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Universidad Tecnológica de Puebla
Análisis de circuitos II
Manual de asignatura
Carrera
Electricidad y Electrónica Industrial
Programa 2004
M en C. Marco A Sobrevilla González
Carrera de Electricidad y Electrónica Industrial Análisis de circuitos II
Elaboró: M en C. Marco A Sobrevilla González Página 2
Créditos
Elaboró: M en C. Marco A Sobrevilla González Colaboradores: Revisó: Ing. Marcos Espinosa Martínez ) Revisión ortográfica, formato y estilo: Lic. José Luis Catzalco León
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Medidas de seguridad
El técnico electrónico trabaja con electricidad, dispositivos electrónicos, motores y otras
máquinas rotatorias. Tiene que usar frecuentemente herramientas de mano y mecánicas para
construir los prototipos de nuevos dispositivos a realizar experimentos. Utiliza instrumentos de
prueba para medir las características eléctricas de los componentes, dispositivos y sistemas
electrónicos.
Estas tareas son interesantes e instructivas, pero pueden presentar ciertos riesgos si se
efectúan descuidadamente. Por consiguiente es esencial que el estudiante aprenda los
principios de seguridad en cuanto comienza su carrera y que practique estos ejercicios en toda
su actividad subsiguiente de trabajo.
La realización del trabajo en condiciones de seguridad requiere seguir deliberadamente
un procedimiento apropiado para cada labor. Antes de emprender una tarea, el técnico debe
tener perfecto conocimiento de lo que tiene que hacer y de cómo ha de hacerlo. Debe planear
su labor, colocar en el banco de trabajo limpiamente y de manera ordenada las herramientas,
equipo e instrumentos que ha de necesitar. Debe quitar todos los objetos extraños y apartar los
cables todo lo posible de manera segura.
Cuando trabaje en máquinas rotatorias o cerca de ellas debe tener bien sujeto y
abrochado su traje de trabajo, de modo que no pueda ser enganchada ninguna parte de él.
Las tensiones de línea (de energía) deben ser aisladas de tierra por medio de un
transformador de separación o de aislamiento. Las tensiones de línea de energía pueden matar,
por lo que no deben ponerse en contacto con ellas las manos ni el cuerpo. Se deben comprobar
los cables o cordones de línea antes de hacer uso de ellos, y si su aislamiento está roto o
agrietado no se deben emplear estos cables. El alumno debe evitar el contacto directo con
cualquier fuente de tensión. Medir las tensiones con una mano en el bolsillo. Usar zapatos con
suela de goma o una alfombra de goma cuando se trabaja en el banco de experimentación.
Cerciorarse de que las manos están secas y que no se está de pie sobre un suelo húmedo
cuando se efectúan pruebas y mediciones en un circuito activo, o sea conectado a una fuente
de tensión. Desconectar ésta antes de conectar los instrumentos de prueba en un circuito
activo.
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Utilizar enchufes o clavijas de seguridad en los cables de línea de las herramientas
mecanizadas y equipos no aislados (clavijas con tres patas polarizadas). No anular la propiedad
de seguridad de estas clavijas utilizando adaptadores no conectados a tierra. No invalidar
ningún dispositivo de seguridad, tal como un fusible o un disyuntor, cortocircuitándolo o
empleando un fusible de más amperaje del especificado por el fabricante. Los dispositivos de
seguridad están destinados a protegerle a usted y a su equipo.
UN COMPORTAMIENTO JUICIOSO Y CON SENTIDO COMÚN EN EL LABORATORIO
SERÁ GARANTÍA DE SEGURIDAD Y HARÁ SU TRABAJO INTERESANTE Y FRUCTÍFERO.
PRIMEROS AUXILIOS.
Si ocurre un accidente, desconecte inmediatamente la red o línea de energía.
Comunique inmediatamente el accidente a su instructor.
Una persona accidentada debe permanecer acostada hasta que llegue el médico, y bien
arropado para evitar la conmoción. No intentar darle agua ni otros líquidos si está inconsciente y
asegurarse de que nada pueda causarle aún más daño. Se le cuidará solícitamente
manteniéndola en postura cómoda hasta que llegue el médico.
RESPIRACIÓN ARTIFICIAL.
Una conmoción eléctrica fuerte puede causar un paro respiratorio. Hay que estar
preparado para practicar la respiración artificial inmediatamente, si esto ocurre. Se recomiendan
dos técnicas:
1. Respiración de boca a boca, que se considera la más eficaz.
2. Método de Schaeffer.
Estas instrucciones no están destinadas a desanimarle, sino a advertirle de los riesgos que se
pueden presentar en el trabajo de un técnico electrónico.
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Índice
Créditos ..................................................................................................................................... 2 Medidas de Seguridad ............................................................................................................ 3 Índice ........................................................................................................................................ 5 Capítulo 1 TOPOLOGIA DE REDES. 1.1. Árboles y Análisis de Nodos Generalizados ...................................................................... 7 1.2. Eslabones y Análisis de Lazos ........................................................................................... 9 1.3. Dualidad ............................................................................................................................ 16 1.4. Construcción Gráfica de redes duales ............................................................................. 17 Capítulo 2 CONCEPTO DE FASOR 2.1. Números complejos .......................................................................................................... 19 2.2. Conversiones .................................................................................................................... 21 2.3. Relaciones Fasoriales para R.L.C.................................................................................... 22 2.4. Impedancia y Admitancia.................................................................................................. 25 Capítulo 3 POTENCIA MEDIA Y VALORES (RMS) RAÍZ CUADRÁTICA M. 3.1. Potencia Activa ................................................................................................................. 34 3.2. Potencia Aparente ............................................................................................................ 34 3.3. Potencia Reactiva ............................................................................................................. 34 3.4. Triángulo de Potencias .................................................................................................... 34 3.5. Potencia Compleja ............................................................................................................ 35 3.6. Corrección del factor de Potencia..................................................................................... 37 Capítulo 4 CIRCUITOS POLIFÁSICOS BALANCEADOS. 4.1. Generación de voltajes Polifásicos................................................................................... 52 4.2. Sistemas Bifásicos y Tetrafásicos .................................................................................... 54 4.3. Sistemas Trifásicos Cuatrifilares de 1 Ems generadas.................................................... 55 4.4. Conexión en Delta............................................................................................................. 56 4.5. Cargas en estrella y Delta balanceados........................................................................... 56
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Capítulo 5 CÁLCULO DE POTENCIA EN SISTEMAS BALANCEADOS 5.1. Calculo de potencia en ., ΦΦ− VASenVACosVA ............................................................. 58 5.2. Cargas Trifásicas balanceadas en paralelo ..................................................................... 59 5.3. Potencia Monofásica y Trifásica balanceadas ................................................................. 59 5.4. Sistemas Trifásicos de cuatro Hros.................................................................................. 59 Capítulo 6 CIRCUITOS POLIFÁSICOS NO BALANCEADOS. 6.1. Cargas en delta y en estrella no balanceadas ................................................................. 60 6.2. Cargas conectadas en delta y en estrella. ....................................................................... 67 Capítulo 7 CIRCUITOS DE POTENCIA POLIFÁSICA NO BALANCEADA. 7.1. Método de los 3 vatímetros para medición de potencia. ................................................. 69 7.2. ΦVASen y Factor de potencia.......................................................................................... 69 7.3. Medición de ΦVACos , ΦVASen ,VA en sistemas de CA. ............................................... 70 Bibliografía ............................................................................................................................. 74
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Capítulo 1 Topología de las Redes
1.1. ÁRBOLES Y ANÁLISIS DE NODOS GENERALIZADOS. Ciertos aspectos del comportamiento de la red se ponen mejor de relieve si se considera
la red como una grafica. Para construir esta grafica reemplazamos cada rama de la red por una
línea sin tener en cuenta los cimientos del circuito que constituyen esta rama. Ejemplo: Fig. 1 a)
b) Es una representación grafica de las ramas desconocidas de a).
Como se ve en la figura "b” la red tiene 4 nodos, 6 ramas, 2 mallas interiores y 10 mallas
exteriores.
Una solución de la red basada en la corriente de espira o la corriente de malla requiere
el empleo del número correcto de ecuaciones independientes de voltaje, si esta basada en
voltajes de pares de nodos, la solución requiere que se formulen el número correcto de
ecuaciones independientes de corriente.
Ciertos aspectos generales del problema o de los problemas pueden ser resueltos
mediante el ojo de un árbol topológico.
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Árbol: Es un conjunto de ramas, dispuestas del tal forma que a cada nodo esta
conectado cuando menos una rama, el conjunto no debe contener trayectorias cerradas y
puede encontrase un paso único que unan 2 nodos cualesquiera de la grafica a la cual es
aplicable el árbol.
