Post on 07-Apr-2018
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
1/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-1
TEMA: ANALISIS DE ACELERACIONES.
1- INTRODUCCION.
2- ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.
2.1- Polgono de aceleraciones: mtodo de las aceleraciones relativas.2.1.1- Aplicacin a mecanismos articulados.
2.1.2- Aplicacin a mecanismos con rganos deslizantes.
3- ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES.
3.1- Introduccin.
3.1.1- Mecanismo de tres eslabones.
3.1.2- Mecanismo de biela-manivela.
3.2- Planteamiento general.
3.3- Aceleracin de puntos del mecanismo.
3.3.1- Aceleracin de puntos de definicin del mecanismo: pares.
3.3.2- Aceleracin de puntos asociados a un eslabn.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
2/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-2
1-INTRODUCCION.
Una vez realizado el estudio de posicin y velocidad en mecanismos planos con un grado de
libertad, se realizar, en el presente tema, el anlisis de aceleraciones para el tipo de mecanismos
mencionado.
Al igual que en los temas anteriores, antes de realizar cualquier tipo de anlisis se supuso
conocido el valor de la variable primaria o posicin del eslabn de entrada o eslabn motor, as como
su variacin respecto al tiempo, se supondr en este tema que la aceleracin del eslabn de entrada es
tambin conocida y, por lo tanto, un dato de partida.
Por otra parte, tal y como se ha venido realizando en los temas anteriores, se abordar el estudio
de aceleraciones en los mecanismos mediante herramientas grficas por una parte, y basadas en el
clculo numrico por otra.
Todas las consideraciones hechas hasta el momento sobre la conveniencia, o no, de la
utilizacin de uno u otro mtodo siguen siendo completamente vlidas en el tema que a continuacin
se va a desarrollar.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
3/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-3
2-ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.
Como se coment en el tema anterior, los mtodos grficos empleados en el anlisis cinemtico
de mecanismos estn fundamentados en las relaciones geomtricas existentes entre las diferentes
magnitudes mecnicas. Por este motivo, y an a riesgo de parecer redundante, se vuelve a insistir en la
necesidad de que el alumno haya asumido debidamente los conceptos bsicos de la cinemtica para,
as, poder hacer un uso coherente en su aplicacin al estudio de mecanismos.
Hecho este pequeo inciso, se desarrollarn a continuacin las bases necesarias para proceder al
estudio de aceleraciones en mecanismos mediante la aplicacin de mtodos grficos.
2.1-Polgono de aceleraciones: mtodo de las aceleraciones relativas.
El mtodo grfico de las aceleraciones relativas, guarda una gran similitud con el de las
velocidades relativas, pues en los dos se trata de realizar grficamente una suma vectorial.
En la figura 1 se muestra un eslabn genrico sobre el que, se supone, se ha realizado un anlisis
de velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de los puntos A yB y la velocidad relativarvBA , con lo que la velocidad angular del eslabn quedar determinada por:
AB
vBA=
na
a
a
aO
A
BA
t
A
BA
t
bA
aB
aBA
aBA
naBA
B
a
Fig-1. Polgono de aceleraciones de un eslabn genrico.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
4/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-4
Por otra parte, se conoce la aceleracin angular del eslabn, , as como la aceleracin del punto
A. Para calcular la aceleracin del punto B por medio del mtodo de las aceleraciones relativas, se
plantear la igualdad vectorial:r r ra a a B BA= +
y, puesto que la aceleracin relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes tangencial y
normal:
r r ra a a BA BA
n
BA
t= +
Donde:
ra ABBA
n=
2siendo su direccin la de la rectaAB y su sentido deB aA.
ra ABBA
t= con direccin perpendicular a la rectaAB y su sentido el indicado por la
aceleracin angular.
Luego el problema del clculo de la aceleracin del punto B quedar resuelto segn se muestra
en la figura 1.
Ms habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuacin se presenta, en el que no se
conoce la aceleracin angular del eslabn, pero s la direccin de la aceleracin del punto B. Para
calcular esta aceleracin, as como la aceleracin angular del eslabn, se proceder como a
continuacin se indica, presentndose el resultado grfico en la figura 2.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
5/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-5
a
a
a
o A
tB
BA
n
Direccin normal a AB
Direccin de la
aceleracin de B
Direccin de AB
BA
a
a
b
Fig-2. Polgono de aceleraciones del eslabnAB.
