Post on 15-Jan-2016
description
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS1
HUANCAYO-PERÚ
2013
“AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y COMPROMISO CLIMÁTICO”
CONTABILIDAD
ANALISIS DE LA VARIANZA CON VARIABLESCUANTITATIVAS
CÁTEDRA :METODOS CUANTITATIVOS
CATEDRÁTICO :MG. ELSA LAGOS QUISPE
INTEGRANTES:
ESPINOZA REYMUNDO SAMIRA NOLASCO TORRES NATALIA ÑAUPARITICSE, ROSSANA IRENE POMA MELENDEZ SHERLY QUISPE HIPOLITO YESENIA DEL PILAR RUIZ HUAMAN JANETH VENTOCILLA TAMARA KHATERINE
UN
IVE
RS
IDA
D
NA
CIO
NA
L
DEL
CEN
T
RO
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS2
DEDICATORIAAnuestros Padres, por
apoyarnos en todos los
momentos de nuestras vidas,
ellos han contribuido nosolo a
la realización de este trabajo,
sino también a nuestra
formación integral por
quienes pedimos a Dios
muchasalud y bienestar.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS3
PRESENTACIÓN
El presente trabajo va a dar a conocer el análisis de varianza el cual es importante
porque lo vamos a utilizar para verificar si hay diferencias estadísticamente significativas
entre medias cuando tenemos más de dos muestras o grupos en el mismo
planteamiento. En estos casos no utilizamos la t de Student que solamente es un
procedimiento válido cuando comparamos únicamente las medias de dos muestras.
Como explicaremos más adelante, cuando tenemos más de dos muestras y
comparamos las medias de dos en dos suben las probabilidades de error al rechazar la
hipótesis de no diferencia porque queda suficientemente explicada por factores
aleatorios (que también se denomina error muestral).
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS4
INTRODUCCION
Siempre que obtengamos muestras de una población, existe la cuestión de la
confiabilidad de los resultados obtenido por muestreo con respecto a la población.
Necesitamos saber si las diferencias entre los resultados obtenidos por muestreo y los
esperados de acuerdo con las leyes de las probabilidades son los suficientemente
pequeñas como para que no afecten las inferencias que deseamos obtener de los datos
para nuestro uso. En otras palabras, necesitamos saber si los datos obtenidos son
confiables y no contienen errores que puedan invalidar sus resultados.
Una de las medidas de la discrepancia más útiles es la prueba Chi-cuadrado, la cual
viene proporcionada por el estadístico 2. Si 2 = 0, las frecuencias observadas y teóricas
coinciden completamente; mientras que si 2>0, no coinciden exactamente. A valores
más grandes de 2 mayor discrepancia entre las frecuencias observadas y esperadas.
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADOg=grados de libertad p=área a la derecha
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS5
El valor x de la tabla cumple que para X es chi-cuadrado con g grados de libertad P(X>x)=p
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS6
RESUMEN
Nuestra trabajo se refiere, al Análisis de la Varianza en variables cuantitativas lo cual
está relacionado con las Aplicaciones de la Distribución de Probabilidades de Chi
Cuadrado, la cuales son pruebas no paramétricas, ya que se basan en pruebas de
hipótesis, acerca de una o más medias poblacionales, aplicables a los niveles de
medición nominal y ordinal, estas pruebas son: de Independencia que consiste en
calcular si las variables de clasificación son independientes o están relacionadas; y se
consideran herramientas estadísticas usadas para probar hipótesis de dependencia
entre variables, referidas a un conjunto de frecuencias observadas y un conjunto de
frecuencias esperadas de una muestra; también son útiles para comprobar la fiabilidad
de las inferencias estadísticas en un estudio estadístico y son una estrategia importante
que facilita el desarrollo, éstas eliminan obstáculos para una alta calidad, productividad
y optimizar los procesos en una organización a través de la toma de decisiones basadas
en datos reales, porque no se aplica la intuición, no se decide de manera subjetiva; sino
que se decide objetivamente aplicando procedimientos estructurados o sistemáticos,
dando la seguridad de un resultado verdadero.