En la figura siguiente se representas cuatro graficas de extremos abiertos, basados en la
figura 1b. 4 triángulos dibujados.
a), b), c), d). Cuatro árboles topológicos correspondientes a la red de la fig. 1b.
Para formar un árbol es necesario abrirse ciertas ramas, las ramas reciben el nombre de
eslabones.
De la figura 2a) tenemos las ramas: a-b, b-c, a-c. De la figura 2b) son: a-b, a-d, d-c. Es
obvio que los eslabones y las tres ramas se combinan para formar la grafica de toda la red. La
identificación de las corrientes de eslabón con las corrientes de espiras o mallas llevan
directamente a las corrientes mensurables de espira.
Una vez que se ha formado una árbol topológico bajo una red en particular, la
determinación de corrientes independientes resulta un procedimiento automático simplemente
ciérrese un eslabón, como por ejemplo el eslabón a-b de la figura 2a) y utilice la espira o malla
así formada como trayecto de la corriente de espira No. 1, en este caso nos quedara la
corriente de la espira es igual a la corriente del eslabón. ....1 abdaIIIeslabonIespira === .
Ábrase a continuación este eslabón (a-b) y cierre otro para establecer la trayectoria (c-d)
de una segunda corriente de la espira y repítase el procedimiento hasta que cada corriente del
eslabón haya sido identificada con una corriente de espira.
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.
.
3
2
cdac
cbdc
IIIeslabonIespiraIIIeslabonIespira
======
1.2. ESLABONES Y ANÁLISIS DE LAZOS “Concepto sobre redes”.
..
..
.
TRSST
TRSRS
RSTS
RSSI
T
IEVIV
VVEVEV
adelabaterialdesalidaVoltajeTotV
−=∴=
+=−=
=
RI 2 Es la potencia calorífica desarrollada internamente y como tal es aprovechable para su
distribución a toda la red.
.
.)(.
..
2STTRS
STSRS
RSTRS
RSST
T
RIIP
IRIEVRIV
VEVIVP
−=
−==
−==
Nota: P es la división de tensión y de corriente.
“Variables de la red”.
En una red que consiste en “b” ramas de un número infinito de ramas hay en general
2”b” incógnitas, b corrientes de rama desconocidas representadas por bI , b voltajes de las
ramas desconocidas y se representan por bV . Sin embargo existe una relación directa entre
cada corriente de rama y su correspondiente voltaje, cuando las ramas son resistivas
tendremos que el voltaje de la rama b:
.tan..Re.ciaConducDondeGVGI
sistenciaDondeRIRV
BBBB
BBBB
====
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.22
TRVR
V =
.*
21
12 RR
RII T
+=
.*
21
21 RR
RII T
+=
Los métodos sistemáticos de análisis de redes emplean generalmente en combinaciones
lineales de corriente o de voltaje de una rama más bien que las cantidades mismas, porque así
pueden formularse el reducido número de ecuaciones. Las variables de la red que están en
relación lineal son las corrientes y voltajes de la rama; se llaman corrientes de espira y voltajes
de pares de nodos.
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.
....
.
36
25
324
313
312
11
IIII
IIIIIIIII
II
B
B
B
B
B
B
==
−=−=−=
=
.0)(:3.0)()()(:2
.25)(:1
3232654
322131432
3311621
=+−−=+−=−−−−−=−−
=−−−=−−
IIIIIIINodoIIIIIIIIINodo
IIIIIIINodo
BBB
BBB
BBB
Nota: Las corrientes hechas están mal.
Encontrar .2I Por cualquier método:
Usando mallas:
.02416.04312.
326
123
312
231
=−−=−−
=−−
IIIIII
EIII S
.01642.04123
236
3121
3211
321
=+−−=−+−
=−−
IIIIIIEIII S
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.10539.081686)2412(1
0420123136
.06862.081656)848(1
1602403216
.2156.0816176)16192(1
16404120231
.816241201056
)12(2)40(3)176(6)2412(2)848(3)16192(61642
4123236
3
2
1
AI
AI
AI
==+=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=
==−−−=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
==−=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
=+−=
−−−+⇒−−−−+−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=∆
*Supóngase que se desea encontrar la forma de la matriz de la resistencia de la red en
la figura cuando se establecen las Ec. de voltaje recorriendo las trayectorias cerradas descritas
por las corrientes de espiras diseñadas.
.0328.4.0326.3
.0225.20226.1
3141
4213
312
4321
=−+−⊗=−++−⊗
=−+−⊗=+++−⊗
IIIIIII
IIIIIII
.506
83023621
02522126
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=∆
.0328.4.0826.3
.0226.20226.1
314
4213
132
4321
=+−−⊗=+++−⊗
=+−−⊗=+++−⊗
IIIIIII
IIIIIII
.08302.4.4362..3.044252.2
4226.1
4321
4321
321
4321
=+−+−⊗=−+−−⊗=+−−+−⊗
=+++−⊗
IIIIvIIII
IIIvIIII
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.134.0506
804.670302462102524126
.68.0506
08.34480023421
00522426
.078.0506
468.3983023641
02022146
.482.0506
892.24383003624
02502124
0404
83023621
02522126
4
3
2
1
Amp
Amp
Amp
Amp
IIII
==∆
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=∆
==∆
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=∆
==∆
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=∆
==∆
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=∆
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=∆
Voltajes pares de nodos.
La diferencia de potencial entre 2 nodos cualesquiera de una red se les llama voltaje de
par de nodos. Si se escogen apropiadamente los voltajes de pares de nodos pueden usarse
como variables independientes en el análisis de la red en vez de las corrientes de espiras.
Vamos a analizar la red de la figura siguiente:
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.
....
25
34
233
312
211
eVeV
eeVeeVeeV
B
B
B
B
B
==
−=−=−=
Siguiendo trayectoria cerrada:
Ley de kirchoff para los nodos 1, 2,3 de (6) serán:
255
344
2333
3122
2111
2211
1115.05.05.05.05.05.0
eVIeVI
eeVIeeVIeeVI
BB
BB
BB
BB
BB
====
−==−==−==
Las Ec. de la ley de corriente son:
.05.215.0:3.15.35.0:2
.5.05.01:1
321432
2321531
132121
=+−−=++−−=−+−−=+−−
=−−=+
eeeIIINodoIeeeIIINodo
IeeeIINodo
BBB
SBBB
SBB
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Puesto que 1SI e 2SI son cantidades conocidas pueden obtenerse directamente los
valores numéricos de las “e” y de estos deducir inmediatamente los voltajes de rama. En este
ejemplo determinaremos el valor numérico de: 2Ba VV = de la fig. c)
5.215.015.35.05.05.01
015.015.35.0
25.01
5.21015.355.05.02
312
−−−−−−
−−−−
−−
−−−−−
=−= eeVB
.556.175.5
)5.0(5.8312 VoltseeVV Ba =
−−=−==
...
...
325
214
33
22
11
EEVEEV
EVEVEV
+=+=
===
.33.2.2
..2
.
325
214
33
22
11
EEIEEI
EIEI
EI
+=+=
===
.1023.2..1
321
411
=++−+=−
EEEIII S
.02.2..1
321
312
=+−−+=−
EEEIII S
.3430.2..1
321
533
=++−+=−
EEEIII S
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.46.253.193.0)512.0(3)31.0(3.86.062.024.0)31.0(2)12.0(2
.512.0.62.0)31.0(2
.12.0
5
4
3
22
1
AmpIAmpI
AmpIAII
AmpI
=+=+==+=+=
====
=
33
22
11
3
2
1
512.04121330
021123
31.04113430
101013
12.0415433
120021
41833)4(2)38(3430121023
301
430121023
VVoltsE
VVoltsE
VVoltsE
EEE
===−−
=∆
−
=
===−−
=∆
=
==−−
=∆
−
=
−=∆⇒−−⇒−−−=−=∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1.3. “DUALIDAD”. Cuando dos elementos del circuito están en serie como en la sig. Figura la selección
natural de variable es la corriente, por lo tanto podemos decir que:
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..
.
321
321
RRRRIRV
VIRIRIR
T
TTab
abTTT
++==
=++
.T
abT I
VR =
Cuando los elementos están en paralelo como en la figura siguiente, la selección natural
de la variable seria el voltaje y por lo tanto tendremos que:
.)( 321
321
B
BB
BbbB
VI
GGGG
IVGVGVG
=++=
=++
.B
BB V
IG =
La semejanza entre las dos ecuaciones de las redes
anteriores ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ==
B
BB
B
BB I
VRVIG , resulta evidente que en cada una de ellas se plica la ley de
voltaje y en la otra la ley de corriente.
1.4. CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE REDES DUALES
Siempre que los elementos de un sistema en correspondencia unívoca con los
elementos de otro sistema, esta correspondencia se llama dualidad. Desde el punto de vista
algebraico, dos redes son duales si las ecuaciones nodales de una son de la misma forma que
las ecuaciones de espira de la otra, como por ejemplo tenemos las siguientes figuras.