Una vez planteada la ecuacin de aceleraciones relativas utilizada anteriormente:
r r ra a a B BA= +
el procedimiento a seguir es el siguiente:
a) Se elige un polo de aceleraciones O y se traza a escala el vectorraA , obtenindose el
punto a.
b) Se calcula la aceleracinraBA
n.
c) Por el extremo dera se dibuja el vector
raBA
n.
d) Por el extremo deraBA
nse traza un recta perpendicular a este vector. La direccin de
esta recta coincidir con la de la aceleracin tangencial relativaraBA
t.
e) Por el polo de aceleraciones se dibuja una lnea paralela a la direccin, conocida, de la
aceleracin del puntoB.
f) Al tenerse que cumplir la relacin expresada anteriormente de suma de aceleraciones,
el punto donde se cruzan las dos ltimas rectas determina el punto b, con lo que queda
calculada la magnitud, la direccin y el sentido de la aceleracinraB
Por otra parte, si se desea calcular la aceleracin angular del eslabn, puesto que:
ra ABBAt =
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
6/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-6
se tiene directamente que:
=
ra
AB
BA
t
2.1.1-Aplicacin a mecanismos articulados.
A modo de ejemplo se aplicar el mtodo descrito al mecanismo de cuatro eslabones mostrado
en la figura 3. Como es habitual, antes de comenzar el anlisis de aceleraciones se supondr resuelto el
problema de velocidades; de igual forma, la aceleracin angular del eslabn motor (el eslabn 2 en el
caso propuesto) deber ser conocida.
La aceleracin del punto A puede ser de inmediato conocida a travs de sus componentesnormal y tangencial:
r
r
a O A
a O A
A
n
A
t
=
=
2
2
2
2 2
Por otra parte, como es sabido:r r ra a a BA BA
n
BA
t= +
de donde descomponiendo las aceleraciones del punto B y la relativa del punto B respecto del A, se
obtiene: r r r r ra a a a aB
n
B
t
A BA
n
BA
t+ = + +
Ambas aceleraciones normales pueden ser calculadas, ya que:
r
r
a O B
a BA
B
n
BA
n
=
=
4
2
4
3
2
siendo la direccin de la aceleracin normal del punto B la de la recta O4B y su sentido de O4 a B,
mientras que la direccin de la componente normal de la aceleracin relativa es la de la rectaAB y su
sentido desdeB haciaA.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
7/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-7
2
3
4A
B
00C
2
4
o
a
b
a
n
A
anA
atA
aA
anB
atB
aB
anBA
atBA
Fig-3. Anlisis de aceleraciones del mecanismo de cuatro eslabones.
Por otra parte las direcciones de las aceleraciones tangenciales incgnita son tambin conocidas:
- La direccin deraB
tes perpendicular a O4B.
- La direccin deraBA
tes perpendicular aBA.
Por lo tanto, operando como a continuacin se indica se obtendr la aceleracin del puntoB:
a) Se elige una escala de aceleraciones, el polo y se trazara .
b) Por el extremo dera se dibuja
raBA
n.
c) Por el extremo deraBA
nse dibuja una perpendicular a la direccinBA.
d) Con origen en el polo se dibuja el vectorraB
ny por su extremo una perpendicular a la
direccin O4B.
e) Donde se cruzan las perpendiculares trazadas a BA y a O4B se obtiene el punto b y, por
tanto, la aceleracin del puntoB.
Una vez conocidas las aceleraciones tangenciales, pueden ser calculadas las aceleraciones
angulares de los eslabones 3 y 4, puesto que:
rr
rr
a BAa
BA
a O Ba
O B
BA
t BA
t
B
t B
t
= =
= =
3 3
4 4 4
4
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
8/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-8
En el caso de que se quiera calcular la aceleracin de otro punto del eslabn (por ejemplo el
punto C del eslabn flotante 3 del mecanismo de la figura 3), al estar previamente calculada la
aceleracin angular de dicho eslabn aplicando el mtodo de las velocidades relativas, se tendr:
r r ra a aC A CA= +
Puesto que la aceleracin del punto A es conocida, slo falta por determinar la relativa;
descomponiendo esta en tangencial y normal:
r r ra a aCA CA
n
CA
t= +
Siendo el valor de dichas componentes conocido al haberse calculado previamente 3 y 3:
r
r
a CA
a CA
CA
t
CA
n
=
=
3
3
2
2.1.2- Aplicacin a mecanismos con rganos deslizantes.
