 50 c) 52d) 49 e) N.A.
62. Reducir:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
63. Multiplicar:M = (x3 + 1) (x6 + x3 + 1) (x3 - 1) (x6 – x3 +
1) + 1
a) x3 b) x4 c) x6
d) x9 e) x18
64. Efectuar:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
65. Si: xy = 3 ; x3 – y3 = 170Calcular: “x - y”a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
66. Reducir:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
67. Si: x + y + z = 0Reducir:
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) N.A.
68. Si: a + b = 6 ab = 3
Reducir:
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003109
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
a) 1 b) 5 c) 4d) 3 e) N.A.
69. Hallar el valor numérico de:E = (x4 + 5)(x8 – 5x4 + 25) – (x4 + 4)(x8-
4x4+16)Para:
a) b) c) 60d) 61 e) N.A.
70. Si:
Calcular:
a) -1 b) -2 c) 2d) 1 e) N.A.
71. Reducir:
a) -1 b) a + b c) a6 – b6
d) 1 e) N.A.
72. Si: (2n + 1) (4n – 2n + 1) = 65Calcular: “n”
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
73. Si:
Calcular:
a) 0,5 b) 1 c) 3d) -2 e) N.A.
74. Si: a3 + b3 = 1Reducir: K = (a6 + b6) – (a9 + b9)
a) (a + b)3 b) ab c) a3b3
d) –ab e) –(a + b)3
El poliedro de la derecha es un cubo. Recuerda que las aristas de un cubo son iguales. ¿Cuál es
la expresión algebraica que representa a sus aristas?
La expresi
ón algebraica que corresponde a su volumen es:V = _________ x _________ x _________ .V = _________ .
El cubo está formado por varios cuerpos geométricos.¿Cuántos son? (No olvides contar el que está escondido)
Completa el cuadro con las dimensiones de los cuerpos geométricos y sus respectivos volúmenes.
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
110
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumen
AmarilloCelesteVerde
“Escondido”Morado
LilaRojo
amarillocelesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del Binomio al
Cubo ………..Identidad que ya conoces
yRectángulo
xÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + b
abababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban
algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerp
o GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAma
rilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLilaRojo
amarillo
celesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del Binomio al
Cubo ………..
Identidad que
ya conoce
sy
Rectángulo
xÁrea =
x . yÁrea =
x2
xx
Cuadrado
a + babababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los
productos notables, pero no lo calculaban algebraicament
e.POLINOMIO
S
Cuerp
o GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAma
rilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLilaRojo
amarillo
celesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS DE APLICACIÓN
K = 3Observa esta otra forma del Binomio al
Cubo ………..
Identidad que
ya conoce
sy
Rectángulo
xÁrea =
x . yÁrea =
x2
xx
Cuadrado
a + babababbabaBDCA
En Egipto ya conocían los
productos notables, pero no lo calculaban algebraicament
e.POLINOMIO
S
Cu
erp
o G
eom
étri
coD
ime
nsio
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choA
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Rojo
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verd
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EJER
CICI OS
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3Ob
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co
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Área
=
x . y
Área
=
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a +
ba b a b a b b a b a B D C A En
Eg
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ya
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bles
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ro
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LIN
OM
IO S
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLilaRojo
amarillo
celesteverde
lilamarrónmorado
rojoEJERCICIOS
DE APLICACIÓ
NK = 3
Observa
esta otra
forma del
Binomio al
Cubo ………
..Identidad que
ya conoce
sy
Rectángulo
xÁrea =
x . yÁrea =
x2
xx
Cuadrado
a + babababbabaBDCA
En Egipto ya
conocían los
productos
notables, pero no lo calculaban algebraicament
e.POLINOMIOS
Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”
MoradoLila
Rojoamarillocelesteverde
lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy
RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo
GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCeleste
Verde“Escondido”
MoradoLilaRojo
amarillo
celesteverdelilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3
Observa esta
otra
forma
del Binomio al Cubo ………..
Identidad que ya conocesy
Rectángulox
Área = x . y
Área = x2
xx
Cuadradoa + babababbabaBDCA
En Egipto ya conocían
los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS
Cuerpo
GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarillo
Celeste
Verde“Escondido
”Morad
oLilaRojo
amarillo
celeste
verdelila
marrón
moradorojo
EJERCICIOS DE
APLICACIÓNK = 3Observa esta otra form
a del
Binomio al
Cubo
………..