Para (a) por mallas
.)(.)(
223231
132131
S
S
eIRRRIeRIIRR=++−
=−+, Otorgando valores
.2,4,2,5,5 32121 Ω=Ω=Ω=== RRRee SS ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−55
6224
2
1
II
.562.524
21
21
=+−=−
IIII
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.5.120
10205254
,220
10306525
.20424
2211 =⇒+
⇒∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==⇒+
=∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
=
=∆⇒−=∆
IIII
Para (b)
.)(.2.)(.1
223213
123131
S
S
IVGGVGIVGVGG=++−−⊗
=−+−⊗
..5.0,25.0,5.0,25.1,5.2 32121 Ω=Ω=Ω=== GGGAIAI SS
.25.175.05.0.5.25.01
21
21
=+−=−
VVVV
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−25.15.2
75.05.05.01
2
1
VV
.55.0
25.125.125.15.05.21
55.0
625.0875.175.025.15.05.2
.5.025.075.0
22
11
VVV
VVV
=⇒+
⇒∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
=⇒+
=∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
=
=∆⇒−=∆
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Capítulo 2 Concepto de fasor
2.1. NÚMEROS COMPLEJOS
Números reales:
El cuerpo de los números reales se compone de números racionales e irracionales.
La raíz cuadrada de un número real negativo no es un número real, es un número “imaginario”,
por ejemplo son números imaginarios 1− , 2− , 3− ,… n− diremos que 1j −= ∴ j 2= -1
Electrónicamente un número complejo lo vamos a representar por una “Z” y es la
impedancia del sistema, la impedancia del sistema se representa jyxz ±= , o también es el
número imaginario.
En nuestro sistema de coordenadas lo podemos representar de la siguiente manera:
Donde x es la parte real y jy es la parte imaginaria.
Si la parte imaginaria vale cero xz =
Y si la parte real vale cero jy z =
Por ejemplo: 61 =Z , 332 JZ −= , 43 JZ = , 234 JZ +−= , 545 JZ −−= , 336 JZ +=
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Formas de expresar un número complejo Tenemos:
)( 212
1
2
1 ϑϑ −= ejrr
ZZ
jyxz += ϑrCosx =
)( ϑϑϑϑ
jSenCosrzjrSenrCosz
+=+=
rxCos =ϑ
xyrySen
=
=
ϑ
ϑ
tan
Donde 222 yxr += y entonces 22 yxr += y se le llama modulo de Z.
xyg 1-t=ϑ Y recibe el nombre de argumento de Z.
Forma de Euler
ϑϑ jSenCose je +=
Esta fórmula permite expresar en forma exponencial un número complejo, podemos
decir que: ϑϑ jrSenrCosz +=
ϑϑ jrSenrCosre je +=
A continuación vamos a expresar las fórmulas más importantes de los números
complejos:
Forma Binómica jyxz +=
Forma Polar ϑ∠= rz
Forma Exponencial rez =
Forma Trigonométrica )( ϑϑϑϑ jSenCosrjrSenrCosz +=+=
Conjugado de un número complejo
El conjugado de cualquier numero complejo jyxz += se representa jyxz −=* , para
la forma polar ϑ∠= rz , ϑ−∠′= rz* , y para ϑjrez = , ϑjrez −=
Operaciones con números complejos Por ejemplo:
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251 jZ −= , 832 jZ −−=
( ) ( ) 102832521 jjjZZ −=−−+−=+
( ) ( ) 68832521 jjjZZ +=−−−−=−
( ) ( ) 68258312 jjjZZ −−=−−−−=−
( )( )
( ) ( )2
22
2
21212121
22
22
22
11
2
1
jxyxxyyyxx
jyxjyx
jyxjyx
ZZ
−+++
=++
⋅++
=
212121 ϑϑ +∠=∗ rrZZ 111 ϑ∠= rZ
)21(2122
ϑϑ +=∗ jerrZZ 222 ϑ∠= rZ
21
2
1
2
1 ϑϑ −∠=rr
ZZ
)21(
2
1
2
1 ϑϑ += jerr
ZZ
2.2. CONVERSIONES
Para expresar conversiones de números complejos es aconsejable manejar la
calculadora con el propósito de llegar a una rápida y eficaz conversión en cualquier sentido.
°∠= 1.5350Z
rySen =ϑ
rxCos =ϑ
Hallar la expresión: 21
21
ZZZZ+
cuando
67.1217.272530105
2
1
jZjZ
+=°∠=+=
82.609.527.5352.8 j+=°∠
Conversión de coordenadas rectangulares a polares.
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Conversión de coordenadas polares a rectangulares.
2.3. RELACIONES FASORIALES PARA R, L, C.
Esta figura representa una rama “R”. La impedancia de esta rama “r” es
de la forma °∠= 0RZ
IRV =
IZV =
LCRIjxZ =
“R” se expresa en ohms ( )Ω , la impedancia también se expresa en ohms, además, en el
circuito puramente resistivo la corriente está en fase con la onda de voltaje. Si el voltaje de
alimentación que se aplica a la red es SenwtVV m= es igual a fπ2 , la ecuación será:
IRV = , Donde SenwtRVI m
= , donde mI=RVm
Potencia en la rama R
Potencia: es la terminación de la velocidad a que la energía eléctrica es generada o
absorbida, es en general un problema importante y por lo tanto vamos a estudiar la potencia en
la rama R.
Potencia Instantánea: se representa por una “P”
PS =
VIS =
VIP = (Potencia absorbida de la rama R)
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180=π
fπω 2= ∴ T
f 1=
Tπω 2
= ∴ fπω 2=
( )tSenVV m ω=
( )tSenII m ω=
( ) ( )tSenItSenVP mm ωω=
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⇒= tCosIVPItSenVP mmmm ωω 2
21
212
22
2tCosIVIV
P mmmm ω−=
Los valores positivos de P indican que el circuito está recibiendo energía de la fuente, y
los valores negativos indican que los elementos reactivos () están liberando energía.
Rama en L
( )tSenVV m ω=
dtd
LV j= tCost
VP m ω
ω2−=
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dtd
LtSenV jm =ω , como ( )°−=− 90tSentCos ωω
( ) ∫∫ = diLdttSenVm ω
LidttSenVm =− ∫ ωω
( )°−= 90tSenL
VI m ω
ω
LitCosVm =− ωω
( )°−= 90tSenII m ω
LItCosVm =− ωω
L
VI m
m ω=
ESTO VENIA CON LAPIZ Y DECIA BUSCAR:
FASOR: Un fasor es una constante de un número complejo que representa la amplitud
compleja (magnitud y fase) de una función de tiempo sinusoide. Usualmente se expresa en
forma de una exponencial. Los fasores se utilizan en ingeniería para simplificar los cálculos con
sinusoides, ya que permiten reducir un problema de ecuaciones diferenciales a uno algebraico.
ONDA SENOIDAL: Se trata de una señal análoga, puesto que sus valores oscilan en
una rama de opciones prácticamente infinita, así pues, podemos ver en la imagen que la onda
describe una curva continua. De hecho, esta onda es la gráfica de la función matemática seno,
que posee los siguientes atributos característicos:
• En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo ha, que se designa por sen a, es
igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.
• El seno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es
la ordenada del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:
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TRABAJO: En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza aplicada sobre una
partícula durante un cierto desplazamiento se define como la integral del producto escalar del
vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es una magnitud física escalar, y se
representa con la letra (del inglés Work) para distinguirlo de la magnitud temperatura,
normalmente representada con la letra .
En termodinámica el trabajo que se realiza cuando un gas se expande o se comprime
ejerciendo una presión desde un volumen A hasta otro volumen B viene dado por
El trabajo es, en general, dependiente de la trayectoria y, por lo tanto, no constituye una
variable de estado. La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es newton × metro y
se denomina joule o julio, y es la misma unidad que mide la energía. Por eso se entiende que la
energía es la capacidad para realizar un trabajo o que el trabajo provoca una variación de
energía.
2.4. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA
IMPEDANCIA DE LA RAMA “L”
La impedancia se opone a la velocidad de cambio de la corriente y por estas razones
algunas veces se da el nombre de inercia eléctrica. En la
ecuación anterior m = vm / wl podemos decir que wl = vm / m que la intensidad de corriente se
retrasa con respecto al voltaje un cuarto de ciclo (90º), por lo tanto podemos decir que la
impedancia en la rama l, zl=wl 190º y podremos decir también que si W= πf tendremos que XL=
πf L.
Cuando w se expresa en radianes/seg. “l” en henrios, la reactancia inductiva se expresa
en ohms.