INDICE
PRESENTACIÓN
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS7
INTRODUCCION
TABLA DE DISTRIBUCION CHI CUADRADO (x2¿
RESUMEN
ANALISIS DE LA VARIANZA CON VARIABLES CUANTITATIVAS
1.-Antecedentes Históricos de La «Distribución Chi Cuadrado»
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS8
ANALISIS DE LA VARIANZA CON
VARIABLES CUANTITATIVAS
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS9
1. Antecedentes Históricos de La «Distribución Chi Cuadrado»
El matemático Karl Pearson (1857−1936), advirtió que cuando un científico realiza un
experimento de resultados aleatorios, generalmente tiene en mente como referente un «modelo
teórico ideal» que de antemano establece cómo debería ser el comportamiento y cuáles
deberían ser los resultados estadísticos esperados del experimento. Sin embargo, en el mundo
real es muy normal que los resultados empíricos obtenidos dentro de Muestras Estadísticas
sobre la realización de un experimento aleatorio no coincidan plenamente con los resultados
teóricos esperados. En muchos casos es normal que ocurran grandísimas fluctuaciones en los
resultados observados en el experimento aleatorio, y aun así es posible seguir afirmando que
esos resultados fluctuantes todavía están ocurriendo dentro de los límites previstos por el
modelo teórico ideal. Justamente, una gran dificultad a la que se enfrentaron los primeros
científicos de la Modernidad fue cómo hallar una fórmula matemática para determinar con
exactitud que las fluctuaciones o variaciones observadas en los resultados de un experimento
eran suficientemente «significativas» como para permitir concluir que esos resultados ya no
respondían a las expectativas del modelo teórico.
Por ese motivo Karl Pearson hacia 1900 propuso uno de los primeros Test Estadísticos que
desde la óptica de las distribuciones de la probabilidad sirve para calcular si los resultados
estadísticos de un experimento se alejan significativamente o no de los resultados esperados del
modelo teórico, test que actualmente es conocido como el «Test Chi Cuadrado». Luego otros
importantes matemáticos han propuesto la axiomatización de diversas funciones matemáticas o
estadísticas que permiten definir y calcular los límites ideales a partir de los cuales se puede
afirmar con gran certeza que los resultados observados en un experimento aleatorio
definitivamente ya no responden a las expectativas teóricas del modelo ideal, es decir, permiten
concluir que realmente son muy significativas las disparidades existentes entre los resultados
observados y los resultados esperados. Algunas de las más importantes funciones estadísticas
empleadas para ese propósito son la prueba Fisher, la prueba T-Student, la prueba Z, el test
Wishart, la prueba Mc Nemar, la prueba Q de Cochran, los tests de Bondad de Ajuste, etc.
A continuación tratare sobre la Distribución Chi-Cuadrado de la probabilidad y su relación con el
Test Chi-Cuadrado, recalcando su aplicación en los denominados «Contrastes de
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS10
Significación» que se pueden realizar entre los resultados teóricos esperados y los resultados
empíricos observados de un experimento.
2. . CONCEPTOS Y TÉRMINOS PROPIOS DEL ANÁLISIS DE VARIANZA
Una dificultad inicial que suele presentar el estudio del análisis de varianza es el uso de
términos nuevos, por eso es útil familiarizarse con estos términos ya desde el principio.
Realmente los conceptos no son nuevos, solamente pueden resultar relativamente
nuevos los términos para designarlos. Cuando se cae en la cuenta de que se trata de lo
que ya sabemos, desaparece la dificultad.
Recordamos la fórmula de la varianza:
σ 2=( X1−X )2+( X2−X )2+…+ (Xn−X )2
N
σ 2=∑i=1
n
(¿X i−X)2
N−1¿
Recordemos…
La varianza es la desviación típica elevada al cuadrado.
Una varianza grande indica que hay mucha variación entre los sujetos, que hay
mayores diferencias individuales con respecto a la media; una varianza pequeña
nos indica poca variabilidad entre los sujetos, diferencias menores entre los
sujetos. La varianza cuantifica todo lo que hay de diferente entre los sujetos u
observaciones.
