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lgebra Lineal Espacios Vectoriales
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Espacio Vectorial
Objetivo: El alumno identificar un espacio vectorial (EV) y analizar sus caractersticasfundamentales.
Introduccin
EV o tambin llamados espacios lineales, en donde los objetos, los cuales son elementos de un EVse les llaman VECTORES (vector del latn vectur llevar o transportar); recordemos que el concepto devector lo asociamos con cantidad, con magnitud, direccin y sentido; bajo el contextos de otras disciplinas.Pero en el caso de lgebra Lineal (AL) son objetos de un conjunto llamado V (no vaco) que es la notacinpara EV y dichos objeto o bien elementos se llaman vectores (ternas ordenadas, polinomios, matrices,funciones, etc).
Figura 1. Representacin de un vector en
Ejemplo
Sea el EV de ternas ordenadas
Si los vectores y pertenecen con
Obtener la adicin usual entre vectores y el producto por un escalar
Resolucin
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PROPIEDADES De la suma vectorial en un espacio de
i) es nico Propiedad de cerradura
ii) Propiedad asociativa
iii) , donde es el vector nulo o bien el idntico aditivo
iv) , donde es el vector inverso aditivo
v) Propiedad conmutativa
PROPIEDADES De la multiplicacin escalar por un vectorial en un espacio de
vi) es nico Propiedad de cerradura
vii) Primera propiedad distributiva
viii) Segunda propiedad distributiva
ix) Propiedad asociativa
x) Idntico multiplicativo para los
NOTA
Es el vector nulo tambin llamado cero
Los vectores tambin se representan con letras minsculas negritas; es decir, a
Ejemplo
El vector es una Combinacin Lineal (CL) de los vectores y
Resolucin
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Para ello de la definicin usual por un escalar se tiene
Es decir
Resolviendo el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL), se tiene:
El sistema no tiene solucin; es decir,
No existen valores de para los cuales el SEL tenga solucin finita.
Ejemplo
El vector es una CL de los vectores y
Resolucin
Para ello de la definicin usual por un escalar se tiene
Es decir
Resolviendo el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL), se tiene:
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El sistema si tiene solucin; es decir,
Para y
Comprobando la solucin de los escalares en la CL, se tiene
Definicin de EV
Sea un conjunto no vaco y sea un campo. Se dice que es un EV o tambin llamadosespacio lineal sobre si estn definidas dos leyes de composicin, llamadas adicin y multiplicacin porun escalar, tales que:
i) La adicin asigna a cada pareja ordenada de elementos de un nicoelemento
ii) Para entonces
iii) Existe el vector nulo tal que
iv) Existe el vector tal que
v) Para tal que
vi) La multiplicacin por un escalar asigna a cada pareja ordenada de elementos y un nico elemento , llamado el producto de por
vii) Para ; tal que
viii) Para y tal que
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ix) Para y tal que
x) Si es el idntico de , entonces , para
A los elementos de Se les llaman vectores y a los de escalares.
Nota:
Las primeras cinco propiedades de la definicin de EV, son las propiedades para teneruna estructura de tipo Grupo Abeliano.
Ejemplo
Determinar si el conjunto es un espacio vectorial sobre el campo
de los con las operaciones de adicin y multiplicacin por un escalar definida por:
En caso afirmativo obtener el idntico de . En caso negativo, indicar todos los axiomas que no sesatisfacen.
Resolucin
No es un espacio vectorial sobre , pues no se cumplen los axiomas vi y viii.
vi) Axioma ; es decir
viii) Para y tal que
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Definicin de EV en
Sean los vectores y sea y escalares.
Propiedades de la suma vectorial
i) Cerradura para la adicin
ii) Asociatividad
iii) Existencia de elemento idntico
iv) Existencia de elemento inverso
v) Conmutatividad
Propiedades de la multiplicacin escalar en el espacio - dimensiones (conjunto de todas las -adas ordenadas de nmeros reales.
vi) Cerradura para el producto por un escalar
vii) Distributividad
viii) Distributividad
ix) Asociatividad
x) Idntico multiplicativo
Ejercicio
Sea V del conjunto de las matrices de orden m x n con elementos en los complejos, k es el campode nmeros complejos, y la adicin y multiplicacin por un escalar son las usuales. Determinar siV es un EV.
