Aplicación de la teoría de grado ala resolución de algunos problemas

resonantesPablo Amster

pamster@dm.uba.ar

Universidad de Buenos Aires and CONICET

ARGENTINA

Introducción. Problemas Reso-nantesMuchos problemas en análisis no lineal puedenescribirse en la forma:

Lu = Nu

donde L es un operador diferencial lineal, definido enalgún espacio funcional adecuado, y N es un operadorno lineal (involucrando por lo general los términos deorden menor).Ejemplos:

u′′(t) = f(t, u(t), u′(t))

−∆u − λu = f(x, u,∇u)

con distintas condiciones de frontera.

El problema se llama no resonante cuando el operadorL es inversible. En este caso el problema puedereducirse a un problema de punto fijo:

u = L−1Nu.

Cuando el operador L no es inversible, el problema sedenomina resonante.

Problemas ElípticosEl problema

∆u + λu + g(u) = p(x) en Ω ⊂ Rn

u = 0 en ∂Ω

es resonante si y sólo si λ ∈ σD(−∆).

Cuando el problema es no resonante, y g : R → R escontinua y sublineal:

lım|u|→+∞

g(u)

u= 0

es fácil ver (utilizando el teorema de Schauder) quehay solución por ejemplo para toda p ∈ C(Ω).

Sin embargo, cuando el problema es resonante esto nosucede, y es necesario introducir otras condicionespara tener existencia.En un trabajo clásico, E. Landesman y A. Lazer(J. Math. Mech, 1970) estudiaron el caso en que lafunción g : R → R es continua, y tiene límites eninfinito:

g(±∞) = lımu→±∞

g(u).

Supongamos que λ = λk es un autovalor simple de−∆ con autofunción ϕk, y consideremos

Ω+ = x ∈ Ω : ϕk(x) > 0

Ω− = x ∈ Ω : ϕk(x) < 0

Teorema 1 (Landesman-Lazer) Si se verifica lacondición:

g(−∞)

∫

Ω+

ϕk(x)dx + g(+∞)

∫

Ω−

ϕk(x)dx

<

∫

Ω

ϕk(x)p(x)dx

< g(+∞)

∫

Ω+

ϕk(x)dx + g(−∞)

∫

Ω−

ϕk(x)dx

Entonces el problema anterior tiene al menos unasolución. Si además g(−∞) < g(u) < g(+∞) paratodo u, entonces la condición es también necesaria.

Por simplicidad, estudiaremos una situación mássencilla, pero que contiene los principales ingredientesdel caso general. Por ejemplo, el problema periódicopara una ecuación ordinaria de segundo orden

u′′ + g(u) = p(t)

u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T ).(1)

Aquí la resonancia se produce en el primer autovalorλ0 = 0, y la condición de Landesman-Lazer es mássimple: en este caso, ϕ0 ≡ 1, de modo que lacondición equivale a decir que el promedio de p seencuentra entre los valores g(−∞) y g(+∞).

Más concretamente, se demuestra hay solucionescuando

g(−∞) < p < g(+∞)

o bieng(+∞) < p < g(−∞).

Esto puede probarse directamente con el teorema deSchauder, o empleando métodos variacionales.Pero es más fácil hacerlo directamente con unaherramienta muy poderosa: la teoría de gradotopológico.

Teoría de gradoIntuitivamente, el grado topológico es un “conteoalgebraico” de los ceros de una función continuaf : D → X , en donde X es un espacio de Banach, yD ⊂ X es un abierto acotado. Para que el grado estébien definido, se pide que f no se anule en ∂D.Cuando X es de dimensión infinita el grado no estádefinido para cualquier función continua, pero sí loestá para aquellas que tienen la forma I − K, endonde K es un operador compacto.

Veamos primero la construcción en dimensión finita,el llamado:

Grado de BrouwerEn el caso concreto N = 2, el grado se define deforma sencilla empleando la integral compleja. Enparticular, si f : D → C es una función holomorfaque no se anula en ∂D, entonces su grado equivale ala integral

1

2πi

∫

∂D

f ′(z)

f(z)dz,

que como es sabido cuenta los ceros de f en D.Un poco más en general, si f : D ⊂ R

N → RN es de

clase C1 con 0 /∈ f(∂Ω), y 0 es un valor regular de f ,entonces se define

deg(f,D, 0) =∑

x∈f−1(0)

sgn(Jac f(x)).