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La reactancia inductiva e una bobina de 10 mili henrios en un circuito de 60 ciclos será
XL=WL=π f L; ¿encontrar la importancia del sistema?
L = 10 mH
F = 60 ciclos
XL = WL
XL = 2π f L
XL = 2 π(60) (10X10-3) = 3.77 Ω
Z = WL 90º ---- 3.77 90º = 0+3.77 j
ZL = XL 90º
Si F = 6000 ciclos
XL = 2 π (60 000) (10 X 10 -3) 3770
ZL = 3770 90º
Si se aplican a la bobina de 10 mili henrios un voltaje sinusoidal cuyo valor máximo es
de 10 v, se tiene que
V = Vm sen WT F = 60 ciclos
W = 2 πF
W = 377 V = 100 sen 377
= -Vm/XL cos WT
= M sen (WT – 90º)
M = VM/WL – VM/XL – 100 Volts/3.77 = sen (377t – 90º)
Encontrar la corriente que existe en la bobina, con los sigs. Datos:
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L = 25 mH, f = 50 ciclos/s, el voltaje máximo Vm = 125 Volts.
Encontrar la forma de onda del voltaje y de la corriente.
V = Vm sen wt w = 2 f
= m sen (wt – 90º) w = 2 (80) = 503
Im = Im = 125/503 (25 X 10 -3
I = 10 sen (wt – 90)
I = 10 sen (503 t -90)
Y V = 125 sen 503 t
I = 10 sen (503 t -90º)
L = XL = WL
XL = 2π f L
XL = 13 90º ZL = 13 90º
“POTENCIAL PARA LA RAMA L”
P = VI donde V = Vm sen Wt
I = Im sen (Wt – 90º)
P = (Vm sen Wt) (Im sen Wt – 90º)
P = Vm Im sen Wt – (1- 90º)
P = Vm Im – sen Wt cos Wt
P = - Vm Im sen 2 Wt / 2
P = - Vm fm sen 2 Wt / 2
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Si “L” esta expresada en Hemrios, “Im” en Amperios, “Wl” la energía la rama L se
expresa en Joules.
“LA RAMA C”
Se supone que un voltaje sinusoidal V = Vm sanase se aplica a un sensor ideal como se
muestra en la figura siguiente:
La expresión de equilibrio en la siguiente V = q/c, Vm son Wt = q/c.
Mando la derivada de la EC. Anterior con respecto al tiempo tenemos que dq/dt = Vm wc con
wt.
Vm = sen wt = q / c = C Vm sen wt = dq / dt = dq / dt = C Vm cos wt . w dq / dt = Vm wc
cos wt
Por lo tanto podemos decir que: i = Vm sen (wt + 90º)
i/wc
i = Im sen (wt + 90º)
Entonces
Vm
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“IMPEDANCIA DE LA RAMA C”
La razón de Vm a Im en la rama C = I/WC, y la corriente se adelanta con respecto al
Voltaje un Angulo de 90º.
La impedancia será entonces para la rama “C” :
Zc = - 90º
La magnitud de la impedancia I/WC recibe el nombre de Xc (reactancia capacitada y de
esto resulta que la reactancia en es inversamente proporcional a la frecuencia.
Dentro de la reactancia tenemos la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva.
NOTA:
En un condensador la corriente se adelanta 90º con respecto al voltaje y la impedancia
de una bobina, la corriente se atrasa 90º con respecto al voltaje.
XL=2Πfl =WL
XC= = = W2Πf
Si en la notación de la reactancia “W” se expresa en Ra “C” en faradios, “Xc” en OHMS,
pero supongamos que la capacitancia se expresa en microfaradios, la formula será le siguiente:
Xc= Ω
La reactancia capacitiva de un condensador de 15 mf en un circuito de 25 ciclos es:
Xc= = xc =xc=425Ω
Z = Xc = - 90º Zc = 425 - 90º
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Si aplicamos al condensador una frecuencia de 250 ciclos su Xc será
Xc=
Si aplicamos al mismo condensador una frecuencia de 25 ciclos y 200 Voles valor
máximo su corriente y voltaje será la siguiente:
V = Vm sen Wt W = 2πf
I = Im sen (Wt + 90º) W = 2π(25) W = 157
xc= =
V = 200 sen 157 t Xc = 425
im= I= sen(157t+ )amp
“POTENCIA Y ENERGÍA DE UNA RAMA “C”
P = V I
P = (Vm sen lot) [ Im sen ( Wt + 90º )]
P = Vm Im sen Wt sen ( Wt + 90º )
P = Vm Im sen Wt (cos Wt ) sen Wt cos Wt = ½ sen 2 Wt
P= sen 2wt
La energía recibida por un condensador durante un cuarto de ciclo será ponemos los límites t = o, t = T/4, tendremos que la energía para la rama será:
Wc= sen 2wt
RESUMEN DE LAS RAMAS “R” “L” Y “C”
RAMA R
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ZR = R 0º IMPEDANCIA
Nota:
En la rama “R” el voltaje esta en fase con la corriente.
RAMA L
XL =
2 -- fL = WL
Nota:
La corriente esta atrasada 90º con respecto al voltaje.
RAMA C
En la rama “L”
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Nota:
La corriente esta adelantada a 90º con respecto al voltaje.
En la rama “C”
“RAMA RL”
SUMA DE ONDAS SENOIDALES
e = 125 sen (Wt + 20º)
e = 250 sen (Wt – 30º)
e = 500 sen Wt
Nota: Para poder realizar la suma “W” debe ser igual
Determinar Et de las siguientes ondas sinusoidales
Continuación
E1 = 40 sen (200t + 30º) ET = F1 + F2
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E2 = 20 (200t + 60º)
ET = [40 sen (200t + 30º)] + [20 sen (200t + 60º)]
“RAMA RL”
“IMPEDANCIA DE LA RAMA RL”
Z= r 0
Z=
IMPEDANCIA DEL SISTEMA
Si r =
VM= iM(r)
=
La corriente se retrasa con respecto al voltaje un ángulo determinado
0=
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Capítulo 3
“Potencia eléctrica y factor de potencia”
Existen tres tipos de potencias que vamos a analizar y que son: potencia activa,
potencia aparente y potencia reactiva.
3.1. POTENCIA ACTIVA:
Se representa por una “p”, su formula es: θcosVIP = , sus unidades serian: Kw.
(kilowatts) o watts.
El termino “ θcos ” se llama factor de potencia y se abrevia FP. Donde “θ ” es el ángulo
de defasamiento entre las ondas de voltaje y de corriente comprendido entre °± 90 . Para
indicar el signo “θ ” diremos que en un circuito inductivo en el que la corriente esta atrasada
respecto a la tensión, tiene un factor de potencia en retraso. En un circuito capacitivo la
corriente se adelanta °90 con respecto al voltaje, tiene factor de potencia en adelanto.
3.2. POTENCIA APARENTE:
Se representa por una [ ]S o una [ ]VA su formula es: VIS = o VIVA = , su unidad es el
voltampere.
3.3. POTENCIA REACTIVA:
Su símbolo es una [ ]Q o [ ]VAR su formula es θVIsenQ = o θVIsenVAR = , sus
unidades son voltampere reactivos el [ ]θsen se llama factor reactivo.
3.4. “TRIANGULO DE POTENCIAS”
Las potencias se pueden expresar por medio de un triangulo que se llama triangulo de
potencia, como se muestra en la siguiente figura:
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3.5. “POTENCIA COMPLEJA”
Los tres lados del triangulo ""S ""P y ""Q de potencias se deducen del producto ( )*VI
de la tensión por el conjugado de la intensidad.
Resultado de este producto es un número complejo que se llama potencia compleja (s
negrita en el libro) y se representa por una Sc. Su parte real es la potencia activa ( )P y su parte
imaginaria es la potencia reactiva ""Q
Ejemplo:
Sea: jaVeV = e ( )θ+= ajIeI
∴ *VISc =
( ) ( )( )θε +−= ajja IVeSc
A continuación pondremos las formulas de los 3 tipos de potencias:
POTENCIA ACTIVA R
VRIVIP R
22cos === θ watts
POTENCIA REACTIVA C
CAP
L
IND
XV
XV
XIVIsenQ22
2 ==== θ var
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POTENCIA APARENTE Z
VZIVIS2
2 === voltampere
FACTOR DE == θcosPOTENCIA =ZR
SP
1. Trazar un triangulo de potencias de un circuito cuya impedancia es igual a 43 j+ y su
voltaje de alimentación es °⟨30100 volts.
“DATOS”
V= °⟨30100 θcosVIP =
Z= 43 j+ °⟨= 13.535Z °⟨−=⇒°⟨°⟨
== 13.235013.53530100 I
ZVI
( )( )°⟨°⟨⇒= 13.232030100* ScVISc
°⟨= 13.532000Sc
99.15991200 jSc +=
321QP
jSc 16001200 +=
3333.112001600
.