A la distribución muestral (s2)se le conoce también como distribución Chi-
cuadrado (x2¿ .
3. IMPORTANCIA DE LA VARIANZA
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS11
Las diferentes pruebas se centran en la estimación de medias y proporciones
poblacionales. Se exponen técnicas para estimar estos parámetros o para comparar dos
media o dos proporciones.
Pero en muchas circunstancias quienes toman las decisiones no solo están interesados
en la media de una distribución, sino también en el grado de dispersión en torno a la
media .Es indudable que este grado de dispersión se mide por la σ 2.Por ejemplo,
supongamos que un proceso de fabricación se ha diseñado para producir piezas de
transmisión para turismos, las cuales han de tener 15cm de longitud. Si la pieza varia en
1 o 2 cm alrededor de los 15cm es posible que no sirva .Para comprobar sus
procedimientos de control de calidad el fabricante elije 100 piezas y halla una media
muestral muy próxima a 15cm.A simple vista, parecería que se cumplen los estándares
de fabricación. Ésta es la buena noticia .Pero la media de 15cm puede haber sido
obtenida de 50 piezas que tienen 10cm de longitud y 50 piezas de 20cm de longitud. A
pesar de dar una media de 15, todas las piezas son defectuosas .Esta es la mala noticia.
Es evidente que la varianza es una magnitud importante para determinar el
comportamiento de la producción .Cuando una empresa especifica el estándar de
producción de la dimensión media de un producto, también estipula la varianza tolerable
en esa dimensión .Las especificaciones de la pieza de transmisión podrían ser: “Una
media de 15cm con una varianza de 0.89”.Un manual de fabricación utilizado por los
trabajadores de la planta de montaje de Ford ,en Kansas City,establece que “el diámetro
medio del orificio de entrada al carburador ha de ser de 10.5 milímetros, con una
variación no superior a 0.315 milímetros”.
Dada la importancia de la varianza para mantener estándares de producción, no debe
sorprendernos que se hayan ideado pruebas para estimar la varianza de una
distribución. La prueba del valor de una sola varianza se basa en una distribución
continua conocida como distribución chi cuadrado (x2¿ .
Chi cuadrado. Podemos utilizar la ji cuadrado para contrastar una hipótesis sobre la varianza de una población. La distribución ji cuadrado nos permite llegar a conclusiones en relación con la variabilidad de la población.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS12
4. ANÁLSIS DE LA VARIANZA Y LA RELACION CON VARIABLES CUANTITATIVAS
(VARIABLE DEPENDIENTE)
Otra manera de presentar lo que se hace con el análisis de varianza, y que ya hemos,
es ver de qué tipos de datos disponemos y qué información buscamos que nos
relaciona los distintos tipos de datos. Siempre que hacemos un análisis de la varianza
tenemos dos tipos de información o dos tipos de datos:
4.1Información cuantitativa. Los datos en la variable dependiente; son los datos que
hemos obtenido y tabulado: la medida de una actitud, una medida de rendimiento
académico, etc.; estos son los datos cuya varianza o diversidad analizamos.
5. DISTRIBUCION CHI-CUADRADA (x2)
La denominada «Distribución Chi Cuadrado» (que usualmente se escribe y se lee
como: Ji Cuadrado), es una distribución cuadrática de la probabilidad que utiliza
básicamente variables aleatorias continuas.
En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se
extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le
calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el
estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con
varianzaσ 2, el estadístico:
(n−1 ) s2
σ 2
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS13
Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de
libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada
está dado por:
Donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y σ 2la varianza de la
población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede
dar con la siguiente expresión:
x2=∑ (x−x )2
σ2
6. PROPIEDADES DE LAS DISTRIBUCIONES JI-CUADRADA
Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1(Grados de libertad). En
consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden
a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.(Pendiente positiva).
Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
La varianza muestral es una variable aleatoria.
El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el
valor (n-3) = (gl-2).
x2=(n−1 ) s2
σ 2
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS14
gl=3
gl=5
gl=10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
La Distribución chi-cuadrado, tiene por función de densidad
Para x>0
La Distribución chi-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se
puede ver en la figura.
