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Gijón - Abril 2003 1
Tema 3
Análisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Abril 2003 2
Indice
• 3.1. Análisis de los sistemas• 3.2. Respuesta impulsional• 3.3. Respuesta a un escalón• 3.4. Respuesta a una señal cualquiera• 3.5. Estabilidad• 3.6. Sistemas de primer orden• 3.7. Sistemas de segundo orden• 3.8. Sistemas de orden superior• 3.9. Retardo puro• 3.10. Criterio de estabilidad de Routh
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Abril 2003 3
Análisis de los Sistemas• Conocido el modelo matemático del sistema se realiza el análisis de su comportamiento dinámico.
•Se utilizan señales de excitación sencillas y con transformada de Laplace.
• El análisis se puede realizar en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
t
δ(t)∞↑
t
u0(t)
1
1 t
f(t)
1
1 t
f(t)
1
f(t)M
t
-M
π/ω 2·π/ω
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Abril 2003 4
Respuesta impulsional
• Señal de excitación: Impulso de Dirac
• Respuesta del sistema: g(t)
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
t
δ(t)∞↑
1)()()(
==sX
ttx δ
)()]([)(
)()()·()(1 tgsGLty
sGsGsXsY
==
==−
t
y(t)
0
0 t
y(t)
0 ty(t)
y(t)
Formas de respuesta típicas ante un impulso
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Abril 2003 5
Respuesta a un escalón
• Señal de excitación: Escalón unitario
• Respuesta del sistema: Integral de g(t)
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
ssX
tutx1)(
)()( 0
=
=
∫=
=
==
− ττ
01 )()()(
)()()·()(
dtgssGLty
ssGsGsXsY
t
u0(t)
1
t
y(t)
0
Formas de respuesta típicas ante un escalón
t
y(t)
0
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Respuesta a una señal cualquiera
• Señal de excitación: x(t)
• Respuesta del sistema:
1. Se calcula la Transformada de Laplace de la entrada: X(s)=L[x(t)]
2. Se obtiene la Función de Transferencia que sirve de modelo del sistema: G(s)
3. Se calcula la Transformada de Laplace de la salida: Y(s)=X(s)·G(s)
4. Se obtiene la Antitransformada de Laplace de Y(s): y(t)=L-1[Y(s)]
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
−=−==
=
∫∫tt
dxtgdgtxtgtxty
sGsXsY
00)·()·()·()·()(*)()(
)()·()(
ττττττ
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Abril 2003 7
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Estabilidad (I)
Un sistema de control está en estado de equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.
y(t)
t
y(t)
t
Estable
G(s)g(t)
t
δ(t)∞↑
Inestable
G(s)g(t)
t
δ(t)∞↑
Un sistema es estable si ante señales de entrada o perturbaciones acotadas produce salidas acotadas y regresa a un estado de equilibrio.
Gijón - Abril 2003 8
Gijón - Abril 2003 9
Estabilidad (II)
( )
( ) −−
∈≥
+
+=
++++++++
=
∏
∏
=
=
−−
−−
(polos)r denominadodelraíceslasson (ceros)numerador delraíceslasson
,......)(
1
1
11
10
11
10
i
j
ijn
ii
m
jj
snn
nnmm
mm
pz
Cpzmn
ps
zsK
asasasabsbsbsbsG
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
Re
Im
-α
β
-β
-p1
-p2
Re
Im-σ-p1realpoloun esraízLa
)(·)(L1)(
OrdenPrimer deSistemaun deEjemplo
11
0·1-
σσ
σ
−=−=
=→+
= −
ps
tuetgs
sG t
conjugadoscomplejospolosdos·son raícesLas
)()···sen(1)(L)(1
·1)(
complejospoloscon Orden SegundodeSistemaun deEjemplo
2,12,1
0·1-
222
jps
tutetgsbsas
sG t
βα
βββα
α
±−=−=
=→++
=++
= −
Re
Im
-z1
-p1
-p2
-p3-z2
-z3
-p4
polosceros
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Estabilidad (III)
Re
Im-σ-p1
Re
Im
-α
β
-β
-p1
-p2
Re
Im
-p1
Re
Im-σ-p1
Re
Imβ
-β
-p1
-p2
Re
Im
-α
β
-β
-p1
-p2
t
g(t)
t
g(t)
t
g(t)
g(t)
t
g(t)
t
g(t)
t
ESTABLE
INESTABLE
LIMITADAMENTE ESTABLE
ESTABLE
MARGINALMENTE ESTABLE
INESTABLE
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Estabilidad (IV)
Re
Imβ
-β
-p1
-p2
Re
Im
-α
β
-β
-p1
-p2
Re
Im
-α
β
-β
-p1
-p2
Re
Im
-α β
-β
-p1
-p2Re
Im
β
-β
-p1
-p2
Re
Im-σ-p1
Re
Im-σ-p1
t
g(t)
t
g(t)
g(t)
t
g(t)
t
g(t)
t
g(t)
t
g(t)
t
Atenuación más rápida(Transitorio más corto)
Menor frecuenciaMenor frecuencia
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Atenuación más rápida(Transitorio más corto)
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Estabilidad (V)• Un sistema es estable si todos sus polos están situados en el semiplano complejo negativo.• Un sistema es inestable si algún polo está situado en el semiplano complejo positivo o si existen polos múltiples en el eje imaginario o en el origen.• Un sistema es limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando los demás situados en el semiplano negativo.• Un sistema es marginalmente estable si existe una pareja simple (no múltiples) de polos complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes polos situados en el semiplano negativo.• Los polos situados en el semiplano negativo originan respuestas que se atenúan tanto más rápidamente, cuanto más alejados estén del eje imaginario. Se denominan en general “polos dominantes” aquellos que están más cerca del mencionado eje.• Los polos complejos conjugados dan lugar a respuestas cuyas oscilaciones son de frecuencia tanto más elevada cuanto mayor sea su distancia al eje real.