Identidad que ya
conocesy
Rectángulo
xÁrea = x .
yÁrea = x2
xx
Cuadrado
a + babababbabaBDCA
En Egipto ya conocía
n los
producto
s notables
, pero no lo
calculaban
algebraicamente
.POLINOMIOS
FACTORIZACIÓN I
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Hallar la suma de los volúmenes, reduce los términos semejantes y compara el volumen hallado con el producto notable llamado “cubo de una suma”.
Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o mas polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores:
(x + 1) (x + 3) = x2 + 4x + 3
Y si estos factores no se pueden descomponer en más factores se les denomina factores primos.
Ejemplo 1P(x) = x2 – 5x – 14
P(x) = (x - 7) (x + 2)
Tiene 2 factores primos son: x – 7; x + 2
Ejemplo 2Q(x, y) = x4y3 – x2y5
Q(x, y) = x2y3 (x2 – y2)Factorizando
Tiene 2 factores primos son: x – 7; x + 2Son: x; y; x + y; x - y
POLINOMIO FACTORIZADO# DE
FACTORES PRIMOS
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z2x3
P(x, y, z) = x2y3w5
P(x, y) = (x + y)(x2 – xy + y2)x4
P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x
P(x, y) = x3y4(x - 2)(x - y)
P(x, y, z) = (xyz)2
P(x) = x3(x4 + 1)
P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz
P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003111
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 6 TERCER AÑO
multiplicación
factorización
Factorizando
Factorizando
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
A. FACTOR COMÚN MONOMIO Factor común monomio es el monomio
cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable esta formada por las variables comunes con su menor exponente.
Ejemplo 1 Factorizar:
25x4 – 30x3 + 5x2
25 – 30 – 5 5 5 - 6 - 1
x4 x3 x2
x2
5x2
5x2(5x2 – 6x + 1)
POLINOMIO FACTORIZACIÓN
MONOMIO COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y
P(x) = abx2 – acx
P(x) = 2x2 – 4x + 6x3
P(x, y) = x2y3 – x4y + x3y3
P(x, y) = 5x3y4 – 15x4y5 + 2ax5y5
P(x) = abx2 – ax3 + bx
P(x, y) = x4 – x3 + x
P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2
P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1
P(x, y) = 12nxayb + 4nxa-
1yb-2 – 8nxa+1yb+2
B. FACTOR COMÚN POLINOMIO Factor común polinomio es un polinomio
que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio.
Ejemplo 1 P(x) = 2x2y(m + n) – 3z4(m + n) +
5(m + n)
Observa que un polinomio (m + n) se repite en todos los términos. El cual lo extraemos y queda:
(m + n) (2x2y – 3z4 + 5)
Ejemplo 2 P(x, y) = (x2 + y2)x – (x2 + y2)y – 2(x2
+ y2)
El polinomio que se repite es: x2 + y2
Queda:(x2 + y2) (x – y - 2)
POLINOMIO FACTORIZACIÓN POLINOMIO
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112
Se halla el máximo común divisor de los coeficien-tes M.C.D. (25; 30; 5) = 5
Se sacan las variables comunes de todos los términos.
Se escoge el que tiene menor exponente.
Se multiplica el M.C.D. por la variable común.
La factorización queda así:
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COMÚN
(a - 2)x2 – (a – 2)
y2(x + y - z) + m2(x + y - z)
x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)
a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)
a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)
C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes.
Ejemplo 1 a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2 – y2
Para factorizar se agrupa los que tenga parte variable común. Entonces:
a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2y2
x(a2 + 5m2) – y2(a2 + 5m2)
(a2 + 5m2) (x – y2)
Ejemplo 2 mx + m2 + xy + my
m(x + m) + y(x + m)
POLINOMIO FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2
5a – 3b – 3bc5 + 5ac5
6x3 – 1 – x2 + 6x7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2
d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m
D. IDENTIDADES Aquí utilizamos dos diferentes
productos notables ya estudiados.