Téngase en cuenta que para gl = 1 y gl = 2 la función de densidad para x = 0, se hace
infinito:
x12(0)=∞
x22(0)=∞
Para el resto de los valores de gl, para x = 0, la función vale 0.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS
050
15
La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística
de Walpole, la cual da valores críticos x2α(gl) para veinte valores especiales deα . Para
denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo
x2α(gl); este valor crítico determina a su derecha un área de bajo la curva X2 y sobre el
eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05 (6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado
izquierdo y α=0.05a o largo del lado superior de la misma tabla.
α=0.05
gl=6
12.592
0 x2
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS16
7. PRUEBA DE LA VARIANZA DE UNA POBLACION QUE SIGUE UNA
DISTRIBUCION NORMAL: JI CUADRADO X2
En realidad, la distribución x2 es, como la distribución t, una familia completa de
distribuciones. Hay una distribución diferente para cada valor de los grados de libertad,
donde gl=n-1.La figura a muestra las diversas distribuciones que corresponden a
diferentes grados de libertad. Cada una de ellas representa una distribución ji cuadrado
cuando se eligen muchas muestras de un determinado tamaño. La primera es la
distribución de los valores de x2 si se toman muchas muestras n=2
Figura 7-1: Diversas distribuciones ji cuadrado
gl=1
gl=3
gl=8
gl=10
f(ݔଶሻ
ଶݔ
(gl=2-1=1).La segunda es la distribución de los valores de x2 si se toman muchas
muestras de tamaño n=4 (gl=4-1=3),y así las demás.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS
[7.1]1.1
17
Obsérvese que la distribución de los valores de x2 se hace más simétrica a medida que n
aumenta. Para gl˃30 la distribución se aproxima a la normal y se pueden utilizar los
valores de z correspondientes. Si n=∞, la distribución ji cuadrado y la distribución normal
son idénticas. Como veremos en un capitulo posterior, x2se calcula como suma de
cuadrados. La consecuencia es que no puede ser negativa y parte de cero por su
izquierda.
Para contrastar la hipótesis sobre una varianza poblacional es preciso determinar una
varianza muestral s2.Recordemos que cada muestra diferente que se elija dará su propia
varianza y que es posible tener una distribución completa de varianzas muéstrales. Es
necesario estandarizar esta distribución de varianzas muéstrales potenciales por el
mismo motivo que adujimos cuando utilizamos la distribución Z para estandarizar valores
de X⃗ al contrastar hipótesis sobre la media poblacional. Si lo hacemos así solo
tendremos que analizar una forma estándar de la distribución. Es decir, igual que la
distribución Z sirvió para estandarizar medias muéstrales, la ji cuadrado cumple la
misma misión para las varianzas. Ese valor estandarizado de x2 es:
Dónde: n es el tamaño de la muestra
s2Es la varianza muestral
σ 2 Es la varianza hipotética de la población
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS18
La tabla suministra los valores críticos de x2, igual que la tabla E daba los valores
críticos de z.
6.1Pruebas de Hipótesis para una varianza
Las especificaciones de fabricación de las raquetas de tenis Had exigen que el
modelo Adidas tenga una longitud de 27 pulgadas. La longitud no puede tener
una varianza superior a 0.71 pulgadas al cuadrado. La división de análisis
estadístico de Head reconoce que x2 puede ser útil para probar la varianza.
Este caso de raquetas de tenis de Head servirá para demostrar cómo se puede
aplicar ji-cuadrado para contrastar varianzas. Las especificaciones de fabricación
estipulan que la varianza de la longitud “No puede ser superior a 0.71 pulgadas al
cuadrado”. Por consiguiente la hipótesis nula se escribe σ 2≤0.71 .Es decir, el
sistema de hipótesis de la prueba es:
Ho : σ2≤0.71
Ho : σ2˃0.71
Que exige una prueba de cola a la derecha.
Para contrastar la hipótesis, el director de fabricación elige 25 raquetas y halla
σ 2=0.81pulgadas al cuadrado. Si se desea un nivel de confianza del 90%(α se fija
en el 10%), ¿podríamos afirmar que se cumple la especificación de fabricación?