Propiedades de un EV
Si V es un EV sobre k, entonces:
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i) Propiedad de cancelacin, para
ii) El vector nulo es nico y es tal que
iii) El vector es nico y es tal que
iv) La ecuacin
Tiene solucin nica en V
v)
vi)
Definicin de EV Real
Un EV real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadassuma y multiplicacin por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados en la definicin de EVen
Existen espacios vectoriales triviales ; as tambin un conjunto que no es EV es cuando.
Ejercicio
Sea V el conjunto definido por
Considere adems la operacin de adicin usual entre elementos de V, esto es
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y la operacin usual de la multiplicacin por un escalar del campo de los nmeros Q (racionales) yun elemento de V; es decir
donde
Determinar si V es un EV
Resolucin: V, S es un espacio vectorial
Definicin de Subespacio Vectorial (SEV)
Sea H un subconjunto de V donde H es NO VACO y suponga que H es en s un EV bajo lasoperaciones de suma y multiplicacin por un escalar definido en V. Entonces se dice que H es un subespaciode V.
Nota: H hereda las operaciones de V (padre).
Teorema
Un subconjunto NO VACO H de un EV V es un subconjunto de V, si se cumplen las dos reglas decerradura:
i) Si y entonces
ii) Si entonces para todo escalar .
Nota: El subespacio trivial donde ( V espacio trivial ).
Un EV es un subespacio en s mismo para cada EV V, V es un subespacio de si mismo.
Subespacio Propio
Todo EV V contiene dos subespacios y
Ejemplo
Considere el conjunto
Determinar si el conjunto E es un SEV de las matrices cuadradas de orden dos sobre el campo delos nmeros reales.
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Resolucin: No es un subespacio de M, ya que no cumple cerradura para la adicin.
De donde
Para el caso de la cerradura del producto por el escalar si se cumple.
Ejemplo
Sea P el espacio vectorial real de polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes realesy un subconjunto de P. Determinar:
a) Si S es un subespacio de P, y
b) Si, en caso afirmativo, obtener una base del espacio asociado de S.
Resolucin
a) Propiedad de cerradura para la adicin
No cumple con la propiedad de cerradura para la adicin. S no es un subespacio de P.
ESPACIOS VECTORIALES IMPORTANTES
Conjunto de todos los nmeros reales.
Conjunto de todos los pares ordenados.
Conjunto de todas las tercias ordenadas.
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Conjunto de todas las n-adas ordenadas.
Conjunto de todas las funciones continuas definidas sobre la recta numrica real.
Conjunto de todas las funciones continuas definidas sobre un intervalo cerrado.
Conjunto de todo los polinomios.
Conjunto de todo los polinomios de grado .
Conjunto de todas las matrices de orden .
Conjunto de todas las matrices cuadradas de orden .
Teorema
Sea cualquier elemento de (EV) y sea cualquier escalar. Entonces son ciertas las siguientespropiedades:
i)ii) Si entonces iii)iv)
Ejemplo
El conjunto de los nmeros enteros con la operacin usual de adicin, Constituye un espaciovectorial? No es cerrado para el producto por un escalar; es decir, .
Ejemplo
Sea el conjunto de matrices singulares de orden 2. Demuestre que no es un subespacio de con la adicin usual entre matrices.
Sea
y
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y
Son matrices singulares
Entonces
y
no es un sbespacio de ; no cumple con la propiedad de cerradura para la adicin.
Ejemplo
y
y
Son matrices singulares
Entonces
y
no es un subespacio de
Ejemplo
Demuestre que es un subespacio vectorial. un conjunto No vaco
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y cerrado bajo la adicin.