Ejemplo 1 x2 – y2 = (x + y)(x - y) (por diferencia de
cuadrados) x2 + 2xy + y2 (por trinomio cuadrado
perfecto)x2 y2
x y x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
xy
2xy
x3 – y3 = (x - y) (x2 + xy + y2) (Diferencia de cubos)
Ejemplo 2 Factorizar:a) 4x2 – 9 (parece diferencia de
cuadrados)Le damos forma:4x2 – 9 = (2x)2 – 32 = (2x + 3)(2x - 3)4x2 – 9 = (2x + 3)(2x - 3) (Por diferencia de cuadrados)
b) 25x2 – 40xy + 16y2 (Parece trinomio cuadrado
perfecto)
5x 4y 25x2 – 40xy + 16y2
= (5x – 4y)2
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Observa que en todos los términos no hay expresión común:
a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2y2
Tienen común x
Tienen común y2 y se puede
sacar el (-)
Por monomi
ocomún
Por monomi
ocomún
Monomio
Común
Monomio
ComúnPolinomio
Común(m + y) (x + m)
a2 – b2 = (a + b)(a - b)a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab +
b2)a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab +
b2)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a - b)2
Recuerda
Trinomio Cuadrado Perfectox 2
x
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20xy
40xy
c) 27x3 + 8 (Parece suma de cubos)Le damos forma:27x3 + 8 = (3x)3 + (2)3 = (3x + 2) [(3x)2 – (3x)(2) + (2)2]
= (3x + 2) (9x2 – 6x + 4)27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 – 6x + 4)
POLINOMIO FACTORIZACIÓN IDENTIDADES
c2 – b2
x2 + 10x + 2564 – x3
64x2 – 2549x2 – 14x + 125m2 – 36n2
36n2 + 48xy + 16y2
36x2 + 84xy + 49y2
E. ASPA SIMPLE Es un método que permite factorizar
trinomios de la forma:
ax2 + bxy + cy2
Su método es:ax2 + bxy + cy2
Ejemplo 1 x2 + 5x + 6
x +3x +2Observa que los factores son (x + 3)(x+2) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
Ejemplo 2 x2 - 5x - 6
x -6x +1 x2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)
Ejemplo 3 6x2 - 7xy – 20y2
3x +42x -5 6x2 - 7xy – 20y2 = (3x + 4)(2x - 5)
TRINOMIO FACTORIZACIÓN ASPA SIMPLE
x2 + 7x + 12x2 – 2x - 15
X2 + 8xy + 7y2
x2 + 2xy – 35y2
4x2 – 12xy + 5y2
12x2 - 8xy – 15y2
86. Indique el número de factores primos:
F(a, b) = 5a9b3 + 15a6b7
a) 3 b) 9 c) 10d) 1 e) 18
87. Factorizar:T(a, b) = a3 + a2b + ab2 + b3
a) (ab + 1) (a + 1) (b + 1) d) (a + b)2 (a2 + b)b) (a2 + 1) (b2 + 1) e) (a2 + b) (a + b2)
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114
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
x 2
Los factores se escriben en forma horizontal
Se descom-ponen en
los factores
Se realiza un producto en aspa y los resultados se
adicionan, dicho resultado debe ser idéntico al término
central del trinomio dado.
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c) (a2 + b2) (a + b)
88. Factorizar:P(x) = x5 + x2 – x - 1
a) (x - 1)(x + 3)2 d) (x - 1)2 (x + 1)b) (x + 1)2 (x - 1) e) x(x + 1)2
c) (x + 1) (x - 1)
89. Señale un factor primo de segundo grado:G(a, b) = a(1 – b2) + b(1 – a2)
a) 1 + a2 b) 1 + ab c) ab - 1d) a2 + b2 e) 1 - ab
90. Indique el factor primo que mas se repite en:E(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x + 2)(x - 1) + 1 - x
a) x – 3 b) x – 2 c) x - 1d) x + 2 e) x + 4
91. Factorizar:P(a, b, c) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2)
Dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
92. ¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión?P(x, y, z, w) = wy + wz – wyz – xy – xz + xyz
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
93. Luego de factorizar:F(a) = a2 + 2a + ab + b + 1;
indique el término independiente de un factor primo.
a) b + 1 b) a + 1 c) a + bd) a + b + 1 e) a – b + 1
94. Un factor de:a2x2 – 8acx + 16c2 – 25b2 es:
a) ax + 4c + 5b d) x + acb) ax – 4c + 5b e) ax – c - 4bc) ax – c + 4b
95. Factorizar: P(x, y) = (x + 1)2 – (y - 2)2
Hallar un factor primo:
a) x + y – 1 b) x – y – 2 c) x – y - 3d) x – y – 4 e) x – y - 7
96. Factorizar:R(x) = 8x3 + 27;
indique el factor primo de mayor suma en sus coeficientes.