La Figura 7-2: ilustra el problema. Con la formula [7.1] se calcula un valor de x20
de la tabla, rechazaremos la hipótesis nula. Para hallar este valor crítico de x2 en
la tabla nos desplazaremos hacia abajo por la columna de la izquierda hasta
gl=25-1=24 y después por la línea hasta la columna encabezada por el
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS19
valor0.10.Alli vemos que el valor crítico de x2 es 33.196.La regla de decisión será
la siguiente:
Regla de Decisión: No rechazar la hipótesis nula six2>33 .196
De la formula [6.1] obtenemos:
x2=(25−1 ) (0.81 )
0.71=27.38
Figura 7-2: Control de calidad de las raquetas de tenis de Head
0.1
ଶݔଶݔ ൌ��͵ ͵ Ǥͳͻ
27.38
DNR0.9
Figura 7-3: Otras áreas de posible interés para Head
a)
29.553
f(ݔଶሻ
ଶݔ
.8 .8
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS20
b)
15.659
f(ݔଶሻ
ଶݔ
.9.1
Como 27.38 33.196, no se rechaza la hipótesis nula. No hay datos suficientes
para afirmar que la varianza de la longitud de raquetas supera el límite
especificado de 0.71 pulgadas al cuadrado y el director de fabricación puede
suponer que se cumplen las normas de producción.
Hay que señalar que la tabla únicamente da los valores del área comprendida por
la curva por encima del valor crítico de x2.El área sombreada de la Figura 7-2 por
encima dela valor critico de x2=33.1963 es el 10% del área total limitada por la
curva.
La Figura 7-3 muestra otras áreas de posible interés. Si gl=24, supongamos que
Had quisiera determinar el valor de x2por encima del cual se contraste el 20% del
área de la curva. La Figura 7-3 a) indica que es 29.553.Si buscáramos el valor
por encima del cual se sitúa el 90% del área(y, portanto, debajo del cual se halla
el 10%),bajaríamos por la primera columna, encabezada por el valor de 0.90.Alli
se encuentra el valor de 15.659.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS21
6.1.1 EJEMPLOS
Consuelo en la botella: un caso de control de calidad
Muchos productosenvasados se venden con la garantía de que el peso neto
medio es una cantidad determinada y con la garantía adicional de que la varianza
de dicho peso no supera un determinado limite.
Un artículo de reciente de business week sobre las estrategias de marketing se
refería a la campaña de Protect &Gamble para ampliar las ventas de muchos de
sus medicamentos de despacho sin receta, como Pepto-bismol y NyQuil. Gran
parte de su campaña se centró en “exigencias de cumplimiento” en relación con la
calidad del producto. Es muy probable que algunas de esas exigencias se
refiriesen al peso neto envasado.
Supongamos que P&G digiera a sus clientes que la varianza de los pesos de sus
frascos de Pepto -Bismol era inferior al 1.2 onzas al cuadrado y que usted, como
representante de marketing de P&G, eligiera 25 frascos y hallara una varianza de
1.7. Al 10% de significación, ¿cumple P&G la garantía de uniformidad de su
producto?
Solución: la afirmación “inferior a 1.2 onzas al cuadrado” se escribe σ 2<¿1.2
como no contiene el signo igual, se trata de la hipótesis alternativa. Las hipótesis
son:
H :σ2≥1.2
H :σ2<1.2
Como se trata de una prueba de cola a la izquierda con α = 0.10. Exige un valor
de ji cuadrado que separe el 10% del área a la izquierda de la curva. La tabla H
únicamente de las áreas por encima, es decir, a la derecha del valor de ji
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS
f(X2)
.10 DNR.90
15.65934
22
cuadrado. Por consiguiente, como se ve en la figura, encontraremos en la tabla H
el valor 0.90 (=1.0 – 0.10).
Si descendemos por la primera columna de la tabla H hasta g.l =25 – 1 =24 y
cruzamos hasta la columna encabezada por 0.90 localizaremos la ji -cuadrado
critica de 15.659.