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Sistemas de Primer Orden (I)
• Respuesta impulsional: X(s)=1
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)sTKsG·1
)(+
=
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
t
y(t)
T
0,37·K/T
K/T
• Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2
t
y(t)
T
0,63·K
K
3·T
0,95·K
Tangente en el origen(pendiente K/T)
t
y(t)
T
-K·T
(pendiente K)T
K: ganancia estática o en régimen permanenteT: constante de tiempo
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
)(·)]([)]([)( 011 tue
TKsGLsYLty T
t−−− ===
)()·1·()()]([)( 011 tueK
ssGLsYLty T
t−−− −=
==
)(]···)·([)()]([)( 0211 tueTKTtKssGLsYLty T
t−−− +−=
==
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Sistemas de Primer Orden (II)Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
sTKsT
sTK
sTsTKsG N
N
·1··
·1·1)·1·()(
++
+=
++
=
sTsTKsG N
·1)·1·()(
++
=
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
t
KK/T
Tangente en el origen(pendiente K/T)
Respuesta delsistema sin el cero
Derivada de la otra curva
t
y(t)
K
K·TN/T
t
y(t)
K
K·TN/T
t
y(t)
K
K·TN/T
Re
Im-1/T
-1/TN
Re
Im-1/T
-1/TN
Re
Im-1/T -1/TN
a) TN>T
b) T>TN>0
c) TN<0
NOTA: Si el cero está próximo al origen el factor |K·TN/T| aumenta peligrosamente
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Sistemas de Segundo Orden (I)
bsasK
ss
Kss
KsG s
nn
nn
n
++=
++=
++=
·1··2·1···2·)( 2
22
22
2
ωξ
ωωωξ
ω
K: ganancia estáticaT=2·ξ/ωn: constante de tiempoξ>0: coeficiente de amortiguamiento ωn>0: frecuencia natural del sistemaσ>0: constante de amortiguamiento o
factor de decrecimientoSi ξ<1, ωd : frecuencia amortiguada
d
nd
nn
nn
js
s
ss
ωσξωωωξσ
ξ
ξωωξ
ωωξ
·1··
:conjugadascomplejasson raíceslas1Si
1··
:sonsistema)del(polospolinomiodelraícesLas
0···2
2,1
2n
22,1
22
±−=
−==
<
−±−=
=++
Si a,b>0, el sistemaes estable
Re
Im
-σ
-ωd
ωdωn
θ
θξ cos=
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Sistemas de Segundo Orden (II)
22
2
···2·)(
nn
n
ssKsG
ωωξω
++=
a) Si ξ>1: dos raíces reales
b) Si ξ=1: una raíz doble
c) Si 0<ξ<1: dos raíces complejas conjugadas
d) Si ξ=0: dos raíces imaginarias puras
Re
Imξ<1 ξ=0
ξ=0ξ<1
ξ>1 ξ>1 ξ=infξ→inf
ξ=1
−±−=
=++
1··
0···22
2,1
22
ξωωξ
ωωξ
nn
nn
s
ss
1· 22,1 −±−= ξωσ ns
ns ωσ −=−=2,1
djs ωσ ·2,1 ±−=
nd jjs ωω ··2,1 ±=±=
Re
Im
s1s2
a)
Re
Im
-σ
b)
Re
Im
-σωd
-ωd
c)
Re
Imωd
-ωd
d)
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Sistemas de Segundo Orden (III): respuesta impulsional
a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado
b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado
c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado
d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento
)(·)···sen(1
·)( 0·
2tuetKty t
dn σωξ
ω −
−=
)(····)( 0·2 tuetKty tn
nωω −=
2122
2
···2·)(
ssB
ssA
ssKsG
nn
n
−+
−=
++=
ωωξω
[ ] )(···)( 0·2·1 tueBeAty tsts +=
1·2
·2 −
=−=ξ
ωnKBA
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
t
ξ=0y(t)
ξ=0.2
ξ=1
ξ=2
)()···sen(·)( 0 tutKty nn ωω=