Esta definición se extiende a funciones para las que 0no es valor regular, y luego a funciones continuascualesquiera. De las importantes propiedades delgrado, en este trabajo emplearemos las siguientes:

1. deg(Id,D, 0) = 1 si 0 ∈ D.

2. Si deg(f,D, 0) 6= 0, entonces f se anula en D.

3. Si f y g son homotópicas (es decir, hay unahomotopía continua que no se anula cuandox ∈ ∂D), entonces tienen el mismo grado.

Dos aplicaciones sencillas1. Consideremos el problema periódico de primerorden

X ′ = F (t,X)

X(0) = X(T )(2)

para F : [0, t] × RN → R

N continua y localmenteLipschitz en X .Por la teoría clásica de ecuaciones ordinarias,sabemos que existe el flujo φ : dom(φ) → R

N dadopor φ(X0, t) = X(t), en donde X es la única solución(local) del problema de valores iniciales

X ′ = F (t,X)

X(0) = X0.(3)

Más aun, φ es continua y

dom(φ) =⋃

X0∈RN

X0 × IX0

es un abierto de RN × R (en donde IX0

es el intervalomaximal). Esto permite definir el operador dePoincaré

PT (X0) := φ(X0, T ),

que resulta de gran utilidad para estudiar el problema(2). En efecto, el problema equivale a encontrarX0 ∈ dom(PT ) tal que PT (X0) = X0.

En general, no es fácil determinar con exactitud cuáles el abierto dom(PT ) ⊂ R

N de datos iniciales cuyasolución correspondiente está definida hasta T .Aunque es fácil demostrar usando el lema deGronwall, por ejemplo, que si existen constantes A,Btales que |F (t,X)| ≤ A|X| + B para todo t ∈ T ytodo X ∈ R

N , entonces dom(PT ) = RN .

Empleando el grado de Brouwer es posible probar, enciertos casos, que la función f : dom(PT ) → R

N dadapor f(X0) = X0 − PT (X0) posee al menos un cero.

Por ejemplo, supongamos que para cierto R > 0 vale

〈F (t,X), X〉 < 0 (4)

para todo t ∈ [0, T ] y todo X ∈ RN tal que |X| = R.

En tal caso, se puede definir la homotopía

h(λ,X0) = X0 − λPT (X0),

y verificar:

1. h está definida para |X0| ≤ R.

2. h(λ,X0) 6= 0 para λ ∈ [0, 1] y |X0| = R.

En efecto, por la condición (4) sabemos que si X es lasolución correspondiente a cierto X0 ∈ BR(0),entonces

〈X ′, X〉 = 〈F (t,X), X〉 < 0

cuando |X(t)| está suficientemente cerca de R. Pero〈X ′, X〉 = 1

2

(

|X|2)′

, lo que dice que |X| decrececuando |X| está cerca de R. En particular, |X| < Rpara t > 0 pequeño, y luego no puede subir hastaalcanzar el valor R. La teoría clásica de ecuacionesordinarias nos dice que entonces X está definida hastaT , y luego h está definida sobre BR(0).

Pero además h no se anula cuando |X0| = R, pues porlo anterior vale |PT (X0)| < R, y en particularλPT (X0) 6= X0 para λ ∈ [0, 1]. Luego,

deg(f,BR(0), 0) = deg(Id,BR(0), 0) = 1,

lo que prueba que f se anula en la bola de radio R.

Observación: el resultado anterior se pruebadirectamente con el teorema de Brouwer aplicado a labola BR(0). Sin embargo, el mismo razonamientovale tambien cuando se invierte la desigualdad en (4):en tal caso, es fácil ver que vale 2, aunque hace faltaalguna condición adicional que garantice 1.

A modo de ejemplo, podemos considerar para N = 1el problema x′ = x3, cuyas soluciones son de la forma

x(t) =x0

√

1 − 2x20t

,

que están definidas solamente para t < 12x2

0

. Luego, el

operador de Poincaré no está definido en BR(0)

cuando T > 12R2 (aunque el problema admite la

solución periódica x ≡ 0). En cambio, la ecuaciónx′ = −x3, que cumple la condición (4) para cualquierR > 0, tiene soluciones de la forma x(t) = x0√

1+2x20t,

que están definidas en [0, T ] para cuaquier T .

EjercicioPara el problema anterior, supongamos:

• F (0, X) 6= 0 para |X| = R.