.tan ⇒⇒=ACOCθ
°= 13.53θ
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3.6. CORRECCION DEL FACTOR DE POTENCIA
Para corregir el factor de potencia se procede de la siguiente manera:
Del ejemplo anterior corregir el factor de potencia de 9.0 en retraso utilizando
condensadores en paralelo. Hallar el valor de la potencia aparente nueva después de introducir
la corrección y la potencia reactiva necesarios para obtener dicha corrección.
9.0cos =θ
( )ANGULO°= 26θ
θcoscos PS
SP
=⇒=
13339.0
1200==S
SsenQSQsen °=⇒= 26θ
( )( )
VARcQQ
10155851600585
1333103837.4 1
=−∴=
×= −
°26°13.53
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Determinar el triangulo de potencias de cada rama del circuito paralelo de la figura
siguiente y obtener luego el triangulo de potencias para el circuito completo.
Rama 1
( )( )WATTSP
P
ATRASOfpjZ
I
ZVIIZV
6.8630cos520
_865.0446.3246.3
3053046020
1
=°=
==∴+=
°⟨=°⟨°⟨
=
=⇒=
( )( )
( )( )VAS
SATRASOENVARQ
senQ
100520
__5030520
===
°=
Rama 2
( )( )( )( )( )( ) VASS
ATRASOVARQsenQWATTSPP
IZVI
ATRASOENfpjZZ
80420_26.6960420
4060cos420
046056020
__605.055.233.45.2605
22
2
22
=⇒==⇒°==⇒°=
°⟨=°⟨°⟨
=⇒=
°===∴+=⇒°⟨=
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( ) ( )
728.088.1736.126
88.1732.1196.126
2.1192.69506.126406.86
22
=⇒=⇒=
=
+=
=⇒+==⇒+=
fpfpSPfp
SS
VARQQVATIOSPP
TT
TT
o
°=
==
28.43
728.0cos
θ
θSp
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KVAR3.159
KVOLTIOS1414
Determinar los componentes del triangulo de potencias de la asociación de 3 cargas
definidas de la forma siguiente:
Carga 1: 250 voltamperios con factor de potencia 0.5 en retraso.
Carga 2: 180 vatios con factor de potencia 0.8 en adelanto.
Carga 3: 300 voltamperios y 100 voltamperios reactivos en retraso.
Carga 1:
( )( )
( ) VARQsenQSQsen
WPP
SPSP
RETRASOENfpVAS
5.21625060
605.0cos5.0cos1252505.0
5.0cos.,*coscos
_5.0.,250
1
=⇒°=⇒=
°=⇒=∴=
=⇒=
==⇒=
==
−
θ
θθθ
θθθ
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CARGA 2:
( ) 09.1352259.36
9.368.0cos
2258.0
180cos
cos
__8.0cos.,180
=⇒=⇒=
=∴=
=⇒=⇒=⇒=
=⇒=
QsenQSQsen
VASSPSSP
ATRASOENfpVATIOSP
θ
θθθ
θ
θ
CARGA 3:
( ) WPPSP
sensenSQsen
VARQVAS
8.28230047.19coscos47.19
333.0300100
100.,300
=⇒°=⇒=∴°=
=⇒=⇒=
==
θθ
θθθ
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( ) ( )
955.615.17cos
37.6155.181588
5.1811001355.216587282150125
15.17
3.0tan588
5.181tan
22
=°=
=+=
=+−==++=
°=
=⇒=
FpFpS
QP
T
T
T
θ
θθ
Determinar el triangulo de potencia total del circuito paralelo de la siguiente figura
sabiendo que la potencia disipada en la resistencia de Ω2 es de 20 vatios (watts).
( )
[ ] [ ]
AMPI
IIZVI
ZjZvVvVZIV
ZjZ
AMPII
II
RIP
PvatiosP R
66.12
4506.124541.1017
4541.1110172.6858.52.6816.30172.6838.516.3
2.6838.55.2
16.3220
220220
20
2
222
2
22
1
1
11
21
21
21
22
=
°⟨−=⇒°⟨
°⟨=⇒=
°⟨=⇒+=°⟨=⇒⟨−°⟨⇒°⟨=⇒°⟨−⇒=
°⟨−=⇒=
=⇒=
=⇒=
=
==
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°⟨−=°⟨−=⇒−=⇒−++=
°⟨−+°⟨=⇒+=
302.11302.1159.569.952.852.893.217.1
4506.122.6816.321
T
TTT
TT
IIjIjjI
IIII
[ ]
°=
=
+=±=
°⟨=°⟨°⟨=
=
3089.1642.95tan
2.9589.164
304.190302.11017
*
θ
θ
jSJQPS
SS
VIS
T
T
T
T
T
POTENCIAS DE LA RAMA RL
θϖτθϖτθϖτθϖτ
sensenVmVmVmP
senVmsenPVIP
)2(2Im))(cos2(cos
2Im
2cosIm
))(Im(
+−=
+==
TRIANGULO DE POTENCIAS
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“RAMA R L C”
Cuando XL es menor la corriente se adelanta en el sistema
Cuando XL es mayor la corriente se atrasa
RAMA “R “ “C” YSU IMPEDANCIA EN EL SISITEMA
Si la reactancia inductiva es cero por lo el sistema capacitivo en
Si R=10Ω, L=0.056 HENRIOS, C=50µF, cual será la impedancia de la rama “RLC” y la
corriente que pasa a través de ella si tenemos un voltaje de alimentación v=200 sen 377t v.
¿encontrar la corriente que pasa a través de ellos?
ϖτsenz
vmi =
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XL=ϖτ
XL=(377)(0.056)H
XL=21.11Ω
Ω==>==>= − 53)1050)(377(
116 XCFx
xcc
XCϖ
Z=33.42 -72.58º
“POTENCIA DE LA RAMA RLC”
Sabemos que p=VI, si C=Im senϖτ y V=vm sen(ϖτ +senθ )
ϖτθϖτθ 22Imcos)2(cos
2Imcos
2Im senVmVmVmp +−=
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“IMPEDANCIA DE LA FORMA CARTESIANA”
Z=R+J(XL-XC) FORMA RECTANGULAR O CARTESIANA
Convirtiendo a forma polar:
22 )( XCXLJRz −+=R
xcxltg −−1
EJERCICIO:
XL=ϖτ
XL=(247)(0.086)
XL=21.242Ω
Ω=== − 476.67)1060)(247(
116xc
XCϖ
)60.66247(9852.160.66374.50
247100
60.66374.50)20
476.67242.21(374.50
)()476.67472.21(20)(
1
12222
°+=°−∠
=
°−∠=−
=
−−+=−+=
−
−
ττ sensenI
tgz
RxcxltgXCXLRz
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El signo (+) indica una subcentancia capacitiva y el signo(-)una subceptancia inductiva
En el circuito siguiente hallar las intensidades de i, con los siguientes datos:
R1=3Ω,R2=10Ω,C=-4J,V=50<0°
°∠=°∠°∠
=
°∠=°−∠
°∠=
−°∠
=
050100502
13.531013.535
050430501
I
JI
“ADMITANCIA DE UNA RAMA”
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EJERCICIO
Hallar la impedancia z1del circuito de 3 ramas en paralelo de la siguiente fig. It=31.5<24º
JZ
ZZJ
ZY
Z
JYJJYJJY
YeqYYYJYeq
YeqYeqVIYeqVYeqI
Z
221
º4586.21º4535.0
1125.025.0
111
11
25.025.0112.016.01.037.051.0137.051.012.016.01.01
32137.051.0
º3663.0º6050º245.31)(
?1
+=
∠==>−∠
==>−
==>=
−==>+−−−=−=−++
=++−=
−∠==>∠∠
==>===
=
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EJERCICIO:
Y1=50<30º
Z2=10<40º
Z3<-15º
HALLAR LA IMPEDANCIA Z1
ZZZZ
YZ1111
61
311
11
++=
+−−=
º56.884.2º56.83518.0105239.03479.0
05176.01931.006427.00766.00644.06176.01
1
º152.0º401.0)º66211.0(º155
1º4010
1º661.1
11
129.182.4
142.666.7
11682.06011.1
11
129.182.4
142.666.7
11
11682.016011
13
12
111
1682.06011.1º661.1º245.31
º3050
−∠=∠=−=
++−++−=−
∠+−∠+−∠−=−∠
+∠
+∠
−=−
−+
++
+=−
−+
++=
+
++=
+=∠=∠∠
==
ZJZ
JJJZ
Z
JJJZ
JJZJ
ZZZIZT
JITVmZT
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(15-8j)i1-10i2-5i3=0
-10i1+(18+4j)i2-8i3=-5 °∠30
-5i1-8i2+(16+4j)i3=-10 °∠0
°−∠=−=°∠=>+
−−++=>°∠+°∠−°∠
27.5136124.12523.135518.794.539664.67461.5354
81.997.84994.39951.37462.42047.18655.85531.113.203909.5127.422J
JJJ
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-1509.9<22.37°+1113.8<195.61°
1392.57-573.12j-1072.71-299.71j=>-2465.28-872.83j
2615.23<-160.50°
9027.1712014.23º1033.1791726.22
º2466.15592.11
3.15592.127.51361
5.16023.26151
∠=∠=−∠=
°−∠=°−∠°−∠
=
iii
i
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Capítulo 4 Sistemas Polifásicos Balanceados
4.1. GENERACIÓN DE VOLTAJES POLIFÁSICOS
Los voltajes son generados en la misma forma que los monofásicos. Un sistema
polifásico está formado por varios sistemas monofásicos. Los sistemas monofásicos que forman
los polifásicos están generalmente interconectados en alguna forma.