Cuando se trata de determinar la aceleracin de un punto perteneciente a un eslabn que se
desliza sobre otro eslabn que a su vez posee un movimiento determinado, aparece un problema de
movimiento compuesto del punto, cuya solucin mediante la aplicacin de mtodos grficos ser
tratada en el presente apartado.
Un caso tpico en el que se presenta este tipo de movimiento es el mecanismo de cruz de Malta
mostrado en la figura 4.
Fig-4. Mecanismo de cruz de Malta
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
9/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-9
Este mecanismo consta de una manivela con un tetn en el extremo que se desliza por las
ranuras del eslabn en forma de cruz, al que comunica un movimiento rotativo intermitente.
En la figura 5 se muestra la representacin esquemtica del mecanismo (como se ve no es otro
que el mecanismo de tres eslabones) junto con la solucin grfica al problema de clculo de
aceleraciones, cuya construccin a continuacin se explica.
O2 A
O
O
O
2
3
4
4
a4
a2
V
V
V
A2
A2/4
A4
acor
taA2/4
aA2
taA2
naA2
aA4
naA4
taA4
Direccin del movimiento relativo
del punto A2 sobre el eslabn 4a4
a2
Direccin perpendic4
2 2
Fig-5. Solucin al problema de aceleraciones en el mecanismo de cruz de Malta.
Como en los casos anteriores se supondr resuelto el problema de velocidades y conocida la
aceleracin angular del eslabn motor, el nmero 2 en este caso.
Puesto que son conocidos tanto 2 como 2, se podr calcular de forma inmediata la
aceleracin del puntoA del eslabn 2.
r r ra a aA An t2 2 2= +
Siendo:r
r
a A O
a A O
A
n
A
t
2 2
2
2 2
2 2 2 2
=
=
Por otra parte, teniendo en cuenta que el punto A2 se desplaza segn la direccinA4O4, que a su
vez tiene un movimiento de rotacin respecto al centro O4:
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
10/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-10
r r r ra a a a A A cor 2 4 2 4= + +/
ra 4 es la aceleracin de arrastre, esto es, la aceleracin de un punto perteneciente al eslabn 4
que, en el instante considerado, su posicin es coincidente con el punto A del eslabn 2. Luego su
valor ser:
r r ra a aA A
n t
4 4 4= +
Puesto que, como se coment con anterioridad, se supone resuelto el problema de velocidades,
la velocidad angular del eslabn 4 ser conocida y, por tanto, la aceleracin normal del puntoA4:
r
a A OAn
4 4
2
4 4=
en cuanto a la aceleracin tangencial del punto A4, slo ser conocida su direccin: perpendicular a la
de la aceleracin normal.
Por otra parte, el trminoraA2 4/ es la aceleracin del punto A2 tal y como la percibe un
observador situado en el eslabn 4, es decir la aceleracin relativa del punto respecto a un supuesto
sistema de referencia unido de forma invariable a dicho eslabn. Para este observador, la aceleracin
del punto A2 slo tendr componente tangencial, puesto que la trayectoria desde su referencia esrectilnea por lo que esta componente ser paralela a la direccinA4O4.
Por ltimo, el trminoracor representa la aceleracin de Coriolis cuyo valor es:
r r ra vcor A= 2 4 2 4 /
donder
4 es la velocidad del eslabn 4 (velocidad de rotacin del sistema de referencia mvil) yrvA2 4/
la velocidad relativa del puntoA del eslabn 2 tal y como la ve un observador situado en el eslabn 4;
por tanto, se puede calcular el mdulo de la aceleracin de Coriolis mediante:
ra vcor A= 2 4 2 4 /
siendo su direccin perpendicular a la de la velocidad relativa y su sentido el obtenido al aplicar la
regla de Maxwell en el producto vectorial (como regla nemotcnica, para mecanismos planos, la
direccin y sentido deracor ser de la
rvA2 4/ girada 90 en el sentido de
r4).