Figura 2. Representacin del SEV W en
y en donde la adicin se define como
Pero
Si y
SUBESPACIOS DE FUNCIONES (CLCULO)
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Figura 3. Representacin del SEV W en funciones
La interseccin de dos subespacios es un subespacio. Si y son subespacios de ( EV),entonces la interseccin de y Tambin es un subespacio de .
Figura 4. Representacin del SEV
Ejercicio
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Cul de estos subconjuntos es un subespacio de ?
a) El conjunto de puntos de la recta dada por
b) El conjunto de puntos de la recta dada por
Resolucin
Si se grafican ambas rectas tenemos
Figura 5. Representacin de la recta que contiene
Comprobamos cerradura para la adicin
Sean los elementos del conjunto de puntos que generan a la recta; es decir,
Al verificar la cerradura para la adicin, tenemos:
Para el producto por un escalar, se tiene:
Ahora bien para la recta que esta igualada con 1, se observa que no contiene y su grfica sera.
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Figura 6. Representacin de la recta que no contiene
De manera anloga, realizaremos la comprobacin de las propiedades de cerradura para la adiciny el producto por un escalar. Como en el caso anterior.
Cerradura para la adicin, se tiene:
Dado que no cumple con la cerradura para la adicin se concluye que la recta no es unsubespacio de .
De las dos rectas en , slo la que pasa por el origen es un subespacio de ; es decir, si es unsubconjunto de , entonces es subespacio si y slo si, se cumple una de las siguientes proposiciones:
i) consta slo del punto ii) consta de los puntos sobre una recta que pasa por el origen.iii) consta de
Figura 7. Representacin de las propiedades en
La circunferencia unitaria es un subespacio vectoria? No, dado que no contiene al origen.
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Conjunto Generador e Independencia Lineal
Para ello recordaremos la definicin que se manejo en la introduccin del captulo de EV, la cualfue CL. Un vector en un EV se denomina combinacin lineal de los vectores en
si se puede expresar en la forma.
donde son escalares.
Ejemplo
Sea es CL de y
Resolucin
Al resolver el SEL se tiene que es compatible determinado con y
Ejemplo
Sea es CL de , y
Resolucin
Usando el concepto de CL se tiene
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Resolviendo el SEL tenemos:
se tiene que es compatible determinado con , y
DEFINICIN DE DEPENDENCIA LINEAL
Sea un conjunto de vectores:
i) es linealmente dependiente si existen escalares NO todos iguales a cero, tal que
Esta expresin es tambin llamada ecuacin de dependencia lineal.
ii) es linealmente independiente si existen escalares TODOS iguales a cero, tal que
Esta expresin slo acepta la solucin trivial; es decir,
Teorema
Todo conjunto que contiene al vector nulo o bien el vector cero es linealmente independiente.
Teorema
Si es un conjunto linealmente independiente entonces cualquier subconjunto de eslinealmente independiente.
CONJUNTO GENERADOR (SON CONJUNTOS FINITOS)
Sea un EV sobre (campo) y sea un conjunto de vectores de . Se dice
que es generador de , si para todo vector , existen escalares tal que
Es decir, (Combinacin lineal de los vectores de , Variedad Lineal).
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o bien, est formado por vectores , debido a que es un subespacio de (se cumple cerradura parala adicin y la multiplicacin por un escalar). Toda CL de vectores de es un elemento de ; es decir,
, por lo tanto .
NotaEl conjunto de con coeficientes NO puede ser generado por un conjunto finito.
El conjunto de las funciones reales de variable real , es un EV de dimensin infinita.
DEFINICIN DE BASE
Se llama base de un EV a un conjunto generado de que es linealmente independiente.
DIMENSIN ( SLO PARA ESPACIOS FINITOS)
La dimensin de un espacio finito sera el nmero de elementos de cualquiera de sus Bases. La Basees el mnimo de vectores que pueden generar un EV.
Ejemplo
Sea P el EV real de polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y
Un subconjunto de P. Determinar si T es un subespacio de P. En caso afirmativo, obtener una basey la dimensin de T. En caso negativo, explicar por qu T no es un subespacio de P.
Resolucin
Sean ,