a) 2x – 3 b) 3x + 2 c) 2x + 3d) 9x2 – 6x + 4 e) 4x2 – 6x + 9
97. Calcular la suma de los factores primos de:T(x, y) = (xy + 1)2 – (x + y)2
a) 4 b) x + y c) 2d) 2(x + y) e) x - y
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98. Indique el número de factores primos en:P(x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
99. Indique un factor de:P(a, b) = 3 + 2a2b + 4ab2 + 8b3
a) a2 + b2 b) a2 + 2b2 c) a + bd) a + 2b e) a + 4b
100. Indique un factor de:P(a, b, c, d) = a2 + b2 + 2ab – c2 – d2 – 2cd
a) a + b – c + d b) a + b + c + d c) a – b + c - dd) a + b + c - d e) a – b – c - d
TAREA DOMICILIARIA Nº 6
75. Factorizar:P(a) = a3 + 2a2 – a – 2;
e indicar el factor primo con mayor término independiente.a) a + 1 b) 3a + 1 c) a + 2d) a – 1 e) 2a + 5
76. Factorizar:P(x) = x7 + c3x4 – c4x3 – c7;
indicar cuántos factores primos se obtienen:a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
77. Indicar un factor de:P(x, y) = a2 – b2 + x2 – y2 + 2(ax - by)
a) a + b + x – y d) a – b – x + yb) a + b – x – y e) a – b – x - yc) a – b + x - y
78. Factorizar:H(x, y) = 4x4 + 81y4
a) 2x2 – 6xy + 9y2 d) 9x2 + 6xy + 2y2
b) 9x2 – 6xy + 2y2 e) N.A.c) 2x2 – 6xy – 9y2
79. Factorizar:P(a, b, c) = 4a(a + b) + b(b - c) – 2ac;
y señalar la suma de coeficientes de un factor primo y obtenido.a) 1 b) 3 c) 4d) -1 e) 0
80. Factorizar:N(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1) + 3;
indicar el término independiente de un factor obtenido.a) 5 b) 2 c) -5d) 4 e) 7
81. Indicar un factor de:P(a, b) = a(b2 + b + 1) + b(a2 + a + 1) + a2 + b2
a) a + b + 1 b) a2 + 1 c) b2 + 1
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116
FACTORIZACIÓN II
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d) a + 1 e) a2 + b2
82. Factorizar:A(x) = x4 + 2x2 + 9;
luego indique algún termino de un factor primo.
a) x b) 8x c) 7xd) x2 e) 9
83. Indicar la suma de factores primos:F(a, b) = a3 – b3 + a2b – ab2
a) 2a b) 2b c) a + bd) 1 e) 0
84. Factorizar:M(x, y) = x4 + 14x2 + 49 + y4;
indique la suma de coeficientes de un factor primo.a) 9 b) 6 c) 11d) 4 e) 8
85. Reconocer un factor de:mn4 – 5m2n3 – 4m3n2 + 20m4n
a) m + 2n b) 5n – m c) n + 5md) m(m – 2n) e) (n – 2m)n
86. Factorizar:P(x, y, z) = x2 + y2 + x(y + z) + y(x + z);
indicar un factor primo.a) x + y b) x + y + z c) x + zd) y + z e) Mas de una es correcta
87. Factorizar:P(x) = 4x4 + 15x2 + 36;
indique un factor primo.
a) 2x2 -3x + 6 d) 2x2 + 3x - 6b) 6x2 – 3x + 2 e) 6x2 + 3x + 2c) 2x2 – 3x - 6
88. ¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio?P(x) = x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
89. Dado el polinomio:P(x) = x20(x27 + x20 + 1) + x7(x20 + 1) + 1;
indicar un factor:
a) 2x10 + x5 + 1 d) x25 + x5 + 1b) x10 – x5 – 1 e) x18 + 3x15 + 5c) x20 – x10 + 1
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NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 7 TERCER AÑO
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Veremos los siguientes casos:
F. ASPA DOBLEEs un método que sirve para factorizar
polinomios de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dy + Ex + F
Se sigue el siguiente procedimiento:1. Se descompone los términos (Ax2) y
(Cy2)De tal manera que cumpla aspa simple con Bxy.
Ax2 + Bxy + Cy2
2. Se decompone (F), con la descomposición de Cy2 se verifique aspa simple con Dy.
Cy2 + Dy + F
3. Se comprueba la siguiente aspa:Ax2 + Ex + F
Ejemplo: Factorizar:
3x2 – 5xy – 2y2 – 8y + 11x + 103x +y 5 x -2y 2(3x + y + 5) (x – 2y + 2)
5x2 – 6xy + y2 – 5y + 13x + 65x -y
( ) ( )
G. método del aspa doble especialEste método se emplea para factorizar
polinomios de cuarto grado de la forma:
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
Para factorizar se procede:1. Se adecua al polinomio a la forma
general, si faltase uno de los términos se completa con ceros.