Fig. 1
Generador Trifásico Elemental
En la figura 1 se muestra una bobina única AA1 en la armadura ó inducido de una
maquina bipolar, cuando los polos están en la posición mostrada es máxima la FEM del
conductor A de la bobina AA1 y su sentido es alejándose del lector.
Si se coloca un conductor en la posición B a 120° de A, se daría en el mismo una FEM
máxima, en un sentido que se aleja del lector, cuando el eje del polo norte estuviera en B o sea
120° eléctricos después de que estuviera en A.
De manera semejante para un conductor C, la FEM máxima en un sentido que se aleja
del lector, ocurrirá a 120° después de que estuviera en B y 240° después de que estuviera en A.
Las ondas de FEM generadas se representan en la figura siguiente y se llama sistema
trifásico por que hay 3 ondas de diferente fase de tiempo.
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Una cantidad alterna dada se retrasa con respecto de otra se llega a un cierto punto se
su onda después de que la otra ha llegado al punto correspondiente de la suya, otro modo de
decir lo mismo, es mediante la indicación de que el máximo positivo de la cantidad delantera se
produce andes del máximo positivo de la cantidad retrasada.
A=0°, B=120°, C=240°
El desplazamiento eléctrico entre fases para un sistema balanceado de n fases es de
360° entre n° eléctricos (360/n). La secuencia de fase de los voltajes aplicados a una carga es
determinada por el orden en que las líneas trifásicas están conectadas. El intercambio de
cualquier
De líneas invierte la secuencia de fase, para motores trifásicos invierte la dirección de
rotación. Para cargas trifásicas no balanceadas el efecto es en general, causar un conjunto de
valores completamente diferentes de las corrientes de línea.
• Determine la magnitud y posición del voltaje ECA de la figura siguiente, siendo ECD =-
100<30° y EAB =-100<0°
Solución:
51.76<105°
-86.6+j50 + 105+j0
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4.2. SISTEMAS BIFÁSICOS Y TETRAFÁSICOS
Un sistema bifásico en un sistema eléctrico en que los voltajes están 90° fuera de tiempo
(desfasados 90°) y se representa de la siguiente manera:
Un sistema bifásico es equivalente a 2 sistemas
monofásicos que están separados 90°
en Fase de Tiempo.
Sistema tetrafásico con conexión estrella
Un sistema tetrafásico y uno bifásico difieren solamente en las conexiones alternas. La
figura siguiente representará una conexión estrella de 4 fases.
Sistema en conexión estrella.
En la figura anterior los voltajes EDA , EAB y ECD se llaman voltajes entre una línea y otra
línea y los voltajes E0A , E0B E0c y E0D son los voltajes de una fase con respecto al neutro y se
llaman voltajes a neutral ó voltajes con respecto al neutro, por lo tanto podemos decir que el
voltaje que existe en los puntos EDA=ED0+ E0A y así sucesivamente para todos.
Así en la estrella de 4 fases el voltaje de línea VL = 2 VF y están desfasados 45° ó 135°.
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Sistema tetrafásico en conexión malla.
La siguiente figura se conoce como conexión malla 4 fases.
Malla de 4 fases
Las conexiones de línea se hacen en los puntos A, C y D. La corriente de la línea A A 1 es
igual a IAA1 + IDA como se muestra en la figura anterior. Los voltajes VAD, VAB, VBC son los voltajes
de línea ó voltajes de fases, por lo tanto podemos decir que para una malla de 4 fases el voltaje
de línea es igual al voltaje de fase (VL = VF ) y la corriente de línea IL= 2 IF están desfasados
45° ó 135°.
Formula para mallas
Malla 4 Fases (Delta) Estrella 4 fases
IL= 2 IF
VL = VF
IL=IF
VL = 2 VF
4.3. SISTEMAS TRIFÁSICOS CUATRIFILARES
3 fases (φ ) cuatro hilos
Si conectamos a un punto común 3 circuitos monofásicos,
se obtendrá un sistema llamado sistema de 3 fases o
sistema trifásico con 4 hilos como se muestra en la figura
siguiente:
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Los 3 voltajes mostrados se llaman voltajes de línea entre los puntos AB, BC y CA, los
voltajes An, Bn y Cn son los llamados voltajes de línea con respecto al neutro ó voltajes de fase.
Por lo tanto, podemos decir que el voltaje de línea para la conexión estrella trifásica es:
VL = 3 VF y todas las corrientes de línea son igual a las corrientes de Fase IL=IF y todas están
desfasadas 120°
4.4. CONEXIÓN DELTA
El sistema delta o sistema malla trifásico se representa en la siguiente figura:
Muestra que los VF = VL están desfasados 120°
junto con las corrientes IL= 3 IF
por lo tanto podemos hacer la siguiente tabla:
Estrella Delta
VL = 3 VF
IL=IF
VF = VL
IL= 3 IF
4.5. CARGAS EN ESTRELLA Y DELTA BALANCEADAS
Cuando las impedancias en un sistema trifásico son idénticas y los voltajes de
aumentación son los mismos, podemos decir que las corrientes son iguales y entonces por
regla general todos los circuitos trifásicos balanceados se calculan por fase exactamente como
se hicieron en los circuitos monofásicos.
por ejemplo:
• Se dan los voltajes de línea en la siguiente figura:
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VL=220volts encontrar IL, IF , PF, y PT
R=6Ω
XL=8Ω
como en estrella VL = 3 VF ∴ VF = 3
VL VF =3
220 = 127 volts
IF = F
F
ZV
IF =56
127j+
IF =10
127 =12.7 ∴ IL =12.7 amperes
PF = VF (IF) = (127)(12.7) = 1612.9 Volt Ampere ó
Z(IF)2 = (10)(12.7)2 =1612.9 Volt ampere
PF (ACTIVA)= (IF)2 R = (6) (12.7)2 = 967.74 watts (por fase)
PF(REACTIVA)= XL(IF)2 = (8) (12.7)2 =1290.32 VAR (por fase)
PTOTAL : PF = (3)(1612.9) = 4838.7 va.
PF = (3)(967.74) = 2903.22 watts
PF = (3)(1290.32) = 3870.96 VAR
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Capítulo 5 Cálculo de potencias en sistemas
trifásicos balanceados
5.1. CÁLCULO DE POTENCIA EN ., ΦΦ− VASenVACosVA
En estos sistemas, para determinar la potencia se hacia por fase, si el voltaje por fase se
representa “Vp” e “Ip” es la representación de la corriente por fase, entonces:
Pp=Vp*Ip*cosθ Es la potencia por fase
O bien:
Pf=Vf*If*cosθ
Y Pt= n*Pp cuando la potencia es “n” fases
=n*Vf*If*cosθ
Si consideramos un sistema trifásico Pt=3*Vf*If*cos .Si la potencia trifásica la vamos a
encontrar, para una conexión estrella tendremos:
Vl= √3 *Vf
Vf=Vl/√ 3, If=Il sustituyendo
Pt=3*Vl/√3*Il*cosθ (formula para una estrella trifásica)
Para una delta:
Pt=√3Vf*If, Vf=Vl
If=Il/3
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Sustituyendo: formula (para una delta trifásica.).
Podemos decir por lo tanto que las potencias en delta y en estrella son idénticas y que
para un circuito trifásico debe recordarse que cos”θ” (Vp) es el ángulo entre el voltaje de fase y
la corriente de fase.
Hay varios métodos para determinar si una lectura debe tomarse positiva o negativa en
vatímetro, uno de los métodos mas importantes es uno de los que sigue a continuación,
basándose en la figura anterior.