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
11/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-11
En la figura 5 se ha representado la construccin grfica del polgono de aceleraciones; para su
realizacin se deben seguir los siguientes pasos:
a) Se representa, a la escala elegida,raA2 desde un polo de aceleraciones O.
b) Por el mismo polo se traza la componente normal de la aceleracinra 4 y por su extremo una
recta perpendicular ara n4 , cuya direccin es la de
ra t4 .
c) Por el extremo dera 2 se dibuja el vector que representa la aceleracin de Coriolis, de forma
que su extremo coincida con el dera 2 .
d) Por el origen deracor se traza una lnea cuya direccin ser la de la aceleracin tangencial
relativa.
e) Donde se cruzan las rectas trazadas por los extremos de los vectores que representan aracor y
a
r
aAn
4 , se obtiene el punto que es el extremo del vector
r
a 4 .
Como en los casos anteriores, una vez conocido el valor de la aceleracin tangencial de alguno
de los punto pertenecientes al eslabn 4, su aceleracin angular ser calculada por medio de:
44
4 4
=
ra
A O
A
t
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
12/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-12
3-ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES
3.1-Introduccin.
Se volvern a utilizar en este punto los ejemplos que sirvieron a modo de introduccin en el
anlisis de posiciones y velocidades para realizar posteriormente el estudio de aceleraciones en
mecanismos por medio de mtodos numricos.
3.1.1-Mecanismo de tres eslabones,
En al figura 6 se muestra el mecanismo de tres eslabones del que se realiz el estudio de
posiciones y velocidades en temas pasados.
L L
Lq
1 2
3
2
Fig-6. Mecanismo de tres eslabones.
Cuando se plantearon las componentes de la ecuacin vectorial de bucle cerrado, se obtuvo:
f L q L L
f L q L
1 1 2 2 3
2 1 2 2
0
0 0
= + =
= + + =
cos cos
sen sen
derivando estas funciones respecto al tiempo y operando se lleg a:
[ ]
=
q
fJ
q
ii
1
&
&
que sustituyendo los valores para el caso en estudio quedar:
=
=
qL
senqL
Lsen
senL
q
fq
f
f
L
f
f
L
f
q
q
L
coscos
cos
1
1
1
222
222
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
&
&
&
&
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
13/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-13
y operando, se lleg finalmente a obtener las expresiones de los coeficientes de velocidad:
=
qLsenqL
sensenLL
L
q
q
L
coscoscos1
1
1
22
2222
12
2
&
&&
&
( )
( )
=
=
qL
L
qsenL
q
q
L
K
KL
2
2
1
21
2
2
cos2
2
&
&
&
&
Para realizar el clculo de las aceleraciones se supondrn conocidos los resultados anteriores
(posicin y velocidades), y se dar a este anlisis dos enfoques diferentes:
Inicialmente, en un primer enfoque, derivando dos veces respecto al tiempo las ecuaciones de
posicin quedar:
0cosLsenLcosqqLdt
df
0senLcosLsenqqLdt
df
2222212
2222211
=++=
=+=
&&&
&&&
0cosLsenLsenLsenLcosLcosqqLsenqqLdt
df2
2
2222222222222
2
112
2
1 =+= &&&&&&&&&&&&
0senLcosLcosLcosLsenLsenqqLcosqqLdt
df2
2
2222222222222
2
112
2
2 =++++= &&&&&&&&&&&&
agrupando trminos y expresando las anteriores ecuaciones en forma matricial:
++
=
2
2
22222222
2
11
2
2
22222222
2
11
2
2
222
222
senLcosLcosLsenqqLcosqqL
cosLsenLsenLcosqqLsenqqL
L
cosLsen
senLcos
&&&&&&&&
&&&&&&&&
&&
&&
ecuaciones que representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas 22 ,&&&&L , siempre
y cuando se conozcan con anterioridad los valores de las variables de posicin (primarias y
secundarias) y sus variaciones con el tiempo, esto es sus velocidades.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
14/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-14
Una vez solucionado el sistema planteando, quedar:
( ) ( )
( ) ( )
+=
+=
qsenL
L
L
KK2qqcos
L
Lq
qcosLLKqqsenLqL
2
2
1
2
2
2
2
12
212
2
212
22
2
&&&&&
&&&&&
Donde se observa que la aceleracin se compone de dos trminos: uno proporcional a &&q y otro a
&q2 .
Como puede verse, a travs de est primer enfoque, se consiguen las expresiones de las
aceleraciones (derivadas segundas respecto al tiempo de las variables secundarias) de forma bastante
engorrosa. Se aplicar ahora un segundo enfoque.
Cuando se calcularon los coeficientes de velocidades se obtuvo:
( )
( )qKq
qKqL L
2
2
2
2
=
=
&&
&&
Donde ambos coeficientes son funcin de la variable primaria q.