2. Se descompone conveniente el último (E) y el primer (Ax4) término, luego se
efectúa el producto en aspa y se calcula la suma de dichos productos en aspa.
3. El resultado anterior se compara con el término central (Cx2) y la expresión que sobre o falta se descompondrá debajo del término central.
4. Luego la expresión descompuesta realizará un aspa simple hacia el lado izquierdo con (Ax4) y hacia el lado derecho con (C) verificando (Bx3 y Dx) concluyendo que los factores serán las sumas horizontales de los términos resultantes de las descomposiciones.
Ejemplo: P(x) = x4 – 4x3 + 10x2 – 11x + 10
x2 -3x 5 5x2
x2 -x 2 2x2
7x2 +3x2
P = (x2 – 3x + 5) (x2 – x + 2)
F(x) = x4 – 3x3 + 8x2 – 7x + 51
( ) ( )
F(x) = x4 – 4x3 + x2 – 8x – 35+5
( ) ( )
H. método de lOs divisores binómicosSe emplea para factorizar polinomios
de cualquier grado que admitan por lo menos un factor binómico de la forma (ax + b) o transformable a ella.
Cero de un polinomio es el valor o valores que anulan a un polinomio.
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118
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
Ejm.: Sea:P(x) = x2 – 4x + 3
Para: x = 3P(3) = 32 . 4 . 3 + 3
P(3) = 03 es un cero de P(x)
Para factorizar indicaremos lo siguiente:1. Determinaremos los posibles ceros de
un polinomio dividiendo los divisores del termino independiente entre los divisores del coeficiente principal (incluir los negativos).
2. Se evalúa con el posible cero utilizando la regla de división por Ruffini, si dicha división resulta exacta entonces hemos hallado un factor del polinomio y el cociente será el otro factor.
Ejemplo: P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2
i) x = ±1; ±2 (posibles ceros).ii)
iii) (x - 1) es factor(x2 – 2x + 2) es el otro factor
P(x) = (x - 1)(x2 – 2x + 2)
Factorizar:P(x) = x3 + x2 + x + 6
i) x = ±1; ±2; ±3; ±6
101. Indicar un factor de:
6x2 – 13xy + 2y2 + 5y – 8x + 2
a) x – 2y – 1 d) x + 2y - 1b) 6x + y + 2 e) N.A.
c) 6x + y - 2
102.Factorizar:2x2 + 3y2 + 7xy – y + 3x - 2
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1 -3 4 -21 -2
1 -2 2x = 1
0
x2 x T.I.
1 1 1 6
-2
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
a) (x – 3y + 2) (x + y - 1)b) (x + 3y + 2) (2x + y - 1)c) (x – 2y + 3) (3x – y - 1)d) (x + 3y - 2) (2x – y + 1)e) N.A.
103.Factorizar:x2 – y2 + 10y - 25
a) (x – y + 5) (x + y - 5)b) (x + y - 5) (x + y - 5)c) (x – 2y - 5) (x – y - 5)d) (x + y + 5) (x + y + 5)e) N.A.
104.Factorizar:x2 + 6y2 – 5xy – x - 6
a) (x + 2y - 3) (x – 3y - 3)b) (x + 3y + 3) (x –y - 9)c) (x – 2y + 2) (x – 3y - 3)d) Faltan datose) Todas
105.Factorizar:2x2 – 24y2 + 2xy – 2x + 34y - 12
a) (x + 4y - 3) (2x – 6y + 4)b) (x – 4y + 3) (3x + 6y + 9)c) (7x – 2y + 3) (3x – 6y + 4)d) (4x – 2y + 3) (x – y - 1)e) N.A.
106.Factorizar:x3 + 5x2 – 18x + 8
a) (x - 2) (x2 + 7x - 4)b) (x + 2) (x2 + 7x - 4)c) (x - 2) (x2 – 7x + 4)d) N.A.e) Todas las Anteriores
107. Indicar un factor de:x3 + 6x2 + 14x + 15
a) (x - 3) b) (-x + 3) c) (x + 3)d) x – 21 e) x + 2
108. Indicar un factor:x3 – 4x2 – 13x - 8
a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3d) x + 4 e) x + 5
109. Indicar un factor de:x3 – 14x2 + 47x + 8
a) x + 8 b) x + 9 c) x - 8d) x – 10 e) x + 12
110. Indicar un factor:x4 – x3 – x2 – 5x + 6
a) x2 – 3x + 2 b) x2 + 3x + 2 c) x2 – 3x - 2d) 2x2 – 3x – 2 e) N.A.