REGLA DE DECISIÓN: No rechazar la hipótesis nula si X2 ¿15.659 rechazar la
hipótesis nula si X2¿15.659
Ji cuadrado se calcula así:
X2=(n−1)s2
σ2
(24 ) 1.71.2
= 34
INTERPRETACIÓN: Como34>15.659, no rechazaremos la hipótesis nula de
σ 2≥1.2
Los datos indican que la variabilidad de los pesos del producto no es inferior a la
máxima permitida.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS23
En la mayoría de los caso quienes toman las decisiones se preocupan cuando la
varianza de los estándares de producción es demasiado grande .los ejecutivos de
las raquetas de tenis head y de P&G no se distinguirán si la producción fuera tan
uniforme que las varianzas bajaran de las tolerancias permitidas. En cambio, es
motivo de preocupación que los controles de producción relajen y las variaciones
del producto se separen.
Pero sobre todo hay situaciones en que la desviación der la varianza por arriba o
pro abajo podría provocar algo de pánico. Se trata sobre todo delos casos de
gestión de existencias. Las empresas desean mantener las existencias de
materias primas dentro de un estrecho margen. Si son excesivas, las empresas
tendrán mucho capital invertido en materiales innecesarios y al contrario, un nivel
demasiado bajo significa que la producción pueda llegar a interrumpirse por falta
de existencias. Es decir, hay que evitar las fluctuaciones amplias de existencias
en uno u otro sentido. El ejemplo siguiente ilustra este problema.
6.1.2 EJEMPLOS
INMERSION EN AGUA CALIENTE
Hot Tubs fabrica jacuzzis y accesorios para ellos. El modelo supremo de jacuzzi
que produce Hot tubs, el Buns Warmer, está equipada con un televisor con
mando a distancia para los muy sibaritas. (bubbles) Bailey, propietario de hot
tubs, Inc., quiere mantener las existencias semanales de estos televisores
miniaturizados dentro dela varianza σ 2=75 unidades al cuadrado. Bubbles toma
una muestra de 30 semanas y halla s2=71. al nivel de ∝=10 %, ¿se cumple el
objetivo de Bubbles?
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS24
SOLUCION:
Como Bubbles quiere σ 2=75, se trata de una prueba bilateral. Las hipótesis son:
H 0 :σ2=75
H a :σ2≠75
En una prueba bilateral, en cada extremo se tendrá la mitad de valor de ∝ como
muestra la figura siguiente. Hay que hallar dos valores críticos de X2en la tabla H.
estos valores de ji – cuadrado tomados dela tabla limita el 5% del área
comprendido por la curva en cada extremo. El valor superior de X2deja a la
derecha el 5% del área limitada por la curva. Para hallarlo, descendemos por la
primera columna hasta g.l= n-1 =29 y por la línea hasta la columna encabezada
por 0.05. Allí se encuentra X2= 42.557. El valor inferior tiene que dejar el 5% del
área en extremo izquierdo y el 95% restante a la derecha. Como la tabla solo da
valores de áreas situadas a la derecha de X2, habremos de encontrar la entrada
que corresponde al 95%. Esta entrada, en la columna encabezada por 0.95, es
17.708.
42.55717.708
Región de
rechazo
Región de rechazo
.05.05DNR.90
95 %
27.453
f(ݔଶሻ
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS25
REGLA DE DECISION: No rechazar la hipótesis nula si 17.708<X2<42.557.
Rechazarla si X2<17.708 o X2>42.557
X2=(n−1)s2
σ2
¿(30−1)71
75
¿27.453
INTERPRETACION:La varianza no supera el nivel admisible. Bubbles puede
suponer que las existencias cumplen su objetivo.