Derivando respecto al tiempo, teniendo en cuenta que KL2 y K2 son funciones de q y
aplicando de forma correcta la regla de la cadena:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
+=
+=
+=
+=
dq
qdKqqKq
dq
qdKqqKqL
dt
dq
dq
qdKqqKq
dt
dq
dq
qdKqqKqL
L
L
L
L
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&&
que puede expresarse como:&& && &
&& && &
L q K q L
q K q L
L L2
2
2
2
2 2
2 2
= +
= +
Siendo LdK
dqL
dK
dqL
L
2
2
2
2= =y
los denominados coeficientes derivativos de la velocidad.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
15/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-15
3.1.2- Mecanismo de biela-manivela.
En la figura 7 se muestra el mecanismo de biela-manivela indicndose el bucle vectorial cerrado
que fue utilizado en los temas de posicin y velocidad para su anlisis.
q L
2
3
L L1
3
2
Fig-7. Mecanismo de biela-manivela.
Se propone como ejercicio para el alumno el desarrollo del clculo de aceleraciones siguiendo el
primero de los mtodos indicados en el apartado anterior a partir de las derivaciones sucesivas
respecto al tiempo de las ecuaciones componentes de la ecuacin vectorial de bucle cerrado:
f L q L L
f L q L L
1 1 2 2 3 3
2 1 2 2 3 3
0
0
= + + =
= + + =
cos cos cos
sen sen sen
Un anlisis ms exhaustivo del mtodo utilizado en el segundo enfoque, se realizar a
continuacin en el estudio del problema general del clculo de aceleraciones de mecanismos por
medio de mtodos numricos.
3.2-Planteamiento general.
Cuando, en el tema pasado, se expuso el planteamiento general para el clculo de velocidades,
se obtuvo:
( )
( )( )
( ) 0,,,,
0,,,,
0,,,,
0,,,,
21
213
212
211
=
=
=
=
nn
n
n
n
qf
qf
qf
qf
L
M
L
L
L
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
16/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-16
y derivando:
02
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
=
+
dt
d
dtd
dt
d
fff
fff
fff
dt
dq
q
f
qf
q
f
n
n
nnn
n
n
n
M
L
OMM
L
L
M
de donde se obtuvo:
[ ][ ]
=
=
q
fK
f
q
fq
f i
j
ii
ij
i
i
&&
&
Una vez resuelto el sistema en los Ki, para el clculo de las velocidades:
& &i q K i=
Derivando esta expresin respecto del tiempo, teniendo en cuenta que los coeficientes de
velocidad son funcin de la variable primaria q:
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ] [ ]ii
i
i
i
i
LqKq
dq
KdqKq
dt
dq
dq
KdqK
dt
qd
i
i
i
+=
+=
+=
2
2
&&&&&
&&&&&
&&
&&
Para realizar la derivada de Ki
es necesario conocer los valores de las componentes de la
matriz de coeficientes de velocidad en forma funcional, esto es, su expresin algebraica; pero en la
mayora de los casos puede resultar demasiado engorroso, por lo tanto se presenta el siguiente mtodo,
vlido en el caso de que Ki
se conozca numricamente (es decir sus valores para la posicin
analizada del mecanismo):
Como se ha visto:
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
17/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-17
[ ]
=
q
fK
f i
j
i
i
puesto que
j
if
es la matriz jacobiana:
[ ] [ ]
=
q
fKJ i
i
derivando esta ecuacin respecto a la variable primaria q:
[ ] [ ] [ ] [ ]
=+q
f
dq
d
dq
KdJK
dq
Jd iii
de donde:
[ ][ ] [ ]
=
q
f
dq
dK
dq
Jd
dq
KdJ i
i
i
y por ltimo para calcular la matriz de los coeficientes derivativos de las velocidades: Ld K
dqii
= .
[ ] [ ] [ ] [ ]
+==
q
f
dq
dK
dq
JdJ
dq
KdL i
i
i
i
1
3.3-Aceleracin de puntos del mecanismo.
Se seguir aqu el mismo proceso para el clculo de las aceleraciones que el utilizado en el
clculo de posiciones y velocidades de puntos del mecanismo; por tanto se comenzar por el estudio
de las aceleraciones de aquellos puntos que definen el mecanismo para continuar con puntos
cualesquiera asociados a un eslabn genrico.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
18/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-18
3.3.1-Aceleracin de puntos de definicin del mecanismo: pares.