111. Indicar un factor:x4 + 8x3 – x2 – 62x + 36
a) x2 + 2x – 9 d) x2 – x - 4b) x2 – 9x – 3 e) N.A.c) 3x2 – 10 – 2x
112.Factorizar e indicar un factor:2x4 – 3x3 + 16x2 – 8x + 7
a) x2 – x + 7 b) 2x2 + x – 1 c) x2 – 3x - 7d) 2x2 – 2x – 9 e) 3x2 – x - 2
113. Indicar un factor:x4 – x2 – 2x - 1
a) x2 – x – 1 b) x2 + x + 1 c) x2 – x + 1d) 2x2 – 3x + 2 e) x2 + 3x - 2
114. Indicar un factor:6x4 + x3 – 2x - 1
a) 2x2 + x + 1 d) 2x2 – x - 1b) 3x2 + x + 1 e) N.A.c) 3x2 + 2x + 1
115. Indicar un factor:10x4 + 13x3 + 15x2 – 7x - 4
a) 5x2 – x – 1 b) 5x2 + x – 1 c) 5x2 – x + 1d) 6x2 – x – 1 e) x2 – 3x + 4
TAREA DOMICILIARIA Nº 7
90. Factorizar: x2 – 5xy – 14y2 – 41y + 2x – 15;indicar un factor:
a) x + 7y + 3 d) x – 7y + 3b) x – 7y – 3 e) N.A.c) x + 7y - 3
91. Indicar un factor de:x2 – 4xy + 3y2 – 8y + 4x + 4
a) x + 3y + 2 d) x – 3y + 2b) x – 3y – 2 e) N.A.c) x + 3y - 2
92. Indicar un factor de:2x2 – 5xy + 2y2 – 8y + x - 10
a) x + 2y + 2 d) x – 2y + 2b) x – 2y – 2 e) N.A.c) x + 2y - 2
93. Indicar un factor de:3x2 + 8xy + 5y2 + 7y + 5x + 2
a) 3x – 5y + 2 d) 3x + 5y + 2b) 3x + 5y – 2 e) N.A.c) 3x – 5y - 2
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120
COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO
94. Indicar un factor de:8x2 + 10xy + 3y2 – 9y – 14x + 6
a) 2x + y – 2 b) 2x + y + 2 c) 2x – y + 2d) 2x – y – 2 e) N.A.
95. Factorizar e indicar un factor:x3 – 2x2 + 3x + 6
a) x2 – 2x - 3 b) x2 + 3x + 6 c) x + 1d) x + 2 e) N.A.
96. Factorizar: G(x) = x3 + 6x2 + 3x – 10;e indique el número de factores primos lineales.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
97. Factorizar: S(x) = 4x3 + 19x2 – x – 1;indique un factor primo.
a) x2 – 5x + 1 b) x2 + 5x + 1 c) x2 – 5x - 1d) x2 + 5x – 1 e) 2x + 1
98. Factorizar: F(x) = x3 + 2x2 – 4x – 8;indique un factor:
a) x + 1 b) x - 1 c) x + 2d) x - 3 e) N.A.
99. Después de factorizar:M(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6;
se iguala a cero uno de los factores se obtiene entonces:
a) x = 2 b) x = 4 c) x = 3d) x = -3 e) x = -4
100. Indique un factor primo:P(x) = x4 + x3 + 2x2 + 2x + 4
a) x2 + 2x + 2 b) x2 + 2x + 1 c) x2 – x + 3d) x2 + x + 2 e) x2 – 2x + 1
101. La suma de coeficientes de un factor primo de:
T(x) = x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10;es:
a) 1 b) -6 c) 2d) -2 e) 8
102.Factorizar:A(x) = 2x4 + 5x3 + 10x2 + 9x + 6;
indique un factor primo:
a) 2x2 + 3x + 2 d) 2x2 + 3x + 3b) x2 + x – 2 e) 2x2 + x + 2c) x2 + 3x + 3
103.Factorizar: x4 – 4x3 + 11x2 – 4x + 10;el factor cuadrático es:
a) x2 + 4x – 10 b) x2 – 2 c) x2 + 2d) x2 – 4x + 10 e) x2 + 4x + 10
104.Luego de factorizar:x4 + 5x3 + 10x2 + 10x + 4;
indicar el término independiente de un factor primo:
a) 1 b) 2 c) 4d) -1 e) N.A.
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003121