SECUENCIA 17 MATEMÁTICAS III

FIGURAS HOMOTÉTICAS

SESIÓN 1. ESPECIALMENTE SEMEJANTES

Actividad: La homotecia como aplicación del teorema de Tales1

>>> Para empezar

Describe las dos características que cumplen los polígonos semejantes.

>>> Consideremos lo siguiente

La figura muestra un punto O del plano y un cuadrilátero ABCD.

a) Abran el archivo homotecia1, el cual muestra esta figura. Con la herramienta dilatar objeto construyan un cuadrilátero A’B’C’D’ semejante al dado de manera que A’ esté en la recta OA, B’ en la recta OB, C’ en la recta OC, D’ en la recta OD y que la razón de semejanza de ABCD con respecto a A’B’C’D’ sea 3.

b) Describan el procedimiento que utilizaron.

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c) Justifiquen por qué el polígono que trazaron (el cuadrilátero A’B’C’D’) es semejante al polígono ABCD en la razón de semejanza pedida.

d) ¿Son paralelos entre sí los pares de lados correspondientes?_____

Justifiquen su respuesta.

Comparen sus procedimientos.

>>> Manos a la obra

I. En la siguiente figura se trazó el lado AB del cuadrilátero anterior. Sobre la recta OA están señalados los puntos A1, A2 y A3, tales que, OA1 = 10 cm, OA2 = 2.5 cm y OA3 = 15 cm. Sobre la recta OB están señalados los puntos B1, B2 y B3, tales que, OB1 = 12 cm, OB2 = 3 cm y OB3 = 18 cm.

Abran el archivo homotecia2 el cual contiene esta construcción. Usen las herramientas necesarias y realicen lo siguiente:

a) Tracen los segmentos A1B1, A2B2 y A3B3 y midan la longitud de cada uno.

b) ¿Son paralelos los segmentos AB y A1B1? _______

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Justifiquen su respuesta.

c) ¿Son paralelos los segmentos AB y A2B2?_______Justifiquen su respuesta.

d) ¿Son paralelos los segmentos AB y A3B3? _______Justifiquen su respuesta.

e) ¿Cuál de los tres segmentos que trazaron está en razón de 3 a 1 con respecto al

segmento AB? _______

II. Vuelvan al archivo homotecia1 y realicen lo que se indica a continuación:

a) Sobre las rectas que correspondan, tracen los puntos A’, B’, C’ y D’ de manera que OA’ = 2 OA, OB’ = 2 OB, OC’ = 2 OC y OD’ = 2 OD.

b) ¿Son semejantes los cuadriláteros? _______

Justifiquen su respuesta.

c) ¿Los lados del cuadrilátero ABCD son paralelos a los correspondientes lados del

cuadrilátero A’B’C’D’? ______

Justifiquen su respuesta.

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Dados un polígono (ABCDEF…), un punto O del plano y las rectas que unen cada vértice del polígono con el punto O, si se trazan puntos A’, B’, C’, D’, E’, F’, … en las rectas OA, OB, OC, OD, OE, OF, …, respectivamente, de manera que las medidas de los segmentos OA’, OB’, OC’, OD’, OE’, OF’, … sean proporcionales a las medidas de los segmentos OA, OB, OC, OD, OE, OF, …, se cumple que el polígono A’B’C’D’E’F’ … es semejante al polígono original y que sus lados son paralelos a los lados correspondientes del polígono original.

III. Abran un archivo nuevo de geometría dinámica y completen lo siguiente:

a) Realicen los trazos que se piden:

1. Tracen un triángulo ABC.

2. Tracen una recta paralela al lado BC y construyan en esa paralela un segmento que mida ¼ de BC. Llamen a los extremos del segmento B’ y C’.

3. Tracen una paralela a BA que pase por B' y desde B construyan un segmento que mida ¼ de BA, y llamen al otro extremo A’. Asegúrense de que el ángulo A’B’C’ mida lo mismo que el ángulo ABC.

4. Tracen el segmento A’C’.

5. Tracen las rectas AA’, BB’ y CC’.

b) Contesten.1. ¿Son semejantes los triángulos ABC y A’B’C’?

2. Si los triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón de semejanza de ABC con respecto a A’B’C’?3. Observen que las rectas AA’, BB’ y CC’ se intersecan en un solo punto, llámenlo O. ¿Cuánto valen las razones OA/OA’, OB/OB’ y OC/OC’?

c) Comenten qué relación hay entre la razón de semejanza de los triángulos y la razón de las distancias de O a los vértices correspondientes.

Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen sus resultados.

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>>> A lo que llegamos

Para trazar un triángulo semejante a un triángulo dado, se pueden trazar rectas paralelas a los lados del triángulo.

Los polígonos semejantes con lados correspondientes paralelos se llaman polígonos homotéticos.

El punto en el que se intersecan las rectas determinadas por los vértices correspondientes de polígonos homotéticos se llama centro de homotecia.

>>> Lo que aprendimos

La figura ilustra la transformación llamada homotecia, mediante la cual se obtuvo el triángulo A’B’C’ a partir del triángulo ABC. Como hemos visto, además del objeto por transformar, se debe establecer el centro de homotecia, desde el cual se trazan rectas sobre el plano del triángulo y, finalmente, indicar la razón de semejanza también llamada razón de homotecia.

Veamos otro procedimiento para obtener un polígono homotético a partir de uno dado. En su archivo de geometría dinámica realicen lo siguiente:

a) Construyan el punto O, el triángulo ABC y las rectas que pasen por O y cada uno de los vértices.

b) Activen la herramienta dilata objeto desde punto indicado y señalen el objeto que se va a transformar, en este caso el triángulo ABC. Luego, indiquen el centro de homotecia, O en este caso, y al final señalen la razón de homotecia.

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c) Midan los segmentos OB y OB’; ¿cuál es la razón entre ellos?

d) Midan los segmentos OC y OC’; ¿cuál es la razón entre ellos?

e) Arrastren uno de los vértices del triángulo ABC. ¿Qué ocurre? Descríbanlo.

f) ¿Son paralelos los lados AB y A’B’? ___________

¿Y los lados BC y B’C’? ___________

¿Y los lados CA y C’A’? ___________

g) Midan los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ y dividan entre sí las medidas de los lados correspondientes del triángulo A’B’C’ al triángulo ABC:

A’B’ ’ AB

=B’C’ ’ BC

=C’A’ ’ CA

=

h) ¿Cómo son los ángulos ABC y A’B’C’? _______

¿Y los ángulos BCA y B’C’A’? _________

¿Y los ángulos BCA y B’C’A’? _________

1 Algunas actividades propuestas en esta sesión están tomadas de: SEP-ILCE (2000). “La homotecia como aplicación del teorema de Tales”, en Geometría dinámica (pp. 154-157). Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología EMAT. México: SEP.Las actividades de geometría dinámica fueron diseñadas con GeoGebra.