En la figura 8 se muestra parte de un mecanismo genrico para el cual se deben calcular las
aceleraciones de los puntos B y C, punto que representan los pares por medio de los cuales los
eslabones se unen entre si. Se supondrn ya conocidos los valores de las variables secundarias, as
como sus derivadas primera y segunda respecto al tiempo (velocidades y aceleraciones de dichas
variables).
B
C
A r
r
r
L2
2
1
B c
A
L1
Fig-8. Clculo de las aceleraciones de los pares.
La posicin del puntoB viene dada por:
r r rr r LB A= + 1
o expresado en forma matricial:
+
=
11
11
cos
senL
L
y
x
y
x
A
A
B
B
Derivando las expresiones de las coordenadas del punto B respecto al tiempo dos veces, se
obtendr la aceleracin de dicho punto.
Con la primera derivacin:
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
19/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-19
=
11
11
1cos
L
senL
y
x
B
B&
&
&
y derivando de nuevo:
+
=
=
11
112
1
11
11
1
cos
cos
senL
L
L
senL
y
x
a
a
B
B
By
Bx&&&
&&
&&
Como se puede observar, la aceleracin del punto B se compone de dos trminos que no son
sino la aceleracin tangencial, el primero de ellos, y la aceleracin normal.
Para el punto C, se tiene que su posicin viene dada por:
r r r rr r L LC = + +1 2
que de forma matricial quedar:
+
++
=
2211
2211 coscos
senLsenL
LL
y
x
y
x
A
A
C
C
Operando como se hizo para el puntoB:
=
2
1
2211
2211
coscos
&
&
&
&
LL
senLsenL
y
x
C
C
y derivando de nuevo:
+
=
=
2
2
2
1
2211
2211
2
1
2211
2211 coscos
coscos
&
&
&&
&&
&&
&&
senLsenL
LL
LL
senLsenL
y
x
a
a
C
C
Cy
Cx
3.3.2-Aceleracin de puntos asociados a un eslabn.
En la figura 9 se muestra un eslabn genrico de un mecanismo. Este se une al eslabn anterior
por medio del parA y al siguiente por medio del B. En este caso se deber calcular la aceleracin del
puntoPde coordenadas (up,vp) referidas a los ejes U-Vasociados al eslabn.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
20/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-20
y
x
x x
y
y
A
P
vu
i
iuvp p
A p
A
p B
Fig-9. Aceleracin de puntos asociados a un eslabn.
Cuando se realiz el clculo de la posicin del puntoPse obtuvo:
+
=
P
P
ii
ii
A
A
P
P
v
u
sen
sen
y
x
y
x
cos
cos
Derivando respecto al tiempo se consigui la expresin de la velocidad del punto en estudio:
+
=
P
P
ii
ii
i
A
A
P
P
v
u
sen
sen
y
x
y
x
cos
cos&
&
&
&
&
volviendo a derivar respecto al tiempo se conseguir la expresin para el clculo de la aceleracin del
puntoP:
+
+
=
P
P
ii
ii
i
P
P
ii
ii
i
A
A
P
P
v
u
sen
sen
v
u
sen
sen
y
x
y
x
cos
cos
cos
cos2&&&
&&
&&
&&
&&
El primer trmino es la aceleracin del punto A, mientras que los otros dos representan las
componentes tangencial y normal de la aceleracin del punto P respecto al punto A, de forma que
como deba esperarse se cumple la relacin:
( )PAPAAP rraa ++= rrrrr
que es la expresin general de la aceleracin de un punto cualquiera perteneciente a un eslabn.
8/3/2019 Analisis de Aceleraciones
21/21
MECANISMOS Anlisis de aceleraciones.
Anlisis de aceleraciones. Pag-21
BIBLIOGRAFIA:
Ttulo: TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS.
Autor: Joseph E. Shigley.
Editorial: McGraw-Hill.
Ttulo: MECHANICS OF MACHINES.
Autor: Samuel Doughty.
Editorial: John Wiley & Sons.
Ttulo: MECANICA DE MAQUINAS.
Autor: Ham, Crame, Rogers.
Editorial: McGraw-Hill.
Ttulo: CINEMATICA Y DINAMICA DE MAQUINAS.
Autor: A. de Lamadrid.
Editorial: Seccin de Publicaciones ETSII de Madrid.