Ábrase la línea “a” , entonces toda la potencia se transfiere ala carga por las líneas b y c.
si se conecta el vatímetro “b” del modo que lea “ascendiendo en la escala”, entonces sabrá que
tiene esta desviación cuando la potencia que de va hacia la carga. Reconecte a continuación la
línea “a” y abra la “b”. Conecte entonces el vatímetro “a” de manera que lea ascendiendo en la
escala. Cierre ahora la línea “b”, si en cualquier momento después de esto, el indicador del
vatímetro marcha de reversa, hacia la posición de parada, esto es la posición de cero, esta
siendo transferida potencia acumulada a través de este vatímetro y esta potencia debe de ser
de signo opuesto ala registrada por el otro y por lo tanto se tiene que restar. La bobina de
potencial o la de corriente debe ser invertida para obtener una lectura ascendente.
Por ejemplo:
En el circuito mostrado en la figura anterior “vatímetro a” da una lectura de 800 watts
“Wb” da una lectura de 400watts. Cuando la bobina de potencia de vatímetro “b” desconecta en
“c” y se conecta en “a” la aguja marcha en sentido descendente, calcular la potencia total, la
razón de los vatios y b el factor de potencia.
P=Wa+Wb voltamper reactivos
P=800+(-400) =400vatios Q=√3(Wa-Wb)
Vatios Wb=-400/800=-0.5 tg θ=√3(Wa-Wb)/Wa+Wb
θ =cos(tg √3(Wa-Wb)/(Wa+Wb)
Q=√3[(800)-(-400)]=2078 VAR
S=√(p) ²+(Q) ²=√(400) ²+(2078) ²=2114VA
FP=P/S=400/2114=0.19
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Capitulo 6 Circuitos polifásicos no balanceados
6.1. CARGAS NO BALANCEADAS O DESVALANCEADAS
Existe un sistema desbalanceado cuando la impedancia de la corriente y el voltaje no
son iguales y por lo tanto es necesario manejar el sistema de otra manera que como lo hemos
ido manejando.
Por ejemplo: para una carga delta no balanceada, secuencia ab-ca-bc.
Iab=Vab/Zab=100+j0/6+8j=10²8-6=°53.1-ےj
Ibc=Vbc/Zbc=-50+86.6j/4-3j=207.86+18.39-=°156.9 ےj
Ica=-50-86.6j/20+0j=5432-2.5-=°120- ےj
Vab=100+0j V
Vbc=100120 ے°
Vca=100120- ے100=86.60254*50-=°120- ے°
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Las corrientes de línea son:
Ia’a=Iab+Iac=6+8j+2.5+4038j=8.5-3.67j=9.2523.3- ے°
Ib’b=Iba+Ibc=-6+8j-18.39+7.856j=-24.39+15.856j=2933- ے°
Ic’c=Ica+Icb=-2.5-4.33j+18.39-7.850j=15.89-12.166j=2037.3- ے°
CARGAS EN ESTRELLAS NO BALANCEADAS
Secuencia de fases ab-bc-ca
Vab=21290 ے°
Vbc=212150- ے°
Vca=21230- ے
Zab= (Zan*Zbn+Zbn*Zcn+Zcn*Zan)/Zcn=5/Zcn
Zbc=5/Zan
Zca=5/Zbn
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Iab=Vab/Zab=1450+14.5-=°180 ے14.5=°60 ے10/°240 ےj
Ibc=20028.28- 28.28=°45- ے40=°45 ے5/°0 ےj
Ica=13011.93+14.22=40 ے18.57=°80 ے7/°120 ےj
Ia+Ica=Iab
Ia=Iab-Ica= (-14.5+0j)-(14.22+11.93j)
=-28.72-11.93j=31.09157.44- ے°
Ib=Ibc-Iab
=42.78-28.28j
°33.46- ے51.28=
Ic=Ica-Ibc=-14.06+40.21j
°109.27 ے42.59=
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Zab=300-300j/0-20j=15+15j=21.245 ے°ω
Zbc=300-300j/10-0j=30-30j=42.445- ے° ω
Zca=300-300j/10+10j=0-30j=30.090 ے° ω
Iab=Vab/Zab=21245 ے10=°45 ے21.2/°90 ے°A
Ibc=Vbc/Zbc=212105- ے5=°45- ے21.2/°150-ے°A
Ica=Vca/Zca=21260 ے7.07=°90- ے30/°30- ے°A
Ia’a=Iab-Ica
125.1A- ے14.56=°45 ے10-°105- ے5=10=
°15 ے3.66=°60 ے7.07-45°
Ib’b=Ibc-Iab
125.1A- ے14.56=°45 ے10-°105- ے5=
Ic’c=Ica-Ibc=7.07105- ے5-°60 ے°
A°66.2 ے11.98=
Un sistema trifásico de secuencia CBA de 208 volts tres fases, 4 conductores alimentan
una carga conectada en estrella. Con Za=60 ے°.Zb=630 ے° y Zc=545 ے°. Obtener las
corrientes de línea.
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Ian=Van/Zan=12090- ے20=°0 ے6/°90- ے°A
Ibn=Vb/Zbn=1200 ے20=°30 ے6/°30 ے°A
Icn=Vcn/Zcn=120105 ے24=°45 ے5/°150 ے°A
In=-(Ia+Ib+Ic)=-(20105 ے24+°0 ے20+°90- ے°)A
In=14.1166.9- ے°A
Se conectan en estrella tres impedancias idénticas de 530- ے°, el sistema es trifásico de
tres conductores, 150V de alimentación y secuencia de CBA; encontrar las potencias.
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Van=150/√3 90- ے86.6=°90-ے°
Vbn=150/√330 ے8.6=°30 ے°
Vcn=150/√3150 ے86.6=°150 ے°
Ia=Van/Z=68.660- ے17.32=°30- ے5/°90- ے°
Ib=Vbn/Z=86.660 ے17.32=°30- ے5/°30 ے°
Ic=Vcn/Z=86.6180 ے17.32=°30- ے5/°150 ے°
P=√3*Vl*Il*cos θ
P=√3150 (17.32) cos -30°
P=3900W
cos θ= θVf/ θIf por lo tanto An=-90°/-60°=-30° = θVbn/ Ib=30°/60°=-30°
= θVcn/Ic=150°/180°=-30°
CONEXIÓN DE DOS VATTÍMETROS PARA MEDIR POTENCIA TRIFASICA
Wa=V*I*cos(θ-30°)
Wb=V*I*cos (θ+30°)
Wt=Wa+Wb
=V*I*cos(θ+30°)+V*I*cos(θ-30°)
=V*i(cos θ*cos30°-sen θ*sen 30°+cos θ*cos30°+sen θ*sen30)
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Wt=√ 3*V*I*cos θ
Wa=Vac*Iac*cos (θ-30°)
Wb=Nbc*Ibc*cos (θ+30°)
Zab=(Zan*Zbn+Zbn*Zcn+Zcn*Zan)/Zcn
°30 ے5/(°30 ے5*°30 ے5)+(°30 ے5*°30 ے5)+(°30 ے5*°30 ے5) =
°30 ے5/(°60 ے25+°60 ے25+°60 ے25) =
=37.5+64.95j/530 ے°
°30 ے15=°30 ے5/°60 ے75=
FACTOR DE POTENCIA PARA CIRCUITOS NO BALANCEADOS
F.P. vectorial= (∑V*I*cos θ)/ √(∑V*I*sen θ)² + (∑V*I*cos θ)²
F.P=cos * (tan)-1 ∑V*I*senθ /∑V*I*cosθ =cosβ
F.P=∑V*I*cos θ /Magnitud de ∑V*I
Encontrar el factor de potencia vectorial del problema anterior.
F.P.v =733/150+733=0.98
Y el factor medio aritmético= F.P.1/2= ∑F:p: de las líneas/No. De fases
F.P.a=cos45°=0.7071
F.P.b=cos0°=1
F.P.c =cos60°=0.5
F.P.t=2.2071
F.P.1/2=2.2071/3=0.7357
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Iab=Vab/Zab=240150 ے9.6=°90 ے25/°240 ے
Ibc=Vbc/Zbc=24030 ے16=°30 ے15/°0 ے°
Ica=Vca/Zca=240120 ے12=°0 ے20/°120 ے°
Ia=Iab+Iac=9.6247.7 ے6.06=°120 ے12-°150 ے°
Ib=Iba+Ibc=-9.630- ے16+°150 ے°
Ic=Ica+Icb=1230- ے16-°120 ے°
Pab=Iab²Rab, Zab=2590 ے°
Pab= (9.6) ² (0)=0
6.2. CARGAS CONECTADAS EN DELTA Y ESTRELLA
Algunas veces las cargas conectadas en delta se hacen funcionar conjuntamente con
cargas conectadas en estrella. Las soluciones pueden ser relativamente sencillas, convirtiendo
primero la carga en estrella en una carga delta equitativamente, las dos deltas en paralelo
pueden entonces combinarse para formar una carga única equivalente en delta y ser calculadas
directamente las corrientes en delta equivalente como:
Iab=Vab/Zeq
CARGA DESEQUILIBRADA CONECTADA EN ESTRELLA CON 5 CONDUCTORES Si solamente hay 3 líneas A, B, C conectadas a una carga en estrella desequilibrada, el
punto común de las 3 impedancias de carga no esta al potencial del neutro y se designa por la
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letra “o” en lugar de “n”. Las tensiones entre los extremos de las tres impedancias pueden variar
considerablemente desde el valor de la tensión simple como se ve en el triangulo de tenciones
que relaciona todas las tensiones del circuito. Tiene particular interés el desplazamiento de “o”
hasta “n”, tensión de desplazamiento del neutro.