6.2 Intervalo de confianza para la varianza de una población normal
Se rehace o no la hipótesis nula, antes de tomar una decisión es preciso fijar un intervalo de confianza para que sirva para estimar la varianza poblacional desconocida. El intervalo de confianza de una varianza poblacional se calcula por la fórmula:
(n−1 ) s2
X U2 <σ2<
(n−1)s2
X L2
Dónde: x2u es el valor superior de x2 tomado de la tabla
X2L es el valor inferior de X2 tomado de la tabla
En el ejemplo 12,2 Bubbles no rechazó Ho: =75 unidades al cuadrado – los datos
de la muestra sugerían que la varianza poblacional podría ser 75 - .Pero ello
representa una mera estimación puntual de σ 2 .Bubbles podría preferir una
estimación de intervalo de la varianza. Con los datos del ejemplo dicha estimación
seria
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS26
(30−1)(71)42.557
<σ2<(30−1)(71)
17.708
48.382<σ2<116.275
Bubbles puede confiar al 90% en que la varianza semanal de los niveles de
existencias de los televisores se sitúa en este intervalo. El 90% de todos los
intervalos de confianza construidos de esa manera contendrán la σ 2 real.
Para ilustrarlo mejor, supongamos que un fabricante de equipos deportivos mide
cada cierto tiempo la varianza de la longitud de sus palos de golf con objeto de
mantener su calidad. Una muestra de 20 palos indica una desviación típica de 4.1
mm. Para construir el intervalo del 95% para la varianza de la longitud de los
palos hay que repartir por igual el valor 0.05 de alfa entre las colas de la
distribución. Los valores correspondientes de ji cuadrado son X219,975= X2
19,025 =
32.852, como se muestra en la figura.
Con la formula calculamos:
(19)(4.1)2
32.852+
(19)(4.1)2
8.907
9.7<σ2<35.86
El fabricante puede confiar al 95% en que la varianza de la longitud del palo esta
entre 9.72 y 35.86mm. Con estos datos, tendrá que decidir si la varianza es
demasiado grande para permitir que el proceso de producción continúe sin
proceder a su ajuste.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS27
CONCLUSIONES
La Estadística es una ciencia con base matemática, es decir, que estudia cómo
debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones
prácticas que denotan incertidumbre, asimismo busca explicar condiciones
regulares en fenómenos de tipo aleatorio, ésta hoy en día ofrece al gerente una
gran variedad de herramientas analíticas en la toma de decisiones, como lo es la
Estadística No Paramétrica.
Las Pruebas No Paramétricas más utilizadas son las Pruebas de Chi Cuadrado
las cuales se aplican a través de Pruebas de hipótesis
.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS28
RECOMENDACIONES
En el mundo empresarial se vive en una constante incertidumbre, es por ello que
los gerentes deben utilizar la estadística como una herramienta que le permite
resolver problemas. En éstas existen una gran diversidad de datos y los gerentes
se ven a menudo obligados a tomar decisiones, por ello es recomendable que
utilicen sistemas de soportes de decisiones basados en modelos estadísticos,
como los son las Pruebas de Chi Cuadrado.
Hoy en día es importante darse cuenta que vivimos en una constante toma de
decisiones, en diferentes contextos como pueden ser familiar, laboral y
empresarial entre otros.
Esta prueba se caracteriza por tener un procedimiento sistemático que le
permitirá al gerente recolectar, analizar e interpretar inteligentemente los datos
relevantes en su toma de decisión, solucionar problemas en una diversidad de
contextos, agregar soporte a las decisiones, es decir, tomar decisiones de manera
objetiva y reducir el trabajo de adivinar, esto permitirá que los resultados objetivos
sean realistas con un margen de error mínimo, reduciendo así costos y el riesgo
que tendría al tomar una mala decisión.
FACULTAD DE CONTABILIDAD METODOS CUANTITATIVOS Mg. Elsa Lagos Quispe
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
CON VARIABLES CUANTITATIVAS29
BIBLIOGRAFIA
Webster, Allen L., Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía, Colombia,
2000, 640 págs.
Estadística Para Administración Y Economía, 7ma Edición – Richard I. Levi, David S.
Rubín, Ji cuadrado y análisis de la varianza .En: Estadística para Administración y
Economía, 7ma edición, capitulo 11, p 484-488.
Anderson David, SWEENEY, Denis. Williams Thomas. Muestreo y distribuciones
muéstrales.En: Estadística para Administración y Economía, 10a edición, capitulo 7,
p.270-288.