• BR(0) ⊂ dom(PT )

• deg(F (0, ·), BR(0), 0) 6= 0.

Entonces, o bien existe alguna solución X de períodoT ∗ < T tal que |X(0)| = R, o bien existe algunasolución X de período T tal que |X(0)| ≤ R.Sugerencia: emplear la homotopía

h(X0, λ) =

Pλ(X0)−X0

λλ ∈ (0, 1]

F (0, X0) λ = 0

2. Consideremos ahora el problema semilineal desegundo orden con condiciones de Dirichlet

u′′(t) = f(t, u(t))

u(0) = u(1) = 0(5)

con f : [0, T ] × R → R continua. En el año 1905,Severini introdujo un método elemental para laecuación (5), hoy conocido como método de shooting.La idea es muy simple: si f es localmente Lipschitzen u, entonces para cualquier valor λ ∈ R el problemade valores iniciales

u′′ = f(t, u)

u(0) = 0, u′(0) = λ(6)

tiene una única solución uλ, definida en ciertointervalo (maximal) no trivial Iλ = [0,M), conM = M(λ) ∈ (0, +∞].

Objetivo: encontrar λ tal que uλ(1) = 0.Como antes, no se puede garantizar que M(λ) > 1;sin embargo, sobre el conjunto λ : M(λ) > 1 lafunción λ 7→ uλ(1) es continua, de modo que bastacon encontrar un intervalo Λ = [λ−, λ+] tal que uλ(1)exista para todo λ ∈ Λ, y uλ

−

(1) ≤ 0 ≤ uλ+(1), o

viceversa.

Por ejemplo, si f es acotada, entonces las solucionesde (6) están definidas en todo el intervalo [0, 1].Además, u′

λ(t) = λ +∫ t

0 f(s, uλ(s)) ds; luego, siλ > ‖f‖∞ entonces

u′λ(t) ≥ λ − t‖f‖∞ > 0

para t ≤ 1. De esta forma, uλ es creciente, y resultauλ(1) > 0. Del mismo modo, para λ < −‖f‖∞ seobtiene que uλ(1) < 0, y en consecuencia uλ(1) = 0para algún λ ∈ [−‖f‖∞, ‖f‖∞].En otras palabras, la existencia de soluciones estágarantizada por uno de los teoremas topológicos máselementales: el teorema de Bolzano.

Aparece el gradoPregunta: ¿se puede generalizar el resultado anteriorpara un sistema de N ecuaciones?

La idea es la misma, pero ahora λ 7→ uλ(1) es unafunción continua de R

N en RN , y a partir de la

identidad u′λ(t) = λ +

∫ t

0 f(s, uλ(s)) ds, se deduceque |uλ(1) − λ| ≤ ‖f‖∞. Entonces se puede aplicar elanálogo de Bolzano para dimensión mayor que 1, quees el teorema de Brouwer o, más precisamente, unaversión equivalente: el teorema de Miranda. Perotambién podemos verlo con el grado de Brouweraplicado a la función S(λ) = uλ(1): basta considerarla homotopía lineal

h(λ, σ) = σS(λ) + (1 − σ)λ.

Como |S(λ) − λ| ≤ ‖f‖∞, se ve que S(λ) 6= 0 para|λ| = R > ‖f‖∞ y entonces

deg(S,BR(0), 0) = deg(Id,BR(0), 0) = 1,

lo que garantiza que S se anula en BR(0).

Grado de Leray-SchauderComo vimos al comienzo, muchos problemas comolos anteriores pueden escribirse en la formaLu = Nu. El último de los ejemplos era un caso noresonante, y para f continua y acotada la existencia desoluciones se prueba fácilmente empleando elteorema de Schauder al operador compacto L−1N .Sin embargo, también se puede pensar al problemacomo una ecuación F (u) = 0, en dondeF (u) = u − L−1Nu.En tal caso, se puede emplear el grado para obtener uncero de F . Pero el grado de Brouwer no nos sirve,pues F está definida en un espacio de dimensióninfinita: necesitaremos emplear el grado deLeray-Schauder.

El grado de Leray-Schauder se define para operadoresde la forma F = I − K, con K compacto, definidosen la clausura de un abierto acotado D ⊂ X , en dondeX es un espacio de Banach. A grandes rasgos, la ideaconsiste en mostrar que, siendo D es acotado, K seaproxima por operadores de rango finito, y se puededefinir

degLS(I − K,D, 0) = deg((I − Kε)|Vε, D ∩ Vε, 0),

en donde Kε es una ε-aproximación de K conIm(Kε) ⊂ Vε, un subespacio de dimensión finita.