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Sistemas de Segundo Orden (IV): respuesta a un escalón
a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado
b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado
c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado
d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento
)(·)··sen(1
1·)( 02
·
tuteKty d
t
+
−−=
−
θωξ
σ
)(]·)··1(1·[)( 0· tuetKty tn
nωω −+−=
)(·1·2
1·)( 02
·2
1
·1
2tu
se
seKty
tstsn
−
−+=
ξ
ω
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
t
ξ=0y(t)
ξ=0.2
ξ=1
ξ=2
K
)()]··cos(1·[)( 0 tutKty nω−=
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Sistemas de Segundo Orden (V)
(aprox.)21
:retardodeTiempo
(aprox.)·
:ientoestablecimdeTiempo1
:picodeTiempo1
:subidadeTiempo
[%]100·[%]100·[%]100·[%]100·
:aciónSobreoscil
2
2
cotg··
21
·
nd
ns
dn
p
dn
r
dp
t
t
t
t
AABeeeM
ω
ξ
σπ
ωξπ
ωπ
ξω
π
ωθπ
ξω
θπ
θπωσπ
ξ
ξπ
+=
==
=−
=
−=
−
−=
−==== −
−−
−
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
t
y(t)
A±5%A
B
Régimenpermanente
Régimentransitorio
tstp
tr
td
dωπ·2
dωπ·3
dωπ·4
Entrada en régimenpermanente
Pico de sobreoscilación
0.9·A
0.5·A
0.1·A
Ritmo de decrecimiento
=
=
=
MKAsMsX
tuMtx
·
)(
)(·)( 0
10 << ξ
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Sistemas de Segundo Orden (VI): respuesta a una rampa
20 )()(··)(sMsXtutMtx =⇒=
Y(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
t
y(t)
T-K·M·T
(pendiente K·M) x(t)(pendiente M)
n
Tωξ·2
=
nMK
ωξ·2··
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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tb) Derivada de a)
y(t)
K
d)
c)a) Sistema sin cero
Sistemas de Segundo Orden (VII): cero adicional a polos complejosY(s)X(s) G(s)
x(t) y(t)g(t)
22
2
22
2
···2···
···2·)(
nn
nN
nn
n
ssKsT
ssKsG
ωωξω
ωωξω
+++
++=
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
NOTA: Si el cero está próximo al origen el factor TN aumenta peligrosamente y los efectos del cero son más notables
22
2
···2)·1(·)(nn
Nn
sssTKsGωωξ
ω++
+=
Re
Ima)
Re
Imb)
Re
Imc)
-1/TN Re
Imd)-1/TN
TN>0: El sistema es más rápido y menos amortiguado: Mp↑, tp↓ y normalmente ts↑
TN<0: El sistema presenta inicialmente una respuesta negativa: Mp↑, tp ↑ y normalmente ts↑
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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t
y(t) e)
K
a) Sistema sin cerob) Derivada de a)
f)
d)c)
Sistemas de Segundo Orden (VIII): cero adicional a polos reales
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
Re
Ime)
-1/TN Re
Imf)-1/TN
Re
Ima)
Re
Imd)
-1/TNRe
Imc)
-1/TN
Re
Imb)
TN>0: El sistema puede presentar un pico de sobreoscilación tanto mayor cuanto mayor es TN
TN<0: El sistema presenta inicialmente una respuesta negativa
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Y(s)X(s)
x(t) y(t)22
2
···2·
nn
n
ssK
ωωξω
++
t
y(t)
K
d)
a)b)
c)
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
Los efectos son opuestos a los que tendría un cero en la misma posición. El sistema se hace más lento y amortiguado.