Por ejemplo:
Un sistema trifásico CBA, trificar de 208 voltios tiene una carga en estrella con Za=6ے
0°, Zb=630 ے°, Zc=54 ے°, obtener las corrientes de línea y la tensión en cada impedancia.
(6v0°+630 ے°) (-30 ے6°) (I1) (208240 ے°)
(°0 ے208) (I2) (°45 ے5+°30 ے6) (°30 ے6-) =
I1=23.3261.1 ے°A , I2=26.563.4- ے°A
Ia=I1
Ib=I2-I1
Ic=-I2
Vab=Za*Ia=6261.1 ے139.8=(°261.1 ے23.3)°0 ے°
Vbc=Zb*Ib=(630 ے°)(2.5- ے15.45°)=27.5 ے92.7°
Vca=Zc*Ic=5161.6 ے132.5=(°116.6 ے26.5)°45 ے°
Van=Vca+Van=-139.890- ے120+°261.1 ے°
°134.8 ے28.5-=
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Capítulo 7 Circuitos de Potencia Polifásica no
balanceada
7.1. MÉTODO DE LOS 3 VATÍMETROS PARA LA MEDICIÓN DE POTENCIA EN FASE.
..))((
.))((
.)(
.
WcWbWaPTICosIVWc
ICosIVWb
ICosIVWa
VICosP
CN
BN
AN
V
CCCN
V
BBBN
V
AAAN
++=∠=
∠=
∠=
= φ
Método de los 2 vatímetros.
..
.
.
.
CBCA
ACAB
V
CCCB
V
AAAB
IIIcIIIa
DondeICosIVWc
ICosIVWa
VICosP
CB
AB
+=+=
∠=
∠=
= φ
7.2. ΦVASen Y FACTOR DE POTENCIA
VoltsAmpéres *Reactivos en un sistema trifásico no balanceado de 4 hilos.
.
.
.
.
CN
BN
AN
V
CNCNCN
V
BNBNBN
V
ANANAN
ISenIVVARc
ISenIVVARb
ISenIVVARa
VISenP
∠=
∠=
∠=
= φ
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Los Voltajes de la figura anterior son los siguientes:
º6020,º050,º4524,º240100,º120100,º0100 −∠=∠=∠=−∠=−∠=∠= CNBNANCNBNAN ZZZVVV
º.454º4525º0100
º.1805º6020º240100
º.1202º050
º120100
−∠=∠∠
==
−∠=−∠−∠
==
−∠=∠−∠
==
AN
ANAN
CN
CNCN
BN
BNBN
ZV
V
ZV
V
ZV
V
.633250200283.250º60)5(100
.200º0.)2(100
.283º45)4(100
.01.150433253)(
.433º180º240)5)(100(
.0120
º120)2)(100(
.283º45)4(100º45
º0)4)(100(
WWcWbWaNWCosICosIVc
WCosICosIVb
WCosICosIVa
VARVARVARVARVISenVAR
VARSenISenIVc
SenISenIVb
VARSenSenISenIVa
Vcn
CNANAN
Vbn
BNANAN
Van
ANANAN
CBA
Vcn
CNCNCN
Vbn
BNBNBN
Van
ANANAN
=++=++==−=∠=
==∠=
==∠=
−=−=++=
−=−∠−∠
=∠=
=−∠−∠
=∠=
==−∠∠
=∠=
φ
.6210.288033300
.2880)20()12(
.020º020,
.3330)13()16(
.5.413º3015,
2
2
2
2
WPPPPP
WP
jZRIP
WP
jZRIP
T
CABCABT
CA
CACACACA
BC
BCBCBCBC
=++=++=
==
+=∠===
==
+=∠===
7.3. “MEDICIÓN DE VACosΦ , VASenΦ ”, VA EN SISTEMAS DE CA
Medidor a de Var.
El medidor de a de voltamperios reactivos lee:
]⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
AA
ABAAAB I
VSenIV
'' φ
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El medidor de a de voltamperios reactivos lee:
]⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
CC
CBCCCB I
VSenIV
'' φ
Vatímetros y cargas en estrella con cuatro conductores
Un vatímetro es un aparato de medida con una bobina de tensión y otra de intensidad,
dispuestas de forma que la desviación proporcional a VACosφ , en dondeφ es el ángulo entre
la tensión y la intensidad. Una carga conectada en estrella, con cuatro conductores, necesita
tres vatímetros dispuestos en cada línea como muestra la figura 14-22(a).
El diagrama fasorial de la figura 14-22(b) supone que la corriente está retrasada en la
fase A y adelantada en las fases B, C con desfases Aφ , Bφ y Cφ respectivamente. Las lecturas del
vatímetro son, entonces,
.AN
AANA ACosIVW ∠= , .BN
BBNB BCosIVW ∠= .CN
CCNC CCosIVW ∠= (14)
En dondeANA∠ representa el ángulo entre el ., AAN eIV El vatímetro .AW lee la potencia en
la fase A y los BW y .CW en las fases By C. La potencia total es:
.CBAT WWWP ++=
Método de los dos vatímetros.
La potencia total en una carga trifásica con tres conductores viene dada por la suma de
las lecturas de dos vatímetros conectados en dos líneas cualesquiera con sus bobinas de
tensión conectadas a la tercera línea, como se representa en la fig. 14-23. las lecturas de los
dos aparatos son:
.;;CBAB V
CCCB
V
AAAB ICosIVWcyICosIVWa ∠=∠= (16)
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Aplicando las leyes de Kirchoff a los nudos Ay C de la carga en triangulo se obtiene:
.;.; CBCAACAB IIIceIIIa +=+= (17)
º120440º120440
º0440
−∠=∠=∠=
CA
BC
AB
VVV
Sustituyendo las expresiones (17) de .AI e .CI en las ecuaciones (16) se obtienen:
.
.CBCB
ABAB
V
CBCBCB
V
CACACB
V
ACACAB
V
ABABAB
ICosIVICosIVWc
ICosIVICosIVWa
∠+∠=
∠+∠=(18)
Los términosABV
ABABAB ICosIV ∠ yCBV
CBCBCB ICosIV ∠ se reconocen inmediatamente, ya que
son las potencias en las fases AB y CB de la carga. Los otros 2 términos contienen ACAC IV y
CACB IV que pueden escribirse ahora como ACL IV , ya que tanto ABV como CBV son tensiones
compuestas entre líneas ABV e CBV .Para identificar estos dos términos se construye el diagrama
fasorial de la figura 14-24, en que se ha supuesto que la corriente ACI retrasa respecto ACV de
un ánguloφ .
El diagrama deduce,
Φ+=∠ º60ABAC y Φ−=∠ º60CB
CA (19)
Sumando los dos términos restantes de (18) y sustituyendo (60º+φ )y(60º-φ ) en lugar
de ABAC∠ y CB
CA∠ respectivamente,
)º60()º60( φφ −++ CosIVCosIV ACLACL (20)
Como Cos(x± y)=cos x cos y± sen x sen y, se puede escribir:
)º60cosº60cosº60cosº60( φφφφ sensensensenCosIV ACL ++− (21)
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O bien φCosIV ACL (22)
Que es la potencia en la fase restante, esto es, en AC. Por tanto, hemos demostrado
que dos vatímetros dan la potencial total en una carga conectada en triangulo. La aplicación del
método de los dos vatímetros al caso de una carga conectada en estrella se deja como ejercicio
al alumno.
Método de los dos vatímetros aplicado a cargas equilibradas.
Por ser la aplicación del método de los dos vatímetros a cargas equilibradas
considerando la conexión en estrella de tres impedancia iguales representada en la figura.14-
25(a). En la Fig.(b) se ha dibujado el diagrama fasorial para la secuencia ABC en la hipótesis de
corriente en retrasoφ .
Con los vatímetros en las líneas A y C sus lecturas son:
ABV
AAAB ICosIVWa ∠= y CBV
CCCB ICosIVWc ∠=
Del diagrama fasorial,
Φ+=∠ º30ABA y Φ−=∠ º30CB
C
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Bibliografía
• ADMINISTER Joseph A., KERCHNER Y CORCOVAN, Circuitos Eléctricos