Se prueba que el grado de Leray-Schauder está biendefinido, y tiene propiedades análogas al grado deBrouwer. Para la invariancia por homotopía, ademásde la continuidad se requiere naturalmente queh(·, λ) = I − Kλ con Kλ compacto para todo λ.

Y, por fin...El teorema de Landesman y Lazer

Como dijimos, vamos a ver una demostración delcaso particular para el problema

u′′ + g(u) = p(t)

u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T ).(7)

Veamos que si g : R → R es continua y acotada, conlímites en infinito de modo tal que

g(−∞) < p < g(+∞) o viceversa,

entonces (7) tiene al menos una solución.

En este caso, podemos considerar los espacios

X = u ∈ C([0, T ]) : u(0) = u(T ),

Y = C([0, T ])

y los operadores L : dom(L) → Y , N : X → Ydados por

Lu = u′′, Nu = p − g(u).

Es inmediato verificar que

Ker(L) = R (funciones constantes),

R(L) = ϕ ∈ C([0, T ]) : ϕ = 0.

Además, se puede definir K : R(L) → dom(L)inverso a derecha de L, dado por K(ϕ) = u, únicasolución del problema

u′′ = ϕ

u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T )

u = 0.

Es fácil ver que K es compacto, lo que permite unaformulación abstracta adecuada para aplicar la teoríade grado al problema.

Formulación abstractaDescomposición de Lyapunov-Schmidt:u ∈ dom(L) es solución de (7) si y solo si

u − u = K(Nu − Nu)

Nu = 0.

Esto último equivale a decir que

u − u = Nu + K(Nu − Nu);

en otras palabras, el problema es equivalente a buscarun cero de la función

Fu := u − u − Nu − K(Nu − Nu).

Luego, si definimos la homotopía

Fλu := u − u − Nu − λK(Nu − Nu),

entonces basta con probar:

1. Fλu 6= 0 para λ ∈ [0, 1] y ‖u‖∞ = R 0.

2. degLS(F0, BR(0), 0) 6= 0,

en donde BR(0) denota ahora la bola de radio R en X .Para λ ∈ (0, 1], la ecuación Fλu = 0 es equivalente adecir que u ∈ dom(L) es solución del problema

u′′ + λg(u) = λp(t)

u(0) = u(T ), u′(0) = u′(T ).(8)

Pero en tal caso,

‖u − u‖∞ ≤ c‖u′′‖∞ ≤ c(‖p‖∞ + ‖g‖∞),

y tomando promedio en los dos términos de (8) se

deduce que 1T

∫ T

0 g(u(t)) dt = p. Veamos que siR 0, entonces ‖u‖∞ < R. En efecto, si no fuera asíexistirían soluciones un de (8) para λ = λn ∈ (0, 1]tales que ‖un‖∞ → ∞.

Pero sabemos que ‖un − un‖∞ está acotada; luego|un| → ∞. Tomando una subsucesión, podemossuponer por ejemplo que un → +∞ o un → −∞, yde la igualdad

p =1

T

∫ T

0

g(un(t)) dt =1

T

∫ T

0

g(un +un(t)−un) dt

se deduce (por convergencia mayorada) quep = g(+∞) o p = g(−∞), lo que es absurdo.Para λ = 0 hay que ver, en cambio, que si R 0,vale:

u = u + Nu ⇒ ‖u‖∞ < R.

Pero si u = u + Nu, tomando promedio se ve queNu 6= 0 y en consecuencia u = u. Como g(u) 6= ppara u ∈ R tal que |u| 0, el resultado es inmediato.Finalmente, observemos que F0u = u − K0, conK0u = u + Nu ∈ R. Esto dice que

degLS(F0, BR(0), 0) = degB(F0|R, BR(0) ∩ R, 0).

Ahora bien, para u ∈ R se tiene que

F0(u) = −Nu =1

T

∫ T

0

g(u) dt − p = g(u) − p.

Además, BR(0) ∩ R = (−R,R), y el resultado esentonces evidente, pues g(R) − p y g(−R) − p tienensignos opuestos.

[Continuará...]

Muchas gracias por su atención!