)···2)(·1(·)( 22
2
nnd
n
sssTKsG
ωωξω
+++=
Re
Ima)
Re
Imb)
-1/Td
Re
Imc)
-1/Td Re
Imd)
-1/Td
Sistemas de Segundo Orden (IX): polo adicional
Si el tercer polo está más cerca del origen, pasa a tener un efecto dominante sobre la respuesta del sistema.
sTd ·11
+
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Sistemas de Orden Superior (I)
– Respuesta en Régimen Permanente: Ganancia estática
)0que(siempre)()()·(·)()( 00 ======∞ →→→∞ NKabsGlimsGsXslimtylimyn
msst
– Respuesta Transitoria:Depende de qué polos y ceros tengan mayor efecto sobre la respuesta del sistema. Los dominantes serán los más cercanos al eje imaginario.
Se tratará de conseguir un sistema que, siendo de un orden inferior, reproduzca sin demasiado error la respuesta del sistema de partida
∏ ∏
∏ ∏
= =
= =
−−
−−
+++
+++
=++++++++
=L
l
R
r nrnr
rl
N
P
p
Q
q nqnq
qp
nnnn
mmmm
sssTs
sssTK
asasasabsbsbsbsG
1 1
2
1 1
2
11
10
11
10
··21)··1(·
··2
1)··1(·
...
...)(
ωωξ
ωωξ
• Ante una entrada escalón unitario: X(s)=1/s
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Sistemas de Orden Superior (II)• Criterios de Reducción
– Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que presenten una componente real (σ) al menos seis veces superior a la componente real de los polos dominantes (σdom).– Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que cumplan que la distancia de separación entre ellos medida sobre el eje real (| σp - σz |) sea inferior a 1/6 del valor de la componente real de los polos dominantes (σdom).– Mantener la ganancia estática.
• Puntualización: Los criterios anteriores no siempre son válidos (sólo aplicable para el análisis en el dominio del tiempo de sistemas estables). Se debe comparar la respuesta del sistema de partida y del sistema de orden reducido para comprobar la fiabilidad de la aproximación.
-σdom-6σdom
<σdom/6
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Retardo Puro (I)
[ ] [ ] )(·)(L)(L)()]([L)( · sXeTtxtysYtxsX sT−=−==⇒=
t
x(t)
t
y(t)=x(t-T)
T
Y(s)X(s)
x(t) y(t)G(s)=e-T·s
Retardo T
T = tiempo de retardo
No es una función racional, lo que imposibilita el estudio de laestabilidad de sistemas que incluyan algún Retardo Puro por los métodos vistos en este capítulo. En algunos casos se buscan Funciones de Transferencia racionales como aproximación a su comportamiento y que permitan facilitar su estudio.
sTesG ·)(X(s)Y(s) −==
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
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Retardo Puro (II) Y(s)=e-T·s ·Uo(s)Uo(s) G(s)=e-T·s
uo(t) y(t)=uo(t-T)Retardo T
• Respuesta a un escalón:
t
y(t)1
T
t
y(t)1
-1
T
t
y(t)1
T
t
y(t)1
T
sTesG ·)( −=
sTsG
·11)(
+≈
sTsTsG
)·2/(1)·2/(1)(
+−
≈
22
22
)·8/()·2/(1)·8/()·2/(1)(sTsTsTsTsG
+++−
≈
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Re
Im-2/T 2/T
Re
Im-1/T
Re
Im2/T+j·2/T
2/T-j·2/T
-2/T+j·2/T
-2/T-j·2/T
b)
c)
d)
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
...2··
!31
2··
!21
2·1
...2··
!31
2··
!21
2·1
)( 32
32
2·
2·
·
+
+
++
+
−
+−
===
−
−
sTsTsT
sTsTsT
e
eesG sT
sT
sT
Gijón - Abril 2003 29
Criterio de Estabilidad de RouthIndica si existen raíces con parte real positiva en un polinomio:
1) ∀ai, ai>0 (es decir, todos con el mismo signo y sin nulos) 2) Se construye la siguiente tabla:
1
1
21
4321
4321
7531
6420
0
1
2
3
2
1
.....................
...
wv
uu
ccccbbbbaaaaaaaa
sss
ssss
n
n
n
n
−
−
−
0··...··· 12
22
21
10 =++++++ −−−−
nnnnnn asasasasasa
El sistema que tenga como denominador ese polinomio, será estable si todos los ai>0 y todos los coeficientes de la primera columna de la tabla son también estrictamente positivos.
El polinomio tiene tantos polos con parte real positiva como cambios de signo se producen en la primera columna de la tabla
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
−=
31
51
11
31512
21
31
11
21311
71
60
11
70613
51
40
11
50412
31
20
11
30211
1··
1··
...
1··
1··
1··
bbaa
bbbaabc
bbaa
bbbaabc
aaaa
aaaaaab
aaaa
aaaaaab
aaaa
aaaaaab